自動(dòng)控制原理 課件 項(xiàng)目4 控制系統(tǒng)的根軌跡法

項(xiàng)目四控制系統(tǒng)的根軌跡法任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制任務(wù)二廣義根軌跡任務(wù)三開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響任務(wù)四應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)實(shí)例任務(wù)五應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制根軌跡是當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)(如根軌跡增益K?)從零變化到無(wú)窮大時(shí),閉環(huán)特征方程的根在s平面上移動(dòng)的軌跡。根軌跡增益K是Ⅰ型開環(huán)傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的系數(shù)?？梢詰?yīng)用直接求根的方法來(lái)說(shuō)明根軌跡的含義。一、根軌跡的基本概念假設(shè)某控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。其開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制閉環(huán)特征方程為s2

+2s+K

?=0,特征根為當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)K?從零變化到無(wú)窮大時(shí),閉環(huán)極點(diǎn)的值也是不斷變化的。當(dāng)K?=0時(shí),系統(tǒng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)分別為s1=0與s2=-2。當(dāng)0<K?<1時(shí),極點(diǎn)s1,2均為負(fù)實(shí)數(shù),并且分布在負(fù)實(shí)軸上。當(dāng)K?=1時(shí),s1,2=-1。當(dāng)K?>1時(shí),兩個(gè)極點(diǎn)s1,2=-1±j1-K?變成一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)。隨著K?的增大,兩個(gè)極點(diǎn)的實(shí)部保持不變,其沿平行于虛軸的直線從正、負(fù)兩個(gè)方向趨于無(wú)窮遠(yuǎn)。任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制當(dāng)K?從0變化到∞時(shí)系統(tǒng)的特征根如表所示系統(tǒng)根軌跡圖如右圖所示依據(jù)根軌跡圖能分析當(dāng)參數(shù)(如K?)變化時(shí),對(duì)應(yīng)根的變化過程和趨勢(shì),進(jìn)而分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能,以及參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。依據(jù)根軌跡圖能分析當(dāng)參數(shù)(如K?)變化時(shí),對(duì)應(yīng)根的變化過程和趨勢(shì),進(jìn)而分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能,以及參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。(一)穩(wěn)定性開環(huán)增益從零變化到無(wú)窮大時(shí),根軌跡全部落在左半s平面,因此當(dāng)K?>0(或K=0.5K?>0)時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的;隨著K?的變化,使得系統(tǒng)根軌跡越過虛軸進(jìn)入右半s平面,則在相應(yīng)K?(或K)值下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的;系統(tǒng)在根軌跡與虛軸交點(diǎn)處為臨界穩(wěn)定,對(duì)應(yīng)的K?(或K)值就是臨界根軌跡增益。任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制(二)動(dòng)態(tài)性能當(dāng)0<K?<1(或0<K<0.5)時(shí),閉環(huán)特征根為負(fù)實(shí)根,系統(tǒng)呈現(xiàn)過阻尼狀態(tài),階躍響應(yīng)為單調(diào)上升過程。當(dāng)K?=1(或K=0.5)時(shí),閉環(huán)特征根為二重實(shí)根,系統(tǒng)呈現(xiàn)臨界阻尼狀態(tài),階躍響應(yīng)仍為單調(diào)上升過程,但響應(yīng)速度較0<K?<1時(shí)快。當(dāng)K?>1(或K>0.5)時(shí),閉環(huán)特征根為一對(duì)共軛復(fù)根,系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài),階躍響應(yīng)為振蕩衰減過程,且隨著K?的增加,阻尼比減小,超調(diào)量增大。上述分析表明,根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著密切的聯(lián)系,利用根軌跡可以分析當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)(K?或K)變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的變化趨勢(shì)。任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制控制系統(tǒng)的一般動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示,相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)。二、根軌跡方程假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制則在s平面上的根軌跡方程為根軌跡方程可以用幅值條件和相角條件來(lái)表示。幅值條件為幅值條件為三、根軌跡的繪制法則1根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn),終止于開環(huán)零點(diǎn);如果開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)m少于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)n,則有n-m條根軌跡終止于無(wú)窮遠(yuǎn)處。任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制法則2根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性根軌跡的分支數(shù)必與閉環(huán)特征方程根的數(shù)目一致,即根軌跡分支數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)的特征方程都是實(shí)系數(shù)方程,依代數(shù)定理,其特征根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。因此根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸。當(dāng)K?從零連續(xù)變化到無(wú)窮大時(shí),特征方程的系數(shù)是連續(xù)變化的,因而特征根的變化也必然是連續(xù)的,即根軌跡具有連續(xù)性。法則3實(shí)軸上的根軌跡s平面上實(shí)軸的某一區(qū)域,若其右側(cè)開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù),則該區(qū)域必是根軌跡或根軌跡的一部分。任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制法則4根軌跡的漸近線當(dāng)n>m時(shí),有n-m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為φa、交點(diǎn)為σa的一組漸近線趨向于無(wú)窮遠(yuǎn)處,且有法則5根軌跡的分離點(diǎn)(或會(huì)合點(diǎn))兩條或兩條以上根軌跡分支相遇又分離的點(diǎn),稱為根軌跡的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn),根軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)如右圖。任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制法則6根軌跡與虛軸的交點(diǎn)若根軌跡與虛軸相交,則意味著閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根。實(shí)部和虛部方程為法則7

根軌跡的出射角和入射角出射角是指根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角,以θpi表示;入射角是指根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角,以φzi表示,根軌跡的出射角和入射角如圖所示。任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制開環(huán)極點(diǎn)與零點(diǎn)的分布如圖所示。任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制法則8根之和若開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的分子、分母階次差(n-m)≥2時(shí),系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)之和,即λi為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)(特征根);pj為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。四、根軌跡繪制實(shí)例任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制【例】某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪制系統(tǒng)根軌跡,并求臨界根軌跡增益及該增益對(duì)應(yīng)的三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。解：系統(tǒng)有三個(gè)開環(huán)極點(diǎn),為p1=0,p2=-1,p3=-2,分別標(biāo)在s平面上。根據(jù)法則1和法則2可知,系統(tǒng)有三條根軌跡分支,分別起始于開環(huán)極點(diǎn),并沿漸近線終止于無(wú)窮遠(yuǎn)。根據(jù)法則3,實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段為(-∞,-2]和[-1,0]。根據(jù)法則4,根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角分別為任務(wù)一根軌跡的基本概念與繪制解方程得到d1=-1.577,d2=-0.423。顯然分離點(diǎn)位于實(shí)軸上[-1,0]間,故取d2=-0.423。根據(jù)法則5

，可得根據(jù)法則6，求根軌跡與虛軸交點(diǎn)，得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)于K?=6的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn),第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)可由根之和法則求得。此系統(tǒng)根軌跡圖如圖所示。任務(wù)二廣義根軌跡任務(wù)二廣義根軌跡在s平面右半部具有開環(huán)極點(diǎn)或開環(huán)零點(diǎn)的反饋系統(tǒng),稱為非最小相位系統(tǒng);反之,若全部開環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)零點(diǎn)在s平面左半部,則稱為最小相位系統(tǒng)。繪制非最小相位系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則與繪制最小相位系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則完全相同,可完全按根軌跡繪制基本規(guī)則進(jìn)行分析計(jì)算。一、非最小相位根軌跡【例】某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解：該系統(tǒng)有四個(gè)開環(huán)極點(diǎn),分別為p1=0,p2=1,p3,4=-2±j3.46,給定系統(tǒng)的有限開環(huán)零點(diǎn)為z=-1。根據(jù)法則1和法則2,可知系統(tǒng)有四條連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的根軌跡分支,分別起始于開環(huán)極點(diǎn),并沿漸近線終止于開環(huán)零點(diǎn)z=-1與無(wú)窮遠(yuǎn)。根據(jù)法則3,實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段為(-∞,-1]和[0,1]。根據(jù)法則4,根軌跡的漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角分別為任務(wù)二廣義根軌跡根據(jù)法則5,起始于開環(huán)極點(diǎn)p1=0,p2=1的兩條根軌跡分支脫離實(shí)軸時(shí)的分離點(diǎn)坐標(biāo),以及起始于開環(huán)極點(diǎn)p3,4=-2±j3.46的兩條根軌跡分支由復(fù)平面進(jìn)入實(shí)軸時(shí)的會(huì)合點(diǎn)坐標(biāo)解得分離點(diǎn):

d1=0.46會(huì)合點(diǎn):

d2

≈-2.22任務(wù)二廣義根軌跡根據(jù)法則6,起始于開環(huán)極點(diǎn)p1=0,p2=1的兩條根軌跡與虛軸相交,解得根據(jù)法則7,起始于開環(huán)極點(diǎn)p3,4=-2±j3.46的兩條根軌跡分支在p3,p4處的出射角為繪制的系統(tǒng)根軌跡圖如右圖所示從繪制的根軌跡圖中可知,欲使給定的非最小相位負(fù)反饋系統(tǒng)穩(wěn)定,必須使閉環(huán)根都在s平面的左半部分,開環(huán)增益K?的取值范圍為23.3<K?<35.7。此類系統(tǒng)一般稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng),即K?既不能大也不能小。任務(wù)二廣義根軌跡任務(wù)二廣義根軌跡在繪制反饋系統(tǒng)的根軌跡時(shí),其參量并非都是系統(tǒng)的根軌跡增益K?(或開環(huán)增益K),有時(shí)為研究除根軌跡增益K?外其他參量對(duì)系統(tǒng)性能的影響,還常以時(shí)間常數(shù)、反饋系數(shù)等為參量繪制根軌跡圖的參變量。除根軌跡增益K?(或開環(huán)增益K)以外的其他參量從零變化到無(wú)窮大時(shí)繪制的根軌跡稱為參數(shù)根軌跡。二、參數(shù)根軌跡繪制參變量的根軌跡的法則內(nèi)容和使用方法,同繪制以根軌跡增益K?為參量的普通根軌跡一樣。但必須明確,等效開環(huán)傳遞函數(shù)G′(s)H′(s)對(duì)應(yīng)的閉環(huán)零點(diǎn)與原系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)并不一定一致。在確定系統(tǒng)閉環(huán)零點(diǎn)、估算系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能時(shí),必須回到原系統(tǒng)對(duì)開環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行分析。任務(wù)二廣義根軌跡有時(shí)需要研究?jī)蓚€(gè)參量同時(shí)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。例如,在設(shè)計(jì)一個(gè)校正裝置傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)時(shí),就需要研究這些零、極點(diǎn)取不同值時(shí)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。為此,需要繪制幾個(gè)參量同時(shí)變化時(shí)的根軌跡,所作出的根軌跡是一組曲線,稱為根軌跡簇。三、根軌跡簇的繪制任務(wù)二廣義根軌跡四、零度根軌跡在負(fù)反饋條件下系統(tǒng)特征方程為根軌跡方程為相角條件為則稱相應(yīng)的常規(guī)根軌跡為180°根軌跡。在正反饋條件下,系統(tǒng)特征方程為根軌跡方程為相角條件為繪制的根軌跡稱為0°根軌跡。任務(wù)三開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響任務(wù)三開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響根軌跡是由開環(huán)零、極點(diǎn)決定的,因此在系統(tǒng)中增加開環(huán)零、極點(diǎn)或改變零、極點(diǎn)在s平面上的位置,都可以改變根軌跡的形狀。如果系統(tǒng)的性能不能滿足要求,則通過調(diào)整開環(huán)系統(tǒng)零、極點(diǎn)的分布,可以改變根軌跡的形狀,進(jìn)而改善系統(tǒng)的品質(zhì)。一、增加開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)根軌跡如圖右所示,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。任務(wù)三開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響若一個(gè)開環(huán)零點(diǎn),則開環(huán)傳遞函數(shù)為漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和夾角為改變零點(diǎn)z的值,可以改變漸近線的位置σa值,從而改變根軌跡的走向和趨勢(shì)。(1)z<p,零點(diǎn)z位于極點(diǎn)p的左側(cè),此時(shí)σa>0。起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于s平面的右半部,系統(tǒng)仍然是不穩(wěn)定的,其根軌跡如右圖。z<p

閉環(huán)根軌跡任務(wù)三開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響(2)z=p,(s-z)與(s-p)相消,σa=0。起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡位于虛軸上,系統(tǒng)臨界穩(wěn)定,其根軌跡如圖所示。(3)z>p,σa<0,起始于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條根軌跡的漸近線位于s平面的左半部,系統(tǒng)穩(wěn)定,其根軌跡如右側(cè)圖。z=p

閉環(huán)根軌跡z>p

閉環(huán)根軌跡任務(wù)三開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響(4)z=0,零點(diǎn)與位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)極點(diǎn)相消,系統(tǒng)成為無(wú)開環(huán)零點(diǎn),只有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)的系統(tǒng),其根軌跡如圖所示,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。綜述，附加的開環(huán)零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響為：改變了實(shí)軸上根軌跡的分布;改變了根軌跡漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)值;使根軌跡向左移動(dòng)(偏移),附加零點(diǎn)越靠近虛軸,這種作用越大。z=0閉環(huán)根軌跡二、增加開環(huán)極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響如右圖所示,設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為其根軌跡如圖(a)所示,系統(tǒng)始終是穩(wěn)定的。增加一個(gè)開環(huán)極點(diǎn),其開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)p分別取-4和0時(shí)的根軌跡如圖(b)和圖(c)所示。增加開環(huán)極點(diǎn)后,能改變實(shí)軸上根軌跡的分布;增加根軌跡漸近線條數(shù),能改變漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),使交點(diǎn)坐標(biāo)向右移動(dòng);使根軌跡向右偏移,降低系統(tǒng)的穩(wěn)定度,開環(huán)極點(diǎn)離虛軸越近,這種作用越大。任務(wù)三開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)性能的影響任務(wù)四應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)實(shí)例任務(wù)四應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)實(shí)例【例】已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性,若主導(dǎo)極點(diǎn)阻尼比ξ=0.5,求系統(tǒng)的性能指標(biāo)。解:將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點(diǎn)的形式為繪制系統(tǒng)根軌跡圖,如右圖所示。根據(jù)阻尼比的要求,確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)s1和s2的位置。在s平面上作出ξ=0.5時(shí)的阻尼線,使其與實(shí)軸負(fù)方向的夾角β=arccosξ=60°,阻尼線與根軌跡的交點(diǎn)為s1。從根軌跡圖上可得s1,2=-0.33±j0.58。利用根軌跡圖和幅值條件方程可求出s1點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益K?。任務(wù)四應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)實(shí)例為了驗(yàn)證s1,2是閉環(huán)的主導(dǎo)極點(diǎn),必須求出K?=1.02時(shí)的第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)s3。任務(wù)四應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)實(shí)例由于n-m=3>2,根據(jù)法則8,有s3距離原點(diǎn)較遠(yuǎn),故s1,2為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn),系統(tǒng)可以近似為二階系統(tǒng),閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中ωn=0.66,ξ=0.5,系統(tǒng)性能指標(biāo)為任務(wù)五應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡應(yīng)用MATLAB繪制控制系統(tǒng)的根軌跡指令如下。(1)

num：分子數(shù)組,由開環(huán)傳遞函數(shù)分子的各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成。(2)

den：分母數(shù)組,由開環(huán)傳遞函數(shù)分母的各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成。(3)

tf2zp：將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零、極點(diǎn)模型。(4)

zp2tf：將零、極點(diǎn)模型轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。(5)

conv()：多項(xiàng)式乘積。任務(wù)五應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡(6)

rlocus:產(chǎn)生或繪制根軌跡圖,其格式為rlocus(num,den)

[r,K]=rlocus(num,den)或

[r,K]=rlocus(num,den,K)不直接顯示根軌跡圖,而是顯示矩陣r和增益向量K值。其根軌跡圖可以用plot()來(lái)繪制。(7)

rlocfind(num,den)：求某一特征根所對(duì)應(yīng)的具體值。應(yīng)用MATLAB繪制控制系統(tǒng)的根軌跡時(shí),其增益向量K是自動(dòng)生成的,因而應(yīng)用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡,完全決定于數(shù)組num和den。任務(wù)五應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡任務(wù)五應(yīng)用MATLAB繪制根軌跡【例】單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為應(yīng)用MATLAB繪制控制系統(tǒng)的根軌跡,并分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：鍵入如下程序代碼num=[13];den1=[165];den=conv(den1,den1);figure(1);rlocus(num,den);

%繪制根軌跡[k,p]=rlocfind(num,den);figure(2);k=158;num1=k?[1,3];den=[1,6,5];den1=conv(den,den);[num,den]=cloop(num1,den1,-1);impulse(num,den);

%脈沖響應(yīng)title(‘Impu