人教A版2019必修第一冊專題2.5一元二次函數(shù)、方程和不等式全章八類必考?jí)狠S題(原卷版+解析)

專題2.5一元二次函數(shù)、方程和不等式全章八類必考?jí)狠S題【人教A版（2019）】考點(diǎn)1利用作差法、作商法比較大小考點(diǎn)1利用作差法、作商法比較大小1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知p∈R，M=(2p+1)(p?3)，N=(p?6)(p+3)+10，則M，N的大小關(guān)系為（）A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若0<b<a，下列不等式中不一定成立的是（）A．1a?b>1b B．1a<3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a>b>0,c<d<0,e<0，設(shè)X=ea?c2，Y=eb?d4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a>b>0，比較a2?b5．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）（1）已知x<1，比較x3?1與（2）已知a>0，試比較a與1a考點(diǎn)考點(diǎn)2利用不等式的性質(zhì)求取值范圍1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知0<a?b<2，2<a+b<4，則3a+b的范圍是（

）A．4,8 B．6,10 C．4,10 D．6,122．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一校考階段練習(xí)）已知2<x<3，2<y<3，則下列代數(shù)式的范圍錯(cuò)誤的是（

）A．6<2x+y<9 B．?1?x?y<1 C．2<2x?y<3 D．4<xy<93．（2023·全國·高三對口高考）已知?1≤a+b≤1,?1≤a?b≤1，則2a+3b的取值范圍是．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍？5．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)2<a<7，1<b<2，求a+3b，2a?b，ab考點(diǎn)考點(diǎn)3由基本不等式求最值1．（2023春·山西·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足a+2b=6，則1a+2+2b+1A．78 B．C．910 D．2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若x>4，則y=x+1x?4的最值情況是（A．有最大值?6 B．有最小值6 C．有最大值?2 D．有最小值23．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若a>0,b>0，且a22+b24．（2023秋·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）（1）已知x>0，y>0，x+y=2，求4x（2）已知0<x<14，求5．（2023春·山西運(yùn)城·高二?？茧A段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1．(1)求ab的最大值；(2)求4a+1考點(diǎn)考點(diǎn)4基本不等式的恒成立問題1．（2023秋·廣東廣州·高一校考期末）若正數(shù)x,y滿足x+y=1，且不等式4x+1+1y?m≥0A．447 B．275 C．1432．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x、y滿足x+y?xy=0，且xy>0，若不等式4x+9y?t≥0恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．253．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對任意x≥0，k1+x?1+x4．（2022秋·天津和平·高一校考階段練習(xí)）已知x>0，y>0.(1)若x+9y+xy=7，求3xy的最大值；(2)若x+y=1，若1x+15．（2022·高一單元測試）已知關(guān)于x的不等式ax2?x?2<0(1)求a，b的值；(2)當(dāng)x>0,y>0，且滿足ax+by=1考點(diǎn)考點(diǎn)5基本不等式的有解問題1．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+y=xy且存在這樣的x，y使不等式x+y4<m2A．(?1,4) B．(?4,1) C．(?∞,?4)∪(1,+∞2．（2022秋·高一單元測試）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足1x+4y=1，且不等式x+A．(?1,4) B．(?4,1)C．(?∞,?1)∪(4,+∞3．（2022秋·上海嘉定·高一?？计谥校┮阎獂，y是正實(shí)數(shù)，且關(guān)于x，y的方程x+y=kx+y有解，則實(shí)數(shù)4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y，滿足x+2y?xy=0．(1)求xy的最小值；(2)若關(guān)于x的方程x(y+1)?425．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）(1)已知x,y∈R+,求(2)求滿足2a+b≥k4a+b對a考點(diǎn)考點(diǎn)6三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用1．（2022秋·山東聊城·高一?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+A．x0 B．? C．xx≠2．（2022秋·江蘇南通·高一?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x2+ax+ba,b∈R的最小值為0，若關(guān)于x的不等式y(tǒng)<c的解集為區(qū)間m,m+6，則實(shí)數(shù)A．9 B．6 C．3 D．13．（2022·全國·高一專題練習(xí)）二次函數(shù)fxx?4?3?234y2112505則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<04．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=(1)若方程fx=0有兩根，且兩根為x1(2)已知P=0,1，關(guān)于x的不等式fx>0的解為Q，若P∩Q=?5．（2022秋·吉林長春·高一聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=ax2+b?8x?a?ab（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)關(guān)于x的不等式ax2+bx+c≤0考點(diǎn)考點(diǎn)7一元二次不等式的恒成立問題1．（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）不等式ax2?ax+a+1>0對?x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)A．0,+∞ B．C．?∞,?42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2?xy+y2A．m≤6 B．?6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤63．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對?x∈R,a2?44．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?2ax(1)若對?x∈R，fx+g(2)若對?x∈R，fx>0或g5．（2023秋·遼寧本溪·高一校考期末）函數(shù)f(x)=x（1）當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)x∈?2,2時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a（3）當(dāng)a∈4,6時(shí)，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)x考點(diǎn)考點(diǎn)8一元二次不等式的有解問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式x2?2x?m<0在x∈12,2A．?1,+∞ B．?1,+∞C．?34+∞2．（2023秋·安徽淮北·高一?？计谀╆P(guān)于x的不等式x2?2m+1x+4m≤0的解集中恰有4個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)A．52,3 B．52,3 C．3．（2023秋·安徽·高一校聯(lián)考期末）已知函數(shù)y=m+1x2?mx+m?1m∈R，若不等式4．（2022秋·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx(1)解關(guān)于x的不等式fx(2)若不等式fx<0在x∈?2,05．（2023秋·浙江湖州·高一期末）已知函數(shù)f(x)=x?2，g(x)=x(1)若對任意x∈R，不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范圍；(2)若對任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得(3)若m=?1，對任意n∈R，總存在x0∈[?2,2]，使得不等式gx0專題2.5一元二次函數(shù)、方程和不等式全章八類必考?jí)狠S題【人教A版（2019）】考點(diǎn)1考點(diǎn)1利用作差法、作商法比較大小1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知p∈R，M=(2p+1)(p?3)，N=(p?6)(p+3)+10，則M，N的大小關(guān)系為（）A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N【解題思路】作出M，N的差，變形并判斷符號(hào)作答.【解答過程】M?N=(2p+1)(p?3)?[(p?6)(p+3)+10]=p所以M>N.故選：B.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若0<b<a，下列不等式中不一定成立的是（）A．1a?b>1b B．1a<【解題思路】利用作差、作商法即可判斷A、B的正誤，由不等式的性質(zhì)可判斷C、D的正誤.【解答過程】A：1a?b?1b=b?(a?b)b(a?b)B：1a÷1b=C：由0<b<a，知(a)2D：由0<b<a，有?a<?b<0，正確；故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a>b>0,c<d<0,e<0，設(shè)X=ea?c2，Y=eb?d【解題思路】利用作差法可得答案.【解答過程】X?Y=e因a>b>0,c<d<0,則b+a>0,?c?d>0?b+a?c?d>0.b?a<0,c?d<0?b+c?a?d<0，又e<0，a?c2則eb+a?c?db+c?a?da?c故答案為：>.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a>b>0，比較a2?b【解題思路】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.【解答過程】∵a>b>0?a+b>0,a?b>0，∴a∴a∴a5．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）（1）已知x<1，比較x3?1與（2）已知a>0，試比較a與1a【解題思路】（1）（2）利用作差法判斷即可.【解答過程】（1）x=x?1∵x<1，∴x?1<0，又x?122所以x3（2）∵a?1又∵a>0，a+1>0，∴當(dāng)a>1時(shí)，a?1a+1a>0當(dāng)a=1時(shí)，a?1a+1a=0當(dāng)0<a<1時(shí)，a?1a+1a<0綜上，當(dāng)a>1時(shí)，a>1a；當(dāng)a=1時(shí)，a=1a；當(dāng)考點(diǎn)考點(diǎn)2利用不等式的性質(zhì)求取值范圍1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知0<a?b<2，2<a+b<4，則3a+b的范圍是（

）A．4,8 B．6,10 C．4,10 D．6,12【解題思路】首先用a?b和a+b表示3a+b，再根據(jù)條件的范圍，求解3a+b的范圍.【解答過程】設(shè)3a+b=xa?b得x+y=3y?x=1，解得：x=1所以3a+b=a?b因?yàn)?<a?b<2，2<a+b<4，所以4<2a+b<8，所有3a+b的范圍是4,10.故選：C.2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高一?？茧A段練習(xí)）已知2<x<3，2<y<3，則下列代數(shù)式的范圍錯(cuò)誤的是（

）A．6<2x+y<9 B．?1?x?y<1 C．2<2x?y<3 D．4<xy<9【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)，依次分析即可判斷.【解答過程】對于A，2<x<3，則4<2x<6，則有6<2x+y<9，A正確；對于B，2<y<3，則?3<?y<?2，則有?1<x?y<1，B正確；對于C，4<2x<6，?3<?y<?2，則有1<2x?y<4，C錯(cuò)誤；對于D，2<x<3，2<y<3，則有4<xy<9，D正確；故選：C.3．（2023·全國·高三對口高考）已知?1≤a+b≤1,?1≤a?b≤1，則2a+3b的取值范圍是[?3,3]．【解題思路】利用待定系數(shù)法設(shè)2a+3b=λ(a+b)+μ(a?b)，得到方程組，解出λ,μ，再根據(jù)不等式基本性質(zhì)即可得到答案.【解答過程】設(shè)2a+3b=λ(a+b)+μ(a?b),則λ+μ=2,λ?μ=3,解得故2a+3b=5由?1≤a+b≤1,故?5由?1≤a?b≤1,故?1所以2a+3b∈[?3,3].故答案為：[?3,3].4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍？【解題思路】由不等式的基本性質(zhì)求解即可.【解答過程】設(shè)3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），則m+n=3m?n=2，所以m=52又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴?52<∴?32<∴3x＋2y的取值范圍為?35．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)2<a<7，1<b<2，求a+3b，2a?b，ab【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，先求出a+3b與2a?b的范圍，再由可乘性得出ab【解答過程】∵2<a<7，1<b<2，∴4<2a<14，3<3b<6，?2<?b<?1，12∴5<a+3b<13，2<2a?b<13，∴1<a故5<a+3b<13，2<2a?b<13，1<a考點(diǎn)考點(diǎn)3由基本不等式求最值1．（2023春·山西·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足a+2b=6，則1a+2+2A．78 B．C．910 D．【解題思路】由a+2b=6，得到a+2+2b+2=10，再利用“1”的代換求解.【解答過程】解：因?yàn)閍+2b=6，所以a+2+2b+2=10，所以1a+2當(dāng)且僅當(dāng)2b+2=2a+2，即a=43故選：C.2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若x>4，則y=x+1x?4的最值情況是（A．有最大值?6 B．有最小值6 C．有最大值?2 D．有最小值2【解題思路】利用基本不等式可得答案.【解答過程】若x>4，則y=x+1當(dāng)且僅當(dāng)x?4=1x?4即所以若x>4時(shí)，y=x+1故選：B.3．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若a>0,b>0，且a22+b2=4，則【解題思路】將a22+b2=4變?yōu)椤窘獯疬^程】由a>0,b>0，且a22+則a1+當(dāng)且僅當(dāng)a2=2(1+b2)即a1+b2故答案為：524．（2023秋·廣西河池·高一統(tǒng)考期末）（1）已知x>0，y>0，x+y=2，求4x（2）已知0<x<14，求【解題思路】（1）利用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件；（2）由題設(shè)知1?4x>0，由基本不等式求目標(biāo)式最大值，注意等號(hào)成立條件.【解答過程】（1）∵x>0，y>0且x+y=2，∴4x+1當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy，即∴4x+1（2）∵0<x<14，則∴y=x1?4x當(dāng)且僅當(dāng)4x=1?4x即x=1∴y=x1?4x的最大值5．（2023春·山西運(yùn)城·高二?？茧A段練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=1．(1)求ab的最大值；(2)求4a+1【解題思路】（1）由基本不等式推論可得答案；（2）注意到4a+1【解答過程】（1）因a>0,b>0,a+b=1，a+b≥2ab則ab≤a+b24則ab的最大值為14（2）4a+1當(dāng)且僅當(dāng)4ba+1=a+1b，即則4a+1+1考點(diǎn)考點(diǎn)4基本不等式的恒成立問題1．（2023秋·廣東廣州·高一?？计谀┤粽龜?shù)x,y滿足x+y=1，且不等式4x+1+1y?m≥0A．447 B．275 C．143【解題思路】將x+y=1變成x+1+y=2，可得4x+1【解答過程】解：∵x>0，y>0，x+y=1，∴x+1+y=2，∴4x+1當(dāng)且僅當(dāng)4yx+1=x+1y，即x+1=2y時(shí)等號(hào)成立，解得因?yàn)椴坏仁?x+1所以4x+1+所以，實(shí)數(shù)m的最大值為92故選：D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x、y滿足x+y?xy=0，且xy>0，若不等式4x+9y?t≥0恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．25【解題思路】由x+y?xy=0得到1x+1y=1【解答過程】因?yàn)閤+y?xy=0，所以1x∴4x+9y=(4x+9y)1當(dāng)且僅當(dāng)9yx=4x因不等式4x+9y?t≥0恒成立，只需4x+9ymin因此t≤25，故實(shí)數(shù)t的最大值為25．故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對任意x≥0，k1+x?1+x恒成立，則實(shí)數(shù)k【解題思路】由1+x>0可得原不等式等價(jià)于k≥【解答過程】因?yàn)閤≥0，所以1+x>0，所以不等式可化為k≥設(shè)μ=1+x1+x，x≥0，則μ>0因?yàn)閤≥0，所以1+x?2x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1所以μ2=1+2x1+x故答案為：[24．（2022秋·天津和平·高一校考階段練習(xí)）已知x>0，y>0.(1)若x+9y+xy=7，求3xy的最大值；(2)若x+y=1，若1x+1【解題思路】（1）依題意利用基本不等式可得7?xy≥6xy，令t=xy(t>0)，再解關(guān)于t（2）利用乘“1”法及基本不等式求出1x+1y的最小值，依題意可得【解答過程】（1）解：因?yàn)閤>0，y>0，x+9y+xy=7，所以7?xy=x+9y≥2x?9y=6xy令t=xy(t>0)，則7?t2≥6t又t>0，所以0<t≤1，即0<xy≤1，從而由x=9yx+9y+xy=7及x>0，y>0，解得x=3，y=故當(dāng)x=3，y=13時(shí)，xy的最大值為1，所以3xy的最大值為（2）解：因?yàn)閤>0，y>0，x+y=1，所以1x+1y=因?yàn)?x+1所以4>12m2?m，所以m+25．（2022·高一單元測試）已知關(guān)于x的不等式ax2?x?2<0(1)求a，b的值；(2)當(dāng)x>0,y>0，且滿足ax+by=1【解題思路】（1）首先根據(jù)題意得到x1=?1，x2=b為方程（2）首先根據(jù)題意得到k2+k+2≤2x+y【解答過程】（1）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式ax2?x?2<0所以x1=?1，x2=b為方程所以?1+b=1a?1×b=?2a（2）因?yàn)?x+y≥k所以k2因?yàn)?x+2當(dāng)且僅當(dāng)4xy=y所以k2+k+2≤8，解得考點(diǎn)考點(diǎn)5基本不等式的有解問題1．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+y=xy且存在這樣的x，y使不等式x+y4<m2A．(?1,4) B．(?4,1) C．(?∞,?4)∪(1,+∞【解題思路】依題意可得4y+1x=1【解答過程】解：因?yàn)閤>0，y>0且4x+y=xy，所以4y所以x+y當(dāng)且僅當(dāng)4xy=y所以m2+3m>4，即(m+4)(m?1)>0，解得m<?4或所以m的取值范圍是(?∞故選：C.2．（2022秋·高一單元測試）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足1x+4y=1，且不等式x+A．(?1,4) B．(?4,1)C．(?∞,?1)∪(4,+∞【解題思路】由題意可得x+y4=x+y41x+【解答過程】因?yàn)閮蓚€(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足1x所以x+y當(dāng)且僅當(dāng)4xy=y因?yàn)椴坏仁絰+y所以m2?3m大于x+y解得m<?1或m>4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(?∞故選：C.3．（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）已知x，y是正實(shí)數(shù)，且關(guān)于x，y的方程x+y=kx+y有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是【解題思路】分離參數(shù)后平方，轉(zhuǎn)化為求x+y+2xy【解答過程】由x+y=k而k2=x+y+2又k2所以1<k2≤2可得1<k≤2故答案為：1,24．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y，滿足x+2y?xy=0．(1)求xy的最小值；(2)若關(guān)于x的方程x(y+1)?42【解題思路】(1)利用基本不等式將x＋2y轉(zhuǎn)化為xy形式，解不等式即可；(2)結(jié)合已知條件對x(y+1)?42【解答過程】（1）∵x，y為正實(shí)數(shù)，x+2y?xy=0，∴x+2y=xy≥2解得：xy≥8，當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x＝4，y＝2時(shí)，等號(hào)成立，則xy的最小值為8．（2）由x+2y?xy=0得：x+2y=xy，則2x∴x(y+1)?4=2(x+y)?42xy+當(dāng)且僅當(dāng)x=2y，即x=2+∴m2?m≥6，解得：m≥3或5．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）(1)已知x,y∈R+,求(2)求滿足2a+b≥k4a+b對a【解題思路】(1)由已知得x+yx+y(2)設(shè)a=m>0,b=n>0,a=m2,b=n2,由此利用均值定理能求出滿足2a【解答過程】(1)∵x,y∈R∴x+當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),對等號(hào),∴當(dāng)x=y時(shí),x+yx+y(2)∵a,b∈R∴設(shè)a=m>0,b=n>0,a=m∴2m+n≥22mn∵滿足2a+b≥k4a+b對a∴2m+n≥k4∴2k≤22,解得k≤∴滿足2a+b≥k4a+b對a,b∈考點(diǎn)考點(diǎn)6三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用1．（2022秋·山東聊城·高一?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+A．x0 B．? C．xx≠【解題思路】數(shù)形結(jié)合求出不等式的解集.【解答過程】ax2+根據(jù)圖象知，只有在x=x0時(shí)y=0，x故選：A．2．（2022秋·江蘇南通·高一校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x2+ax+ba,b∈R的最小值為0，若關(guān)于x的不等式y(tǒng)<c的解集為區(qū)間m,m+6，則實(shí)數(shù)A．9 B．6 C．3 D．1【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)最值可求得a2=4b，利用一元二次不等式的解集與一元二次方程根之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可構(gòu)造方程【解答過程】∵y=x2+ax+ba,b∈R的最小值為0，∵y<c的解集為m,m+6，∴x2+ax+∴x2+ax+b?c=0的兩根分別為x∴x1?∴4c=6，解得：故選：A.3．（2022·全國·高一專題練習(xí)）二次函數(shù)fxx?4?3?234y2112505則關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為【解題思路】根據(jù)所給數(shù)據(jù)得到二次函數(shù)的對稱軸，即可得到f3【解答過程】解：∵f?2=f4∴f3又∵fx在?∞,1∴ax2+bx+c<0故答案為：?1,3.4．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=(1)若方程fx=0有兩根，且兩根為x1(2)已知P=0,1，關(guān)于x的不等式fx>0的解為Q，若P∩Q=?【解題思路】（1）由Δ>0，求得a的范圍，再由韋達(dá)定理和x（2）由題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到f0【解答過程】（1）解：由fx=0，即因?yàn)閒x=0有兩根，可得Δ=a2且x1則x1因?yàn)閍≥4或a≤0，可得(a?1)2?1≥0，所以x1（2）解：因?yàn)閒x由P=0,1，fx>0的解為Q，且P∩Q=?解得a<?12，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是5．（2022秋·吉林長春·高一聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=ax2+b?8x?a?ab（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)關(guān)于x的不等式ax2+bx+c≤0【解題思路】（1）利用一元二次不等式的解集是?3<x<2，得到-3，2是方程ax2+b?8x?a?ab=0（2）根據(jù)題意，得出不等式?3x2+5x+c≤0恒成立，則Δ≤0【解答過程】解：（1）由題可知，y=ax2+則-3，2是方程ax2+所以由根與系數(shù)之間的關(guān)系得a<0?3+2=8?ba所以二次函數(shù)的解析式為：y=?3x（2）由于不等式ax2+bx+c≤0則Δ=25+12c≤0，解得：c≤?25所以實(shí)數(shù)c的范圍為cc≤?考點(diǎn)考點(diǎn)7一元二次不等式的恒成立問題1．（2023秋·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）不等式ax2?ax+a+1>0對?x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)A．0,+∞ B．C．?∞,?4【解題思路】分a=0和a≠0兩種情況討論，當(dāng)a≠0時(shí)a>0Δ【解答過程】①當(dāng)a=0時(shí)，1>0成立，②當(dāng)a≠0時(shí)，只需a>0Δ=a綜上可得a≥0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,+∞故選：B．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2?xy+y2A．m≤6 B．?6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤6【解題思路】令t=yx，分析可得原題意等價(jià)于對一切t∈1,3【解答過程】∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，則1x∴yx又∵mx2?xy+可得m≥y令t=yx∈1,3，則原題意等價(jià)于對一切∵y=t?t2的開口向下，對稱軸則當(dāng)t=1時(shí)，y=t?t2取到最大值故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥0.故選：C.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對?x∈R,a2?4x2【解題思路】分a2?4=0，【解答過程】對?x∈R,①當(dāng)a2?4=0時(shí)，可得若a=?2，則有－1<0若a=2，則有4x?1<0，解得x<②若a2?4≠0，則a綜上，實(shí)數(shù)a的范圍為－2,4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?2ax(1)若對?x∈R，fx+g(2)若對?x∈R，fx>0或g【解題思路】（1）利用一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)a的取值分情況討論即可求解.【解答過程】（1）由題意可得fx則Δ=?a2?4×1×3?a故a的取值范圍為?6,2.（2）當(dāng)a=0時(shí)，fx=x當(dāng)a<0時(shí)，由fx=x2?2ax>0故當(dāng)2a≤x≤0時(shí)，gx=ax+3?a>0恒成立，而gx在R上為減函數(shù)，故只需g0=3?a>0，而由a<0當(dāng)a>0時(shí)，由fx=x2?2ax>0故當(dāng)0≤x≤2a時(shí)，gx=ax+3?a>0恒成立，而gx在R上為增函數(shù)，故只需g綜上a的取值范圍是?∞5．（2023秋·遼寧本溪·高一校考期末）函數(shù)f(x)=x（1）當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)x∈?2,2時(shí)，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a（3）當(dāng)a∈4,6時(shí)，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)x【解題思路】（1）當(dāng)x∈R時(shí)，x2+ax+3?a≥0恒成立，利用判別式（2）當(dāng)x∈?2,2時(shí)，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3?a，該二次函數(shù)對稱軸為x=?a2，屬于軸動(dòng)區(qū)間定的問題，需分三種情況討論：當(dāng)?a2≤?2（3）令?(a)=xa+x2+3，f(x)≥0恒成立，即?(a)≥0恒成立，函數(shù)?(a)是關(guān)于a的一次函數(shù)，只需?(4)≥0【解答過程】（1）當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)=x2+ax+3≥a則Δ=a2?4所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是?6,2．（2）當(dāng)x∈?2,2時(shí)，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3?a，即①當(dāng)?a2≤?2，即a≥4時(shí)，函數(shù)g(x)在?2,2上單調(diào)遞增，g②當(dāng)?2<?a2<2，即?4<a<4時(shí)，函數(shù)g(x)在?2,?a2上單調(diào)遞減，在?a2③當(dāng)?a2≥2，即a≤?4時(shí)，函數(shù)g(x)在?2,2上單調(diào)遞減，g(x)min綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?7,2．（3）令?(a)=xa+x2+3，當(dāng)a∈4,6時(shí)，函數(shù)?(a)是關(guān)于a的一次函數(shù)，其圖像在x∈R上是單調(diào)的，所以要?(a)≥0，只需?(4)≥0?(6)≥0，即x2+4x+3≥0x2+6x+3≥0所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是?∞,?3?6考點(diǎn)考點(diǎn)8一元二次不等式的有解問題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式x2?2x?m<0在x∈12,2A．?1,+∞ B．?1,+∞C．?34+∞【解題思路】將不等式x2?2x?m<0在x∈12,2【解答過程】因?yàn)椴坏仁絰2?2x?m<0在所以不等式m>x2?2x令t=x2?2x=所以m>?1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是?1,+∞故選：B.2．（2023秋·安徽淮北·高一?？计谀╆P(guān)于x的不等式x2?2m+1x+4m≤0的解集中恰有4個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)A．52,3 B．52,3 C．【解題思路】不等式化為(x?2)(x?2m)?0，討論2m?2和2m>2時(shí)，求出不等式的解集，從而求得m的取值范圍．【解答過程】原不等式可化為(x?2)(x?2m