高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)第六章 計(jì)數(shù)原理 章節(jié)復(fù)習(xí) 教案

第六章計(jì)數(shù)原理章節(jié)復(fù)習(xí)夯實(shí)、拓展、感悟與提升一、夯實(shí)雙基，逐層認(rèn)知本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)重點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 例1（1）如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有______個(gè)(用數(shù)字作答)．【解析】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有(個(gè))．第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有(個(gè))．【答案】40例1（2）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9【解析】從E點(diǎn)到F點(diǎn)的最短路徑有6條，從F點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有3條，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得從E點(diǎn)到G點(diǎn)的最短路徑有(條)，故選B.例1（3）把3封信投到4個(gè)信箱，所有可能的投法共有()A．24種B．4種C．種D．種【解析】第1封信投到信箱中有4種投法；第2封信投到信箱中也有4種投法；第3封信投到信箱中也有4種投法．只要把這3封信投完，就做完了這件事情，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有種投法．故選C例1（4）如果一個(gè)三位正整數(shù)如“”滿足且，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為________．【解析】若，則百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個(gè)．若，則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有(個(gè))．若，滿足條件的“凸數(shù)”有(個(gè))，…，若，滿足條件的“凸數(shù)”有(個(gè))．所以所有凸數(shù)有(個(gè))．【答案】240重點(diǎn)2排列與排列數(shù)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用例2（1）某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（）A.36種 B.42種 C.48種 D.54種【解析】分兩類考慮：一類為甲排在第一位共有種，一類為甲排在第二位共有種，所以編排方案共有種，故選B.例2（2）《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》(第三季)亮點(diǎn)頗多，在“人生自有詩(shī)意”的主題下，十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開場(chǎng)詩(shī)詞在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味．若《沁園春·長(zhǎng)沙》、《蜀道難》、《敕勒歌》、《游子吟》、《關(guān)山月》、《清平樂(lè)·六盤山》排在后六場(chǎng)，且《蜀道難》排在《游子吟》的前面，《沁園春·長(zhǎng)沙》與《清平樂(lè)·六盤山》不相鄰且均不排在最后，則后六場(chǎng)的排法有________種．(用數(shù)字作答)【解析】分兩步完成：①《蜀道難》、《敕勒歌》、《游子吟》、《關(guān)山月》進(jìn)行全排有種，若《蜀道難》排在《游子吟》的前面，則有種；②《沁園春·長(zhǎng)沙》與《清平樂(lè)·六盤山》插入已經(jīng)排列好的四首詩(shī)詞形成的前4個(gè)空位(不含最后一個(gè)空位)中，插入法有種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知滿足條件的排法有(種)．【答案】144例2（3）六人圍坐在一張圓桌周圍開會(huì)，是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐在最北面的椅子上，二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有()A．60種B．48種C．30種D．24種【解析】由題知，不同的座次有種．故選B例2（4）用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為________．【解析】(捆綁法)首先排兩個(gè)奇數(shù)1,3有種排法，再在2,4中取一個(gè)數(shù)放在1,3排列之間，有種方法，然后把這3個(gè)數(shù)作為一個(gè)整體與剩下的另一個(gè)偶數(shù)全排列，有種排法，所以滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.【答案】8重點(diǎn)3組合與組合數(shù)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用例3（1）將2名教師，4名學(xué)生分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有 ()A．12種 B．10種 C．9種 D．8種【解析】第一步，為甲地選一名老師和兩個(gè)學(xué)生，有種選法；第二步，為乙地選1名教師和2名學(xué)生，有1種選法故不同的安排方案共有種，故選A例3（2）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種．(用數(shù)字填寫答案)【解析】方法一：（直接法）1女2男，有，2女1男，有根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有種，方法二：（間接法）去掉沒(méi)有女生的情況，有種．【答案】16例3（3）某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，當(dāng)甲、乙同時(shí)參加時(shí)，他們兩人的發(fā)言不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()A．360B．520C．600D．720【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：若只有甲、乙其中一人參加，有種情況；若甲、乙兩人都參加，有種情況，其中甲、乙相鄰的有種情況．則不同的發(fā)言順序的種數(shù)為.故選C例3（4）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為，從其他頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)在同一平面上，不同的取法有()A．30種B．33種C．36種D．39種【解析】分兩種情況：頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)共面的有3個(gè)側(cè)面，每個(gè)側(cè)面中有5個(gè)點(diǎn)，有種，3個(gè)側(cè)面有種；3個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)表面的有3個(gè)，共有種取法．故選B重點(diǎn)4二項(xiàng)式定理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用例4（1）的展開式中的系數(shù)為()A．10 B．20 C．40 D．80【解析】展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故含的系數(shù)為，故選C．例4（2）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是__________(用數(shù)字作答)．【解析】展開式的通項(xiàng)為令，解得所以所求的展開式中常數(shù)項(xiàng)是．【答案】．例4（3）的展開式中的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則__________．【解析】由已知得，所以的展開式中的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，其系數(shù)之和為，解得．【答案】3例4（4）設(shè)為正整數(shù)，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為，若，則()A．5 B．6QUOTE C．7 D．8【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，，，所以，即，解得，故選B．二、拓展思維，熟知方法1.國(guó)家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國(guó)重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生（以下簡(jiǎn)稱免費(fèi)師范生），畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)師范生畢業(yè)要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．【解析】先把6個(gè)免費(fèi)師范生平均分成3組，有種方法，再將3組免費(fèi)師范生分到3所學(xué)校，有種方法，所以6個(gè)免費(fèi)師范生平均分到3所學(xué)校，共有種分派方法．【答案】902.將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有()A．60種 B．120種C．240種 D．480種【解析】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的分配方案，故選C．3.滿足，且關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為()A．14B．13C．12D．10【解析】當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程為，此時(shí)有序數(shù)對(duì)均滿足要求；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)滿足要求的有序數(shù)對(duì)為．綜上，滿足要求的有序數(shù)對(duì)共有13個(gè)．故選B.4.從集合中任選兩個(gè)元素作為橢圓方程中的和，則能組成落在矩形區(qū)域且內(nèi)的橢圓個(gè)數(shù)為（）A．43B．72C．86D．90【解析】方法一：當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于7個(gè)不同的橢圓，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于7個(gè)不同的橢圓，同理，時(shí)，均可對(duì)應(yīng)于7個(gè)不同的橢圓，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于8個(gè)不同的橢圓，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于8個(gè)不同的橢圓，綜上，共有（個(gè)）故選B方法二：依題意，當(dāng)取值8種時(shí)，在中取與不同的值有9種所以共有種，故選B三、感悟問(wèn)題，提升能力1.如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個(gè)．【解析】由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問(wèn)題，組成的數(shù)字有三個(gè)1，三個(gè)2，三個(gè)3，三個(gè)4的情形．當(dāng)有三個(gè)1時(shí)，“好數(shù)”有2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9種，當(dāng)有三個(gè)2,3,4時(shí)，“好數(shù)”有2221,3331,4441，有3種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有種結(jié)果．【答案】122.有5名優(yōu)秀畢業(yè)生到母校的3個(gè)班去做學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流，則每個(gè)班至少去一名的不同分派方法種數(shù)為()A．150B．180C．200D．280【解析】分兩類：一類，3個(gè)班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為2,2,1，則有種分派方法；另一類，3個(gè)班分派的畢業(yè)生人數(shù)分別為1,1,3，則有種分派方法．所以不同分派方法種數(shù)為種．故選A3.從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái)，其中至少有原裝計(jì)算機(jī)和組裝計(jì)算機(jī)各2臺(tái)，則不同的取法有________種．【解析】分兩類：第一類，取2臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，有種方法；第二類，取3臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，有種方法．所以滿足條件的不同取法有(種)．【答案】3504.某學(xué)校獲得5個(gè)高校自主招生推薦名額，其中甲大學(xué)2個(gè)，乙大學(xué)2個(gè)，丙大學(xué)1個(gè)，并且甲大學(xué)和乙大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過(guò)選拔定下3男2女共5個(gè)推薦對(duì)象，則不同的推薦方法共有()A．36種B．24種C．22種D．20種【解析】分兩種情況討論：第一種，3名男生每個(gè)大學(xué)各推薦1人，2名女生分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有種；第二種，將3名男生分成兩組分別推薦給甲大學(xué)和乙大學(xué)，共有種，所以共有種推薦方法．故選B5.某校畢業(yè)典禮上有6個(gè)節(jié)目，為考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起．則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有()A．120種B．156種C．188種