高考數(shù)學總復習 好題測試1集合、邏輯、函數(shù)、導數(shù)

考查范圍：集合、邏輯、函數(shù)、導數(shù)

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題

目要求的.

1.(理科)［2013?新課標全國卷I］已知集合/={x|矛2—2x>0},B—x-乖<x<木},則

()

A.AC8=0B.4U6=RC.BQAD.AQB

1.【答案】B

【解析】/={x|x<0或x>2},故/U6=R.

(文科)［2013?江西卷］若集合/={才61?//+@^+1=0}中只有一個元素，則a=().

A.4B.2C.0D.一0或4

2.A［解析］當a=0時，4=0；當aWO時，4=#-4a=0,則a=4,故選A.

2.(2013?廣東東莞調(diào)研)已知函數(shù)/(x)=乙=的定義域為M,g(x)=lnx的定義域為

vl—x

N,則MN=.

【答案】(0,1)

【解析】本題主要考查集合的基本運算.屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查

由題意/(x)的定義域滿足：1—%〉0即乂={%卜<1},N={x|x>0}MN=(0,l)。

3.已知全集。={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},5={2,4},則(5)1B為()

(A){1,2,4}(B){2,3,4}(C){0,2,4}(D){0,2,3,4}

【答案】C

【解析】C°A={0,4},所以(C。A)UB={0,2,4},選C.

JF

4.12012高考真題湖南理2】命題“若a=一，則tana=1”的逆否命題是()

4

A.若aW—,貝iJtanaWlB.若a二一,貝IJtanaWl

44

jrTT

C.若tana#4,貝1|aW——D.若tanaWl,貝!|a=——

44

【答案】C

【解析】因為“若尸，則4”的逆否命題為“若r，則可"，所以“若a=：TT，則tana

77

=1”的逆否命題是“若tanaW1,則a/2”.

4

5.【湖北省黃岡市2013屆高三年級3月份質(zhì)量檢測數(shù)學理】如圖2所示的韋恩圖中，A、B是

兩非零集合，定義集合A⑤3為陰影部分表示的集合，若

G7?,A={X|y=ln(2%-x2)},BJIy-ex,x>0},則A?B為

A.{x10<x<2}B.{.x|x<1或x>2}

C.{x|0<%<1或x>2}D.{x|0<%<1或x>2}

—

【答案】D

【解析】A={x|0<x<2},B={y|y>l},故陰影部分表示的集合為

CAB(AB)={%|0<x<l^a>2},即Ag)5={x[0<xWl垢22}.故選D.

6.命題“Vxe&Y—2x+4<0”的否定為()

A.Vxe7?,x2-2x+4>0B.Bxe7?,%2-2x+4>0

C.\/xR,x2-2x+4<0D.3xR,x~-2x+4>0

【答案】B

【解析】全稱性命題的否定一要否量詞，二要否結(jié)論，所以原命題的否定為:

Bx7?,%2-2x+4>0.

7.[2013?浙江卷]已知a,b,c￡R,函數(shù)F(x)=3/+以+己若/1(())=廣(4)＞廣(1),則()

A.a>0,4a+6=0B.水0,4乃+6=0

C.a>0,2a+Z?=0D.a<0,2a+b=0

b

7.A［解析］若/■(0)=f(4),則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，則一針=2,則4a+6

=0,而廣(0)=F(4)>_f(l),故開口向上，所以H>0,4乃+6=0.所以選擇A.

/X2+(1—4)X—CL

8.函數(shù)/(%)二——----L——是奇函數(shù)，且在

(0,+8)上單調(diào)遞增，則a等于()

A.0B.-1C.1D.±1

【答案】C

,、，、(—療+(1—片4

【解析】方法一：由函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，得了(—力=^~~----八~--=-/(%)=

—X

x2+(l—(2^)x—af—(1—)x—a+(1—)x—a

-----------------對一切實數(shù)R恒成立，即——-----=——-----對一切

X------------------------------X-----------------X

實數(shù)R恒成立，所以—(1—4)%=(1—4)為對一切實數(shù)R恒成立，故1—4=0,解得。=±1.

2_|_11

當a=-l時，f(x)=-r----=%+—不滿足在(0,+8)上單調(diào)遞增；當〃=1

XX

X2_11

時，/(x)=^—=%—-滿足在(0,+8)上單調(diào)遞增.綜上，a=l.

方法二：/(x)=x--+(l-a2),若函數(shù)/(九)是奇函數(shù)，則1—儲=0,解得a=±l.當

X2,)_11

a=-l時，f(x)=-----=%+—不滿足在(0,+8)上單調(diào)遞增；當〃=1

XX

X2_11

時，/(%)=-----=X——滿足在(0,+8)上單調(diào)遞增.綜上，"=1.

9.2013?江西)

若集合A具有以下性質(zhì):①0eA,lwA；②若x,ycA,則x—yeA,且尤W0時，.則

x

稱集合A是“好集”.

(1)集合3={—1,0,1}是好集；(2)有理數(shù)集。是“好集”；(3)設(shè)集合A是“好集”，

若則x+yeA；(4)設(shè)集合A是"好集"，若則必有取eA；(5)對

任意的一個“好集A,若x,yeA,且尤wO,則必有

x

則上述命題正確的個數(shù)有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【解析】由新定義知『(T)=2不在集合5={—1,0,1}小在z八、砂、口理數(shù)集。滿電

[''J中，所以(1)錯誤；*7兩足

以上條件，有理數(shù)集。是“好集”，所以(2)是真命題；因為集合A是“好集”，所以0

GA.若x,yGA,貝!]O-yGA,即-yGA.所以x-(-y)GA,即x+yGA,所以(3)是真命題；

對任意一個“好集”A,任取x,yGA,若x,y中有0或1時，顯然xyGA.下設(shè)x,y均不

為0,1.由定義可知：x-1,」一，-eA.所以一-—GA,所以x(x-1)eA.由(3)

x-1xx(x-l)

可得：x(x-1)+x￡A,即x?￡A.同理可得y?￡A,若x+y=O或x+y=L則顯然(x+y)YA,

若x-y=O,或x-y=l,則(x-y)2GA.所以2xy=(x+y)2-x2-y2^A,所以「一￡A.

2xy

由(3)可得：—=---+----￡A,所以xy￡A.綜上可知，xy￡A,即(4)為真命題；

xy2xy2xy

若x,y￡A,且xWO,則工wA,所以2=廣,￡人.,即(5)是真命題。

XXX

10.函數(shù)/(￡)=lgx與g(x)=7—2x圖象交點的橫坐標所在區(qū)間是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(1,5)

【答案】C

【解析】設(shè)/z(x)=/(x)—g(x)=lgx+2x—7,因為/z(3)=lg3—lv0,/z(4)=lg4+l>0,

所以M3)/z(4)<0.又函數(shù)/z(x)=/(x)—g(x)=lgx+2x—7的圖象是連續(xù)不斷的，所以

由零點存在定理得，妝力的零點在區(qū)間(3,4)內(nèi)，即函數(shù)"x)=lgx與g(x)=7—2光圖象

交點的橫坐標所在區(qū)間是(3,4).

11.(理)如圖所示，在一個邊長為1的正方形AOBC內(nèi)，曲線y=%2和曲線>=&圍成一個

葉形圖（陰影部分），向正方形AOBC內(nèi)隨機投一點（該點落在正方形AOBC內(nèi)任何一點是

等可能的）,則所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率是（）

BC.D

-14-i

【答案】D

【解析.】由幾何概型得，所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率是

1_

1x113

11.（文）函數(shù)丁=/（%）在點（%,九）處

的切線方程為y=2x+l,則lim2曲等于()

Ax

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】D

【解析】由導數(shù)的定義得

/'(X。)=lim"/)―/(%—2Ax)二1〃/)一/(/一2Ax)=所以

°…。2Ax2…。Ax

lin"G)-"4

-Ax

—V+2x

1‘I'、、'若|F(X)|NEX,則a

{In(x+1),x>0.

的取值范圍是()

A.(—8,0]B.(—8,1]

C.[-2,1]D.[-2,0]

12.D[解析]方法一：若^0,|f{x)|=|—x+2x\=x-2x,x=0時，不等式恒成

立，x<0時，不等式可變?yōu)?,而x—2<—2,可得a2一2；

1n(X~\~1)

若x>0,|_f(x)|=|ln(x+l)|=ln(x+l),由ln(x+l)2zx,可得aW---------恒成立，

x

1(+1)(x+l)

令力(才)=上口——,則力，(x)=^---------------,再令g(x)=gy—ln(x+l),則

XXX十1

-X

g'(X)=(、2<0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(o)=0,可得力/(x)

\X.?1)

x

?—In(x+1)

x~v1

--------------2------------<0,故/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，xf+8時，力(X)—0,

X

所以力(x)>0,aWO.綜上可知，-2W〃W0,故選D.

(一2xxW0

方法二：數(shù)形結(jié)合：畫出函數(shù)|F(x)|=1/二〕〔八與直線y=ar的圖像，如下圖，

[In(x+1),x>0

要使|,F(x)|2ax恒成立，只要使直線y=ax的斜率最小時與函數(shù)y=x-2x,xWO在原點處

的切線斜率相等即可，最大時與x軸的斜率相等即可，

因為V=2x~2,所以V|x=o=—2,所以一2WaW0.

12.(文)已知則方程2TM=cos2乃x所有實數(shù)根的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】設(shè)"了)=2%，g(x)=cos2G.易知函數(shù)〃%)=2中的圖象關(guān)于x軸對稱，函數(shù)

g(x)=cos2G的最小正周期為1,作出函數(shù)/(尤)=2%與函數(shù)8(%)=852?》的圖象(如

下圖所示).數(shù)形結(jié)合易知函數(shù)〃%)=2一國與函數(shù)g(x)=cos2G的圖象有5個交點，故方

程2%=cos2乃x所有實數(shù)根的個數(shù)為5.

第II卷

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在答題卷相應(yīng)位置上.

13.函數(shù)/'（分二，2的值域為.

2，x〈l

13.【答案】（一8,2）

【解析】函數(shù)y=log|x在（0,+8）上為減函數(shù)，當時，函數(shù)y=log1x的值域為（一

8,0］；函數(shù)y=2*在R上是增函數(shù)，當正1時，函數(shù)y=2,的值域為（0,2）,所以原函數(shù)的

值域為（一8,2）.

14.（理科）（河南省鄭州市2012屆高三第一次質(zhì)量預測文）定義在R上的函數(shù)/'（X）是增函數(shù),

則滿足/（%）</（2%-3）的取值范圍是.

【答案】（3,”）

【解析】由函數(shù)/（X）是增函數(shù)，得x<2x—3,解得x>3.

（文科）［2013?江西卷］若曲線y=x"+l（aeR）在點（1,2）處的切線經(jīng)過坐標原點，則a=

14.2［解析］/=ax"T,尸所以切線方程為y—2=a（x—1）,該切線過原

點，得a=2.

15.［2012高考真題上海理2］若集合A={x|2x+l>0},B={x\\x-1\<2},則

AP\B=

【答案】f-1,3

【解析】因為集合4={目2》+1〉0}=]劃％〉一31,5={%||%-1|<2}={%|-1<%<3),

所以AB=

jx|-1<x<3|,即

16.

設(shè)集合6=（才|04工<1},8=（工|14工42）,函數(shù)

〃、/2,,<x€A）「

人力=14—2x,（工W的'*6人且/1/（與）］€A，則工。的取值

區(qū)間是.

【解析】因為0</<1，所以1<2~<2.所以/(不)€5.所以/[/(/)]=4—2-2殉.由

33

題知0<4—2-2勾<1,可得彳<2%V2,解得VI.又0</<1,所以

?3?

log?—<xQ<1.

三、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

已知集合A={x|3<%<7},B={x\2<x<10）,C={x\5-a<x<a\.

(1)求AUH(QA)AB；

(2)若Co(AU8),求a的取值范圍.

【解析】(1)AUB={x[2<x<10},

因為CRA={X|X<3或+7},

所以(CRA)A§=卜|2<x<3或7<x<1。}.

(2)由(1)知AU5={x|2<x<1。},

①當C=。時,滿足C0(AUB),此時5—a2a,得a<m；

5-a<a

②當Cw。時，要Cc(AUB),貝45-。22,解得』<a<3.

aV10

由①②得，aW3.

18.(本小題滿分12分)

%+2,x<-l

已知/(%)=<%2,—1<%<2,且f(d)=3,求實數(shù)a的值.

2%,x>2

【解析】由已知/(a)=3,

①當a<-\時，/(〃)=〃+2=3,解得a=1,這與a<-\前提矛盾；

②當—1<a<2時，/(a)=a2=3,解得a=土石，由于—1<a<2,則有a=6；

3

③當a?2時，/(a)=2a=3,解得a=],這與a?2前提矛盾；

綜上所述,實數(shù)。的值為由.

19.(本小題滿分12分)

【2012高考真題陜西理18](1)如圖，證明命題“a是平面萬內(nèi)的一條直線，6是萬外

的一條直線(6不垂直于左)，c是直線〃在"上的投影，若則a_Lc”為真.

(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需要證明).

【解】(1)證法一：如下圖，過直線6上任一點作平面兀的垂線〃，設(shè)直線a,b,c,〃的方

向向量分別是a，b,c,A,則6,c,力共面.根據(jù)平面向量基本定理，存在實數(shù)幾，〃使得

c—46+〃Z7,貝Ua?c—司?(幾b+〃/?)=幾(3?6)+〃(a?h),

因為a_L6,所以a?/?=(),

又因為aJi,〃_Lm,所以a5=0,

故a?c=0,從而a_Lc.

證法二：如圖，記cC6=4戶為直線6上異于點力的任意一點,過戶作加上口，垂足為

貝！JOGc.

因為尸。，“，aJi,所以直線ARa,

mb,b平面A。，POCb=P,

所以a_L平面PAO.

又cu平面為0,所以a_Lc.

(2)逆命題為：a是平面Ji內(nèi)的一條直線，6是口外的一條直線(6不垂直于m),。是

直線6在”上的投影，若a，c,則a，6.

逆命題為真命題.

20.(本小題滿分12分)

時下，網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢，

假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價格x(單位：元/套)滿足的

關(guān)系式y(tǒng)=—二一+4(x—6)2,其中2<%<6,掰為常數(shù).己知銷售價格為4元/套時,

每日可售出套題21千套.

(1)求加的值；

(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資，辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),

試確定銷售價格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.(保留1位小數(shù)點)

【解析】(1)因為x=4時，y=21,

代入關(guān)系式y(tǒng)=—^+4(x—6)，得￡+16=21,................2分

解得加=10...............4分

in

(2)由⑴可知，套題每日的銷售量y=」一+4(x—6)9,................6分

x2

所以每日銷售套題所獲得的利潤

in~|

/(x)=(x-2)--+4(x-6y9=10+4(x-6)9(x-2)=4/—56犬+240》-278(2<x<6)

AW/,(X)=12X2-112X+240=4(3X-10)(X-6)(2<X<6).................8分

令廣(力=0,得X=/,且在上，/'(x)〉0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；在上，

/,(x)<0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，................10分

所以x=T是函數(shù)/(X)在(2,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，................11分

所以當x=gg3.3時，函數(shù)/(x)取得最大值.................12分

故當銷售價格為33元/套時，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.

21.(本小題滿分12分)

(理)【2102高考北京理18】已知函數(shù)/>(x)=ax2+l(a>0),g(^)=x+bx.

⑴若曲線尸f(x)與曲線尸g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線，求a,6的值;

(2)當a?=46時，求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(-8,—1］上的最大

值.

【解】（1）/（公=2ax,g'（x）=3x+b.

因為曲線9=咒入)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,。)處具有公共切線，

所以_f(l)=g(1),且r(1)=g'(1).即己+1=1+6,且2a=3+6,

解得2=3,6=3.

(2)記力(x)=_f(x)+g(x).當6=(才時，A(x)=x-\-ax+~ax+l,h'(^r)=3x-\-2ax

+%?

令〃3=0,得為——白X2——奈

石>0時，力(x)與力，(x)的情況如下：

a(aa\aT+8)

X

18,T2I2,6)6

〃(X)+0一0+

右(X)

所以函數(shù)及工)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,一"和(一1+8｝單調(diào)遞減區(qū)間為

H4

當一含T,即0〈aW2時，函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,—1］上單調(diào)遞增，爾x)在區(qū)間(一8,

-1］上的最大值為A(—1)=a—：a".

當一*T,且一(2T,即2〈aW6時，函數(shù)爾x)在區(qū)間(一8,一窯內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)

間卜會—1上單調(diào)遞減，力(x)在區(qū)間(一8,—1］上的最大值為力卜

當一看〈一1,即於6時，函數(shù)力(X)在區(qū)間(-8,一習內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間卜會一富內(nèi)

單調(diào)遞減，在區(qū)間卜|，-1上單調(diào)遞增，

又因彳一§一力(一1)=1—才="(a—2)2>0,

所以力(x)在區(qū)間(-8,—1］上的最大值為彳一§=L

(文)【2102高考北京文18］已知函數(shù)_f(x)=〃3+1(a>0),g^x)=x+bx.

(1)若曲線p=F(x)與曲線尸g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線，求46的值;

(2)當石=3,6=—9時，若函數(shù)F(x)+g(x)在區(qū)間［左2］上的最大值為28,求A的取

值范圍.

【解】(1)/(A)=2ax,g'(x)=3x+b.

因為曲線尸Ax)與曲線尸g(x)在它們的交點(1,0)處具有公共切線，所以F(l)=g

(1)，且/(1)=g'(1).

即a+l=l+6,且2a=3+6,解得a=3,6=3.

(2)記力(x)=F(x)+g(x).當a=3,b=~9時，A(x)=/+3/—9^+1,h'(x)=3/

+6x-9.

令H(x)=0,得荀=—3,X2=l.

力(x)與力，(x)在(-8,2］上的情況如下：

X(一8,—3)-3(—3,1)1(1,2)2

h'(x)+0一0+

力(x)28-43

由此可知：當AW—3時，函數(shù)為5)在區(qū)間［左2］上的最大值為力(-3)=28；

當一3VAV2時，函數(shù)力(x)在區(qū)間［42］上的最大值小于28.

因此，A的取值范圍是(一8,-3］.

22.(本小題滿分12分)

(理)［2013?新課標全國卷I］設(shè)函數(shù)F(x)nf+ax+b,g(x)=e"(Gx+a.若曲線y

=F(x)和曲線p=g(x)都過點尸(0,2),且在點月處有相同的切線y=4x+2.

(1)求ab,c,d的值；

(2)若2時，F(xiàn)(x)WAg(x),求A的取值范圍.

21.解：⑴由已知得F(0)=2,g(0)=2,尸(0)=4,g'(0)=4.而/(x)=2x+a,g'(x)

=ex(cx+d+c),故

6=2,d=2,a=4,d+c=4.

從而a=4,6=2,c=2,d=2.

(2)由(1)知，f(x)=》+4x+2,g(x)=2e'(x+l).

設(shè)函數(shù)/(x)=Ag(x)—f(x)=2Ae"(x+l)