高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)題型和提分秘籍 專題05 函數(shù)的單調(diào)性與最值 理（含解析）

專題五函數(shù)的單調(diào)性與最值【高頻考點(diǎn)解讀】1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義．2.會利用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).3.確定函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求值域、最值，比較或求函數(shù)值大小，是高考的熱點(diǎn)及重點(diǎn)．4.常與函數(shù)的圖象及其他性質(zhì)交匯命題．5.題型多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，若與導(dǎo)數(shù)交匯則以解答題形式出現(xiàn).【熱點(diǎn)題型】題型一考查函數(shù)的單調(diào)性例1．探討函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(k,x)(k>0)的單調(diào)性．【提分秘籍】1．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集．2．由函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，則當(dāng)x1<x2時，f(x1)<f(x2)((f(x1)>f(x2))．3．一個函數(shù)在不同的區(qū)間可以有不同的單調(diào)性，同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．4．兩函數(shù)f(x)、g(x)在x∈(a，b)上都是增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也為增(減)函數(shù)，但f(x)·g(x)的單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，eq\f(1,fx)與f(x)是否為0有關(guān)，切不可盲目類比．5.判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的兩種方法(1)利用定義的基本步驟是：eq\x(取值)?eq\x(作差商變形)?eq\x(確定符號)?eq\x(得出結(jié)論)(2)利用導(dǎo)數(shù)的基本步驟是：eq\x(求導(dǎo)函數(shù))?eq\x(確定符號)?eq\x(得出結(jié)論)【舉一反三】設(shè)x1，x2為y＝f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個變量，有以下幾個命題：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；③eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0；④eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0.其中能推出函數(shù)y＝f(x)為增函數(shù)的命題為________．【熱點(diǎn)題型】題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2．設(shè)函數(shù)y＝f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)有定義．對于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)fk(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，fx≤k，,k，fx>k))取函數(shù)f(x)＝2－|x|.當(dāng)k＝eq\f(1,2)時，函數(shù)fk(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：由f(x)>eq\f(1,2)，得－1<x<1，由f(x)≤eq\f(1,2)，得x≤－1或x≥1.所以feq\f(1,2)(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,\f(1,2)，－1<x<1，,2x，x≤－1，))故feq\f(1,2)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)．答案：C【提分秘籍】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)，最低點(diǎn)，求出最值；(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值．(5)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．【舉一反三】設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是()A．(－∞，0] B．[0,1)C．[1，＋∞) D．[－1,0]【熱點(diǎn)題型】題型三由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍【例3】(1)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則()A．f(3)＜f(－4)＜f(－π)B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)C．f(3)＜f(－π)＜f(－4)D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x－1，x≤1,logax，x>1))，若f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【提分秘籍】單調(diào)性的應(yīng)用常涉及大小比較，解不等式，求最值及已知單調(diào)性求參數(shù)范圍等問題，解決時要注意等價轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．【舉一反三】已知函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，a∈R)．(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝x2(x≠0)為偶函數(shù)；當(dāng)a≠0時，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2)設(shè)x2>x1≥2，則f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)＋eq\f(a,x1)－xeq\o\al(2,2)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x1－x2,x1x2)[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，則a≤16.【熱點(diǎn)題型】題型四函數(shù)的最值問題（換元法）例4、已知函數(shù)y＝－sin2x＋asinx－eq\f(a,4)＋eq\f(1,2)的最大值為2，求a的值．【提分秘籍】換元法解題模板第一步：換元確定解析式中的某一部分作為一個新的變元第二步：定范圍根據(jù)新的變元的表達(dá)式確定新變元的取值范圍M.第三步：轉(zhuǎn)化將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變元的一個函數(shù)在區(qū)間M上的最值問題．第四步：求最值利用基本初等函數(shù)求最值得原函數(shù)的最值．【舉一反三】求y＝x－eq\r(1－2x)函數(shù)的值域：題型四函數(shù)的最值問題（數(shù)形結(jié)合法）例5、用min{a，b，c}表示a，b，c三個數(shù)中的最小值，則函數(shù)f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．【答案】6【提分秘籍】數(shù)形結(jié)合法解題模板對于函數(shù)解析式有明顯的幾何特征的函數(shù)最值問題，解題步驟是：第一步：數(shù)變形根據(jù)函數(shù)解析式的特征，構(gòu)造圖形轉(zhuǎn)化為求幾何中的最值．第二步：解形利用幾何方法解決圖形中的最值．第三步：還形為數(shù)將幾何中的最值還原為函數(shù)的最值．第四步：回顧反思利用數(shù)形結(jié)合法求解函數(shù)最值，其實(shí)質(zhì)就是利用函數(shù)圖象或借助幾何圖形求解函數(shù)最值，關(guān)鍵在于把握函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征．【舉一反三】函數(shù)y＝eq\r(x＋32＋16)＋eq\r(x－52＋4)的值域?yàn)開_______．【高考風(fēng)向標(biāo)】1．（·北京卷）下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x＋1)B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)【答案】A【解析】由基本初等函數(shù)的性質(zhì)得，選項B中的函數(shù)在(0，1)上遞減，選項C，D中的函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以排除B，C，D，選A.2．（·福建卷）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是增函數(shù)C．f(x)是周期函數(shù)D．f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞)3．（·四川卷）設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，1)時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________．【答案】1【解析】由題意可知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2＝1.4．（·四川卷）以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ(x)組成的集合：對于函數(shù)φ(x)，存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ(x)的值域包含于區(qū)間[－M，M]．例如，當(dāng)φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sinx時，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.現(xiàn)有如下命題：①設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，則“f(x)∈A”的充要條件是“?b∈R，?a∈D，f(a)＝b”；②函數(shù)f(x)∈B的充要條件是f(x)有最大值和最小值；③若函數(shù)f(x)，g(x)的定義域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，則f(x)＋g(x)?B；④若函數(shù)f(x)＝aln(x＋2)＋eq\f(x,x2＋1)(x>－2，a∈R)有最大值，則f(x)∈B.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的序號)【答案】①③④【解析】若f(x)∈A，則f(x)的值域?yàn)镽，于是，對任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正確．取函數(shù)f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域?yàn)?－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此時f(x)沒有最大值和最小值，故②錯誤．5．（·四川卷）已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點(diǎn)，求a的取值范圍．(2)設(shè)x0為f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)的一個零點(diǎn)，則由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在區(qū)間(0，x0)上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．則g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)．6．（·四川卷）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋a，x<0，,lnx，x>0，))其中a是實(shí)數(shù)．設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))為該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，且x1<x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x2<0，求x2－x1的最小值；(3)若函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍．【解析】(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為[－1，0)，(0，＋∞)．7．（·四川卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(ex＋x－a)(a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．若曲線y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y(tǒng)0，則a的取值范圍是()A．[1，e]B．[e－1－1，1]C．[1，e＋1]D．[e－1－1，e＋1]8．（·四川卷）函數(shù)y＝eq\f(x3,3x－1)的圖像大致是()圖1－59．（·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列結(jié)論中錯誤的是()A．x0∈R，f(x0)＝0B．函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形C．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減D．若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f′(x0)＝0【隨堂鞏固】1．函數(shù)y＝eq\f(1,\r(3x－2))＋lg(2x－1)的定義域是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))解析：選C由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2>0，,2x－1>0))得x>eq\f(2,3).2．已知集合A是函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(1－x2)＋\r(x2－1),x)的定義域，集合B是其值域，則A∪B的子集的個數(shù)為()A．4 B．6C．8 D．163．下列圖形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}為定義域，以N＝{y|0≤y≤1}為值域的函數(shù)的圖象是()解析：選C由題意知，自變量的取值范圍是[0,1]，函數(shù)值的取值范圍也是[0,1]，故可排除A、B；再結(jié)合函數(shù)的定義，可知對于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素與之對應(yīng)，故排除D.4．下列函數(shù)中，值域是(0，＋∞)的是()A．y＝eq\r(x2－2x＋1) B．y＝eq\f(x＋2,x＋1)(x∈(0，＋∞))C．y＝eq\f(1,x2＋2x＋1)(x∈N) D．y＝eq\f(1,|x＋1|)5．已知等腰△ABC周長為10，則底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y＝10－2x，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A．R B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(5,2)<x<5))解析：選C由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,10－2x>0，))即0<x<5.6．函數(shù)y＝eq\f(2,x－1)的定義域是(－∞，1)∪[2,5)，則其值域是()A．(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B．(－∞，2]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[2，＋∞) D．(0，＋∞)7．已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(x)＋eq\r(4－x)，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?)A．[2,4] B．[0,2eq\r(5)]C．[4,2eq\r(5)] D．[2,2eq\r(5)]8．函數(shù)y＝2－eq\r(－x2＋4x)的值域是()A．[－2,2] B．[1,2]C．[0,2] D．[－eq\r(2)，eq\r(2)]10．定義區(qū)間[x1，x2](x1<x2)的長度為x2－x1，已知函數(shù)f(x)＝|logeq\f(1,2)x|的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇0,2]，則區(qū)間[a，b]的長度的最大值與最小值的差為________．11．函數(shù)y＝eq\r(x＋1)＋eq\f(x－10,lg2－x)的定義域是________．12．函數(shù)y＝eq\r(x)－x(x≥0)的最大值為________．解析：y＝eq\r(x)－x＝－(eq\r(x))2＋eq\r(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，即ymax＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)13．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1]，值域?yàn)閇1,2]，則函數(shù)f(x＋2)的定義域?yàn)開___________，值域?yàn)開_________．解析：由已知可得x＋2∈[0,1]，故x∈[－2，－1]，所以函數(shù)f(x＋2)的定義域?yàn)閇－2，－1]．函數(shù)f(x)的圖象向左平移2個單位得到函數(shù)f(x＋2)的