人教版九年級數(shù)學(xué)下冊相似《相似三角形（第3課時）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

相似三角形（第3課時）教學(xué)目標(biāo)1．掌握“兩角分別相等的兩個三角形相似”，并能運(yùn)用這個判定定理解決簡單問題．2．掌握直角三角形相似的判定方法，能運(yùn)用直角三角形相似的條件解決簡單的問題．教學(xué)重點(diǎn)理解“兩角分別相等的兩個三角形相似”和直角三角形相似的特殊判定方法．教學(xué)難點(diǎn)“兩角分別相等的兩個三角形相似”和直角三角形相似的特殊判定方法的證明．教學(xué)準(zhǔn)備準(zhǔn)備量角器、帶刻度的直尺和一副三角尺．教學(xué)過程知識回顧目前我們學(xué)習(xí)了哪些判定三角形相似的方法？【答案】定義法：三個角分別相等，三條邊成比例的兩個三角形相似．利用平行線判定三角形相似：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．利用三邊判定三角形相似：三邊成比例的兩個三角形相似．利用兩邊和夾角判定三角形相似：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的知識，鞏固基礎(chǔ)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】觀察兩副三角尺，其中有同樣兩個銳角（30°與60°，或45°與45°）的兩個三角尺大小可能不同，它們相似嗎？【師生活動】學(xué)生分小組觀察、討論，得出答案．有同樣兩個銳角（30°與60°，或45°與45°）的兩個三角尺相似．【探究】任意畫一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，這時∠C＝∠C′嗎？分別度量這兩個三角形的邊長，計(jì)算，，，你有什么發(fā)現(xiàn)？【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生畫出△ABC和△A'B'C'．學(xué)生獨(dú)立完成測量、計(jì)算，得出答案．根據(jù)三角形的內(nèi)角和可知，∠C＝∠C′；通過度量、計(jì)算可知，＝＝．所以△ABC∽△A′B′C′．讓學(xué)生歸納發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，提出猜想．【猜想】兩角分別相等的兩個三角形相似．【追問】你能證明這個猜想嗎？【師生活動】學(xué)生給出已知和求證．如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．求證△ABC∽△A′B′C′．學(xué)生模仿上節(jié)課的證明思路，完成證明過程．【答案】證明：在線段A′B′（或它的延長線）上截取A′D＝AB，過點(diǎn)D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E．∵DE∥B′C′，∴∠A′DE＝∠B′，△A′DE∽△A′B′C′．又∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴∠B＝∠A′DE．∵AB＝A′D，∴△ABC≌△A′DE．∴△ABC∽△A′B′C′．【新知】一般地，我們有利用兩組角判定兩個三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個三角形相似．符號表示：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′．【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過自己動手，猜想得出由兩組角判定兩個三角形相似的方法，并仿照上節(jié)課的證明思路，完成這個命題的證明，運(yùn)用直觀操作和邏輯推理相結(jié)合的方式，提高學(xué)生獨(dú)立分析問題、解決問題的能力．二、典例精講【例1】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E是AC上一點(diǎn)，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D．求AD的長．【師生活動】學(xué)生獨(dú)立完成，請一名學(xué)生代表板演，教師指導(dǎo)、講解．【答案】解：∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°．又∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC．∴＝．∴AD＝＝＝4．【歸納】判定相似找兩角，隱含條件很重要已知兩個三角形中有一組角對應(yīng)相等，只要看是否還有另一組角對應(yīng)相等即可．一般地，在解題過程中要特別注意“公共角”“對頂角”“同角（或等角）的余角”等隱含條件．【設(shè)計(jì)意圖】通過例1，考察學(xué)生是否會利用兩組角判定三角形相似，引出“直角三角形相似的判定方法”．三、探究學(xué)習(xí)【問題】對于兩個直角三角形，除了直角相等的條件，還要滿足幾個條件，這兩個直角三角形就相似了？【師生活動】學(xué)生自由發(fā)言，教師總結(jié)．【答案】由三角形相似的條件可知，如果兩個直角三角形滿足一個銳角相等，或兩組直角邊成比例，那么這兩個直角三角形相似．【問題】我們知道，兩個直角三角形全等可以用“HL”來判定，那么，滿足斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似嗎？【師生活動】學(xué)生小組討論，并歸納發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，提出猜想．【猜想】斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似．【追問】你能證明這個猜想嗎？【師生活動】學(xué)生先給出已知和求證．如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，＝．求證Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．教師引導(dǎo)學(xué)生分析：要證Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可設(shè)法證＝＝．若設(shè)＝＝k，則只需證＝k．學(xué)生根據(jù)分析，完成證明．【答案】證明：設(shè)＝＝k，則AB＝kA′B′，AC＝kA′C′．由勾股定理，得BC＝，B′C′＝．∴＝＝＝＝k．∴＝＝．∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．【新知】我們得到利用斜邊和一條直角邊判定直角三角形相似的定理：斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似．符號表示：∵在△ABC和△A′B′C′中，＝，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．【設(shè)計(jì)意圖】類比判定兩個直角三角形全等的“HL”方法，猜想得出由斜邊和一條直角邊判定直角三角形相似的方法，并完成這個命題的證明，讓學(xué)生體會從特殊到一般的方法，提高推理論證能力．四、典例精講【例2】如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，CD，C′D′分別是兩個三角形斜邊上的高，且CD∶C′D′＝AC∶A′C′．求證：△ABC∽△A′B′C′．【師生活動】學(xué)生獨(dú)立完成，請一名學(xué)生代表板演，教師指導(dǎo)、講解．【答案】證明：∵CD，C′D′分別是兩個三角形斜邊上的高，∴∠ADC＝∠A′D′C′＝90°．又CD∶C′D′＝AC∶A′C′，∴Rt△ADC∽Rt△A′D′C′．∴∠A＝∠A′．∵∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′．【歸納】直角三角形相似的判定方法：（1）有一個銳角相等的兩個直角三角形相似；（2）兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似；（3）斜邊和一條直角邊成比例