安徽省黌學(xué)高級(jí)中學(xué)2024屆下學(xué)期高三年級(jí)3月月考試卷數(shù)學(xué)試題試卷

安徽省黌學(xué)高級(jí)中學(xué)2024屆下學(xué)期高三年級(jí)3月月考試卷數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知全集，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．2．函數(shù)與在上最多有n個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)分別為（，……，n），則（）A．7 B．8 C．9 D．103．已知集合，則=（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．設(shè)集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，則集合中的元素共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)6．羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成.某班級(jí)從名男生，，和名女生，，中各隨機(jī)選出兩名，把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對(duì)稱中心的充要條件是()A． B．C． D．8．已知，函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．10．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．11．過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為()A． B．C．或 D．或12．設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知角的終邊過點(diǎn)，則______.14．若函數(shù)為偶函數(shù)，則．15．若滿足約束條件，則的最大值為__________．16．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，成等差數(shù)列，則的值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最大值為，若，證明：.18．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知.（1）求角的值；（2）若，，求的面積．19．（12分）某商店舉行促銷反饋活動(dòng)，顧客購物每滿200元，有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（即滿200元可以抽獎(jiǎng)一次，滿400元可以抽獎(jiǎng)兩次，依次類推）.抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下：在一個(gè)不透明口袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4，5的5個(gè)完全相同的小球，顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球編號(hào)一次比一次大（如1，2，5），則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金40元；若摸得的小球編號(hào)一次比一次?。ㄈ?，3，1），則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金20元；其余情況獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10元.（1）某人抽獎(jiǎng)一次，求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;（2）趙四購物恰好滿600元，假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.20．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在處取得最小值．（1）求證：；（2）若時(shí)，恒成立，求的取值范圍．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在直線上，求的最小值.22．（10分）的內(nèi)角、、所對(duì)的邊長分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先求B.再求，求得則子集個(gè)數(shù)可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個(gè)數(shù)為故選C【點(diǎn)睛】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及子集個(gè)數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2、C【解析】

根據(jù)直線過定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合，可得最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后利用對(duì)稱性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：直線過定點(diǎn)且在是關(guān)于對(duì)稱如圖通過圖像可知：直線與最多有9個(gè)交點(diǎn)同時(shí)點(diǎn)左、右邊各四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，難點(diǎn)在于正確畫出圖像，同時(shí)掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì)，屬難題.3、D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補(bǔ)集，然后求【詳解】，所以.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).5、A【解析】試題分析：,,所以，即集合中共有3個(gè)元素，故選A．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．6、B【解析】

根據(jù)組合知識(shí)，計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為，然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為，最后簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對(duì)平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細(xì)心計(jì)算，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.7、A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為，再利用點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，即可求出和.【詳解】根據(jù)題意，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出，函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn)即為三個(gè)最值點(diǎn)，解出，，再建立不等式求出的范圍，進(jìn)而求得的范圍.【詳解】解：令，解得對(duì)稱軸，，又函數(shù)在區(qū)間恰有個(gè)極值點(diǎn)，只需解得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.9、B【解析】

先由三角函數(shù)的定義求出，再由二倍角公式可求.【詳解】解：角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，故選：B【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式，是基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)模長計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，模長的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.11、A【解析】

利用切割線定理求得，利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結(jié)合，求得直線的傾斜角為，進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，則所以到弦的距離為，，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12、A【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗(yàn)證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值．【詳解】解：∵角的終邊過點(diǎn)，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．14、1【解析】試題分析：由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，．考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性．【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型．首先利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，?。?5、4【解析】

作出可行域如圖所示：由，解得.目標(biāo)函數(shù)，即為，平移斜率為-1的直線，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，.16、2【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比設(shè)為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系求解即可.【詳解】解：等比數(shù)列的公比設(shè)為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運(yùn)用,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類討論求解不等式即可；（2）先利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，恒成立，；②當(dāng)時(shí)，，即，；③當(dāng)時(shí)，顯然不成立，不合題意；綜上所述，不等式的解集為.（2）由（1）知，于是由基本不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）上述三式相加可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，故得證.【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對(duì)值不等式的最值的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對(duì)值不等式的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）由已知條件和正弦定理進(jìn)行邊角互化得，再根據(jù)余弦定理可求得值.（2）由正弦定理得，，代入得，運(yùn)用三角形的面積公式可求得其值.【詳解】（1）由及正弦定理得，即由余弦定理得，，.（2）設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理得，，，.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式，關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用其公式，合理地選擇進(jìn)行邊角互化，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）分布見解析，期望為；（2）.【解析】

（1）先明確X的可能取值，分別求解其概率，然后寫出分布列，利用期望公式可求期望；（2）獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元，可能是三次二等獎(jiǎng)，也可能是一次一等獎(jiǎng)，兩次三等獎(jiǎng)，然后分別求解概率即可.【詳解】（1）由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為10，20，40且，，所以，即隨機(jī)變量X的概率分布為X102040P所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.（2）由題意知，趙四有三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，設(shè)恰好獲得60元為事件A，因?yàn)?0＝20×3＝40＋10＋10，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，明確隨機(jī)變量的所有取值是求解的第一步，再求解對(duì)應(yīng)的概率，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，令，求導(dǎo)研究單調(diào)性，分析可得存在使得，即，即得證；（2）分，兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化利用均值不等式即得證；當(dāng)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，分析可得的最小值為，分，討論即得解.【詳解】（1）由題意，令，則，知為的增函數(shù)，因?yàn)椋?，所以，存在使得，即．所以，?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，證畢．（2）由（1）知，的最小值為，①當(dāng)，即時(shí)，為的增函數(shù)，所以，，由（1）中，得，即．故滿足題意．②當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，且，即，若時(shí)，為減函數(shù)，（*）若時(shí)，為增函數(shù)，所以的最小值為．注意到時(shí)，，且此時(shí)，（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，所以，所以由（*）知時(shí)，為減函數(shù)，所以，不滿足時(shí)，恒成立，故舍去．故滿足條件．綜上所述：的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和不等式的恒成立問題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于較難題.21、（1）（2）【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案（2）設(shè)，，根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樗灾本€的直角坐