條件改變之后的概率

PAGEPAGE4條件改變之后的概率對由于條件改變而引起的概率悖論的討論【摘要】:悖論在數(shù)學中無處不在,但他們最經(jīng)常是在一個比較高級的水平上出現(xiàn).然而在概率方面.悖論卻在一個比較簡單的水平上出現(xiàn).本文主要運用全概率公式和貝葉斯公式,解決一些由于條件改變而引起的概率悖論.并且通過分析兩種常見的概率悖論,探討概率悖論形成的原因,以及解決的方法,以期引起讀者的重視和思索.【關鍵詞】:數(shù)學;悖論;條件概率;特指前言悖論,從字面上講就是荒謬的理論.關于悖論的起源,可以追溯到古希臘和我國先秦哲學時代.但是在那時及其往后的一段相當長的時期中,悖論往往泛指那些推理過程看上去是合理,但是推理的結果卻又違背客觀實際.如著名的芝諾悖論中的阿基里斯追龜說:阿基里斯(一個善跑的猛將)要追上在前面跑的烏龜,必須先到達烏龜?shù)某霭l(fā)點,而那時烏龜又已經(jīng)跑過前面一段路了,如此這樣往復,因此阿基里斯永遠也追不上烏龜.[1][1]徐利治.數(shù)學方法論選講(第三版)[M].武漢:華中科技大學出版社,2002.在歷史上,還有另一種與之相反的情形而稱之為悖論,那就是由于新概念的引人而違背了具有歷史局限性的傳統(tǒng)觀念,這就不是推理看上去好像是合理的問題,而是傳統(tǒng)觀念貌似事實的事了.例如伽利略悖論:自古人們就認為“整體大于部分”,現(xiàn)在有兩個數(shù)列和,“整體大于部分”的觀點,第二個數(shù)列中元素的個數(shù)會少于第一個數(shù)列.但是從對應的角度看,第一個數(shù)列中的任意項總可以和第二個數(shù)列中的對應,因此兩個數(shù)列中的元素是一樣多的.[2]凌曉牧.小議數(shù)學悖論.江蘇教育學院學報（自然科學）,2010年第26卷第12期.2][2]凌曉牧.小議數(shù)學悖論.江蘇教育學院學報（自然科學）,2010年第26卷第12期.知識準備2.1樣本空間對于隨機試驗,盡管在每次試驗之前不能預知試驗的結果,但試驗的所有可能結果組成的集合是已知的.我們將隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間.2.2概率在一次試驗中,一個事件(除必然事件與不可能事件外)可能發(fā)生也可能不發(fā)生,其發(fā)生的可能性的大小是客觀存在的.事件發(fā)生的頻率以及它的穩(wěn)定性,表明能用一個數(shù)來表征事件在一次試驗中的可能性大小.我們從頻率的穩(wěn)定性及頻率的性質得到啟發(fā)和抽象,給出了概率的定義.我們定義了一個集合(事件)的函數(shù),它滿足三條基本性質:非負性:對于每一個事件A,有;規(guī)范性:對于必然事件S,有;可列可加性:設是兩兩互不相容的事件,即對于?,,有這一函數(shù)的函數(shù)值就定義為事件A的概率.[3][3]王潘玲.應用高等數(shù)學[M].杭州,浙江科學技術出版社,2004年.36-38.2.3古典概型中的概率概率的定義只給出概率必須滿足的三條基本性質,并未對事件A的概率給定一個具體的數(shù).只在古典概型的情況下,對于每個事件A給出了概率.一般,我們可以進行大量的重復試驗,得到事件A的頻率,而以頻率作為的近似值.或者根據(jù)概率的性質分析,得到的取值.2.4條件概率在古典概型中,我們證明了條件概率的公式在一般的情況,上述公式作為條件概率的定義.固定A,條件概率具有概率定義中的三條基本性質,因而條件概率是一種概率.[4][4]盛驟等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計.北京.高等教育出版社.2008，6（4）：1-24.一些經(jīng)典的概率悖論3.1三門問題這是條件概率中的一個經(jīng)典問題了.說在一次綜藝節(jié)目上,設置了三個門,其中一個門后面是汽車,而另外兩個門后面則是山羊.有一個嘉賓上去抽獎,當然想抽到汽車了.第一步,他先選中一個門,比如說1號門.選中了但不打開門.這時剩下的兩個門里,至少有一個門背后是羊,對吧.第二步,主持人過來了,當然,他事先是知道汽車在哪個門后的.他在嘉賓剩下的那兩個門中,把一個有羊的門打開了,比如說,打開了3號門,門后有羊.現(xiàn)在的問題就是嘉賓是堅持選他剛才選的1號門對他有利,還是改選剩下的2號門對他有利.[5][5]馬丁?加德納.從驚訝到思考――數(shù)學悖論奇景[M].四川:四川人民出版社,1985:1-108.第一種想法:每一個門后是汽車的概率都是,不管主持人怎么開門,每個門后的獎品都沒被換過,那概率怎么會改變呢?1號門和2號門中獎的概率仍舊都是.第二種想法:當主持人打開了一個門后,剩下了兩個門,其中一個有羊,另一個有汽車,1號門和2號門背后有汽車的概率都是.這兩種想法當然都是錯誤的.下面我們用概率論的知識來計算一下.我們以表示事件"在號門后面有汽車",以表示事件"主持人打開的是在討論"星期二男孩問題"之前,我們先討論另外一個問題以作鋪墊.問題ａ:老張有兩個孩子,已知其中一個是女兒,問另一個也是女兒的概率是多少?問題ｂ:老張有兩個孩子,給他家打電話,接電話的是他女兒,問他有兩個女兒的概率是多少?[9][9]王秀芳,郝素娥.論數(shù)學悖論的思維特色[J].山西大學師范學院（綜合版）,1993,（2）.好多沒接觸過條件概率的人,一看到這種問題就直接糊涂了:"這兩個問題有什么不一樣嗎?兩個問題不都是知道其中有一個是女兒,然后問另一個也是女兒的概率嗎?概率不應該都是嗎?"其實這只是涉及到條件概率的一個簡單問題.我們先列出一個表格,把老張家兩個孩子性別的所有可能都列出來.表格SEQ表格\*ARABIC2老張家兩個孩子性別的所有可能編號第一個孩子第二個孩子1女女2女男3男女4男男令A,B,C分別表示事件"老張有兩個兒子","老張有一兒一女","老張有兩個女兒".則由上表顯然有令E,F分別表示事件"其中一個是女兒","接電話的是女兒".顯然E發(fā)生的概率就是Ｂ和Ｃ發(fā)生的概率大小之和而F發(fā)生的概率可以用全概率公式求得為了更好地比較與,我們也用全概率公式計算一遍而問題a與問題b可以分別等價于求"在E發(fā)生的條件下C發(fā)生的概率"和"在F發(fā)生的條件下C發(fā)生的概率",即要求和.這兩個概率可以用貝葉斯公式計算得到那么是什么造成了這兩個概率的不同呢?我們可以這樣想,在問題a中"其中一個是女兒"可以指兩個孩子中隨便一個.也就是說,當這個"女兒"沒有特指哪個孩子的時候,所以可能的情況比較多一些.而在這些情況中,"兩個都是女兒"的情況只占其中的一種,從而使"兩個都是女兒"的概率小一點,是.而在題b中,"接電話的是女兒"中的"女兒"有特指,指的就是接電話的這個孩子.此時,"兩個都是女兒"等價于"沒接電話的孩子也是女兒",所以的可能情況當然要少一點.而在這些情況中,"兩個都是女兒"的情況同樣只占一種,從而使"兩個都是女兒"的概率小一點,是.[10]陶理.關于數(shù)學悖論的認識問題[J].東北師大學報（哲學社會科學版）,1993.[10]陶理.關于數(shù)學悖論的認識問題[J].東北師大學報（哲學社會科學版）,1993.在明白上面這個問題后,我們再來討論”星期二男孩問題”.這個問題是這樣說的:一個人有兩個小孩,其中有一個是生于星期二的男孩,問另一個也是男孩的概率是多少?許多人一接觸到這題目以后,第一個反應便是:答案肯定是嘛.兩個孩子的性別是獨立的,不論一個孩子的性別是什么都不會影響到另一個(不考慮極端或特殊情況),至于題目中的"星期二",大概是一個迷惑人用的無用信息吧.當然,在經(jīng)過上一個問題的分析討論之后,我們可能好這樣想:在這個”男孩”沒有特指的情況下,答案肯定不是,而是,至于出生日期什么的,應該不會影響到孩子的性別吧.但是經(jīng)過計算之后,我們就會發(fā)現(xiàn),情況好像跟我們所想的有些不一樣.我們先來做幾個相似的試驗,可能就會看得比較明白一點.試驗1:有兩個硬幣,正面標有數(shù)字1,反面標有數(shù)字2.拋擲這兩枚硬幣,假定是在理想狀態(tài)下,也就是說每一枚硬幣正面朝上和反面朝上的概率是1/2.拋擲后,發(fā)現(xiàn)其中一枚硬幣朝上一面的數(shù)字是2,問另一枚硬幣朝上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率是多少?試驗2:有兩個質地均勻的骰子,每個骰子有六個面,上面分別標有1~6的數(shù)字,擲一個骰子時,哪個數(shù)字朝上是完全隨機的,即每個數(shù)字朝上的概率都是.現(xiàn)在,投擲兩個骰子,發(fā)現(xiàn)其中一個骰子朝上的一面是2,問另一個骰子朝上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率是多少?試驗3:有兩個轉盤,每個轉盤被等分為14個部分,上面分別標有1~14的數(shù)字,轉盤轉動并停止時,停在每個數(shù)字上的概率都是相同的,即.現(xiàn)在轉動兩個轉盤,停止后,發(fā)現(xiàn)其中一個轉盤的數(shù)字是4,問另一個轉盤上的數(shù)字為偶數(shù)的概率是多少?[11][11]王新愛.淺論數(shù)學悖論的積極意義.考試周刊,2009年24期對比這三個試驗,我們會發(fā)現(xiàn)它們有很多相似的地放:都有一個隨機數(shù)產(chǎn)生器(硬幣,骰子或轉盤);都知道其中一個隨機數(shù)是2,卻沒有特指這個隨機數(shù)由哪個隨機數(shù)產(chǎn)生器產(chǎn)生;都是問另一個產(chǎn)生的隨機數(shù)是偶數(shù)的概率.而這種已經(jīng)給了信息,但并沒有特指情況,我們前面已經(jīng)做過討論,只需把它們的所有可能都列出來就很好計算了.我們現(xiàn)在分別列出這三個試驗的所有可能(見下表)表格SEQ表格\*ARABIC3試驗一的所有可能結果XY121(1,1)(2,1)2(1,2)(2,2)表格SEQ表格\*ARABIC4試驗二的所有可能結果XY1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)表格SEQ表格\*ARABIC5試驗三的所有可能結果XY123456789101112131411,12,13,14,15,16,17,18,19,110,111,112,113,114,121,22,23,24,25,26,27,28,29,210,211,212,213,214,231,32,33,34,35,36,37,38,39,310,311,312,313,314,341,42,43,44,45,46,47,48,49,410,411,412,413,414,451,52,53,54,55,56,57,58,59,510,511,512,513,514,561,62,63,64,65,66,67,68,69,610,611,612,613,614,671,72,73,74,75,76,77,78,79,710,711,712,713,714,781,82,83,84,85,86,87,88,89,810,811,812,813,814,891,92,93,94,95,96,97,98,99,910,911,912,913,914,9101,102,103,104,105,106,107,108,109,1010,1011,1012,1013,1014,10111,112,113,114,115,116,117,118,119,1110,1111,1112,1113,1114,11121,122,123,124,125,126,127,128,129,1210,1211,1212,1213,1214,12131,132,133,134,135,136,137,138,139,1310,1311,1312,1313,1314,13141,142,143,144,145,146,147,148,149,1410,1411,1412,1413,1414,14從上面三個表格可以看出,三個試驗所有可能的結果分別是種,種,種.而三個表格中添加陰影的部分,分別是包含數(shù)字2,2,4的所有可能結果,分別是3種,11種,27種.而在這些結果中另一個數(shù)字也是偶數(shù)的項用粗體字標了出來.可以看到,分別有1種,5種,13種.于是,三個試驗中最后所問的概率分別是討論到這里,有些人要問了:這和”星期二”的問題有什么關系嗎?當然有關系.事實上,試驗三中14個數(shù)字的轉盤問題,就是”星期二男孩”的一個等價描述.要將”轉盤問題”轉換為”星期二男孩問題”,我們只需要做以下的映射即可:于是,在”星期二男孩問題”中,已知”其中一個是生于星期二的男孩”(相當于其中一個轉盤的數(shù)字是4),另一個孩子也是男孩(相當于另一個轉盤上的數(shù)字為偶數(shù))的概率就是.經(jīng)過我們的計算,我們發(fā)現(xiàn),似乎一個孩子的出生日期能影響到另外一個孩子的性別.這幾乎是荒謬的,但我們的計算也是沒有出錯的.這好像形成了一個悖論.[12][12]本奇BH.數(shù)學謬誤與悖論[M].陳國君,姚竭,譯.呼和浩特:內蒙古人民出版社,1990:5.其實不然,導致這個荒謬結果的原因就是:所給信息的對象沒有特指是哪一個.而當沒有特指的時候,所給的信息越豐富,越詳細,越具體,信息所指代的對象就越明確,就越接近”特指”的情況.從概率上來說,另一個孩子也是男孩的概率就越接近”特指”情況下的概率,也就是.而這種規(guī)律在上面三個試驗中已經(jīng)有所體現(xiàn):比接近,而比更接近.因此,我們有理由認為:當給出的信息比”出生于星期二的男孩”更詳細的時候,另一個孩子也是男孩的概率比要接近.事實上,當給出的信息是”出生于星期二的晚上的男孩”時,另一個孩子也是男孩的概率是,而顯然要比更接近.而當所給的信息足夠詳細時,我們就可以認為這是”特指”的情況了.比如,但所給的信息是”出生于6月6日6時6分6秒的男孩”時,我們可以計算出另一個孩子也是男孩的概率是,其中,誤差,這已經(jīng)是一個相當接近的數(shù)了.[13]涂利治等.悖論與數(shù)學基礎問題[J].數(shù)學研究與評論,1982,[13]涂利治等.悖論與數(shù)學基礎問題[J].數(shù)學研究與評論,1982,(4):122.總結從短期來看,概率悖論還會到處存在.概率事件可能似乎反復無常和不公平,概率的錯覺,事件發(fā)生的不協(xié)調,反直覺和遺留的錯誤觀念都需要一個理解,接受和發(fā)展的過程.長期頻率的經(jīng)驗能有助于修正一些基于對隨機和概率的誤解而產(chǎn)生的某些不相適應的行為.[14]張建軍.邏輯悖論研究引論[M].南京:南京大學出版社,2002:337.[14]張建軍.邏輯悖論研究引論[M].南京:南京大學出版社,2002:337.[15]馮·賴特.知識之樹[M].陳波等譯.北京:三聯(lián)書店,2003:166.Theprobabilityafterchangingthecon