2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)61-數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1

1.已知數(shù)列魚(yú),V5,2V2....,則2逐是該數(shù)列的（）

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

2.在數(shù)列｛冊(cè)｝中，的=2,2an+1-2an+n，則（29等于（）

A.20B.30C.36D.28

3.若數(shù)列｛冊(cè)｝滿足%=2,冊(cè)+1=#⑺CN*），則該數(shù)列的前2023項(xiàng)的乘積是

l-?n

（）

A.-2B.-1C.3D.1

4.[2023?山東東營(yíng)模擬]已知數(shù)列｛冊(cè)｝是遞增數(shù)列，滿足的＞3,ai+a2+a3+

...+須=110,且與EZ，則n的最大值為（）

A.10B.11C.12D.13

5.（多選）若數(shù)列｛冊(cè)｝滿足：對(duì)任意正整數(shù)n,｛an+1-an）為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列

｛冊(cè)｝為“差遞減數(shù)列”.給出下列數(shù)列｛冊(cè)｝5GN*）,其中是“差遞減數(shù)列”的有（）

2

A.an—3nB.=n+1C.an—y/nD.an—In

6.已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj中，河+a+…+佝=也F，則數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式

7.[2023?北京西城區(qū)模擬]若數(shù)列｛aj前n項(xiàng)和為Sn=[與+2，則數(shù)列｛aj的通

項(xiàng)公式即=?

8.寫(xiě)出一個(gè)符合下列要求的數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式：①｛冊(cè)｝是無(wú)窮數(shù)列；②｛冊(cè)｝是單

調(diào)遞減數(shù)列；③-2＜即＜0.這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是_____.

9.已知數(shù)列｛冊(cè)｝中，=2,。2=1，anan+2=1（幾CN*）.

（1）求,a5的值；

(2)求｛時(shí)｝的前2024項(xiàng)和S2024

[B級(jí)綜合運(yùn)用]

10.[2023?北京北大附中模擬]已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足。遂2a3…冊(cè)=小，其中

九=1,2,3,,則數(shù)列｛七｝()

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

11.(多選)如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱

之為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球,

依次類推.設(shè)第n層有與個(gè)球，從上往下n層球的總個(gè)數(shù)為S”，則下列關(guān)系式正確

的是()

A.S5=35B.Q幾+i—an=n

C.Sn-Sn_r1=9,n>2D.-+-+-+—

2ata2a3a100101

12.已知數(shù)列｛G九｝）兩足G1=1,G?！?71冊(cè)。九+i（71EN*）,則G九=.

13.[2023?江蘇蘇州八校聯(lián)盟第二次檢測(cè)]已知數(shù)列｛演｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S”=

TLCLn,且_$2+S4+$6+...+S（,o—1860,貝！.

14.已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足=1,=3,且ciw+2—2a“+i+ci-n=4,TLGN*.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)0=手，neN*,求勾的最小值.

［C級(jí)素養(yǎng)提升］

n

15.已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為時(shí)=(1—九22+—①1n］<f4n；>5eN*),若CI5是｛冊(cè)｝

中的最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

16.［2022?新高考卷I］記又為數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，已知的=1,管｝是公差為

|的等差數(shù)列.

(1)求｛a/的通項(xiàng)公式；

(2)證明：工+工+…+工<2.

ala2an

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)61-數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】

［A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)i

1.已知數(shù)列V2，逐,2或，…，則2V5是該數(shù)列的(C)

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

［解析］選C.由數(shù)列V2,V5,2V2，…的前三項(xiàng)魚(yú),V5，倔可知，數(shù)列的通項(xiàng)

公式為斯=j2+3(n-l)=V3n-1,由《3九一1=2V5,解得n=7.故選C.

2.在數(shù)列｛aj中，的=2,2即+1=2an+n,則<29等于(A)

A.20B.30C.36D.28

［解析］選A.因?yàn)榉?2,2a“+i=2冊(cè)+ri,所以冊(cè)+i-斯=］,所以a9=(a9-?8)+

871

+++-+21+2+…+7+8c1(l+8)x8

2—1)+=2-------------FZ=-X---------\~

((2Q—電)++(。。222

--

22

3.若數(shù)列｛冊(cè)｝滿足%=2,冊(cè)+i=咎5CN*),則該數(shù)列的前2023項(xiàng)的乘積是

(C)

A.-2B.-1C.3D.1

［解析］選C.因?yàn)閿?shù)列｛斯｝滿足方=2,冊(cè)+1=產(chǎn)（九eN*）,所以=產(chǎn)=盧|=

-3，同理可得。3=-1,。4=3，。5=2,…，所以數(shù)列｛斯｝的周期為4,即與+4=

an，且方??。3?。4=1，而2023=505x4+3,所以該數(shù)列的前2023項(xiàng)的乘

積是，，。4,…，。2023-I505X的Xa2X=3.故選C.

4.［2023?山東東營(yíng)模擬］已知數(shù)列｛冊(cè)｝是遞增數(shù)列，滿足的＞3,a1+a2+a3+

...+an=110,且與EZ，則n的最大值為（C）

A.10B.11C.12D.13

［解析］選C.由題意得+a2+。3+…+23+4+5+…+（71+2）=/+2+,）」—

n（n+5）

-2-，

即手＜110，所以71￡12，即71的最大值為12.故選C.

5.（多選）若數(shù)列｛冊(cè)｝滿足：對(duì)任意正整數(shù)n,｛an+1-an）為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列

｛冊(cè)｝為“差遞減數(shù)列”.給出下列數(shù)列｛冊(cè)｝（＞GN*）,其中是“差遞減數(shù)列”的有

（CD）

2

A.an-3nB.an—n+lC.an—y/nD.an—In

［解析］選CD.對(duì)于A,若斯=3n,則與+i-斯=3（n+1）-3n=3,為常數(shù),所以

｛冊(cè)｝不為“差遞減數(shù)列"，故A錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B,若斯-n+1,則與+1-冊(cè)=（ri+1）2-/=2n+1,所以｛七+i-an）為遞

增數(shù)列，｛冊(cè)｝不為“差遞減數(shù)列"，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若冊(cè)=向，則冊(cè)+i-即=Vn+1一5=77rL廠，所以｛冊(cè)｝為"差遞減數(shù)

列”，故C正確；

對(duì)于D，若斯=In熱，則即+］一冊(cè)=In翟—In信=In（翟?平）=In（1+e）,

由函數(shù)y=In（1+總）在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以｛冊(cè)｝為“差遞減數(shù)列”，故D

正確.

6.已知正項(xiàng)數(shù)列｛aj中，師+a+…+回=*由，則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式冊(cè)=

n-.

［解析］因?yàn)槠?d通+…+阿=*西，

所以西+a+…+回/=”F但22),兩式相減得回=藝西一也產(chǎn)=九(712

2),所以即-n2(n>2),又當(dāng)n-1時(shí)，廊=竽=1,%=1,適合上式,所以

2,

an=n,nEN*,

7.［2023?北京西城區(qū)模擬］若數(shù)列｛aj前n項(xiàng)和為%=(冊(cè)+2,則數(shù)列｛冊(cè)｝的通

項(xiàng)公式即=工(二^

1

［解析］Sn=］冊(cè)+2，①

當(dāng)n=1時(shí)，的=:al+2,解得的=3,

當(dāng)n22時(shí)，S"_i=1冊(cè)_1+2,②

11

①—②彳導(dǎo)Q九=—CLn——Cln-i,

解得，所以｛霰｝是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，

2an—l=—5'3'

所以斯=3.；廣1.

8.寫(xiě)出一個(gè)符合下列要求的數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式：①｛冊(cè)｝是無(wú)窮數(shù)列；②｛冊(cè)｝是單

調(diào)遞減數(shù)列；③-2〈盤(pán)<0.這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是每-2+,(答案不唯

=11-

［解析］因?yàn)楹瘮?shù)冊(cè)=-2+；的定義域?yàn)镹*,且即=-2+［在N*上單調(diào)遞減,

-2<-2+i<0,所以滿足3個(gè)條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是即=-2+L

nn

9.已知數(shù)列｛冊(cè)｝中，的=2,a2=|，d-n^n+2=l(nGN*).

(1)求。3，。5的值；

［答案］解：當(dāng)n=1時(shí)，的￡13=1,所以。3=|；

當(dāng)n=3時(shí)，a3a5=1，所以@5=2.

(2)求｛aj的刖2024項(xiàng)和S2024?

［答案］當(dāng)律=2時(shí)，a2a4=1，所以=2；

由與即+2=1得冊(cè)+2冊(cè)+4=1，所以冊(cè)=an+4,故數(shù)列｛冊(cè)｝是以4為周期的周期數(shù)

列，

=a=a=a=

即。4打==2,G.4n+i—ttl—2,G-4n+22'4n+337'

11A

2+++2

--7

所以S2024=506(即+a2+a3+a4)=506x22

［B級(jí)綜合運(yùn)用1

10.［2023?北京北大附中模擬］已知數(shù)列｛aj滿足。逆2a3…冊(cè)=/，其中

n=1,2,3,…，則數(shù)列｛aj（A）

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

［解析］選A.依題意,因?yàn)榈?22a3”.斯=n2,其中n=1,2,3,…，當(dāng)n=1時(shí)，

的=12=1,

2

22

當(dāng)幾22時(shí)，。1的。3…冊(cè)-1=（八一I）,a1a2a3...an=n,兩式相除有斯=（二/=

（1+止J,n>2,易得冊(cè)隨著n的增大而減小,故冊(cè)<。2=4,且（2">1=

故最小項(xiàng)為=1,最大項(xiàng)為。2-4,故選A.

11.（多選）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱

之為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，

依次類推.設(shè)第n層有冊(cè)個(gè)球，從上往下n層球的總個(gè)數(shù)為％，則下列關(guān)系式正確

的是（ACD）

A.S5=35B.。九+1—a^i=n

C.Si—(=吟^,n>2D.工+工+工+…+，=變

。2a3a100101

［解析］選ACD.由題意得

at-1,a2-ar-2,a3-a2-3,...,an-an_r-n(n>2),以上n個(gè)式子相加可

得=1+2+3+…+n=(n>2),又的=1也滿足上式,所以冊(cè)=

——~~-(neN*),所以S5=%+a2+。3+。4+。5=1+3+6+10+15—35,故A

正確；

由遞推關(guān)系可知即+1-冊(cè)=n+1,故B不正確；

當(dāng)n22時(shí)，S"-Sn_1-an-爪,),故C正確；

因?yàn)槎?2(工—，所以工+工+…+工=2x(1—0+2x^—9+

ann(n+i)\nn+17aioo\2/\23/

…+2x島-+)=2x(一左)=黑，故D正確.故選ACD.

12.已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=1,an-an+1-nanan+1(nGN*)，則須=n2~n+2-

［解析］因?yàn)樗埂?1+］—九。九。九+1,

所以鴛皿=」J=n,

anan+lan+lan

則工=(二」-)+(二----(n-1)+(n-2)+...+3+

a

an\anan-i/\an-ian_2/\。2l

2+1+1=(af+i)+i="-7(n>2)，所以an=冠三互(n22),又的=1也

滿足上式，所以即=丁三.

n^—n+2

13.［2023?江蘇蘇州八校聯(lián)盟第二次檢測(cè)］已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為%,若Sn=

TLCLn,且S2+S4+$6+...+=I860,則的=2.

［解析］方法一：因?yàn)镾n=幾M，所以當(dāng)n22時(shí)，

Q■九=S九―1=71Q九（711）Q九―1,（九1）。?1=（九1）。九一1‘艮|^"九=。71―1,月斤上人

tti,S=71Q1S2+S+S+

數(shù)列｛冊(cè)｝是常數(shù)列，所以冊(cè)=n,所以46...+S60=(2+4+

6+...+60)的=(2+6y30%=930al=i860,解得的=2.

Sn=na,n>2Sn=n(S-nS_,

方法二：因?yàn)閚所以當(dāng)時(shí)，nS-i),得(律-l)Sn=n1

則有包=與，

nn—1

所以數(shù)列｛^｝是常數(shù)列，則+=?=的，

所以Sn=/Id],則S2+S4+S$+...+$60—(2+4+6+...+60)(Zj------------%—

930al=1860,解得的=2.

14.已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=1,@2=3,且G九+2—2@幾+1+G幾=4,71EN*.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

[答^第解：令c九=冊(cè)+i—冊(cè)/則C/i+i—=4,而Q=%—%=2,

所以｛7｝是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列，即％=2+4(幾-1)=4"-2,

以J+Q+*■■+^n-1=。2—◎1+。3—@2++。九—^n-1=。?！?CLn—1,54

J+。2+...+j-i=4(1+2+...+?1—1)—2(n—1)=2幾2—4n+2,

所以冊(cè)=2n2-4n+3.

（2）設(shè)勾=攀,neN*，求%的最小值.

［答案］由（1）得以=^=271+3—4,neN：

所以0Z2河1—4=2爬—4,當(dāng)且僅當(dāng)律=丹（1,2）時(shí)等號(hào)成立，故">

2傷一4且在71^2上單調(diào)遞增，又瓦=1<匕2=|,

所以當(dāng)n=1時(shí)，0有最小值比=1.

［C級(jí)素養(yǎng)提升］

(2n—1n<4

15.已知數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為時(shí)=1—九2+①］fn；>5eN*),若CI5是｛冊(cè)｝

中的最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是［9,12］.

［解析］當(dāng)nW4時(shí)，詼=2n-1單調(diào)遞增，因此九=4時(shí)取得最大值，最大值為

4

a4—2—1=15,

當(dāng)n25時(shí),冊(cè)=-n2+(a-l)n=-(n-+，；)-,

因?yàn)椤?是｛%｝中的最大值,即｛:；州

(<55

所以2—bb解得9WaW12,

1―25+5(a-1)>15,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍