2019-2020學年新教材高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.2立體圖形的直觀圖課時作業(yè)25立體圖形的直觀圖新人教A版必修第二冊

PAGE1-課時作業(yè)25立體圖形的直觀圖知識點一斜二測畫法的概念1.關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法正確的是()A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形B．梯形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是菱形D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形答案D解析由斜二測畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長度減半，直角坐標系變成斜坐標系，而平行性沒有改變，故只有D正確．2．如下圖，在斜二測畫法下，邊長為1的正三角形ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()答案C解析C中前者畫成斜二測直觀圖時，底邊AB不變，底邊AB上的原高h變?yōu)閑q\f(h,2)，后者畫成斜二測直觀圖時，邊AB上的高OC不變，邊AB變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)，這兩個三角形不是全等三角形.知識點二有關(guān)計算問題3.已知正三角形ABC的邊長為4，那么水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A．4eq\r(3) B．2eq\r(3)C．4eq\r(6) D．eq\r(6)答案D解析解法一：根據(jù)題意，建立如圖①所示的平面直角坐標系，再根據(jù)斜二測畫法畫出其直觀圖，如圖②所示．易知，A′B′＝AB＝4，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\r(3)，作C′D′⊥A′B′于點D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),2)，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(6),2)＝eq\r(6)，故選D．解法二：通過斜二測畫法畫出的三角形的直觀圖的面積與原三角形的面積之比為eq\f(\r(2),4)∶1，因為S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3)，所以S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\r(6).故選D．4．如圖，梯形A1B1C1D1是平面圖形ABCD的直觀圖，若A1D1∥y′軸，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝1，則梯形ABCD的面積是()A．10 B．5C．5eq\r(2) D．10eq\r(2)答案B解析斜二測畫法下的梯形的面積S＝eq\f(1,2)×(2＋3)×1×sin45°＝eq\f(5\r(2),4)，根據(jù)eq\f(S直觀圖,S原圖)＝eq\f(\r(2),4)，得S梯形ABCD＝eq\f(5\r(2),4)×2eq\r(2)＝5，故選B．知識點三空間幾何體的直觀圖畫法5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖是()答案B解析A項中幾何體的正視圖與所給三視圖不符，排除A；C項中俯視圖與所給三視圖不符，排除C；D項中幾何體的側(cè)視圖與所給三視圖不符，排除D；經(jīng)驗證，B項中幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖與題中所給三視圖均符合．故選B．6．有一個正六棱錐(底面為正六邊形，側(cè)面為全等的等腰三角形的棱錐)，底面邊長為3cm，高為5cm，畫出這個正六棱錐的直觀圖．解(1)先畫出邊長為3cm的正六邊形水平放置的直觀圖，如圖①所示．(2)過正六邊形的中心O′建立z′軸，畫出正六棱錐的頂點V′，如圖②所示．(3)連接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如圖③所示．(4)擦去輔助線，遮擋部分用虛線表示，即得到正六棱錐的直觀圖，如圖④所示．一、選擇題1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是()A．原來相交的仍相交 B．原來垂直的仍垂直C．原來平行的仍平行 D．原來共點的仍共點答案B解析根據(jù)斜二側(cè)畫法，原來垂直的未必垂直．2．如果一個三角形的平行投影仍是一個三角形，則下列結(jié)論正確的是()A．內(nèi)心的平行投影還是內(nèi)心B．重心的平行投影還是重心C．垂心的平行投影還是垂心D．外心的平行投影還是外心答案B解析三角形的重心是三條中線的交點，三角形平行投影后各邊的中點位置不會變，故其中線的交點，即重心仍是三角形的重心．3．如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖的周長是()A．8cmB．6cmC．2(1＋eq\r(3))cmD．2(1＋eq\r(2))cm答案A解析根據(jù)直觀圖的畫法，原幾何圖形如右圖所示，四邊形OABC為平行四邊形，OB＝2eq\r(2)cm，OA＝1cm，AB＝3cm，從而原圖的周長為8cm.4．如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()A．eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2) B．1＋eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\r(2) D．2＋eq\r(2)答案D解析等腰梯形A′B′C′D′為水平放置的原平面圖形的直觀圖，作D′E′∥A′B′交B′C′于點E′，由斜二測直觀圖的畫法規(guī)則，等腰梯形A′B′C′D′的原平面圖形為直角梯形ABCD，如右圖，且AB＝2，BC＝1＋eq\r(2)，AD＝1，即S梯形ABCD＝2＋eq\r(2).5．如圖是利用斜二測畫法畫出的△ABO的直觀圖，已知O′B′＝4，A′B′∥y′軸，且△ABO的面積為16，過A′作A′C′⊥x′軸，則A′C′的長為()A．2eq\r(2) B．eq\r(2)C．16eq\r(2) D．1答案A解析因為A′B′∥y′軸，所以在△ABO中，AB⊥OB．又△ABO的面積為16，所以eq\f(1,2)AB·OB＝16.所以AB＝8，所以A′B′＝4.又∠A′B′C′＝45°，所以A′C′的長為4sin45°＝2eq\r(2).二、填空題6．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′軸，則原平面圖形的面積為________．答案36eq\r(2)解析在直觀圖中，設(shè)B′C′與y′軸的交點為D′，則易得O′D′＝3eq\r(2)，所以原平面圖形為一邊長為6，高為6eq\r(2)的平行四邊形，所以其面積為6×6eq\r(2)＝36eq\r(2).7.如圖所示為一個水平放置的正方形ABCO，在直角坐標系xOy中，點B的坐標為(2,2)，則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B′到x′軸的距離為________．答案eq\f(\r(2),2)解析點B′到x′軸的距離等于點A′到x′軸的距離d，而O′A′＝eq\f(1,2)OA＝1，∠C′O′A′＝45°(或135°)，所以d＝eq\f(\r(2),2)O′A′＝eq\f(\r(2),2).8．等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．答案eq\f(\r(2),2)解析如圖：作C′H′⊥A′B′于H′，則S梯形A′B′C′D′＝eq\f(1,2)(A′B′＋C′D′)·C′H′＝eq\f(1,2)(AB＋CD)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)OC))·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)×(3＋1)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).三、解答題9．如圖，△O′B′C′是水平放置的三角形OBC的斜二測畫法的直觀圖，其中O′B′＝B′C′＝4，∠O′B′C′＝45°.(1)試畫出原三角形OBC；(2)求△OBC與△O′B′C′的面積比．解(1)如圖，過C′作y′軸的平行線交x′軸于D′，則C′D′＝C′B′＝4.畫直角坐標系xOy，在x軸上取OB＝O′B′＝4，取OD＝O′D′，過D作y軸的平行線，并截取DC＝2C′D′＝8，連接OC，BC，得△OBC．(2)S△OBC＝eq\f(1,2)·OB·DC＝eq\f(1,2)×4×8＝16，S△O′B′C′＝eq\f(1,2)·O′B′·B′C′sin45°＝eq\f(1,2)×4×4×eq\f(\r(2),2)＝4eq\r(2)，∴eq\f(S△OBC,S△O′B′C′)＝eq\f(16,4\r(2))＝2eq\r(2).10．(1)已知一個等腰梯形的上底和腰均為eq\r(2)，且一個底角為45°，求這個圖形的直觀圖的面積；(2)已知一個四邊形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為eq\r(2)的等腰梯形，求原四邊形的面積．解(1)如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，其中AD＝DC＝eq\r(2)，∠DAB＝45°，過D作DH⊥AB，交AB于H點，則DH＝AH＝1，∴AB＝eq\r(2)＋2，建立如圖所示的直角坐標系及對應(yīng)的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，畫出其直觀圖梯形A′B′C′D′，則A′B′＝AB＝eq\r(2)＋2，C′D′＝eq\r(2)，D′H′＝eq\f(1,2)，h′＝D′H′·sin45°＝eq\f(\r(2),4)，∴S梯形A′B′C′D′＝eq\f(2＋\r(2)＋\r(2)×\f(\r(2),4),2)＝eq\f(\r(2)1＋\r(2),4).(2