河南省濮陽市2025屆高三數(shù)學(xué)5月模擬考試試題文（含解析）

河南省濮陽市2025屆高三數(shù)學(xué)5月模擬考試試題文（含解析）

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合4={1]-2<無<2},8={刈[<-1卜則Ac3=(

)

A.{x|x<0}B.{x\x<2}C.{x|-2<x<0}D.

{^|-3<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】

解分式不等式求出集合3,依據(jù)交集定義求出結(jié)果.

［詳解】B=jx||<-lj={x|-3<x<0}

則Ac3={乂-2（尤<0}

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.歐拉公式*=cosx+，sinx（，為虛數(shù)單位）是由瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉獨(dú)創(chuàng)的，它將指數(shù)函數(shù)

的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占用特別重要

的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，依據(jù)歐拉公式可知，e?'表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（

）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

由歐拉公式*=cosx+z'siru,可得e2'=cos2+isin2,e"表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的象限.

【詳解】解：由歐拉公式*=cosx+z'siru，可得e2'=cos2+isin2,

此復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（cos2,sin2）,易得cos2<0,sin2>0,

可得此點(diǎn)位于其次象限，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用，敏捷運(yùn)用所給條件求解是解題的關(guān)鍵.

3.某校有文科老師120名，理科老師225名，其男女比例如圖，則該校女老師的人數(shù)為（）

文科教師理科教師

A.96B.126C.144D.174

【答案】D

【解析】

【分析】

先由統(tǒng)計(jì)圖表數(shù)據(jù)得到女老師所占的概率，再分別計(jì)算文科老師和理科老師中女老師的人數(shù),

即可求解，得到答案.

【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖表可知，該校文科老師中女老師的人數(shù)為120x0.7=84人，該校理科老師

中女老師的人數(shù)為225x0.4=90人，所以該校女老師的人數(shù)為84+90=174人，故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖表的實(shí)際應(yīng)用，其中解答中依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表得出該校文科老師

和理科老師中女老師所占的頻率是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

4.在等比數(shù)列中，=1,58=3,則。13+。14+。15+。16的值是（）

A.8B.15C.18D.20

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,依據(jù)64=1,項(xiàng)=3,求得=2,又由%+44+45+46=r,

即可求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛/｝的公比為4,

因?yàn)椤?,5g—3,即％+/+/+=1，%+R+%+/=2,

貝°qa=四+1+%+”=2,

'1+%+%+/

又由包+%+%+&=/2=23=8,故選A.

〃]+出+/+

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的性質(zhì)，合理運(yùn)算

是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知圓。：犬+丁2—2x=0,在圓C中任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于1的概率為（）

211

A.—B.—C.—D.以上都不

萬42

對(duì)

【答案】C

【解析】

分析：畫出滿意條件的圖像，計(jì)算圖形中圓內(nèi)橫坐標(biāo)小于1的面積，除以圓的面積。

點(diǎn)睛：幾何概型計(jì)算面積比值。

jr

6.要得到丁=以《(2*-7)的圖象，只需將y=sin2x的圖象()

77冗

A.向左平移一個(gè)單位B.向左平移一個(gè)單位

48

77TT

C.向右平移一個(gè)單位D.向右平移一個(gè)單位

48

【答案】B

【解析】

'Ji'Ji'Ji'JiJri

試題分析：y=cos(2x——)=sin(2x——)+—=sin(2x+—)=sin2(x+—),故要得到

4L42j48

JT77

y=cos(2x—Z)的圖象，只需將y=sin2x的圖象向左平移g個(gè)單位

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin3a+°)的圖像和性質(zhì)

x+y..3

7.若變量％,V滿意約束條件(x—丁2-1,則z=?的最大值為()

2x-y<3X

15

A.4B.2C.-D.-

24

【答案】B

【解析】

【分析】

畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，得出當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的斜率最大，即可求解,

得到答案.

x+y..3

【詳解】畫出約束條件<x-yN-1所表示平面區(qū)域，如圖所示，

2x-y<3

由目標(biāo)函數(shù)z=2,可化為z=2二9表示平面區(qū)域的點(diǎn)與原點(diǎn)0(0,0)連線的斜率，

xx-0

結(jié)合圖象可知，當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)直線的斜率最大，

x+y=32-0

又由4,,解得力,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為z=——=2,故選B.

x-y=-l1-0

/d/X

【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式

組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重

考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

8.設(shè)四面體ABCD各棱長(zhǎng)均相等，S為的中點(diǎn)，。為上異于中點(diǎn)和端點(diǎn)的任一點(diǎn),

則ASQD在四面體的面BCD上的的射影可能是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意可知四面體為正四面體，依據(jù)正四面體的特點(diǎn)可求得S在平面BCD上的射影點(diǎn)T在中

線DE上,且。T=又。,。右平面BCD,可得射影三角形，從而得到結(jié)果.

【詳解】四面體各棱長(zhǎng)相等，可知四面體A3CD為正四面體

取中點(diǎn)E，連接DE,如下圖所示:

2

作AF_L平面BCD,垂足為P，由正四面體特點(diǎn)可知，P為ABCD中心,且。尸=—￡)￡1

3

作ST,平面BCD,垂足為T,可知ST//AF,且T為。尸中點(diǎn)，則

3

即S在平面BCD上的射影點(diǎn)為T

又DQe平面BCD

ADQT即為ASQD在平面BCD上的射影，可知③正確

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】本題考查投影圖形的求解問題，關(guān)鍵是能夠確定射影點(diǎn)所處的位置，屬于基礎(chǔ)題.

9.已知平面內(nèi)的兩個(gè)單位向量近，0B，它們的夾角是60°,OC與近、05向量的夾角

都為30°,且|。。|=2百，若=+〃08,則2+〃值為()

A.2百B.4g_C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

由OC在NA03的角平分線上，得到彳=〃，即。。=幾(。4+。8),再由口G=2百，依

據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算列出方程，即可求解，得到答案.

【詳解】由題意，可得0乙在NA03的角平分線上，所以O(shè)C=MOA+O3),

再由=AOA+/JOB可得九=〃，即OC=A(OA+OB),

再由|。4=2百，

得2后="2(04+03)2=”2(。/+2OAOB+OB2)=722(1+2xlxlcos60°+1)，

解得/l=2,故〃=2,所以2+〃=4,故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面對(duì)量的基本定理，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中解答中熟記平

面對(duì)量的基本定理，得到彳=〃，再利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,

著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知函數(shù)小bcosx+lnm，若［蓋［++［黯］=

1009（。+〃）ln?（a>0,〃>0）,則工+石的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)〃x)+/(?—力=2山不，采納倒序相加的方法可得S=20181n?,從而得到

a+b=2,依據(jù)基本不等式求得最小值.

【詳解】由題可知：

7l（7l-x\0

/（x）+/（〃-x）=cosx+lnnX+cos（乃-%）+In-----------=In%2=21n〃

71—Xx

712018萬）

令s=f+f2019J

2019

I2019）I2019J2019J

于是有2s=21n?+21n〃H----i-21n^-=2x20181n^-nS=20181n〃

因此a+Z>=2

［（2+2）=2

當(dāng)且僅當(dāng)a=5=1時(shí)取等號(hào)

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】本題考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和最小值問題.關(guān)鍵是能夠通過函

數(shù)的規(guī)律求得。與b的和，從而能夠構(gòu)造出基本不等式的形式.

11.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為歹，過歹的直線/交拋物線。于A、8兩點(diǎn)，弦的

中點(diǎn)"到拋物線。的準(zhǔn)線的距離為5,則直線/的斜率為（）

A瓜R娓rn-Li

A.±-------15.±-------U.土---U.十I

一232一「

【答案】B

【解析】

【分析】

求得拋物線的焦點(diǎn)/（1,0）,利用定義得到/+"=5,求得%=4,再由三左=?，，

求得C:,進(jìn)而可求解直線的斜率，得到答案.

【詳解】由題意，拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)/（1,0）,

設(shè)4（*,必）,3（々,上），線段AB的中點(diǎn)”（天,%）,所以/=、%%,

由弦AB的中點(diǎn)〃到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5,即天+5=5,則毛=4,

又由＜一?2,兩式相減得（%+%）（%一/）=4（玉一居），

也=4%'"

?,r弘一上兒一°咐、|2%一°2%一0

又由化=------------7,所以——=----7，即一一下一T

%一％Xo-1%x0-iy04-1

解得C:,

所以直線的斜率為左=2=±逅，故選B.

為3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的中點(diǎn)弦問題，以及斜率公式的應(yīng)用，其中解答中合

理利用平方差法和斜率公式，列出關(guān)于先的方程，求得方的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推

理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題.

12.已知函數(shù)f(x)=.],又g(x)=[/(x)]2+//-(%)(?eR),若關(guān)于左的方程g(x)=-1有四

個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)f的取值范圍為()

/+162+1e2+1

A.(田,-------)B.(-----,+oo)C.(--^^,-2)D.

22e

【答案】A

【解析】

=e*+xex>0

當(dāng)了之0時(shí)，/(x)=xe］./'(x)=e*+xeX>0恒成立，.?./(;(;)在［0,+。。)上單調(diào)遞增，當(dāng)

尤<0時(shí)，/(x)=-xex(x)=-ex-xex=-ex(1+%),由尸(x)>0,得x<-l,由

/'(x)<0,得—l<x<0,.?./■(尤)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(—1,0)上單調(diào)遞減，

.?./(%)=|回在S,0)有一個(gè)最大值，=要使方程/⑴+"⑴+1=09e尺)

有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令/(%)=加，則方程加2+.+1=。應(yīng)有兩個(gè)不等的實(shí)根叫，帆2且

mjeQ,+co^,4g(m)=m2+Zm+1,g(0)=l>0,.?.只需g［，］<0,即

1te2+1(/+1、

下+―+l<0,得/<—幺二，即f的取值范圍是—8,------,故選A.

e-ee\e)

【方法點(diǎn)睛】已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)干脆法,

干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分別參數(shù)法，

先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一

平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)

y=g(x),y=//(%)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)

零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為y=a,y=g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

第n卷(非選擇題，共90分)

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）.

13.某公司的組織結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，則信息部被干脆領(lǐng)導(dǎo).

【答案】總工程師

【解析】

【分析】

依據(jù)組織結(jié)構(gòu)圖的定義及其要素間的從屬關(guān)系可得結(jié)論.

【詳解】依據(jù)給定的組織結(jié)構(gòu)圖，可知信息部從屬于總工程師，所以填總工程師.

故答案為：總工程師.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)結(jié)構(gòu)圖的理解與應(yīng)用，組織結(jié)構(gòu)圖是將組織分成若干部分，并且標(biāo)

明各部分之間可能存在的各種關(guān)系，屬于簡(jiǎn)潔題.

14.若數(shù)列｛4｝滿意4+1+??.r.2a,2）,則稱數(shù)列｛4｝為凹數(shù)列.已知等差數(shù)列出｝的公

差為d,偽=2,且數(shù)列，是凹數(shù)列，則d的取值范圍為.

【答案】（-8,2]

【解析】

試題分析：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛2｝的公差為d,4=2,所以2=2+（〃—l）d,又?jǐn)?shù)列是

bb2b

凹數(shù)歹U,所以—+a2j,化簡(jiǎn),解不等式干脆可得d<2,故d的取值范圍為（-8,2],

n—1n

考點(diǎn)：1.新定義；2.等差數(shù)列性質(zhì).

15.已知直線/與曲線,=三—x+i有三個(gè)不同的交點(diǎn)4（&弘），B（x2,y2）,。（毛,%），且

\AB\=\AC\,則X(%+%)=

【答案】3

【解析】

【分析】

依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得出函數(shù)的對(duì)稱中心，得到三點(diǎn)的坐標(biāo)和，即可求解，得到答案.

【詳解】由題意，函數(shù)丁=三-x是奇函數(shù)，則函數(shù)y=x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以函數(shù)y=x+1的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱，

因?yàn)橹本€/與曲線y=x+1有三個(gè)不同的交點(diǎn)4（%,乂）,6（9,％），。（七，%），

且|A5|=|AC\,

所以點(diǎn)A為函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，即A（（M）,且民C兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A（0,l）對(duì)稱，

所以石+々+退=0,%+%+%=3,于是+

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)對(duì)稱性的判定及應(yīng)用，其中解答中依據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)，得到

函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，進(jìn)而得到點(diǎn)A為函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，且民C兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱是解答的

關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔試題.

16.如圖，在正方體ABC。—A4G2中，點(diǎn)。為線段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CG上，直

線OP與平面A3。所成的角為戊，則sina的取值范圍是.

【解析】

【分析】

71冗

由題意可得直線利于平面4初所成的角。的取值范圍是NAOA，5oNG。4!，,，再

利用正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可得出取值范圍.

【詳解】由題意可得：直線利于平面4劭所成的角a的取值范圍是

717t

/AOA，,U404,5,

不妨取Z廬2.在Rt/\AOA\中，si/i/AOAi==—,=—^―,

A044+23

sinZGOAr=sin—2ZAO^)=sin2ZAO\=2sinZAO^cosZAO\

_OA/6A/3_2A/2V6

3333

since的取值范圍是］

【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可、線面角的求法，考查了推

理實(shí)力，屬于中檔題.

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必需作答.第22,23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

17.如圖，2012年春節(jié)，攝影愛好者S在某公園A處，發(fā)覺正前方B處有一立柱，測(cè)得立柱頂

端。的仰角和立柱底部B的俯角均為30。，已知S的身高約為3米(將眼睛距地面的距離按

百米處理)

(1)求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度；

(2)立柱的頂端有一長(zhǎng)2米的彩桿MN繞中點(diǎn)。在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).攝影者有一視

角范圍為60。的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的隨意時(shí)刻，攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明

理由.

【答案】（1）攝影者到立柱的水平距離為3米，立柱高為米.（2）攝影者可以將彩桿全

部攝入畫面.

【解析】

試題分析：（1）如圖，不妨將攝影者眼部設(shè)為S點(diǎn)，做SC垂直0B于

C,NCSB=30JS8=6（T.

又Si二n故在扁迪融噴中,可求得BA=3,即攝影者到立柱的水平距離為3米.....3分

由SC=3,,二磁@'“在感溪魁3中，可求得01=、匚

又露二&k信,故。5-A三即立柱高為米.--------------6分

⑵（注：若干脆寫當(dāng)MY_SO時(shí)，最大，并且此時(shí)心嬲娥C”，得2分）

連結(jié)SM,SN,在ASON和ASOM中分別用余弦定理，

2-2^1

—>l..Z*VSAr<60'

aba*+&*13

故攝影者可以將彩桿全部攝入畫面.10分

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用；余弦定理。

點(diǎn)評(píng)：在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再依據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一

步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題。解題中，要留意正、余弦定理的應(yīng)用。

18.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD,PA=26，BC=CD=2,

71

ZACB=ZACD=~.

B

（I）求證：應(yīng)），平面PAC；

（II）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)/滿意PE=7EC,求三棱錐P—5DP的體積.

7

【答案】⑴見解析⑵一

4

【解析】

試題分析：（1）由于月4_L&BCD,可以證明H4J■即,要證明M_L面F4C,只需證明

從而3。1面PAC中的兩條相交直線，DA.AC.（2）由（1）知必。為等腰

三角形，面積簡(jiǎn)潔求出，考慮以BCD為底面.F為頂點(diǎn)的三棱錐，以及以BCD為底面，P為

頂點(diǎn)的二棱錐面積簡(jiǎn)潔求出，所以\'P-BDF=''RBCD-'F-BCD.

試題解析：（1）證明：因?yàn)锽C=CD,所以4BCD為等腰三角形，

又/ACB=/ACD,故BD±AC.因?yàn)镻A_L底面ABCD,所以PA±BD.

從而BD與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA,AC都垂直，所以BDL平面PAC.

11

(2)解:三棱錐PBCD的底面BCD的面積SABCD=-BC?CD-sinZBCD=-X2X2Xsin1-=/.

由PAL底面ABCD,得Q也二SABCD,PA二一X.乂2拒=2.

由PF=7FC,得三棱錐FBCD的高為工PA,

8

故-,SAHCD,PA=X、J、XX2,

V

384

=

所以T；gDF~^pKD~Brn^~—=一?

考點(diǎn)：1、線面垂直的判定定理；2、空間幾何體的體積公式.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是線面垂直的判定定理及三棱錐的體積公式，屬于中檔題.求

三棱錐的體積公式的方法有：間接法，用已知幾何體體積減去部分體積即得所求幾何體體

積.干脆法，干脆求該幾何體的一條高與所對(duì)應(yīng)的底面積，這里求幾何體的高可通過幾何法

干脆做出高并計(jì)算，也可以在空間直角坐標(biāo)系中用點(diǎn)到面的距離公式來解決.

19.隨著手機(jī)的發(fā)展，“微信”漸漸成為人們支付購物的一種形式.某機(jī)構(gòu)對(duì)“運(yùn)用微信支

付”的看法進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了50人，他們年齡的頻數(shù)分布及對(duì)“運(yùn)用微信支付”贊成人

數(shù)如下表.

年齡

（單位：[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

歲）

頻數(shù)510151055

贊成人數(shù)51012721

（I）若以“年齡45歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2x2列聯(lián)表，并推斷是否有99%

的把握認(rèn)為“運(yùn)用微信支付”的看法與人的年齡有關(guān)；

年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)

贊成

不贊成

合計(jì)

（II）若從年齡在［55,65）的被調(diào)查人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求2人中至少有1人不

贊成運(yùn)用微信溝通的概率.

參考數(shù)據(jù)：

Pg.k。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

壯2n(ad-bc)4一，，

K=----------------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

9

【答案】⑴見解析⑵—

10

【解析】

試題分析：

(1)結(jié)合所給的數(shù)據(jù)繪制列聯(lián)表，據(jù)此計(jì)算可得段=5°x(3xK)—27xl°j心仇98>6.635.

37x30x13x20

則有99%的把握認(rèn)為“運(yùn)用微信溝通”的看法與人的年齡有關(guān).

(2)設(shè)年齡在［55,65)中不贊成“運(yùn)用微信溝通”的人為4B,C,贊成“運(yùn)用微信溝通”的人

為a,b,據(jù)此列出全部可能的事務(wù)，結(jié)合古典概型公式可得2人中至少有1人不贊成“運(yùn)用

9

微信溝通”的概率為々一.

10

試題解析：

(1)2X2列聯(lián)表如下:

年齡不低于45歲的人數(shù)年齡低于45歲的人數(shù)合計(jì)

贊成102737

不贊成10313

合計(jì)203050

/=5°x(3xl0—27x10)2~635.

37x30x13x20

所以有99%的把握認(rèn)為“運(yùn)用微信溝通”的看法與人的年齡有關(guān).

(2)設(shè)年齡在［55,65)中不贊成“運(yùn)用微信溝通”的人為4B,C,贊成“運(yùn)用微信溝通”的人

為a,b,

則從5人中隨機(jī)選取2人有4?,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共10種結(jié)果，其中

2人中至少有1人不贊成“運(yùn)用微信溝通”的有46,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb、Ca、Cb,共9

9

種結(jié)果，所以2人中至少有1人不贊成“運(yùn)用微信溝通”的概率為P=—.

V22

20.已知橢圓C：=+y=l(a〉6〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳、工，N閭=2,點(diǎn)。在橢圓

a

上，且AQ耳心的周長(zhǎng)為6

(I)求橢圓。的方程；

(II)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),不過原點(diǎn)。的直線/與橢圓C相交于4,3兩點(diǎn)，設(shè)線段

的中點(diǎn)為“，點(diǎn)尸到直線/的距離為d,且M,O,P三點(diǎn)共線，求上二屋的

1316

最大值.

2252

【答案】(I)土+乙=1;(II)—.

433

【解析】

【分析】

(I)依據(jù)焦距和焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)可求得。，。，利用62="2一°2求得匕，從而可得橢圓的方

程；(II)當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，可推斷出“，O,P三點(diǎn)不共線，不符合題意；所以可假

設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出X1+Z和X/2；由三點(diǎn)共線得到斜率

相等關(guān)系，從而可求得上=-5；利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式求得|A@和d,代入可整

理出：—IABI2+-d2=--(m+^]+—,可知當(dāng)根=—3時(shí)取最大值.

13164(3)33

【詳解】(I)由題意得：2c=2,2a+2c=6

解得：a=2,c=l/.b2=a2-c2=3

22

???橢圓。的方程為土+二=1

43

(H)設(shè)雙孫％)

當(dāng)直線/與X軸垂直時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)〃在X軸上，且與。點(diǎn)不重合

明顯"，O,P三點(diǎn)不共線，不符合題設(shè)條件

故可設(shè)直線/的方程>=辰+〃7(相片。)

ykx+m,消去丁整理得：(3+4左2)X2+8hnx+4m2-12=0①

3%2+4y=12')

則/=Mk2nr—4（3+4左2乂4加2-12）＞0

-8km4m2-12二點(diǎn),Ms的坐一標(biāo)一為“〔3一+44kmk33+m"）

3+4左2$23+442

3m

.3+4嚴(yán)=1

*.*M，0,P二點(diǎn)共線,.k°M=k0p

?-4km2

3+4k~

c,3

mwQ/.k=--

2

此時(shí)方程①為：3x2-3mr+m2-3=01則△=3（12—"）＞。me（-273,273）

則%+々=，九，苞々=--—

；JAB『=（1+5）［（玉+尤2）~_4%々=￡（12一加2）

,|8—2mI2|m-4|

又公軍hFT

12,213,2(62、(m-4)23(4?52

一\AB\-+——d~=(12-m-}+-----—=——m+-+—

1316v744^3)3

...當(dāng)機(jī)=—ge(-273,26)時(shí)，^||AB|2+j|j2的最大值為y

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓綜合應(yīng)用中的求解最值的問題，解決直

線與橢圓綜合問題時(shí)，常采納聯(lián)立的方式整理出韋達(dá)定理的形式，利用韋達(dá)定理表示出所求

的距離或弦長(zhǎng)，從而將所求問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)最值的求解問題.

21.設(shè)函數(shù)/(x)=e*-ax+g,a>0.

(1)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(L/(D)處的切線與％軸平行，求。；

(2)當(dāng)X<1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象恒在X軸上方，求。的最大值.

【答案】(I)a=e；(II)a的最大值為2e；

【解析】

【分析】

(I)先求導(dǎo)數(shù)，再依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最終依據(jù)條件列方程解得a；(II)先求

導(dǎo)數(shù)，再依據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)與1大小分類探討，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最小值，最終依據(jù)最

小值大于零，解得a的取值范圍，即得最大值.

【詳解】(I)Vf(x)=ex—ax+^,fJ(x)=ex_a,.*.f,(1)=e_a,

由題設(shè)知f'(1)=0,即e-a=0,解得a=e.

閱歷證a=e滿意題意.

(II)令f'(x)=0,HPex=a,則x=lna,

(1)當(dāng)InaVl時(shí)，即OVaVe

對(duì)于隨意*￡(-8,Ina)有f'(x)<0,故f(x)在(-°°,Ina)單調(diào)遞減；

對(duì)于隨意*￡(Ina,1)有f'(x)>0,故f(x)在(Ina,1)單調(diào)遞增，

因此當(dāng)x=lna時(shí)，f(x)有最小值為a-alna+'=a[m—lna]>0成立.所以0<a<e,

(2)當(dāng)lna'l時(shí)，即aee對(duì)于隨意xe(-℃>,1)有f'(x)<0,

故f(x)(-8,1)單調(diào)遞減，所以f(x)>f(1).

因?yàn)閒(x)的