3.1.2 橢圓的性質(zhì)（原卷版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

.1.2橢圓知識點一橢圓的離心率【【解題思路】求橢圓離心率及取值范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2＝b2＋c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．【例1-1】（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，點在上，，且橢圓過點，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【例1-2】（23-24高二下·廣東·期末）橢圓的左、右焦點分別為，，過點且與長軸垂直的直線交橢圓于，兩點．若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）．A． B． C． D．【例1-3】（22-23高二上·北京·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓與軸的交點，若是鈍角三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式】1（23-24高二下·海南?？凇て谀┮阎?，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，則以A、B為焦點，經(jīng)過點C的橢圓的離心率為．3（23-24高二下·廣西貴港·期末）已知分別是橢圓的左、右焦點，是上的一點，且，則的離心率為．4（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）橢圓：（）的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點（在左側(cè)），若，則的離心率為.5（23-24重慶·期末）已知，是橢圓的左、右焦點，若橢圓上總存在點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為知識點二點與橢圓的位置關(guān)系【【解題思路】點P與橢圓的位置關(guān)系【例2-1】（23-24高二上·河南南陽·階段練習(xí)）點與橢圓的位置關(guān)系為（

）A．點在橢圓上 B．點在橢圓內(nèi)C．點在橢圓外 D．不確定【例2-2】（2024·四川廣安·階段練習(xí)）點在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式】1（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）若點在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．點不在橢圓上 B．點不在橢圓上C．點在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關(guān)系2（2024吉林長春·階段練習(xí)）點P(4cosα，2sinα)(α∈R)與橢圓C：＋＝1的位置關(guān)系是（

）A．點P在橢圓C上 B．點P與橢圓C的位置關(guān)系不能確定，與α的取值有關(guān)C．點P在橢圓C內(nèi) D．點P在橢圓C外3（2023·山東日照）函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，若點在橢圓（，）上，則的最小值為（

）A．12 B．14 C．16 D．18知識點三直線與橢圓的位置關(guān)系【【解題思路】直線與橢圓的位置關(guān)系直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一個關(guān)于x的一元二次方程．直線與橢圓的位置關(guān)系、對應(yīng)一元二次方程解的個數(shù)及Δ的取值的關(guān)系如表所示．直線與橢圓解的個數(shù)Δ的取值兩個不同的公共點兩解Δ>0一個公共點一解Δ＝0沒有公共點無解Δ<0【例3-1】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）直線與橢圓的公共點的個數(shù)是（

）A．0 B．1C．2 D．無數(shù)個【例3-2】（22-23高二上·河北邯鄲·階段練習(xí)）直線與橢圓總有公共點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3-3】（23-24高二下·山東煙臺·階段練習(xí)）已知直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點，則的取值范圍（

）.A． B． C． D．【變式】1．（22-23高二上·山東濱州·期中）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定2．（23-24高二上·遼寧葫蘆島·期末）已知直線，橢圓，則與的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相交或相切3．（2024河南）若直線和圓沒有公共點，則過點的直線與橢圓的公共點個數(shù)為（

）A．0 B．1C．2 D．需根據(jù)a，b的取值來確定4（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓相切，則的值為（

）A． B． C． D．5（22-23高二上·福建莆田·期中）已知直線，橢圓的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)討論直線l與橢圓C的公共點個數(shù).知識點四弦長【【解題思路】求弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點坐標(biāo)，用兩點間距離公式求弦長．(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于一個未知數(shù)的一元二次方程，利用弦長公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積后代入公式可求得弦長．【例4-1】（23-24高二上·青海西寧·期中）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，其中左焦點為，長軸長為4．(1)求橢圓C的方程；(2)直線l：與橢圓C交于不同兩點P、Q，求弦長．【例4-2】（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點分別為、，上頂點為A，，長軸的長為4．過右焦點的直線l與橢圓交于M、N兩點（非長軸端點）．

(1)求橢圓的方程；(2)若直線l過橢圓的上頂點A，求的面積．【變式】1（23-24高二下·河北秦皇島·開學(xué)考試）已知橢圓：的離心率為且橢圓經(jīng)過點．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的左焦點作斜率為的直線交橢圓于、兩點，求．2（23-24高二下·江蘇連云港·期末）已知橢圓的離心率為，且過點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點的直線交橢圓于兩點，且（其中為坐標(biāo)原點），求的面積3（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知是離心率為的橢圓：（）上任意一點，是橢圓的右焦點，且的最小值是1.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓相交于，兩點，若，求直線的方程.知識點五中點弦【【解題思路】【例5-1】（23-24高二上·上?！て谀┮阎p曲線方程（，），漸近線方程為，并且經(jīng)過點.(1)求雙曲線方程；(2)設(shè)A，是雙曲線上的兩點，線段的中點為，求直線的方程.【例5-2】（23-24高二·江蘇·假期作業(yè)）已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【例5-3】．（23-24高二上·江蘇·期中）設(shè)A，B為雙曲線右支上的兩點，若線段的中點為，則直線的方程是（

）A． B． C． D．【例5-4】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，一個焦點為，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．若的中點為，則橢圓C的方程為（

）A． B． C． D．【例5-5】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，為中點，為坐標(biāo)原點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【變式】1．（22-23高二上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）不經(jīng)過原點的直線與橢圓相交于，，線段的中點為，設(shè)直線的斜率為，直線（為原點）的斜率為，則的值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知橢圓，是橢圓的一條弦的中點，點在直線上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4（23-24高二上·山西太原·期末）在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．5（23-24高二上·四川涼山·期末）過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使該弦被點平分.(1)求該弦所在的直線方程；(2)求該弦的弦長.知識點六由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【【解題思路】利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(1)確定焦點位置．(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)．(4)寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．【例6-1】（22-23高二·全國·課后作業(yè)）求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)長軸在x軸上，長軸長為12，離心率為；(2)橢圓過點，離心率；(3)在x軸上的一個焦點與短軸上的兩個頂點的連線互相垂直，且焦距為8；(4)與橢圓有相同的焦點，且短軸長為2．【變式】（2024廣東云?。┣鬂M足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在y軸上，焦距是4，且經(jīng)過點；(2)經(jīng)過兩點和；(3)經(jīng)過兩點.(4)過點且與橢圓有相同焦點.（5）長軸長與短軸長的和為18，焦距為6；（6）經(jīng)過點，且離心率；【題組一橢圓的離心率】1（2024山西太原·階段練習(xí)）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2（2024·陜西渭南）已知O為坐標(biāo)原點，A、B、F分別是橢圓C：（）的左頂點、上頂點和右焦點，點P在橢圓C上，且以O(shè)P為直徑的圓恰好過右焦點F，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．3（2024·陜西銅川）已知是橢圓的左、右焦點，若上存在不同的兩點，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．4（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）橢圓的右頂點為，右焦點為為橢圓在第二象限上的點，直線交橢圓于點，11延長直線交線段于，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．5（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知分別為橢圓的左頂點和左焦點，直線與橢圓交于兩點，若直線交線段于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過的直線與交于點，與軸交于點，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．7（23-24高二下·安徽六安·期末）已知橢圓的左?右焦點分別是是橢圓上兩點，四邊形為矩形，延長交橢圓于點，若，則橢圓的離心率為.8（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）橢圓的左、右焦點分別為、，過焦點的傾斜角為的直線交橢圓于兩點，弦長，若三角形的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為.【題組二點與橢圓的位置關(guān)系】1（2024寧夏銀川·階段練習(xí)）若點在橢圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2（23-24高二上·江蘇徐州·期末）（多選）已知直線與圓相切，橢圓，則（

）A．點在圓O內(nèi) B．點在圓O上C．點在橢圓C內(nèi) D．點在橢圓C上3（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）點在橢圓的內(nèi)部，則的值可以是（

）A． B． C．1 D．4（2024湖北）已知點P(k，1)，橢圓=1，點P在橢圓外，則實數(shù)k的取值范圍為.【題組三直線與橢圓的位置關(guān)系】1（23-24高二上·江西·期末）直線與橢圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定2（23-24高二上·重慶·期末）已知直線的方程為，橢圓的方程為，則直線與橢圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．不能確定3（22-23高二下·廣東深圳·期中）橢圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【題組四弦長】1（23-24高二下·上?！て谥校┮阎c、分別橢圓的左、右焦點，過作傾斜角為的直線交橢圓于、兩點，則弦的長為.2（23-24高二上·上海寶山·階段練習(xí)）過橢圓的左焦點引直線交橢圓于兩點，若弦的長為，則直線的斜率為.3（23-24高二上·上?！て谀┬甭蕿?的直線被橢圓截得的弦長為，則直線的方程為．4（23-24高二下·陜西渭南·期末）已知直線與橢圓交于，兩點，當(dāng)取最大值時的值為5（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知直線與橢圓C：相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點．當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，．6（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知橢圓C的兩焦點為，，P為橢圓上一點，且到兩個焦點的距離之和為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若已知直線，當(dāng)m為何值時，直線與橢圓C有公共點？7（22-23高二下·上海閔行·期末）已知橢圓C:的左右兩焦點分別為和，右頂點是A，且，.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若斜率為1的直線交橢圓C于M、N兩點，且，求直線的方程.8（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知橢圓的離心率，且過點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線與橢圓交于兩點，是坐標(biāo)原點，求面積的最大值.【題組五中點弦】1（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知為橢圓上的動點，直線與圓相切，切點恰為線段的中點，當(dāng)直線斜率存在時點的橫坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·重慶黔江·階段練習(xí)）設(shè)直線與橢圓交于兩點,且點為線段的中點,則直線的方程為（

）A． B．C． D．3（23-24高二下·云南紅河·期末）已知橢圓C：，的右焦點為，過F的直線與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．4（23-24高二下·黑龍江鶴崗·開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點為，且離心率為．三角形的三個頂點都在橢圓上，設(shè)它的三條邊AB、BC、AC的中點分別為D、E、M、且三條邊所在直線的斜率分別為、、，且、、均不為0，O為坐標(biāo)原點．若直線OD、OE、OM的斜率之和為1，則（

）A．－1 B．C． D．5（23-24高二上·浙江杭州·期中）（多選）設(shè)橢圓的方程為，斜率為k的直線l不經(jīng)過原點O，且與橢圓相交于A，B兩點，M為線段AB的中點，則（

）A．B．若，則直線l的方程為C．若直線l的方程為，則D．若直線l的方程為，則6（23-24高二上·