高考文數(shù)一輪課件8第八章立體幾何第四節(jié)直線平面平行的判定與性質(zhì)

第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)總綱目錄教材研讀1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)突破2.面面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)一直線與平面平行的判定和性質(zhì)考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問題1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)教材研讀

判定性質(zhì)定義定理圖形

條件a∩α=?①

a?α,b?α,

a∥b

a∥α②

a∥α,a?β,α∩β=b

結(jié)論a∥αb∥αa∩α=?a∥b2.面面平行的判定與性質(zhì)

判定性質(zhì)定義定理圖形

條件α∩β=?③

a?β,b?β,

a∩b=P,a∥α,b∥α

④

α∥β,

α∩γ=a,

β∩γ=b

α∥β,a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α與兩個(gè)平面平行有關(guān)的結(jié)論(1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等.(2)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(3)兩條直線被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.(4)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面互相平行.(5)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直

線,那么這兩個(gè)平面平行.1.若兩條直線都與一個(gè)平面平行,則這兩條直線的位置關(guān)系是

()A.平行

B.相交C.異面

D.以上均有可能答案

D與一個(gè)平面平行的兩條直線可以平行、相交,也可以異面.D2.(2018北京朝陽期中)已知m,n表示兩條不同的直線,α表示平面,下列說

法正確的是

()A.若m∥α,n∥α,則m∥n

B.若m∥α,m⊥n,則n⊥αC.若m⊥α,m⊥n,則n∥α

D.若m⊥α,m∥n,則n⊥α答案

D

A項(xiàng),直線m與直線n也可能相交或異面;B項(xiàng),也可能n∥α或直

線n與平面α相交但不垂直;C項(xiàng),也可能n?α;只有D項(xiàng)正確,故選D.D3.(2016北京朝陽二模)已知m,n,l為三條不同的直線,α,β,γ為三個(gè)不同的

平面,則下列命題中正確的是

()A.若m⊥l,n⊥l,則m∥n

B.若m∥α,n∥α,則m∥nC.若m⊥α,n⊥α,則m∥n

D.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β答案

C選項(xiàng)A中,若m⊥l,n⊥l,則m與n可平行,可相交,也可異面,故A

錯(cuò);選項(xiàng)B中,若m∥α,n∥α,則m與n可平行,可相交,也可異面,故B錯(cuò);選項(xiàng)D中,若α⊥γ,β⊥γ,則α與β可平行,可相交,故D錯(cuò).選項(xiàng)C正確.C4.(2016北京朝陽期末)給出四個(gè)命題:①平行于同一平面的兩個(gè)不重合的平面平行;②平行于同一直線的兩個(gè)不重合的平面平行;③垂直于同一平面的兩個(gè)不重合的平面平行;④垂直于同一直線的兩個(gè)不重合的平面平行.其中真命題的序號(hào)是

.①④答案①④解析若α∥β,α∥γ,則β∥γ,即平行于同一平面的兩個(gè)不重合的平面平

行,故①正確;若a∥α,a∥β,則α與β平行或相交,故②錯(cuò)誤;若α⊥γ,β⊥γ,則平面α與β平行或相交,故③錯(cuò)誤;若a⊥α,a⊥β,則α與β平行,故④正確.故真命題為①④.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結(jié)論中,正確的是

(只填序

號(hào)).①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.①②④解析如圖,因?yàn)锳B

C1D1,

所以四邊形AD1C1B為平行四邊形,故AD1∥BC1,從而①正確;易證BD∥B1D1,AB1∥DC1,又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,故平面AB1D1∥平面BDC1,從而②正確;由圖易知AD1與DC1異面,故③錯(cuò)誤;答案①②④因AD1∥BC1,AD1?平面BDC1,BC1?平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④

正確.考點(diǎn)一直線與平面平行的判定和性質(zhì)考點(diǎn)突破典例1如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn).

求證:(1)AD1∥平面BDC1;(2)BD∥平面AB1D1.

證明(1)∵D1,D分別為A1C1與AC的中點(diǎn),四邊形ACC1A1為平行四邊形,∴C1D1

DA,∴四邊形ADC1D1為平行四邊形,∴AD1∥C1D,又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,∴AD1∥平面BDC1.(2)連接D1D,∵BB1∥平面ACC1A1,BB1?平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,∴BB1∥D1D,又D1,D分別為A1C1,AC的中點(diǎn),∴BB1=DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,∴BD∥B1D1,又BD?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,∴BD∥平面AB1D1.方法技巧證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn));(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β,a?α?a∥β);(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉,

D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn)”,則當(dāng)

等于何值時(shí),BC1∥平面AB1D1?解析當(dāng)

=1時(shí),BC1∥平面AB1D1.如圖,取D1為線段A1C1的中點(diǎn),此時(shí)

=1,連接A1B交AB1于點(diǎn)O,連接OD1,由棱柱的性質(zhì)知四邊形A1ABB1為平行四邊形,∴O為A1B的中點(diǎn),在△A1BC1中,點(diǎn)O,D1分別為A1B,A1C1的中點(diǎn),∴OD1∥BC1,又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1,∴當(dāng)

=1時(shí),BC1∥平面AB1D1.變式1-2若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉,

D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn)且平面BC1D∥平面AB1D1”,則

為何值?解析

如圖,連接A1B交AB1于O,連接OD1,則易知A1O=OB.由平面BC1D∥平面

AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,得BC1∥D1O,∴

=

,同理可得AD1∥DC1,則易知

=

,又

=1,∴

=1,即

=1.典例2如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1

C1的中點(diǎn),求證:(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.

考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)證明(1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),∴GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點(diǎn)共面.(2)∵E,F分別是AB,AC的中點(diǎn),∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.易知A1G

EB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.方法技巧證明面面平行的常用方法(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另

一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行;(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行證

明.2-1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,如圖.(1)求證:平面AB1D1∥平面C1BD;(2)試找出體對(duì)角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E,F,并證明A1E=

EF=FC.

解析(1)證明:因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中,AD∥B1C1,

AD=B1C1,所以四邊形AB1C1D是平行四邊形,所以AB1∥C1D.又因?yàn)镃1D?平面C1BD,AB1?平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.同理,B1D1∥平面C1BD.又因?yàn)锳B1∩B1D1=B1,AB1?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.(2)如圖,連接A1C1,交B1D1于點(diǎn)O1,連接AO1,與A1C交于點(diǎn)E.又因?yàn)锳O1?平面AB1D1,所以點(diǎn)E也在平面AB1D1內(nèi),所以點(diǎn)E就是A1C與平面AB1D1的交點(diǎn).連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接C1O,與A1C交于點(diǎn)F,則點(diǎn)F就是A1C與平面C1BD的交點(diǎn).下面證明A1E=EF=FC.因?yàn)槠矫鍭1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F,在△A1C1F中,O1是A1C1的中點(diǎn),所以E是A1F的中點(diǎn),即A1E=EF.同理可證OF∥AE,所以F是CE的中點(diǎn),即FC=EF,所以A1E=EF=FC.典例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是BC,CC1,C1D1,A1A的中點(diǎn).求證:(1)BF∥HD1;(2)EG∥平面BB1D1D;(3)平面BDF∥平面B1D1H.

考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問題證明(1)如圖所示,取BB1的中點(diǎn)M,連接MH,MC1,易證四邊形HMC1D1是平行四邊形,∴HD1∥MC1.又易證得MC1∥BF,∴BF∥HD1.

(2)取BD的中點(diǎn)O,連接EO,D1O,則OE∥DC,且OE=

DC,又D1G∥DC且D1G=

DC,∴OE

D1G,∴四邊形OEGD1是平行四邊形,∴GE∥D1O.又GE?平面BB1D1D,D1O?平面BB1D1D,∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知BF∥HD1,又BD∥B1D1,B1D1、HD1?平面B1D1H,BF、BD?平面BDF,且B1D1