指數(shù)與對數(shù)運算+講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（學(xué)生版）

第10講指數(shù)與對數(shù)運算

一.基礎(chǔ)知識回顧

1.根式

⑴根式的概念：①若,則￡叫做a的〃次方根，其中刀>1且/?￡N*.式子叫做根

式，這里刀叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).②石的〃次方根的表示：

n\x=y[a(當(dāng)力為奇數(shù)且〃￡N*時)，

x=己=、

1戶土鐐(當(dāng)〃為偶數(shù)且〃GN*時).

a,刀為奇數(shù),

(2)根式的性質(zhì)：①(船/=—(〃GN*).②fa,a20,

U水0,〃為偶數(shù).

2.有理數(shù)指數(shù)塞

m

⑴塞的有關(guān)概念：①正分?jǐn)?shù)指數(shù)累：蔡=—(a>0,m,〃GN*,且〃>1)；

m

②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累：an—=(a>0,m,〃eN*,且A〉1)；

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞等于—,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累.

(2)有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)：

?aa—___(a>0,r,sGQ)；②(a?！籣__(a>0,r,s^Q)；③(a6)'=___a>0,6〉0,rGQ).

3.對數(shù)族對數(shù)的運算——

概如果_______(a〉0,aWl),那么數(shù)x叫做以a為底”的對數(shù)，記作x

念=____.其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，。叫做真數(shù)

底數(shù)的限制：石>0,且aWl

對數(shù)式與指數(shù)式的互化：^=Q\o&N=x

性負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)

質(zhì)

1的對數(shù)是___：10gal=_____

底數(shù)的對數(shù)是—：logaa=_____

對數(shù)恒等式：-N=_____

運]og&(〃?心=________

算

M

性kg歹-----------a>0,且a=l,M>0,N>Q

質(zhì)

10g/=______(77^R)

換

底

公

公式：logab=___=____=____(8>0,且aWl；c>0,且cWl；Z?>0)

式

二.典例精析

題型一：有理指數(shù)塞的化簡與求值

例1：化簡下列各式：

21||

(1)(2E)°+2-2X(21)-(0.01);(2)(a>0,6>0)；

(3)X(--)°+8iXv1.'-

變式訓(xùn)練1:化簡下列各式：

⑴0.027；+(2陽一”一1)。；⑵去且小1±±

(―3a—/ST)4-(4a367)2,

題型二：分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的綜合運算

2_2

例2：已知35+乃一萬=3,求下列各式的值:

(1)a-\-aS(2)aa2；(3)—j-----.

*一〃5

變式訓(xùn)練2：(1)已知2必+2一=5,則￥+4一的值為

1-1

(2)已知X2+x2=5,則

題型三：對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用

例3：計算：(1)log2^y^+log212—|log242；

(2)lg52+|lg8+lg5?1g20+(1g2/'

7

變式訓(xùn)練3：計算下列各式的值：(l)lg14-21g-+lg7-lg18；

o

(2)1g52+|lg8+lg5?1g20+(1g2)2.

(3)(log32+log92)(log43+log83).

題型五：指數(shù)式與對數(shù)式的綜合應(yīng)用

1

例5：(1)已知logK=/n,loga3=/?,則a+2n=

(2)設(shè)2a=5'=如且二+工=2,則勿=

(3)已知logi89=&18"=5,log3645=(用46表示)

變式訓(xùn)練5：(1)已知2a=5,Z?=log83,則4a一勖：

(2)已知logi89=a,18"=5,log^45=(用a,6表示)

(3)若a=logz3,3*=2,則2"+2-"=，ab=

三：方法規(guī)律總結(jié)

1.指數(shù)幕運算的一般原則：(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算.

⑵先乘除后加減，負(fù)指數(shù)基化成正指數(shù)累的倒數(shù).

(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù).

(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，盡可能用幕的形式表示，運用指數(shù)塞的運算性質(zhì)來解答.

2.對數(shù)運算的一般思路

(1)拆：首先利用幕的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)累的形式，使嘉的底數(shù)

最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并；

(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同

底對數(shù)真數(shù)的積、商、幕的運算.

3.指對互化的轉(zhuǎn)化技巧：對于將指數(shù)恒等式a,=Z/=c'作為已知條件，求函數(shù)y,z)

的值的問題，通常設(shè)a'=Z7=c'=A(A>0),貝！Ix=log4尸logZz=log°A,將x,y,z

的值代入函數(shù)fQx,y,z)求解.

4.換底公式的變形

*

(1)logaZ)?logAa=l,即loga6=嬴二(a,6均大于0且不等于1)；

(2)10。廠6"=二log/(a,6均大于0且不等于1,靜0,.

(3)loga6,logAc,logc^loga^(a,b,c均大于0且不等于1,d>0)

四.課后練習(xí)作業(yè)

單項選擇題

32

1.下列結(jié)論①當(dāng)a<0時，(/)5=a3；②§]=|a]；③函數(shù)y=(x—2)5—(3x—7)°的定義

域是(2,+8)；④若100。=5,10"=2,則2a+Z?=1.正確的個數(shù)是

()

A.0B.1C.2D.3

2.下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是()

1E11-1-1

A.e0=1與In1=0B.8—鼻=5與log^:=--C.log9=2與9^=3D.log7=l與7=7

o乙乙j3乙7

4r2-4x+1

3.若代數(shù)式J2XT+J2-X有意義，^J+2J(x-2)=()

A.2B.3C.2x—1D..x—2

4.若log2x+log4y=1,則()

A..xy=2B..xy=4C.xy=2D..xy=\

X2,

5.設(shè)F(x)={21g則"⑵)的值為()

[log3x-1

A.0B.1C.2D.3

6.已矢口a=log23,Z?=log25,貝!]log415=()

7.Igalg6是方程2/—4x+l=0的兩個實根，則lg(a6)?(lg1)2=()

A.2B.4C.6D.8

8.定義在R上的函數(shù)F(x)滿足f(—x)=-f{x)"(x—2)=_f(x+2),且(―1,0)時,f{x}

=2，+1則f(log220)等于()

0

44

B

A.T-5C-1D--5

—.多選題

9.下列等式成立的是()

A.(-2)B..2aC.(-2)。=-1D.(a-b

10.下列運算中正確的是()

?2711A

A.2%—(h)=~2B.若a+二=14,貝hG+五=4

1b112

C.若log73=&log74=4貝!jlog742=l+二+KD.若4，=6"=9’，則二十二=三

11.設(shè)/*(x)=T-，g(x)==三一，則下列結(jié)論正確的有()

A.[g(x)]2—[/(jr)]2=1B..[g(x)F+"(x)]2=g(2x)

C.g(2x)=2f(x)g(x)D.f(2x)=2f(x)g(x)

三.填空題

12.計算：24X即飛義海=.

13.log23,log34,log42=1.

110

14.已知2'=7力=4且=+：=2,則/=7.'.

四.解答題

15.化簡下列各式：

閡5+0.L+嘲-豈3"。+得(2)Na，■4-'

16.計算下列各式：

3