專題5.11 相交線與平行線章末八大題型總結（拔尖篇）（人教版）（解析版）

專題5.11相交線與平行線章末八大題型總結（拔尖篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平行線在三角板中的運用】 1【題型2平行線在折疊中的運用】 15【題型3旋轉使平行】 21【題型4利用平行線求角度之間的關系】 25【題型5利用平行線解決角度定值問題】 36【題型6平行線的閱讀理解類問題】 45【題型7平行線的性質在生活中的應用】 55【題型8平行線與動點的綜合應用】 59【題型1平行線在三角板中的運用】【例1】（2023下·浙江溫州·七年級?？计谥校⒁桓敝苯侨前迦鐖D1，擺放在直線MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不動，將三角板ABC繞點C以每秒5°的速度，順時針方向旋轉，旋轉時間為t秒，當AC與射線CN重合時停止旋轉．

(1)如圖2，當AC為∠DCE的角平分線時，直接寫出此時t的值；(2)當AC旋轉至∠DCE的內部時，求∠DCA與∠ECB的數(shù)量關系．(3)在旋轉過程中，當三角板ABC的其中一邊與ED平行時，請直接寫出此時t的值．【答案】(1)3(2)∠ECB?∠DCA=15°(3)15或24或33【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE=12∠DCE=15°（2）根據(jù)旋轉得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°?5t，∠ECB=45°?5t，即可得出∠ECB?∠DCA=15°；（3）分三種情況進行討論，分別畫出圖形，求出t的值即可．【詳解】（1）解：如圖2，∵∠EDC=90°，∠DEC=60°，

∴∠DCE=30°，∵AC平分∠DCE，∴∠ACE=1∴t=15答：此時t的值是3；（2）解：當AC旋轉至∠DCE的內部時，如圖3；

由旋轉得：∠ACE=5t，∴∠DCA=30°?5t，∠ECB=45°?5t，∴∠ECB?∠DCA=45°?5t（3）解：分三種情況：①當AB∥

此時BC與CD重合，t=30+45②當AC∥

∵AC∥∴∠ACD=∠D=90°，∴∠ACE=90°+30°=120°，t=120÷5=24；③當BC∥

∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE=90°∴∠ACD=90°+30°+45°=165°∴t=165÷5=33綜上，t的值是15或24或33．故答案為：15或24或33．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，角平分線的計算，平行線的性質，解題的關鍵是數(shù)形結合，注意分類討論．【變式1-1】（2023下·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．(1)觀察猜想，∠BCD與∠ACE的數(shù)量關系是________；∠BCE與∠ACD的數(shù)量關系是________；(2)類比探究，若按住三角板ABC不動，順時針繞直角頂點C轉動三角形DCE，試探究當∠ACD等于多少度時CE//AB，畫出圖形并簡要說明理由；(3)拓展應用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度數(shù)；并直接寫出此時DE與AC的位置關系．【答案】(1)∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°(2)當∠ACD=60°或120°時，CE//AB(3)∠ACD=45°，AC⊥DE或AC//DE【分析】（1）由三角板的特點可知∠ACB=∠DCE=90°，即可求出∠BCD=∠ACE．再根據(jù)∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE?∠ACE，即可求出∠BCE+∠ACD=180°；（2）分類討論結合平行線的性質即可求解；（3）由（1）∠BCE+∠ACD=180°，即可求出∠ACD=45°，再分類討論結合平行線的判定和性質即可得出DE與AC的位置關系．【詳解】（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB?∠ACD=∠DCE?∠ACD，即∠BCD=∠ACE．∵∠BCE=∠ACB+∠ACE，∠ACD=∠DCE?∠ACE，∴∠BCE+∠ACD=∠ACB+∠DCE=90°+90°=180°．故答案為：∠BCD=∠ACE，∠BCE+∠ACD=180°；（2）分類討論：①如圖1所示，∵CE//AB，∴∠ACE=∠BAC=30°，∴∠ACD=∠DCE?∠ACE=90°?30°=60°；②如圖2所示，∵CE//AB，∴∠BCE=∠B=60°，∴∠ACD=360°?∠ACB?∠DCE?∠BCE=360°?90°?90°?60°=120°．綜上可知當∠ACD=60°或120°時，CE//AB；（3）根據(jù)（1）可知∠BCE+∠ACD=180°，∴3∠ACD+∠ACD=180°，∴∠ACD=45°．分類討論：①如圖3所示，∵∠ACD=45°，∴∠BCD=45°=∠CDE，∴BC//DE．∵∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴AC⊥DE；②如圖4所示，∵∠ACD=45°，∴∠ACD=45°=∠CDE，∴AC//DE．【點睛】本題考查三角板中的角度計算，平行線的判定和性質．利用數(shù)形結合和分類討論的思想是解題關鍵．【變式1-2】（2023上·湖南長沙·七年級?？计谀┤鐖D，兩個形狀，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如圖放置，PA、PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉．（1）①如圖1，∠DPC＝度．②我們規(guī)定，如果兩個三角形只要有一組邊平行，我們就稱這兩個三角形為“孿生三角形”，如圖1，三角板BPD不動，三角板PAC從圖示位置開始每秒10°逆時針旋轉一周（0°<旋轉<360°），問旋轉時間t為多少時，這兩個三角形是“孿生三角形”．（2）如圖3，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉，轉速3°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉，轉速2°/秒，在兩個三角板旋轉過程中，（PC轉到與PM重合時，兩三角板都停止轉動）．設兩個三角板旋轉時間為t秒，以下兩個結論：①∠CPD∠BPN為定值；②∠BPN+∠CPD【答案】（1）①90；②t為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s；（2）①正確，②錯誤，證明見解析．【分析】（1）①由平角的定義，結合已知條件可得：∠DPC=180°?∠CPA?∠DPB,從而可得答案；②當BD//PC時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質與角的和差求解旋轉角，可得旋轉時間；當PA//BD時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質與角的和差關系求解旋轉角，可得旋轉時間；當AC//DP時，有兩種情況，畫出符合題意的圖形，利用平行線的性質與角的和差關系求解旋轉角，可得旋轉時間；當（2）分兩種情況討論：當PD在MN上方時，當PD在MN下方時，①分別用含t的代數(shù)式表示∠CPD,∠BPN，從而可得∠CPD∠BPN的值；②分別用含t的代數(shù)式表示∠CPD,∠BPN，得到∠BPN+∠CPD是一個含t【詳解】解：（1）①∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，∴∠DPC＝180﹣30﹣60＝90°，故答案為90；②如圖1﹣1，當BD∥PC時，∵PC∥BD，∠DBP＝90°，∴∠CPN＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APN＝30°，∵轉速為10°/秒，∴旋轉時間為3秒；如圖1﹣2，當PC∥BD時，∵PC//BD,∠∴∠CPB＝∠DBP＝90°，∵∠CPA＝60°，∴∠APM＝30°，∵三角板PAC繞點P逆時針旋轉的角度為180°+30°＝210°，∵轉速為10°/秒，∴旋轉時間為21秒，如圖1﹣3，當PA∥BD時，即點D與點C重合，此時∠ACP＝∠BPD＝30°，則AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠APN＝90°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉的角度為90°，∵轉速為10°/秒，∴旋轉時間為9秒，如圖1﹣4，當PA∥BD時，∵∠DPB＝∠ACP＝30°，∴AC∥BP，∵PA∥BD，∴∠DBP＝∠BPA＝90°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉的角度為90°+180°＝270°，∵轉速為10°/秒，∴旋轉時間為27秒，如圖1﹣5，當AC∥DP時，∵AC∥DP，∴∠C＝∠DPC＝30°，∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉的角度為60°，∵轉速為10°/秒，∴旋轉時間為6秒，如圖1﹣6，當AC//∵AC//∴∠DPA=∠PAC=90°，∠DPN+∠DPA=180°?30°+90°=240°，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉的角度為240°，∵轉速為10°/秒，∴旋轉時間為24秒，如圖1﹣7，當AC∥BD時，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠BAC＝90°，∴點A在MN上，∴三角板PAC繞點P逆時針旋轉的角度為180°，∵轉速為10°/秒，∴旋轉時間為18秒，當AC//BP時，如圖1-3，1-4，旋轉時間分別為：9s，綜上所述：當t為3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s時，這兩個三角形是“孿生三角形”；（2）如圖，當PD在MN上方時，①正確，理由如下：設運動時間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，∴∠BPN=2∠CPD=180°?2t,∴∠CPD∠BPN②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時間在變化，不為定值，結論錯誤．當PD在MN下方時，如圖，①正確，理由如下：設運動時間為t秒，則∠BPM＝2t，∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝2t?30°,∠APN＝3t．∴∠CPD＝360°?∠CPA?∠APN?∠DPB?∠BPN=360°?60°?3t?30°?(180°?2t)=90°?t∴∠BPN=2∠CPD=180°?2t,∴∠CPD∠BPN②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD隨著時間在變化，不為定值，結論錯誤．綜上：①正確，②錯誤．【點睛】本題考查的是角的和差倍分關系，平行線的性質與判定，角的動態(tài)定義（旋轉角）的理解，掌握分類討論的思想是解題的關鍵．【變式1-3】（2023上·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起，其中∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC，將三角板ADE繞點A按順時針方向旋轉，當點E落在射線AC的反向延長線上時，即停止旋轉．(1)如圖2，當邊AC落在∠DAE內，①∠CAD與∠BAE之間存在怎樣的數(shù)量關系？試說明理由；②過點A作射線AF，AG，若∠CAF=13∠CAD，∠BAG=(2)設△ADE的旋轉速度為3°/秒，旋轉時間為t，若它的一邊與△ABC的某一邊平行（不含重合情況），試寫出所有符合條件的t的值．【答案】(1)①∠BAE?∠CAD=45°（或∠BAE=∠CAD+45°），理由見解析；②105°(2)5或15或35或45或50【分析】（1）①由角的和差關系可得∠BAE+∠CAE=90°，∠CAD+∠CAE=45°，再把兩式相減即可得到結論；②先求解∠FAE=45°?∠DAF=45°?43∠CAD，-∠EAG=∠BAE+∠BAG=43∠BAE，結合（2）分5種情況討論：如圖，當AD∥BC時，如圖，當DE∥AB時，如圖，當DE∥【詳解】（1）解：①∠BAE?∠CAD=45°（或∠BAE=∠CAD+45°）；理由如下：∠BAE+∠CAE=90°，∠CAD+∠CAE=45°，兩式相減得：∠BAE?∠CAD=45°，②∵∠CAF=13∴∠FAE=45°?∠DAF=45°?4∵∠BAG=1∴∠BAG=1∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=4∴∠FAG=∠FAE+∠EAG，=45°?=45°+=45°+4（2）如圖，當AD∥∴∠DAC=∠ACB=30°，∠EAC=45°?30°=15°，∴t=15如圖，當DE∥∴∠BAC+∠ADE=180°，則∠ADE=90°，此時∠CAE=∠DAE=45°，∴t=45如圖，當DE∥∴∠BMA=∠D=90°，∠AMC=180°?90°=90°，∴∠MAC=90°?30°=60°，∴∠EAC=45°+60°=105°，∴t=105如圖，當DE∥∴∠ADE=∠BAC=90°，即A，B，D共線，∴∠CAE=90°+45°=135°，∴t=135如圖，當AE∥∴∠EAB=∠B=60°，∴∠EAC=60°+90°=150°，∴t=150【點睛】本題考查的是角的和差運算，角的倍分關系，角的旋轉定義的理解，平行線的性質，清晰的分類討論是解本題的關鍵．【題型2平行線在折疊中的運用】【例2】（2023下·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知長方形紙片ABCD，點E和點F分別在邊AD和BC上，且∠EFC=37°，點H和點G分別是邊AD和BC上的動點，現(xiàn)將點A，B，C，D分別沿EF，GH折疊至點N，M，P，K，若MN∥PK，則∠KHD的度數(shù)為（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【分析】分兩種情況討論，①當PK在AD上方時，延長MN、KH相交于點Q，根據(jù)MN∥PK，推出EN∥KQ，得到∠AEN=∠AHQ，求出∠AEN的度數(shù)，再根據(jù)∠KHD=∠AHQ即可求解；②當PK在BC下方時，延長MN、HK相交于點O，根據(jù)MN∥PK，推出【詳解】解：①當PK在AD上方時，延長MN、KH相交于點Q，如圖所示∵MN∴∠K=∠Q∵∠K=90°∴∠Q=90°∵∠MNE=90°∴∠MNE=∠Q∴EN∴∠AEN=∠AHQ∵∠EFC=37°，AD∴∠AEF=∠EFC=37°∵翻折∴∠AEF=∠NEF=37°∴∠AEN=74°∴∠AHQ=74°∵∠KHD=∠AHQ∴∠KHD=74°②當PK在BC下方時，延長MN、HK相交于點O，如圖所示∵MN∴∠O=∠OKP=90°∵∠MNE=90°∴∠MNE=∠O∴EN∴∠AEN=∠AHO∵∠EFC=37°，AD∴∠AEF=∠EFC=37°∵翻折∴∠AEF=∠NEF=37°∴∠AEN=74°∴∠AHO=74°∵∠AHO+∠KHD=180°∴∠KHD=106°故選D．【點睛】本題考查了翻折、平行線的判定和性質、對頂角等知識點，分情況討論，畫出對應圖形進行求解是解答本題的關鍵．【變式2-1】（2023下·福建寧德·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一條長方形彩帶ABCD進行兩次折疊，先沿折痕MN向上折疊，再沿折痕AM向背面折疊，若要使兩次折疊后彩帶的夾角∠2=26°，則第一次折疊時∠1應等于°．

【答案】77【分析】如圖所示，根據(jù)平行的性質可以得出答案．【詳解】解：如圖：

∵折疊，∴∠1=∠5，∴∠3+2∠5=∠3+2∠1=180°，∴∠1=1∵彩帶兩邊平行，∴∠3=∠4=∠6，∵折疊，彩帶兩邊平行，∴∠2=∠PEF=∠PMF=∠6，∴∠3=∠2=26°，∴∠1=1故答案為：77．【點睛】此題考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．【變式2-2】（2023下·浙江溫州·七年級溫州市第十二中學校聯(lián)考期中）已知M，N分別是長方形紙條ABCD邊AB，CD上兩點（AM>DN），如圖1所示，沿M，N所在直線進行第一次折疊，點A，D的對應點分別為點E，F(xiàn)，EM交CD于點P；如圖2所示，繼續(xù)沿PM進行第二次折疊，點B，C的對應點分別為點G，H，若∠1=∠2，則∠CPM的度數(shù)為（

）

A．74° B．72° C．70° D．68°【答案】B【分析】由翻折的性質和長方形的性質可得出：∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，據(jù)此可得∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，再根據(jù)HP∥GM得∠HPM+∠GMP=180°，根據(jù)CP∥BM得∠CPM=∠AMP=2∠1，據(jù)此可求出∠1=36°，進而可求出∠CPM的度數(shù)．【詳解】解：由翻折的性質得：∠AMN=∠NMP，∠CPM=∠HPM，∵四邊形ABCD為長方形，∴AB∥CD，∴∠AMN=∠1，∴∠NMP=∠1，又∵∠1=∠2，∴∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∴∠AMP=2∠1，∠GMP=3∠1，∵HP∥GM，∴∠HPM+∠GMP=180°，即：∠HPM+3∠1=180°，∵CP∥BM，∴∠CPM=∠AMP=2∠1，∴∠HPM=∠CPM=2∠1，∴2∠1+3∠1=180°，∴∠1=36°，∴∠CPM=2∠1=72°．故選：B．【點睛】此題主要考查了圖形的翻折變換和性質，平行線的性質，解答此題的關鍵是準確識圖，利用圖形翻折性質及平行線的性質準確的找出相關的角的關系．【變式2-3】（2023下·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形紙片ABCD的邊AB∥CD，E是邊CD上任意一點，△BCE沿BE折疊，點C落在點

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：∠C=60°，∠FED=45°，則∠ABF=______．(2)拓展探究：如圖②，點F落在四邊形ABCD的內部，探究∠FED，∠ABF，∠C之間的數(shù)量關系，并證明；(3)遷移應用：如圖③，點F落在邊CD的上方，則（2）中的結論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出它們的數(shù)量關系并證明．【答案】(1)15°(2)∠FED+(3)不成立，數(shù)量關系應為：∠ABF?∠FED=∠C，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，結合平行線的性質，算出∠ABC，再結合折疊、四邊形內角和，算出∠FBC，最后根據(jù)∠ABF=∠ABC?∠FBC計算即可；（2）過點F作MN∥CD，交AD于點M，交BC于點N，由平行線的性質可得∠FED=∠EFN，根據(jù)平行公理的推論可得MN∥AB，繼而得到（3）過點F作GH∥CD，由平行線的性質可得∠FED=∠HFE，根據(jù)平行公理的推論可得GH∥【詳解】（1）解：∵AB∥CD，△BCE沿BE折疊，點C落在點F的位置，∠C=60°，∴∠ABC=180°?∠C=120°，（兩直線平行，同旁內角互補）∠FEC=180°?∠FED=135°，∠F=∠C=60°，∴∠FBC=360°?∠F?∠C?∠FEC=360°?60°?60°?135°=105°，（四邊形內角和為360°）∴∠ABF=∠ABC?∠FBC=120°?105°=15°，故答案為：15°（2）解：如下圖，過點F作MN∥CD，交AD于點M，交BC

則∠FED=∠EFN，∵AB∥∴MN∥∴∠NFB=∠ABF，∴∠FED+由折疊的性質得，∠EFB=∠C∴∠FED（3）解：如下圖，過點F作GH∥CD，則

∵AB∥∴GH∥∴∠ABF=∠HFB=∠HFE+由折疊的性質得，∠BFE=∠C∴∠ABF=∠FED+∠C【點睛】本題考查了折疊的性質、平行線的性質、平行公理的推論．掌握折疊的性質和平行線的性質是解題的關鍵．【題型3旋轉使平行】【例3】（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC上，，，．小明將ADE從圖中位置開始，繞點按每秒的速度順時針旋轉一周，在旋轉過程中，第秒時，邊與邊平行．【答案】或【分析】分兩種情況：①DE在AB上方；②DE在AB下方，畫出相應的圖形，利用平行線的性質即可求得答案．【詳解】①當DE在AB上方，∵，∠B=60°，∠D=45°，∴∠BAC=30°，∠E=45°，∵AB∥DE，∴∠BAE=∠E=45°，∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，∴旋轉時間為：（秒）；②當DE在AB下方，∵，∠B=60°，∠D=45°，∴∠BAC=30°，∠E=45°，∵AB∥DE，∴∠BAE+∠E=180°，∴∠BAE=180°-∠E=135°，∴∠CAE=∠BAE-∠BAC=105°，∴旋轉角度為：360°-∠CAE=255°，∴旋轉時間為：（秒），綜上所述：在旋轉過程中，第或秒時，邊與邊平行，故答案為：或．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，解題的關鍵是對DE的位置進行討論，畫出相應圖形解答．【變式3-1】（2023下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，分別將木條a，b與固定的木條c釘在一起，，，順時針轉動木條a，下列選項能使木條a與b平行的是（

）

A．旋轉30° B．旋轉50° C．旋轉80° D．旋轉130°【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可求解．【詳解】解：在圖中標注出，如圖所示：

若，則故應將木條a順時針轉動30°故選：A【點睛】本題考查平行線的判定定理．根據(jù)題意選擇合適的判定定理是解題的關鍵．【變式3-2】（2023下·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，邊與邊重合，，接著如圖2保持三角板不動，將三角板繞著點（點不動）按順時針（如圖標示方向）旋轉，在旋轉的過程中，逐漸增大，當?shù)谝淮蔚扔跁r，停止旋轉，在此旋轉過程中，時，三角板有一條邊與三角板的一條邊恰好平行．

【答案】或【分析】分和兩種情況求解．【詳解】當時，∵，∴，∵，；當時，∵，；故答案為：或．【點睛】本題考查了平行線的性質，三角板中的計算，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．【變式3-3】（2023下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖（1），在三角形ABC中，，BC邊繞點C按逆時針方向旋轉一周回到原來的位置．在旋轉的過程中（圖（2），使，則（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】結合旋轉的過程可知，因為位置的改變，與∠A可能構成內錯角，也有可能構成同旁內角，所以需分兩種情況加以計算即可．【詳解】解：如圖（2），當時，∵，∴．∴．如圖（2），當時，∵，∴∴．綜上可得，當或時，．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的判定、分類討論的數(shù)學思想等知識點，根據(jù)在旋轉過程中的不同位置，進行分類討論是解題的關鍵．【題型4利用平行線求角度之間的關系】【例4】（2023下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）點A，C，E在直線l上，點B不在直線l上，把線段AB沿直線l向右平移得到線段CD．（1）如圖1，若點E在線段AC上，求證：∠B+∠D=∠BED；（2）若點E不在線段AC上，試猜想并證明∠B，∠D，∠BED之間的等量關系；（3）在（1）的條件下，如圖2所示，過點B作PB//ED，在直線BP，ED之間有點M，使得∠ABE=∠EBM，∠CDE=∠EDM，同時點F使得∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，其中n≥1，設∠BMD=m，利用（1)中的結論求∠BFD的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見解析；（2）當點E在CA的延長線上時，∠BED=∠D-∠B；當點E在AC的延長線上時，∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D；（3）m【分析】（1）如圖1中，過點E作ET∥AB．利用平行線的性質解決問題．（2）分兩種情形：如圖2-1中，當點E在CA的延長線上時，如圖2-2中，當點E在AC的延長線上時，構造平行線，利用平行線的性質求解即可．（3）利用（1）中結論，可得∠BMD=∠ABM+∠CDM，∠BFD=∠ABF+∠CDF，由此解決問題即可．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，過點E作ET∥AB．由平移可得AB∥CD，∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET+∠DET=∠B+∠D．（2）如圖2-1中，當點E在CA的延長線上時，過點E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠DET-∠BET=∠D-∠B．如圖2-2中，當點E在AC的延長線上時，過點E作ET∥AB．∵AB∥ET，AB∥CD，∴ET∥CD∥AB，∴∠B=∠BET，∠TED=∠D，∴∠BED=∠BET-∠DET=∠B-∠D．（3）如圖，設∠ABE=∠EBM=x，∠CDE=∠EDM=y，∵AB∥CD，∴∠BMD=∠ABM+∠CDM，∴m=2x+2y，∴x+y=12m∵∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE=n∠EBF，∠CDE=n∠EDF，∴∠BFD=n?1nx+n?1ny=【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了平行線的性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會條件常用輔助線，構造平行線解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式4-1】（2023下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）甲同學在學完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的方式進一步探索相交線與平行線的知識，他的具體操作步驟如下：第一步：將一根鐵絲AB在C，D，E處彎折得到如下圖①的形狀，其中AC∥DE，第二步：將DE繞點D旋轉一定角度，再將BE繞點E旋轉一定角度并在BE上某點F處彎折，得到如下圖②的形狀．第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成∠G，跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀．請根據(jù)上面的操作步驟，解答下列問題：(1)如圖①，若∠C=2∠D，求∠E；(2)如圖②，若AC∥BF，請判斷∠C，∠D，∠E，(3)在（2）的條件下，如圖③，若∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，設∠D=x，∠F=y，求∠G．（用含x，y的式子表示）【答案】(1)∠E=60°(2)∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，理由見解析(3)∠G=【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得出∠C+∠D=180°，根據(jù)解題得出∠D=60°，進而根據(jù)CD∥（2）過點D,E分別作AC的平行線DN,EM，根據(jù)平行線的性質得出∠MED=∠NDE設∠MED=∠NDE=α，進而根據(jù)平行線的性質得出∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，即可得出結論；（3）根據(jù)（2）的結論可得∠ACD+x=∠DEF+y，∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，根據(jù)已知∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，可得∠G+2【詳解】（1）解：∵AC∥∴∠C+∠D=180°，∵∠C=2∠D，∴3∠D=180解得：∠D=60°，∵CD∥∴∠E=∠D=60°；（2）解：如圖所示，過點D,E分別作AC的平行線DN,EM，∴EM∥∴∠MED=∠NDE，設∠MED=∠NDE=α，又∵AC∥∴AC∥DN，∴∠C+∠CDE+α=180°，∠DEF+α+∠F=180°，∴∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，；（3）∵∠D=x，∠F=y，∠C+∠CDE=∠DEF+∠F，即∠ACD+x=∠DEF+y，∴∠DEF?∠ACD=x?y，由（2）可得∠G+∠ACG=∠F+∠GEF，∵∠ACD=3∠DCG，∠DEF=3∠DEG，∴∠G+2即∠G+2∴∠G=y+2∴∠G=2【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵．【變式4-2】（2023下·安徽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線m∥n，Rt△ABC中∠ACB=90°，Rt△ABC的邊AC、AB與直線m相交于D、E兩點，邊

(1)將Rt△ABC如圖1位置擺放，如果∠ADE=46°，則∠CFG=______；(2)將Rt△ABC如圖2位置擺放，H為AC上一點，∠HFG+∠CFG=180°，請寫出∠HFG與∠ADE(3)將Rt△ABC如圖3位置擺放，若∠EDC=140°，延長AC交直線n于點K，點P是射線EG上一動點，探究∠PDK，∠DPK【答案】(1)∠CFG=136°(2)∠HFG+∠ADE=90°，理由見解析(3)∠PDK+∠DPK?∠PKG=140°或∠PDK+∠DPK+∠PKG=140°【分析】（1）過點C作CH∥m，由m∥n知，CH∥m∥n，則可得∠ACH=∠ADE=46°，（2）過點C作CQ∥m，則CQ∥m∥n，則（3）分點P在線段EG上或EG的延長線上兩種情況考慮即可求得．【詳解】（1）解：過點C作CH∥∵m∥∴CH∥∴∠ACH=∠ADE=46°，∠HCB+∠CFG=180°，∵∠ACB=90°，∴∠HCB=90°?46°=44°，∴∠CFG=180°?∠HCB=136°；

故答案為：136°；（2）解：∠HFG+∠ADE=90°，理由如下：過點C作CQ∥m，則

∴∠ADE=∠ACQ，∵∠HFG+∠CFG=180°，∴∠QCF=∠HFG，

∵∠ACQ+∠QCF=90°，∴∠HFG+∠ADE=90°，（3）解：過點P作PM∥m，則①點P在線段EG上時，如圖，

∴∠DPM=∠EDP=∠EDC?∠PDK=140°?∠PDK，∠MPK=∠PKG，∴∠DPK=∠DPM+∠MPK=140°?∠PDK+∠PKG，∴∠PDK+∠DPK?∠PKG=140°；②點P在線段EG的延長線上時，如圖，

∵PM∥∴∠KPM=∠PKG，∵∠PDE=∠EDC?∠PDK=140°?∠PDK，∠DPM=∠DPK+∠KPM=∠DPK+∠PKG，∴∠DPK+∠PKG=140°?∠PDK，即∠PDK+∠DPK+∠PKG=140°，綜上：∠PDK+∠DPK?∠PKG=140°或∠PDK+∠DPK+∠PKG=140°．【點睛】本題考查了平行線的性質，平行公理推論，角的和差關系，構造平行線是本題的關鍵，注意分類討論．【變式4-3】（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）【問題情境】如圖1，AB∥CD，直線EG交AB于點H，交CD于點G，點F在直線AB上．直接寫出∠E,∠EFH,∠EGD之間的數(shù)量關系為

【實踐運用】如圖2，AB∥CD，直線EG交AB于點H，交CD于點G，點F在直線AB上．FT平分∠EFH，GM平分∠EGC，若∠E=40°，求

【拓廣探索】如圖3，AB∥CD，直線EG交AB于點H，交CD于點G，點P為平面內不在直線AB，CD，EG上的一點，若∠BHP=x，∠DGP=y，則∠HPG=（直接寫出答案，用x，

【答案】【問題情境】∠EGD=∠FEH+∠EFH；【實踐運用】∠FMG的度數(shù)為70°；【拓廣探索】∠HPG的大小為x?y或y?x或x+y或360°?x?y．【分析】問題情境：如圖，作EQ∥AB，而AB∥實踐運用：設∠EFT=x，F(xiàn)T平分∠EFH，可得∠EFT=∠TFH=∠AFM=x，由（1）得：∠EGD=∠EFH+∠E=2x+40°，可得∠MGC=12∠HCG=70°?x．過點M作MK∥AB，則MK拓廣探索：對P點的位置有六種可能，再分情況畫出圖形，利用數(shù)形結合的方法解題即可．【問題情境】如圖，作EQ∥AB，而∴EQ∥

∴∠EGD=∠QEG=∠EHB,∠QEF=∠EFB，∵∠FEH=∠QEG?∠QEF，∴∠FEH=∠EHB?∠EFH，∴∠EGD=∠FEH+∠EFH．【實踐運用】設∠EFT=x，F(xiàn)T平分∠EFH，∴∠EFT=∠TFH=∠AFM=x，

由（1）得：∠EGD=∠EFH+∠E=2x+40°，∴∠HCG=140°?2x．∵GM平分∠EGC．∴∠MGC=1過點M作MK∥AB，則∴∠FMK=∠AFM=x．∵MK∥∴∠KMG=∠MGC=70°?x，∴∠FMG=∠KMG+∠FMK=70°?x+x=70°．【拓廣探索】對P點的位置有六種可能，①如圖所示，作PQ∥AB，而

∴PQ∥AB∥CD，而∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，∴∠HPG=∠QPG?∠HPQ=y?x，②如圖所示，作PQ∥AB，而

∴PQ∥∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，∴∠HPG=∠QPG+∠HPQ=y+x，③如圖所示，作PQ∥AB

∴PQ∥AB∥CD，而∴∠DGP=∠QPG=y，∠BHP=∠QPH=x，∴∠HPG=∠HPQ?∠QPG=x?y，④如圖所示，作PQ∥AB，而AB∥CD,記

∴PQ∥AB∥CD，而∴∠QPG=180°?∠DGP=180°?y，∠QPH=180°?∠PHB=180°?x，∴∠HPG=∠GPQ?∠QPH=180°?y?180°+x=x?y，⑤如圖所示，作PQ∥AB

∴PQ∥AB∥CD，而∴∠QPG=180°?∠DGP=180°?y，∠QPH=180°?∠PHB=180°?x，∴∠HPG=∠GPQ+∠QPH=180°?y+180°?x=360°?x?y，⑥如圖所示，作PQ∥AB

∴PQ∥AB∥CD，而∴∠QPG=180°?∠DGP=180°?y，∠QPH=180°?∠PHB=180°?x，∴∠HPG=∠QPH?∠GPQ=180°?x?180°+y=y?x，綜上：∠HPG的大小為x?y或y?x或x+y或360°?x?y．【點睛】本題考查的是平行公理的應用，平行線的性質，角平分線的性質，掌握“利用平行線的性質探究角與角之間的數(shù)量關系”是解本題的關鍵．【題型5利用平行線解決角度定值問題】【例5】（2023下·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）已知AB∥CD，P是截線MN上的一點，MN與CD，AB分別交于E，

(1)如圖（1），P在AB、CD之間，若∠EFB=50°，∠EDP=35°，求∠MPD的度數(shù)；(2)如圖（1），當點P在線段EF上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，則∠Q∠DPB(3)如圖（2），當點P在線段FE的延長線上運動時，∠CDP與∠ABP的平分線交于Q，∠Q∠DPB【答案】(1)15°(2)是定值，∠Q(3)是，1【分析】（1）過點P作PG∥AB，利用平行線的性質進行角得相關計算可求（2）由（1）的結論結合角平分線的性質可以解決問題；（3）過點P作PG∥AB，過點Q作QH∥AB，由平行線性質得∠DPG=∠CDP，∠BPG=∠ABP，從而得【詳解】（1）解：（1）如圖，當點P在線段AB，CD之間時，過點P作PG∥

∵AB∥CD，∴PG∥∵∠EFB=50°，∠EDP=35°∴∠EPG=∠EFB=50°，∠DPG=∠EDP=35°．∴∠MPD=∠EPG?∠DPG=50°?35°=15°．（2）解：∠Q∠DPB如圖，

由（1）知AB∥∴∠DPG=∠CDP，∠BPG=∠ABP，∴∠DPB=∠DPG+∠BPG=∠CDP+∠ABP，同理可得∠Q=∠CDQ+∠ABQ，又∵DQ、BQ分別平分∠CDP，∠ABP，∴∠CDQ=12∠CDP∴∠Q=∠CDQ+∠ABQ=1∴∠Q∠DPB（3）解：如圖，過點P作PG∥AB，過點Q作

∵AB∥∴PG∥CD

∴∠DPG=∠CDP，∠BPG=∠ABP，∴∠DPB=∠BPG?∠DPG=∠ABP?∠CDP，同理可得∠BQD=∠ABQ?∠CDQ，又∵DQ、BQ分別平分∠CDP與∠ABP，∴∠CDQ=12∠CDP∴∠BQD=∠ABQ?∠CDQ=1∴∠BQD∠DPB【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，及角平分線的定義，運用角的和與差解決問題，正確作出輔助線是解題的關鍵．【變式5-1】（2023下·福建龍巖·七年級?？茧A段練習）如圖1，點A、D分別在射線BM、CN線上，BM∥CN，BM⊥BC于點B，AE平分∠BAD交BC于點E，連接DE，∠1+∠2=90°．

(1)求證：AE⊥ED；(2)求證：DE平分∠ADC；(3)如圖2，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，試猜想∠F的值是否為定值，若是，請予以證明；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)∠F為定值，∠F=135°，理由見解析【分析】（1）過點E作EG∥BM，根據(jù)兩直線平行內錯角相等，得出（2）根據(jù)兩直線平行同旁內角互補，得出∠BAD+∠CDA=180°，再將各個角代入計算，得出∠1+∠2+∠1+∠5=180°（3）過點F作FH∥BM，∠AFH=α，∠DFH=β，根據(jù)平行線性質得出∠α+∠β=∠6+∠7，由于∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，所以∠α+∠β=【詳解】（1）證明：如圖1，

過點E作EG∥BM，則∵BM∥∴EG∥∴∠4=∠2，∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥ED．（2）證明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAD=2∠1，∵BM∥CN，∴∠BAD+∠CDA=180°，∴2∠1+∠CDA，=2∠1+∠2+∠5=180°，=∠1+∠2∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠5=90°，∴∠5=∠2，∴DE平分∠ADC．（3）∠F為定值．證明：如圖2，過點F作FH∥BM，設∠AFH=α，

∵BM∥∴FH∥∴∠α+∠β=∠6+∠7，∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，∴∠α+∠β=1=180°?45°=135°，∴∠F=∠α+∠β=135°，∴∠F為定值，∠F=135°，故答案為：∠F=135°．【點睛】本題主要考查垂線、角平分線的性質，解題的關鍵是掌握垂垂線的概念和角平分線的性質及角的和差計算等知識點．【變式5-2】（2023下·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知∠EFH=90°，點A，C分別在射線FE和FH上，在∠EFH內部作射線AB，CD，使AB平行于CD．(1)如圖1，若FAB=150°，求∠HCD的度數(shù)；(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在∠EFH內部，無論FAB如何變化，∠FAB?∠HCD的值始終為定值，請你結合圖2求出這一定值；(3)①如圖3，把圖1中的∠EFH=90°改為∠EFH=120°，其他條件不變，請直接寫出∠FAB與∠HCD之間的數(shù)量關系；②如圖4，已知∠EFG+∠FGC=α，點A，C分別在射線FE，GH上，在∠EFG與∠FGH內部作射線AB，CD，使AB平行于CD，請直接寫出∠FAB與∠HCD之間的數(shù)量關系．【答案】(1)60°(2)90°(3)①∠FAB?∠HCD=60°，②∠FAB?∠HCD=360°?α【分析】（1）過點F作FM∥AB，可以求出∠1=30°，結合AB∥CD，可以得到AB∥CD，即可求出∠HCD的度數(shù)；（2）過點F作FN∥AB，結合已知AB∥CD可以得出FN∥CD，進而得到∠HCD=∠2，即可求出，∠FAB?∠HCD的值；（3）①根據(jù)題意畫出對應的圖形，結合平行線的性質和判定即可得到∠FAB與∠HCD之間的數(shù)量關系；②根據(jù)題意畫出對應的圖形，添加適當?shù)妮o助線，結合平行線的性質與判定即可正確解答．【詳解】（1）過點F作FM∥AB∴∠FAB+∠1=180°∵∠FAB=150°∴∠1=30°∵AB∥CD∴MN∥CD∴∠HCD=∠2∵∠1+∠2=90°∴∠HCD=∠2=90°?∠1=60°（2）過點F作FN∥AB∴∠FAB+∠1=180°∴∠1=180°?∠FAB∵AB∥CD∴FN∥CD∴∠HCD=∠2∵∠1+∠2=90°∴180°?∠FAB+∠HCD=90°∴∠FAB?∠HCD=90°（3）①∠FAB?∠HCD=60°②∠FAB?∠HCD=360°?α【點睛】本題主要考查的是平行線模型，根據(jù)題意畫出對應的圖形，添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．【變式5-3】（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知直線l1∥l2，點A、B在直線l1上，點C、D在l2上，線段AD交線段(1)求證：∠ABE+∠EDC=60°；(2)如圖2，當F、G分別在線段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，標記∠BFE為∠1，∠BGD為∠2．①若∠1?∠2=16°，求∠ADC的度數(shù)；②當k=________時，k∠1+∠2為定值，此時定值為________．【答案】(1)證明見解析(2)①36°；②2；140°【分析】（1）利用平行線的性質解答即可；（2）①設∠FBE=a，∠GDC=b，則∠ABF=2a，∠EDG=2b，結合平行線的性質，利用方程的思想方法，依據(jù)已知條件列出方程組即可求解；②利用①中的方法，設∠FBE=a，∠GDC=b，則∠ABF=2a，∠EDG=2b，通過計算k∠1+∠2，令計算結果中的a的系數(shù)為0即可求得結論．【詳解】（1）證明：如圖，作EF∥l∴∠FED=∠EDC，∵l1∴EF∥l∴∠ABE=∠BEF，∵∠BED=60°，∴∠ABE+∠EDC=∠BEF+∠FED=∠BED=60°（2）設∠FBE=a，∠GDC=b，∵∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，∴∠ABF=2a，∠EDG=2b，∵l1∴∠BAD=∠ADC=3b，∠ABC=∠BCD=3a，由（1）可得：∠1=2a+3b，∠2=3a+b，∠BED=3a+3b=60°，∴a+b=20°，∴∠1=60°?a，∠2=20°+2a，①∵∠1?∠2=16°，∴60°?a?20°+2a∴a=8°，b=12°，∴∠ADC=3b=36°；②k=2，定值為140°，理由如下：k∠1+∠2=k=60°k?ka+20°+2a=當k=2時，k∠1+∠2=140°，∴當k=2時，k∠1+∠2為定值，此時定值為140°．故答案為：2；140°．【點睛】本題考查平行線的性質．利用方程或方程組的思想解答是解題的關鍵．【題型6平行線的閱讀理解類問題】【例6】（2023下·江蘇泰州·七年級泰州市海軍中學校考階段練習）【注重閱讀理解】閱讀以下材料：已知點B，D分別在AK和CF上，且CF∥(1)如圖1，若∠CDE=22°，∠DEB=75°，則∠ABE的度數(shù)為______；(2)如圖2，BG平分∠ABE，GB延長線與∠EDF的平分線交于H點，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度數(shù)．(3)保持（2）中所求的∠DEB的度數(shù)不變，如圖3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，則【答案】(1)53°(2)100°(3)不變；40°【分析】（1）過點E作ES∥CF，根據(jù)CF∥（2）延長DE，交AB于點M，則∠DEB=∠EMB+∠EBM，利用平行線的性質，角平分線的定義，三角形外角的性質計算即可．（3）過點E作EQ∥DN，則【詳解】（1）解：如圖1，過點E作ES∥∵CF∥∴ES∥∴∠CDE=∠DES，∠SEB=∠ABE，∴∠CDE+∠ABE=∠DES+∠SEB=∠DEB，∵∠CDE=22°，∠DEB=75°，∴∠ABE=∠DEB?∠CDE=75°?22°=53°．故答案為：53°．（2）解：如圖2，延長DE，交AB于點M，則∠DEB=∠EMB+∠EBM，∵CF∥AK，BG平分∴∠EMB=180°?∠MDF，∠EBM=2∠ABG=2∠HBN，∠MDH=∠HDF=∠HNK=12∠MDF∵∠HBN+∠DHB=∠HNK，∴∠DEB=(180°?∠MDF)+2∠HBN=180°?∠MDF+2×1∴∠DEB=180°?∠MDF+∠MDF?2∠DHB=180°?2∠DHB，∵∠DEB?∠DHB=60°，∴∠DEB=180°?2(∠DEB?60°)，∴3∠DEB=300°，解得∠DEB=100°．（3）解：過點E作EQ∥DN，則根據(jù)（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，∴∠DEB=2∠NDE+180°?2∠EBM，∵∠DEB=100°，∴∠EBM?∠NDE=40°，∵EQ∥∴∠DEQ=∠NDE，∴∠EBM=40°+∠DEQ，∵EQ∥∴EQ∥∴∠EBM+∠PBM+∠BEQ=180°，∴40°+∠DEQ+∠PBM+∠BEQ=180°，∴40°+∠DEB+∠PBM=180°，∴∠PBM=180°?100°?40°=40°，∴∠PBM的度數(shù)不變，值為40°．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，三角形外角的性質，角的平分線定義，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．【變式6-1】（2023下·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）[課題學習]：平行線的“等角轉化”功能．

[閱讀理解]：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù)．（1）閱讀并補充下面推理過程．解：過點A作ED∥BC，所以∠B=_________，又因為∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°所以∠B+∠BAC+∠C=180°．[解題反思]：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“湊”在一起，得到角的關系，使問題得到解決．[方法運用]：（2）如圖2，已知AB∥ED，求[深化拓展]：（3）已知AB∥CD，點C在D的右側，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點E在AB與①如圖3，若∠ABC=60°，則∠BED=__________°；②如圖4，點B在點A的右側，若∠ABC=n°，則∠BED=________°．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】（1）∠EAB，∠DAC；（2）360°；（3）①65°，②215°?【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內錯角相等即可得出結論；（2）過點C作CF∥AB，根據(jù)平行線性質得出∠D=∠FCD和∠B=∠BCF，然后根據(jù)已知得出結果；（3）①過點E作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行內錯角相等即可求出∠BED的度數(shù)；②過點E作EH∥AB，根據(jù)兩直線平行同旁內角互補可求出∠BEH=180°?n°【詳解】解：（1）如圖1過點A作ED∥

∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°，故答案為：∠EAB，∠DAC；（2）如圖2，過點C作CF∥

∵AB∥∴CF∥∴∠D=∠FCD，∵CF∥∴∠B=∠BCF，∵∠BCF+∠BCD+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°；（3）①如圖，過點E作EF∥AB

∵AB∴AB∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=60°，∠ADC=70°，∴∠ABE=12∠ABC=30°∴∠BED=∠BEF+∠DEF=30°+35°=65°；②過點E作EH∥AB，

∴∠ABE+∠BEH=180°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∴∠BEH=180°?n°∵AB∴HE∴∠HED=∠EDC∵DE平分∠ADC∴∠HED=∠EDC=∴∠BED=∠BEH+∠HED=180°?n°故答案為：①65°；②215°?n°【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，正確添加輔助線是解答本題的關鍵．【變式6-2】（2023下·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）課題學習：平行線的“等角轉化”功能．(1)閱讀理解：如圖，已知點A是BC外一點，連接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面推理過程．

解：過點A作ED∥BC，所以∠B=，∠C=又因為∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°．

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉化”的功能，將∠BAC、∠B、∠C“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖1，已知AB∥CD，求(3)深化拓展：已知直線AB∥CD，點P為平面內一點，連接PA、①如圖2，已知∠A=50°，∠D=140°，請直接寫出∠APD的度數(shù)；②如圖3，請判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關系，并說明理由．

【答案】(1)∠EAB；∠DAC(2)∠B+∠BPD+∠D=360°(3)①90°；②∠PAB+∠CDP?∠APD=180°，理由見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內錯角相等即可得出結論；（2）過點P作PF∥AB，根據(jù)兩直線平行同旁內角互補得出∠D+∠FPD=180°，（3）①∠APD的度數(shù)為90°，過點P作PG∥AB，根據(jù)平行線性質求得∠APG=50°，∠GPD=40°，即可求得∠APD的度數(shù)；②∠PAB+∠CDP?∠APD=180°，過點P作PF∥AB，根據(jù)平行線性質得到【詳解】（1）解：過點A作ED∥∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，又因為∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，所以∠B+∠BAC+∠C=180°；

（2）解：如圖，過點P作PF∥

∵AB∥∴PF∥∴∠D+∠FPD=180°，∵PF∥∴∠B+∠FPB=180°，∴∠B+∠FPB+∠FPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°；（3）解：①∠APD的度數(shù)為90°；

理由：過點P作PG∥∴∠A=∠APG=50°，∵AB∥∴GP∥∴∠GPD+∠D=180°，∵∠D=140°，∴∠GPD=180°?140°=40°，∴∠APD=∠APG+∠GPD=50°+40°=90°；②∠PAB+∠CDP?∠APD=180°，

理由：過點P作PF∥∵AB∥∴PF∥∴∠CDP=∠DPF，∵PF∥∴∠PAB+∠APE=180°，∵∠APF=∠DPF?∠APD，∴∠PAB+∠DPF?∠APD=180°，∴∠PAB+∠CDP?∠APD=180°．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解答本題的關鍵是正確作出輔助線，利用平行線的性質進行推理．【變式6-3】（2023下·河南商丘·七年級永城市實驗中學?？计谀╅喿x材料：如圖1，若AB//CD，則∠B+∠D=∠BED．理由：如圖，過點E作EF//AB，則∠B=∠BEF．因為AB//CD，所以EF//CD，所以∠D=∠DEF，所以∠BED=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．交流：（1）若將點E移至圖2所示的位置，AB//CD，此時∠B、∠D、∠E之間有什么關系？請說明理由．探究：（2）在圖3中，AB//CD，∠E+∠G、∠B+∠F+∠D又有何關系？應用：（3）在圖4中，若AB//CD，又得到什么結論？請直接寫出該結論．【答案】（1）∠B+∠D+∠E=360°；（2）∠E+∠G=∠B+∠D+∠F；（3）∠B+∠F【分析】（1）過點E作EF∥AB，由平行線的性質可知∠B+∠BEF=180°，∠D+∠DEF=180°，再由角之間的關系即可得出結論；（2）過點F作FM∥AB，用（1）的結論可知∠E=∠B+∠EFM，∠G=∠GFM+∠D，再由角之間的關系即可得出結論；（3）已知AB∥CD，連接AB、CD的折線內折或外折，或改變E點位置、或增加折線的條數(shù)，通過適當?shù)馗淖兤渲械囊粋€條件，就能得出新的結論，給我們創(chuàng)造性的思考留下了極大的空間，解題的關鍵是過E點作AB（或CD）的平行線，把復雜的圖形化歸為基本圖形．【詳解】（1）過點E作EF∥AB，如圖2所示．∵AB∥EF，∴∠B+∠BEF=180°，∵EF∥AB∥CD，∴∠D+∠DEF=180°，∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF=180°+180°，∵∠E=∠BEF+∠DEF，∴∠B+∠D+∠E=360°．（2）過點F作FM∥AB，如圖3所示．∵AB∥FM，結合（1）結論，∴∠E=∠B+∠EFM，∵FM∥AB∥CD，結合（1）結論，∴∠G=∠GFM+∠D，又∵∠F=∠EFM+∠GFM，∴∠E+∠G=∠B+∠D+∠F．（3）如圖：根據(jù)（1）和（2）中的結論，我們得到兩條平行線之間，內折的所有角的度數(shù)之和等于外折的所有角的度數(shù)之和，即：∠B+∠F1+∠【點睛】本題考查了平行線的性質以及角的計算，解題的關鍵是根據(jù)平行線的性質得出相等或互補的量．本題屬于一般題，難度不大，在計算該題型題目時，根據(jù)平行線的性質找出相等（或互補）的角，再根據(jù)角與角之間的關系即可得出結論．【題型7平行線的性質在生活中的應用】【例7】（2023下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架AB、BC為固定支撐桿，支架OC可繞點C旋轉調節(jié)．已知燈體頂角∠DOE=52°，頂角平分線OP始終與OC垂直．

(1)如圖2，當支架OC旋轉至水平位置時，OD恰好與BC平行，求支架BC與水平方向的夾角∠θ的度數(shù)；(2)若將圖2中的OC繞點C順時針旋轉15°到如圖3的位置，求此時OD與水平方向的夾角∠OQM的度數(shù)．【答案】(1)64°(2)49°【分析】（1）利用角平分線定義可得∠DOP=12∠DOE=26°，由垂直定義可得∠COP=90°（2）過點C作CG∥MN，過點O作【詳解】（1）解：如圖2，∵∠DOE=52°，OP平分∠DOE，∴∠DOP=1∵OP⊥OC，∴∠COP=90°，∴∠COD=∠COP+∠DOP=90°+26°=116°，∵OD∥∴∠C=180°?∠COD=180°?116°=64°，∵OC∥∴∠COF=∠C=64°，即∠θ=64°；（2）如圖3，過點C作CG∥MN，過點O作

則∠COF=∠OCG=15°，∵∠COD=116°，∴∠FOQ=∠COD+∠COF=116°+15°=131°，∵CG∥MN，∴OF∥∴∠OQM+∠FOQ=180°，∴∠OQM=180°?∠FOQ=180°?131°=49°．【點睛】本題考查了平行線性質等，適當添加輔助線，構造平行關系是解題關鍵．【變式7-1】（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）光在不同介質中的傳播速度不同，因此當光線從空氣射向水中時，會發(fā)生折射，如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的，若水面和杯底互相平行，且∠1=122°，則∠2=．

【答案】58°【分析】根據(jù)平行線的性質解答即可．【詳解】解：如圖，∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°∴∠3=180°?∵水中的兩條折射光線是平行的，∴∠2=故答案為：58°．

【點睛】本題考查平行線的性質應用，熟練掌握平行線的性質是解答的關鍵．【變式7-2】（2023下·七年級單元測試）如圖，某工程隊從A點出發(fā)，沿北偏西67°方向修一條公路AD，在BD路段出現(xiàn)塌陷區(qū)，就改變方向，在B點沿北偏東23°的方向繼續(xù)修建BC段，到達C點又改變方向，使所修路段CE//AB，求∠ECB的度數(shù).【答案】90°【分析】先根據(jù)平行線的性質求出∠2的度數(shù)，再由平角的定義求出∠CBA的度數(shù)，根據(jù)CE∥AB即可得出結論．【詳解】∠ECB=90°．理由：∵∠1=67°，∴∠2=67°．∵∠3=23°，∴∠CBA=180°-67°-23°=90°．∵CE∥AB，∴∠ECB=∠CBA=90°．【點睛】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，內錯角相等．【變式7-3】（2023下·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）探照燈、汽車燈等很多燈具的光線都與平行線有關，如圖所示是一探照燈碗的剖面，從位于O點的燈泡發(fā)出的兩束光線OB，OC，經(jīng)燈碗反射以后平行射出，其中∠ABO=38°，∠DCO=78°，則∠BOC的度數(shù)是°【答案】116【分析】過O點作OE∥AB，則OE∥CD，利用平行線的性質，得內錯角相等，從而求解．【詳解】解：過O點作OE∥AB，則OE∥CD，∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO，∵∠ABO=38°，∠DCO=78°，∴∠EOB=38°，∠EOC=78°，即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°．故答案為：116．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟記兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．【題型8平行線與動點的綜合應用】【例8】（2023下·北京通州·七年級統(tǒng)考期末）已知：直線，點G為直線CD上一定點，點E是直線AB上一動點，連結EG．在EG的左側分別作射線EM、GN，兩條射線相交于點F，設．(1)當，時，如圖1位置所示，求的度數(shù)（用含有的式子表示），并寫出解答過程；(2)當時，過點G作EG的垂線．①請在圖2中補全圖形；②直接寫出直線與直線CD所夾銳角的度數(shù)______（用含有的式子表示）．【答案】(1)，解答過程見解析(2)①補全圖形見解析；②或或或【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得出∠AEG+∠EGC=180°，則∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，然后把∠AEF，∠GEF，∠EGF代入計算即可求解；（2）①分點E在G的左側，F(xiàn)不在AB、CD之間；點E在G的左側，F(xiàn)在AB、CD之間；點E在G的右側，F(xiàn)在AB、CD之間；點E在G的右側，F(xiàn)不在AB、CD之間四種情形畫圖即可；②根據(jù)①中四種情形分別求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，又，，，∴（2）解：①當點E在G的左側，F(xiàn)不在AB、CD之間時，如圖，；當點E在G的左側，F(xiàn)在AB、CD之間時，如圖，；當點E在G的右側，F(xiàn)在AB、CD之間時，如圖，；當點E在G的右側，F(xiàn)不在AB、CD之間時，如圖，；②當點E在G的左側，F(xiàn)不在AB、CD之間時，如圖，，∵，∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EGC=180°，∵，∠FEG=45°，∴∠EGC=，又l⊥CD，∴l(xiāng)與CD所夾的銳角為；當點E在G的左側，F(xiàn)在AB、CD之間時，如圖，∵，∴∠AEG=∠EGD，∵，∠FEG=45°，∴，又l⊥CD，∴l(xiāng)與CD所夾的銳角為；當點E在G的右側，F(xiàn)在AB、CD之間時，如圖，，∵，∴∠AEG=∠EGD，∵，∠FEG=45°，∴，又l⊥CD，∴l(xiāng)與CD所夾的銳角為；當點E