專(zhuān)題8.2離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征（七個(gè)重難點(diǎn)突破）

專(zhuān)題8.2離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征知識(shí)點(diǎn)1隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，常用字母，…表示．離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量2.離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)①離散型隨機(jī)變量的分布列的概念設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為，，…，，X取每一個(gè)值()的概率，則下表稱(chēng)為隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列.X……P……有時(shí)也用等式表示X的分布列．②離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)（1）(i＝1，2，…，n)；（2）．知識(shí)點(diǎn)2兩點(diǎn)分布的分布列若隨機(jī)變量的分布列為兩點(diǎn)分布列,就稱(chēng)服從兩點(diǎn)分布或分布,并稱(chēng)為成功概率.知識(shí)點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量的均值與方差①離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X……P……（1）稱(chēng)為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．（2）稱(chēng)為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．方差的變形：②均值與方差的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，則重難點(diǎn)1隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量的辨析【例1】下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)；②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】對(duì)于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過(guò)的車(chē)輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，一天內(nèi)接到的報(bào)警次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開(kāi)家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來(lái)，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③．故選：B．【例2】小王錢(qián)夾中只剩下20元、10元、5元和1元的人民幣各一張．他決定隨機(jī)抽出兩張用來(lái)買(mǎi)晚餐，用表示這兩張金額之和，則的可能取值為．【答案】6，11，15，21，25，30【詳解】由題意，隨機(jī)變量的可能取值為6，11，15，21，25，30.其中，表示“抽到的是1元和5元”；表示“抽到的是1元和10元”；表示“抽到的是5元和10元”；表示“抽到的是1元和20元”；表示“抽到的是5元和20元”；表示“抽到的是10元和20元”．故答案為：6，11，15，21，25，30.【變式11】下列變量中哪些是隨機(jī)變量？如果是隨機(jī)變量，那么可能的取值有哪些？(1)一個(gè)實(shí)驗(yàn)箱中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，3，4的5只白鼠，從中任取1只，記取到的白鼠的標(biāo)號(hào)為X；(2)明天的降雨量L（單位：mm）；(3)先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，正面向上的次數(shù)X．【答案】(1)X是隨機(jī)變量，(2)L是隨機(jī)變量，(3)X是隨機(jī)變量，【詳解】（1）根據(jù)條件知，X是隨機(jī)變量，可能的取值共有4種，它的取值集合是．（2）降雨量具有一定的隨機(jī)性，所以L是隨機(jī)變量，可能的取值有無(wú)數(shù)多個(gè)，它可以取中的某個(gè)數(shù)．（3）設(shè)H代表正面向上，T代表反面向上，則該問(wèn)題的樣本空間為．出現(xiàn)H的次數(shù)分別有2，1，0種，故正面向上的次數(shù)X是隨機(jī)變量，其取值集合是．【變式12】連續(xù)不斷地射擊某一目標(biāo)，首先擊中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，則表示的試驗(yàn)結(jié)果是．【答案】前次未擊中目標(biāo)，第次擊中目標(biāo)【詳解】由于隨機(jī)變量表示首次擊中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，表示前次均未擊中目標(biāo)，第次擊中目標(biāo)，故表示的試驗(yàn)結(jié)果為前次未擊中目標(biāo)，第次擊中目標(biāo)．故答案為：前次未擊中目標(biāo)，第次擊中目標(biāo).【變式13】某公司的員工是按照下述方式獲取稅前的月工資：底薪1000元，設(shè)工作1h再獲得40元，從該公司員工中任意抽取一名用Y表示所獲月工資（單位：元）.（X為工作小時(shí)數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，求Y的值；(2)寫(xiě)出X與Y之間的關(guān)系式．【答案】(1)4600元(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，表示工作了90小時(shí)，所以（元）.（2）根據(jù)題意有.判斷一個(gè)隨機(jī)變量判斷一個(gè)隨機(jī)變量X是否為離散型隨機(jī)變量的具體方法:（1）明確隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（2）將隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化；（3）確定試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,則該隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量,否則不是.重難點(diǎn)2離散型隨機(jī)變量的分布列【例3】全班有40名學(xué)生，某次數(shù)學(xué)作業(yè)的成績(jī)?nèi)缦拢悍謹(jǐn)?shù)012345人數(shù)01312204現(xiàn)從該班中任選一名學(xué)生，用X表示這名學(xué)生的數(shù)學(xué)作業(yè)成績(jī)，求隨機(jī)變量X的分布列．【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】解：由題意可得，，，，，．因此，隨機(jī)變量X的分布列是X012345P00.0250.0750.30.50.1【例4】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)求隨機(jī)變量的分布列.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)分布列見(jiàn)解析【詳解】（1）由分布列的性質(zhì)知：，解得，列表為X0123410123即隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，可得，，，故的分布列為η0123P0.10.30.30.3（2）列表得X01234014916即隨機(jī)變量的可能取值為0，1，4，9，16.從而的分布列為014916P0.20.10.10.30.3【變式21】擲兩顆骰子，用X表示兩點(diǎn)數(shù)差的絕對(duì)值.求X的分布.【答案】答案見(jiàn)詳解.【詳解】記擲兩顆骰子所得點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則樣本空間，X的取值為.當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以；當(dāng)時(shí)，包含樣本點(diǎn)，所以.所以，X的分布列為：X012345P【變式22】同學(xué)甲進(jìn)行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個(gè)關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個(gè)關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝上，則順利進(jìn)入闖關(guān)界面，可以開(kāi)始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學(xué)在每次進(jìn)入闖關(guān)界面后能夠成功通過(guò)關(guān)卡的概率均為，且第一關(guān)是否成功通過(guò)都不影響第二關(guān)的進(jìn)行．(1)同學(xué)甲在游戲終止時(shí)成功通過(guò)兩個(gè)關(guān)卡的概率；(2)同學(xué)甲成功通過(guò)關(guān)卡的個(gè)數(shù)為，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析【詳解】（1）同學(xué)甲在游戲終止時(shí)成功通過(guò)兩個(gè)關(guān)卡的概率．（2）同學(xué)甲成功通過(guò)關(guān)卡的個(gè)數(shù)的值為0，1，2，，，，所以同學(xué)甲成功通過(guò)關(guān)卡的個(gè)數(shù)的分布列為：012P【變式23】中國(guó)的CT機(jī)打破了歐美30年的技術(shù)壟斷，實(shí)現(xiàn)了從無(wú)到有的突破，中國(guó)的CT機(jī)不僅在技術(shù)上達(dá)到了國(guó)際水平，而且在價(jià)格上也更具競(jìng)爭(zhēng)力.此外，中國(guó)的CT機(jī)還具有更好的定制化服務(wù)，能夠更好地滿足不同地區(qū)和不同醫(yī)療機(jī)構(gòu)的需求，明峰醫(yī)療和聯(lián)影醫(yī)療是中國(guó)CT機(jī)行業(yè)中的佼佼者.2023年8月某醫(yī)院購(gòu)進(jìn)甲型CT機(jī)2臺(tái)，乙型CT機(jī)1臺(tái)，該醫(yī)院決定按照以下方案調(diào)試新機(jī)器：每臺(tái)設(shè)備最多進(jìn)行2次調(diào)試，只要調(diào)試成功就投入使用，每次調(diào)試費(fèi)用0元：如果兩次調(diào)試均不成功，則邀請(qǐng)生產(chǎn)商上門(mén)調(diào)試，生產(chǎn)商調(diào)試一臺(tái)醫(yī)院調(diào)試不成功的CT機(jī)需要額外支付1000元，生產(chǎn)商調(diào)試后直接投入使用；其中醫(yī)院對(duì)甲機(jī)型每次調(diào)試成功的概率為，對(duì)乙機(jī)型每次調(diào)試成功的概率為，調(diào)試相互獨(dú)立.(1)求醫(yī)院不需要生產(chǎn)商上門(mén)調(diào)試的概率；(2)計(jì)算醫(yī)院支付調(diào)試費(fèi)用的分布列.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析【詳解】（1）記事件為一臺(tái)甲設(shè)備調(diào)試成功，事件為一臺(tái)乙設(shè)備調(diào)試成功，則由題意得，，所以醫(yī)院不需要生產(chǎn)商上門(mén)調(diào)試的概率，（2）由題意可得的可能取值為0，1000，2000，3000，則，所以的分布列為0100020003000求離散型隨機(jī)變量求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：（1）理解的意義,寫(xiě)出可能取的全部值；（2）求取每個(gè)值的概率；（3）寫(xiě)出的分布列.重難點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【例5】設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234Pp則p為（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】由分布列的性質(zhì)可知，，得.故選：B【例6】若離散型隨機(jī)變量X的分布列為，則的值為（

）.A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以由，可得：，即，∴，所?故選:B.【變式31】隨機(jī)變量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則可以為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【詳解】解：隨機(jī)變量X的分布列如下：X01Pabc，且a，b，①，b，c成等差數(shù)列，，②聯(lián)立①②，得，，所以，，可以為，，，故選：ABC【變式32】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則m的值為.0123【答案】/【詳解】依題意，，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，，符合題意，所以m的值為.故答案為：.【變式33】設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，則常數(shù).【答案】【詳解】，解得，故答案為：.分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用：（1）利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性；（2）隨機(jī)變量所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的,利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率.重難點(diǎn)4兩點(diǎn)分布【例7】已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，由，所以.故選：D【例8】袋內(nèi)有10個(gè)紅球，5個(gè)白球，從中摸出2個(gè)球，記求的分布列．【答案】分布列見(jiàn)解析【詳解】解：由題設(shè)知服從兩點(diǎn)分布，且，．所以的分布列為01【變式41】已知離散型隨機(jī)變量的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)榈姆植剂蟹膬牲c(diǎn)分布，所以，又，所以，所以，所以.故選：A.【變式42】已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，則．【答案】/0.6【詳解】解：由隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，得，又因?yàn)?，所以．故答案為：【變?3】已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查，若用隨機(jī)變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的概率分布．【答案】答案見(jiàn)解析【詳解】由題意知，X服從兩點(diǎn)分布，，所以，所以隨機(jī)變量X的概率分布為X01P兩步法判斷一個(gè)分布是否為兩點(diǎn)分布兩步法判斷一個(gè)分布是否為兩點(diǎn)分布：（1）看取值:隨機(jī)變量只取兩個(gè)值和；（2）驗(yàn)概率:檢驗(yàn)是否成立；如果一個(gè)分布滿足以上兩點(diǎn),則該分布是兩點(diǎn)分布,否則不是兩點(diǎn)分布.重難點(diǎn)5求離散型隨機(jī)變量的均值、方差【例9】已知隨機(jī)變量的分布列如表所示：0p其中，若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，，所?所以.故選：A.【例10】已知X的分布列為X01P則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【詳解】對(duì)A：由，知A正確；對(duì)B：由，知B錯(cuò)誤；對(duì)C、D：因?yàn)榈姆植剂袨樗?，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：AC.【變式51】某種資格證考試，每位考生一年內(nèi)最多有3次考試機(jī)會(huì).一旦某次考試通過(guò)，便可領(lǐng)取資格證書(shū)，不再參加以后的考試；否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次機(jī)會(huì).小王決定參加考試，若他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6，0.7，0.8，且每次考試是否通過(guò)相互獨(dú)立，則小王在一年內(nèi)領(lǐng)到資格證書(shū)的概率為；他在一年內(nèi)參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.【答案】0.9761.52【詳解】小王在一年內(nèi)領(lǐng)到資格證書(shū)的概率為：；設(shè)為小王一年內(nèi)參加考試的次數(shù)，則的取值可能為.,，，所以期望.故答案為：0.976；1.52【變式52】設(shè)隨機(jī)變量的分布列為其中．則下列說(shuō)法正確的是（

）012A． B．C．隨著的從小到大變化，先增大后減小 D．有最小值【答案】AC【詳解】，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，又，是關(guān)于b的二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，所以，當(dāng)b從小到大變化的時(shí)候，是先增后減，當(dāng)時(shí)取得最大值，沒(méi)有最小值，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.【變式53】設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如下圖所示，則下列說(shuō)法正確的有（

）X012PA．恒為1 B．隨增大而增大C．恒為 D．最小值為0【答案】AC【詳解】因?yàn)椋獾茫?，所以隨機(jī)變量的分布列如下圖，X012P因?yàn)椋銥?，故A正確；B錯(cuò)誤；，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.求離散型隨機(jī)變量求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟：（1）理解的實(shí)際意義,并寫(xiě)出的全部取值；（2）求出取每個(gè)值的概率；（3）寫(xiě)出的分布列(有時(shí)也可省略)；（4）利用期望公式，方差公式計(jì)算即可重難點(diǎn)6均值及方差性質(zhì)【例11】已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101P設(shè)Y＝2X＋1，則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的值是（

）A．－ B． C． D．－【答案】C【詳解】隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－.又Y＝2X＋1，所以隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝2E(X)＋1＝2×(－)＋1＝.【例12】已知離散型隨機(jī)變量的分布列為若離散型隨機(jī)變量滿足，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．0 C． D．【答案】AB【詳解】由，所以，所以A選項(xiàng)正確.，所以，對(duì)應(yīng)概率為0，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以，所以B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB【變式61】已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P且，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】結(jié)合題意：，因?yàn)椋?，解得：，故選：A.【變式62】若隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（

）01A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】由已知可得，，，所以，所以，所以，所以，故選：D.【變式63】設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：01230.40.30.2若離散型隨機(jī)變量滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由分布列的性質(zhì)知，則，故，故A正確；，故C錯(cuò)誤；則，故B正確；所以，故D正確．故選：ABD．對(duì)于對(duì)于型的隨機(jī)變量,則有，重難點(diǎn)7均值與方差在決策中的應(yīng)用【例13】某市甲?乙兩個(gè)企業(yè)都生產(chǎn)某種產(chǎn)品，貿(mào)易部門(mén)為將該種產(chǎn)品擴(kuò)大市場(chǎng)份額，推向國(guó)內(nèi)外，創(chuàng)造更高的收益，準(zhǔn)備從甲?乙兩個(gè)企業(yè)中選取優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品，參加2021年的廣交會(huì).現(xiàn)從甲?乙兩個(gè)企業(yè)中各隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，得到質(zhì)量指數(shù)如下表：甲9089938791乙9189908892規(guī)定：質(zhì)量指數(shù)在90以上(包括90)的視為“優(yōu)質(zhì)品”，質(zhì)量指數(shù)低于90的視為“合格品”以此樣本估計(jì)總體，頻率作為概率，求解以下問(wèn)題：（1）若從甲?乙兩個(gè)企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品中隨機(jī)取出2件去參加2021年的廣交會(huì)，求取出的2件優(yōu)質(zhì)品恰好都是甲企業(yè)的優(yōu)質(zhì)品的概率；（2）從乙企業(yè)的5件產(chǎn)品中隨機(jī)取出1件，若為合格品則另放入1件優(yōu)質(zhì)品，直到取出的是優(yōu)質(zhì)品，求取得合格品次數(shù)X的分布列和期望；（3）若兩個(gè)企業(yè)中只能選一個(gè)企業(yè)參加這次廣交會(huì)，如果你是該市貿(mào)易部門(mén)的負(fù)責(zé)人，從產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性方面考慮，你會(huì)選擇哪個(gè)企業(yè)？【答案】（1）所求的概率為；（2）的分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；（3）乙企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量更穩(wěn)定些，應(yīng)選擇乙企業(yè)．【詳解】（1）甲企業(yè)優(yōu)質(zhì)品有3件，乙企業(yè)優(yōu)質(zhì)品有3件，所以取出的2件優(yōu)質(zhì)品都是甲企業(yè)的概率為；（2）根據(jù)題意知，隨機(jī)變量的可能取值為0、1、2，由已知從乙企業(yè)取出1件優(yōu)質(zhì)品的概率為，一件合格品的概率為所以，，，所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望為；（3）甲企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)的平均值為：，方差為，乙企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量指數(shù)的平均值為：，方差為，因?yàn)閮善髽I(yè)的平均值相同，且，所以乙企業(yè)產(chǎn)品質(zhì)量更穩(wěn)定些，應(yīng)選擇乙企業(yè)．【例14】甲公司現(xiàn)有資金200萬(wàn)元，考慮一項(xiàng)投資計(jì)劃，假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，投資有的收益率，若投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，投資有的損益率；如果不執(zhí)行該投資計(jì)劃，損失為1萬(wàn)元.現(xiàn)有兩個(gè)方案，方案一：執(zhí)行投資計(jì)劃；方案二：聘請(qǐng)投資咨詢(xún)公司乙分析投資期間的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，聘請(qǐng)費(fèi)用為5000元，若投資咨詢(xún)公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，則執(zhí)行投資計(jì)劃；若投資咨詢(xún)公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，則不執(zhí)行該計(jì)劃.根據(jù)以往的資料表明，投資咨詢(xún)公司乙預(yù)測(cè)不一定正確，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，咨詢(xún)公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率是0.8；投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，咨詢(xún)公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好的概率是0.7.假設(shè)根據(jù)權(quán)威資料可以確定，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率是，經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好的概率是.(1)求投資咨詢(xún)公司乙預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好的概率；(2)根據(jù)獲得利潤(rùn)的期望值的大小，甲公司應(yīng)該執(zhí)行哪個(gè)方案？說(shuō)明理由.【答案】(1)0.5；(2)甲公司應(yīng)該選擇方案二，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）記投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好為事件，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好為事件，投資咨詢(xún)公司預(yù)測(cè)投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好為事件，則，因此；（2）若采取方案一，則該公司獲得的利潤(rùn)值萬(wàn)元的分布列是500.40.6萬(wàn)元；若采取方案二：設(shè)該公司獲得的利潤(rùn)值為萬(wàn)元，有以下情況，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，咨詢(xún)公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好，咨詢(xún)公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為不好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，咨詢(xún)公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為好，，其發(fā)生的概率為：，投資期間經(jīng)濟(jì)形勢(shì)不好，咨詢(xún)公司乙預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)為不好，，其發(fā)生的概率為：，因此，隨機(jī)變量的分布列為：49.50.180.50.32因此，萬(wàn)元，因?yàn)椋约坠緫?yīng)該選擇方案二.【變式71】學(xué)校進(jìn)行足球?qū)ｍ?xiàng)測(cè)試考核，考核分“定位球傳準(zhǔn)”和“20米運(yùn)球繞桿射門(mén)”兩個(gè)項(xiàng)目.規(guī)定：“定位球傳準(zhǔn)”考核合格得4分，否則得0分；“20米運(yùn)球繞桿射門(mén)”考核合格得6分，否則得0分.現(xiàn)將某班學(xué)生分為兩組，一組先進(jìn)行“定位球傳準(zhǔn)”考核，一組先進(jìn)行“20米運(yùn)球繞桿射門(mén)”考核，若先考核的項(xiàng)目不合格，則無(wú)需進(jìn)行下一個(gè)項(xiàng)目，直接判定為考核不合格；若先考核的項(xiàng)目合格，則進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行考核，無(wú)論第二個(gè)項(xiàng)目考核是否合格都結(jié)束考核.已知小明“定位球傳準(zhǔn)”考核合格的概率為0.8，“20米運(yùn)球繞桿射門(mén)”考核合格的概率為0.7，且每個(gè)項(xiàng)目考核合格的概率與考核次序無(wú)關(guān).(1)若小明先進(jìn)行“定位球傳準(zhǔn)”考核，記為小明結(jié)束考核后的累計(jì)得分，求的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個(gè)項(xiàng)目的考核？并說(shuō)明理由.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)小明應(yīng)選擇先進(jìn)行“定位球傳準(zhǔn)”考核，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由已知可得，的所有可能取值為，則，，所以的分布列為：04100.20.240.56（2）小明應(yīng)選擇先進(jìn)行“定位球傳準(zhǔn)”考核，理由如下：由（1）可知小明先進(jìn)行“定位球傳準(zhǔn)”考核，累計(jì)得分的期望為，若小明先進(jìn)行“20米運(yùn)球繞桿射門(mén)”考核，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，，則的期望為，因?yàn)?，所以為使累?jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行“定位球傳準(zhǔn)”考核.【變式72】某超市計(jì)劃按天從廠家訂購(gòu)酸奶，每瓶進(jìn)價(jià)為4元，零售價(jià)為6元，若進(jìn)貨不足，則該超市以每瓶5元的價(jià)格進(jìn)行補(bǔ)貨，若銷(xiāo)售有余，則廠家以3元回購(gòu)，為此該超市收集并整理了30天這種酸奶的銷(xiāo)售記錄，得到了如下數(shù)據(jù)：銷(xiāo)售瓶數(shù)2030405060頻數(shù)361263以頻率代替概率，記為這家超市每天銷(xiāo)售該酸奶的瓶數(shù)，表示超市每天購(gòu)進(jìn)該酸奶的瓶數(shù).(1)求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)以銷(xiāo)售該酸奶所得的利潤(rùn)的期望為決策依據(jù)，在和之中選一個(gè)，應(yīng)選用哪個(gè)？【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為40；(2).【詳解】（1）根據(jù)表格可知的所有可能取值為：，且，，所以分布列為：20304050600.10.20.40.20.1.（2）①當(dāng)時(shí)，設(shè)為“超市銷(xiāo)售該酸奶所得的利潤(rùn)”，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的分布列為：53565951150.10.20.40.20.1，②當(dāng)時(shí)，設(shè)為“超市銷(xiāo)售該酸奶所得的利潤(rùn)”，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的分布列為：03060901200.10.20.40.20.1，，故應(yīng)選.【變式73】現(xiàn)有人要通過(guò)化驗(yàn)來(lái)確定是否患有某種疾病，化驗(yàn)結(jié)果陽(yáng)性視為患有該疾?。?yàn)方案：先將這人化驗(yàn)樣本混在一起化驗(yàn)一次，若呈陽(yáng)性，則還要對(duì)每個(gè)人再做一次化驗(yàn)；否則化驗(yàn)結(jié)束．已知這人未患該疾病的概率均為，是否患有該疾病相互獨(dú)立．(1)按照方案化驗(yàn)，求這人的總化驗(yàn)次數(shù)的分布列；(2)化驗(yàn)方案：先將這人隨機(jī)分成兩組，每組人，將每組的人的樣本混在一起化驗(yàn)一次，若呈陽(yáng)性，則還需要對(duì)這人再各做一次化驗(yàn)；否則化驗(yàn)結(jié)束．若每種方案每次化驗(yàn)的費(fèi)用都相同，且，問(wèn)方案和中哪個(gè)化驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望更小？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)方案的化驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望更小.【詳解】（1）按照方案化驗(yàn)，這10人的總化驗(yàn)次數(shù)的可能取值為1,11.，，的分布列為：111（2）設(shè)按照方案化驗(yàn)，這10人的總化驗(yàn)次數(shù)為，的可能取值為，，，，，由（1）知，，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.所以方案的化驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望更小.隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值,若均值相同,再用方差來(lái)決定.隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值,若均值相同,再用方差來(lái)決定.1．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點(diǎn)朝上的骰子的個(gè)數(shù)為，則的分布列為（

）A．X12PB．X01PC．

X012PD．

X012P【答案】C【詳解】因?yàn)槊棵恩蛔优紨?shù)點(diǎn)朝上的概率為，且相互獨(dú)立，的取值可能為0，1，2.，，，所以的分布列為：XP故選：C.2．下列問(wèn)題中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布的是（

）A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量B．某選手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量C．從裝有5個(gè)紅球、3個(gè)白球的袋中取1個(gè)球，令隨機(jī)變量D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)為隨機(jī)變量【答案】A【詳解】對(duì)A，隨機(jī)變量的可能取值有6個(gè)，不服從兩點(diǎn)分布，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，某選手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)為0或1，服從兩點(diǎn)分布，故B正確；對(duì)C，隨機(jī)變量的可能取值有2個(gè)，服從兩點(diǎn)分布，故C正確；對(duì)D，隨機(jī)變量的可能取值為0或1，有2個(gè)，服從兩點(diǎn)分布，故D正確.故選：A3．已知隨機(jī)變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)，則有，解得，故..故選：C.4．某高二學(xué)生在參加物理、歷史反向?qū)W考中，成績(jī)是否取得等級(jí)相互獨(dú)立，記為“該學(xué)生取得等級(jí)的學(xué)考科目數(shù)”，其分布列如下表所示，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得、的分布列如下表所示：由分布列的性質(zhì)可得，所以，，所以，，，所以，，設(shè)該生物理、歷史學(xué)考獲得等級(jí)的概率分別為、，則有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，．故選：B.5．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表：X01Pabc若成等差數(shù)列，則公差d可以是（

）A． B．0 C． D．1【答案】AB【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以.又，所以，又，，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得，，所以.故選：AB.6．，隨機(jī)變量的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有（

）X012PA．的值最大B．C．隨著概率的增大而減小D．隨著概率的增大而增大【答案】BD【詳解】由，取，則，，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，B正確，，因?yàn)?，所以隨著的增大而增大，C錯(cuò)誤，D正確，故選：BD.7．一離散型隨機(jī)變量的分布列為：01230.1其中為變數(shù)，為正常數(shù)，且當(dāng)時(shí)方差有最大值，則的值為．【答案】0.1/【詳解】由題意得，，，當(dāng)時(shí)有最大值，此時(shí)，解得．故答案為：．8．已