2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級上冊 正方體的展開與折疊 階段訓(xùn)練

階段拔尖專訓(xùn)1正方體的展開與折疊

類型1正方體的展開

“2024衡陽第九中學(xué)月考］下圖中，不是正方體展開圖的是（）

ABCD

2.如圖的正方體盒子的外表面上畫有三條粗線，將這個正方體盒子的表面展開，外表面朝上，展開圖可能是

類型2正方體表面展開圖的相對面

3.母題教材P20復(fù)習(xí)題T10綜合實(shí)踐課上，嘉淇利用標(biāo)有①?⑤的紙板制作了一個無蓋正方體的展開圖（圖①）,將

該展開圖折成的無蓋正方體盒子放在課桌上（圖②）,則與桌面貼在一起的底面對應(yīng)的是展開圖的

()

A.①號面

（第3題）（第4題）

4.［2024貴港覃塘區(qū)期中］如圖是一個正方體積木，它的每個面上都有一個數(shù)字，其中1的對面是6,2的對面是5,

3的對面是4.現(xiàn)將積木沿著地面標(biāo)志翻轉(zhuǎn)，最后朝上的面的數(shù)字是（）

A.4B.3C.2D.1

類型3正方體的折疊

5.如圖，點(diǎn)P,Q是一正方體展開圖上的兩個頂點(diǎn)，則頂點(diǎn)P,Q在正方體上的位置標(biāo)記正確的是

()

P

Q

A■CD

6.母題教材P18復(fù)習(xí)題T1小明用紙（如圖）折成一個正方體的盒子，里面裝入禮物，混放在下面的盒子里，請觀察，

禮物所在的盒子是()

階段拔尖專訓(xùn)2幾何體的截面圖形

【高分秘解】截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)，由截面圖想象幾何體，不能只看

截面的圖形，還要分析與考慮切截的方向與角度.由截面形狀去想象幾何體與給一個幾何體想象它的截面是一個互

逆的思維過程，要根據(jù)所給截面形狀仔細(xì)分析，展開想象，對于這類題，最好是動手動腦相結(jié)合，親自動手做一

做，從中學(xué)會分析和歸納的思想方法.

2正方體的截面圖

1.母題教材P19復(fù)習(xí)題T4用一個平面去截正方體（如圖），下列關(guān)于截面（截出的面）的形狀的結(jié)論：命了］

能是銳角三角形；②可能是直角三角形；③可能是鈍角三角形；④可能是平行四邊形.其中所有少

結(jié)論的序號是—.

2.如圖，圖①是正方體木塊，把它切去一塊，可能得到如圖②、③、④所示的圖形，問圖②、③、④中切掉的部

類型2柱體的截面圖

3.若用一個平面去截一個五棱柱，截面的邊數(shù)最少是一；最多是.

4.［2024青島大學(xué)附屬中學(xué)期中］如果用平面截掉一個長方體的一個角（切去一個三棱錐）,則剩下的幾何體最多有—

一個頂點(diǎn).

5.如圖所示的是一個放在地面上的三棱柱，用一個平面先后三次截這個三棱柱.

⑴截得的截面能否是三個與該三棱柱的底面大小相同的三角形？若能，畫圖說明你的截法.

⑵截得的截面能否是三個長相等的長方形？若能，畫圖說明你的截法.

⑶截得的截面能否是梯形？若能，畫圖說明你的一種截法.

6.新考法分類討論法如圖是一個長為12cm,寬為9cm的長方形紙片ABCD,將該長方形紙片繞一條邊所在的直

線旋轉(zhuǎn)一周，然后用平面沿與旋轉(zhuǎn)軸平行的方向去截所得的幾何體，求截面的最大面積.

類型3錐體的截面圖

7.用一個平面去截圓推，得到的截面形狀不可能是()

B

8.情境202計(jì)算機(jī)局城區(qū)期末〕計(jì)算機(jī)層析成像(CT)技術(shù)的工作原理與幾何體的切截相似，只不過這里的“截”不是

真正的截，“幾何體”是病人的某個器官，“刀”是射線.如圖，用一個平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面的形狀

是()

類型4由截面圖想象幾何體的結(jié)構(gòu)

9.母題教材P16習(xí)題T7用一個平面去截一個幾何體，截面形狀為三角形，則這個幾何體可能為.(寫出所有正

確結(jié)果的序號)

①正方體；②圓柱；③圓錐；④正三棱柱.

10.新視角結(jié)論開放題截一個幾何體可以得到不同的平面圖形，下面四個平面圖形均可由一個幾何體截得，這個

1L一物體的外形為正方體，為探明其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，給其“做CT"，如圖①，用一組與左面平行的平面從左向右截這

個物體，按順序得到如圖②的截面，請你猜猜這個正方體的內(nèi)部構(gòu)造為.

②

①

階段拔尖專訓(xùn)3由看到的形狀圖確定小正方體的個數(shù)

【高分秘籍】從不同方向看幾何體來確定幾何體的小正方體個數(shù)時，通常借助從上面看的平面圖知道最底層小正

方體的個數(shù)及布局，從正面圖可以看出小正方體的層數(shù)和列數(shù)，從左面圖可以看出小正方體的排數(shù)，從而算出總

的個數(shù)

類型1借助從三個方向看到的形狀圖還原小正方體的個數(shù)（范圍）

1.[2024上海金山區(qū)月考]在一倉庫里堆放著若干個相同的正方體貨箱，倉庫管理員將從這堆貨箱的三個方向看到

的形狀圖畫了出來（如圖）,則這堆正方體貨箱共有

從正面看從左面看從上面看

A.4個B.5個C.6個D.7個

2才艮據(jù)如圖所給出的幾何體從三個方向看到的形狀圖，確定幾何體中小正方體的數(shù)目的范圍.

從正面看從左面看從上面看

類型2借助從兩個方向看到的形狀圖還原小正方體的個數(shù)范圍

3、母題教材P20復(fù)習(xí)題T9從正面看、從上面看由n個相同的小正方體堆成的幾何體的形狀圖如圖所示，則n的

最大值是—.

從正面看從上面看

4.母題教材P20復(fù)習(xí)題T8如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體從正面和上面看到的形狀圖，設(shè)小

正方體的個數(shù)為n.

⑴請你寫出一個符合上述看到的平面圖的n的值：并畫出它從左面看到的形狀圖；

⑵寫出n的所有可能值.

rF^tzffi

從正面看從上面看

階段拔尖專訓(xùn)4絕對值的常見應(yīng)用

I高分秘師I運(yùn)用絕對值解決問題，在初中代數(shù)中具有重要的意義，利用絕對值的知識一般可以將問題化歸，結(jié)合

分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題，從而達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的.

應(yīng)用1絕對值在比較大小中的應(yīng)用

1.比較-7：|和一(-4)的大小.

應(yīng)用2絕對值在數(shù)軸中的應(yīng)用

2我們知道，|x|表示x在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，|x|我們可以看成x-0|斯以x-a|就表示x與a在數(shù)軸上對應(yīng)

的兩點(diǎn)之間的距離.若|x+3|=5，則x=

3.[2024濟(jì)南市中區(qū)月考]已知在數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)分別表示的數(shù)是a和b,|a|=2,|b|=4,|a-b|=a-b，點(diǎn)P在數(shù)軸上且與

點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離相等，則點(diǎn)P表示的數(shù)為.

應(yīng)用3絕對值的非負(fù)性在求字母值或取值范圍中的應(yīng)用

4.若|a-l|=al則a的取值范圍是()

A.a>lB.a<lC.a<lD.a>l

5.如果|x-2|=2-x,那么x的取值范圍是__.

6.[2024天津和平區(qū)模擬]已知|x-3|+|y+5|=0求x+y|的值.

應(yīng)用4絕對值在化簡中的應(yīng)用

7.新考法零點(diǎn)分段法化簡：|x-l|+|x-3|.

8.新考法分類討論法已知a,b,c均不為零，求*+卷+*+器的值?

------\a\\b\|c|\abc\

應(yīng)用5絕對值的幾何意義在求字母值或最值中的應(yīng)用

9.母題教材P73復(fù)習(xí)題T17絕對值不大于a(a>0,且a為整數(shù))的所有整數(shù)共有5個，貝[](a=

10.新視角學(xué)習(xí)探究題/同學(xué)們都知道，|5-1|表示5與1的差的絕對值，也可以表示數(shù)軸上5和1這兩點(diǎn)間的距離；|

3-(-2)|表示3與-2的差的絕對值，實(shí)際上也可理解為3與-2在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離；自然地，對|3-(-

2)1進(jìn)行變形得|3+2|,同樣可以表示3與-2在數(shù)軸上所對的兩點(diǎn)之間的距離.試探索：

(1)|3-(-2)|=;

(2)|x-2|表示x與___之間的距離;|x+3|表示x與____之間的距離；

(3)當(dāng)|x-2|+|x+3|=5時,x可取整數(shù)—.(寫出一個符合條件的整數(shù)x即可)

(4)由以上探索，結(jié)合數(shù)軸猜想：對于任何有理數(shù)x,|x+4|+5的最小值為一.

(5)由以上探索，結(jié)合數(shù)軸猜想：對于任何有理數(shù)x,|x+4|+|x-6的最小值為一.

(6)解決問題：一條筆直的公路邊有三個代工廠A,B,C和城區(qū)O,代工廠A,B,C分別位于城區(qū)左側(cè)5km,右側(cè)

1km,右側(cè)3km.A代工廠需要芯片1000個,B代工廠需要芯片2000個,C代工廠需要芯片3000個.現(xiàn)需要在該公

路邊建一個芯片研發(fā)實(shí)驗(yàn)室P,為這3個代工廠輸送芯片.若芯片的運(yùn)輸成本為每千米1元/千個，那么實(shí)驗(yàn)室P

建在何處才能使總運(yùn)輸成本最低，最低成本是多少？(實(shí)驗(yàn)室不能建在代工廠及城區(qū)處)

階段拔尖專訓(xùn)5有理數(shù)混合運(yùn)算應(yīng)用技巧

技巧1湊整法

I高分秘籍I湊整法，就是根據(jù)題中數(shù)據(jù)特點(diǎn)、借助數(shù)的組合、分解以及有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)，把其湊成整十整百整千

的數(shù)，從而達(dá)到計(jì)算簡便、迅速的一種方法.

1.計(jì)算:⑴(—2，)x7x(—1.25)x(―巳)；(2)|x(-總-,xOx

技巧2分組法

I高分秘籍I根據(jù)算式的特征，計(jì)算規(guī)律，可把算式中的若干項(xiàng)作為一組，整個算式又可分成若干組，每組中若干項(xiàng)

的計(jì)算結(jié)果相同，這樣可很快巧算出題目的結(jié)果.這種巧算思路稱為分組法巧算.

2.計(jì)算:1-2+3-4+5-6+7-8+…+2023-2024.

技巧3拆分法

【高分秘籍】遇到與帶分?jǐn)?shù)有關(guān)的混合運(yùn)算，將帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分進(jìn)行拆分以達(dá)到簡化計(jì)算的目的,

這種方法叫作拆分法.

3.計(jì)算:49||x(-5).

技巧4裂項(xiàng)法

【高分秘籍】裂項(xiàng)法，作為一種在有理數(shù)混合運(yùn)算尤其是分?jǐn)?shù)運(yùn)算中常用的解題策略，其核心在于通過巧妙地將

復(fù)雜的表達(dá)式中的每一項(xiàng)“分裂”成若干更簡單、更易操作的項(xiàng)，使得這些簡單項(xiàng)在求和時能夠相互抵消，從而簡

化計(jì)算過程.

4.計(jì)算:—+—+—4--1--------------.

1X22X33X42027X2028

技巧5倒數(shù)法

【高分秘暗】在有理數(shù)混合運(yùn)算中，當(dāng)直接求解原算式變得棘手時，我們可以運(yùn)用一種巧妙的策略一“倒數(shù)法”.

這種方法的核心在于巧妙利用倒數(shù)的性質(zhì)，即任何非零數(shù)與其倒數(shù)的乘積恒等于L具體地，如果原算式直接求解

較為繁瑣，我們可以先求出其倒數(shù)的值，隨后對得到的結(jié)果再取倒數(shù)，最終就能獲得原算式的解.

5.［2024石家莊橋西區(qū)期末］閱讀下列材料.

計(jì)算：50+（〉］+*）,

解法1：原式：=504-|-504-^+504-^=50x3-50x4+50x12=550.

解法2：原式的倒數(shù)=（；/￡）+50="、_打］+-><\=擊故原式=300.

（1）以上兩種解法中，解法—是正確的；

（2）請你計(jì)算：（―3+°IW）

技巧6整體設(shè)元法

［高分秘籍］整體設(shè)元法的核心思想在于，將一串有理數(shù)的代數(shù)和視作一個不可分割的整體，并巧妙地用一個特定

的字母來代替這一整體.這樣就使原本冗長復(fù)雜的算式瞬間變得簡潔明了.

6.新考法閱讀類比法/閱讀下列材料：

計(jì)算1+5+52+53+???+551.

解：令M=1+5+52+53+…+551,則5M=5+52+53+54+???+552,

故5M-M=552-1,故4M=552-1,

故M即1+5+52+53+-+561=

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請仿照上述方法計(jì)算11+II2+II3+…+lln.

階段拔尖專訓(xùn)6新定義概念運(yùn)算思路

【高分秘籍】新定義類試題大多通過定義相關(guān)新的概念、數(shù)、運(yùn)算或圖形，或抓住新定義數(shù)的本質(zhì)特征或隱含

的規(guī)律，或抓住新定義運(yùn)算的法則或順序，或抓住動點(diǎn)，動線的內(nèi)涵與外延，或抓住新定義圖形的性質(zhì)，或抓住

原始定義和新定義及有關(guān)性質(zhì)，按照這種新的定義規(guī)則，方法，思想或思維進(jìn)行運(yùn)算或推理，靈活運(yùn)用所學(xué)的知

識與數(shù)學(xué)能力觸類旁通，進(jìn)行一定的拓展應(yīng)用與創(chuàng)新.

思路1新定義數(shù)

1.定義[x]為不超過x的最大整數(shù)，如[3.6]=3,[0.6]=0,[-3.6]=—4.對于任意數(shù)x,下列式子中錯誤的是

（）

A.[x]=x（x為整數(shù)）B.O<x-[x]<l

C.[x+y]<[x]+[y]D,[n+x]=n+[x]（n為整數(shù)）

思路2新定義運(yùn)算

2.[2024宜昌月考]對于數(shù)a,b,定義運(yùn)算“*”,a*6=產(chǎn)=外22例如5*3,因?yàn)?>3,所以5*3=52-5x3=10,

la—<b）,

若Xi,X2在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別到原點(diǎn)的距離相等，且兩點(diǎn)間的距離為8,求Xi*X2的值.

思路3新定義圖形

3.[2024廊坊廣陽區(qū)月考]在數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為-1,點(diǎn)B表示的數(shù)為b.對點(diǎn)A給出如下定義：

當(dāng)b>0時，將點(diǎn)A向右移動2個單位長度，得到點(diǎn)P；當(dāng)b<0時，將點(diǎn)A向左移動|b|個單位長度，得到點(diǎn)P.稱

點(diǎn)P為點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“聯(lián)動點(diǎn)”.當(dāng)b=4時，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“聯(lián)動點(diǎn)”P在數(shù)軸上表示的數(shù)為；當(dāng)b=-2

時，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“聯(lián)動點(diǎn)”P在數(shù)軸上表示的數(shù)為.

思路4新定義方程

4.新考法閱讀類比法/閱讀與探究：我們把絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫作“含有絕對值的方程”.如：|x|=3,I-

2x+l|=2，…都是含有絕對值的方程，怎樣求含有絕對值的方程的解呢？基本思路是：把“含有絕對值的方程”

轉(zhuǎn)化為“不含有絕對值的方程”.例如：

解方程：x+3|x|=4.

解:當(dāng)x>0時,原方程可化為x+3x=4,解得x=l,符合題意；

當(dāng)x<0時,原方程可化為x-3x=4.解得x=—2,符合題意.

所以原方程的解為x=l或x=-2.

根據(jù)以上材料解決下列問題：

⑴若|2x-2|=2-2x,則x的取值范圍是____；

⑵解方程x+2|x-l|=4.

思路5新定義模型

5.[2024大連甘井子區(qū)月考]把一根小木棒放在數(shù)軸上，木棒左端點(diǎn)與點(diǎn)A重合，右端點(diǎn)與點(diǎn)B重合，如圖所示.

CO5AB20

(I)若將木棒沿數(shù)軸向右移動，當(dāng)木棒的左端點(diǎn)移動到點(diǎn)B處時，它的右端點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為20；若將木棒沿

數(shù)軸向左移動，當(dāng)它的右端點(diǎn)移動到點(diǎn)A處時，木棒左端點(diǎn)在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為5,由此可得木棒的長為—

.；我們把這個模型記為“木棒模型”；

⑵已知點(diǎn)C表示的數(shù)為-|,若木棒在移動過程中，當(dāng)木棒的左端點(diǎn)與點(diǎn)C相距3個單位長度時，求木棒的右端點(diǎn)

與點(diǎn)A的距離；

(3)請根據(jù)(1)的“木棒模型”解決下列問題.某一天，小宇問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在那么大，你還要45

年才出生，?你若是我現(xiàn)在這么大，我就有123歲了，世界級老壽星了，哈哈！”請你畫出“木棒模型”示意圖，求

出爺爺現(xiàn)在的年齡.

階段拔尖專訓(xùn)7比較有理數(shù)的大小

【高分秘籍】有理數(shù)大小的比較需要根據(jù)有理數(shù)的特征靈活地選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ顺Ｒ?guī)的比較大小的方法外，

還有幾種特殊的方法：作差法、作商法、倒數(shù)法、變形法、找中間量法、數(shù)軸法、特殊值法、分類討論法等.

方法1作差法

L比*和If的大小?

方法2作商法

2?比較一公和一部的大小?

方法3倒數(shù)法

3.有兩個分?jǐn)?shù)，2=品,3=鬻，問:A與B哪個大?

44445555

方法4變形法

4.比較-黑，-言-慧，-愛的大小.

5.比較一，一串勺大小?

方法

6.12024新腦蒙三帝號月考10網(wǎng)讀與慈善請閱讀小影的日記，并完成相應(yīng)的任務(wù).

XXXX年XX月XX月鑒期X

比較滿個數(shù)的頭小的方法

今失、疲在一條數(shù)學(xué)課外書上看到邏輯一道題：比較-券鳥一含的大小.遂道題判用絕對值法比較退滿

個負(fù)數(shù)的關(guān)小大復(fù)雜。怎么辦?該書腿徙了如下的方法：

解?因?yàn)?1<2巴>2所以2〈工所以_牝>__t

用牛,口〃201<2'101>2'尸"人29<10只人201>1（少'

我有如下思考：這種方法叫什么方法？是通過哪個量作比較的?

【任務(wù)】

⑴上述方法是先通過找中間量_____來比較出；粉與荒的大小，再根據(jù)兩個負(fù)數(shù)比較大小大的負(fù)數(shù)反而

小，把這種方法叫作催助中間量比較法.

⑵利用上述方法比較-費(fèi)與-粉的大小。

數(shù)軸法

7,已知a>0,為試比較a,=a,b,-b的大小.

方法特殊值流

8,已知x,為是有理數(shù)，且a,b異號則a+b|,|a-b|,|a|+|b|的大小關(guān)系為__、

方法口分類討論結(jié)

9.找較多也的大小

階段拔尖專訓(xùn)8整式化簡求值的運(yùn)算技巧

技巧先化簡，再代入求值

1.母題教材P105復(fù)習(xí)題T6先化簡，再求值：

(1)2(|%2-3xy+_3_lXy+2y+4y2,其中x=-l,y=2.

(2)2(3a2b+a—b')—3(2a2b—a+b)—56,其中a-2b=3.

技巧2先挖掘已知條件，再代入求值

2.[2024永州月考]先化簡，再求值:2(a2-ab)-3(2a2-3ab)+2[a2-(2a2-ab)]-1,其中a,b滿足2/an和-

2n16nb+2是同類項(xiàng).

技巧3先挖掘缺項(xiàng)信息，再求值

3.母題教材P94習(xí)題T9在數(shù)學(xué)課上，王老師出示了這樣一道題目：“當(dāng)、X=-3,y=-3.5時，求多項(xiàng)式.x2+4xy

+2y2-2(/+2孫+y2-2x-1)的值.”解完這道題后，小明指出y=-3.5是多余的條件.師生討論后，一致認(rèn)

為小明的說法是正確的.

⑴請你說明小明的說法正確的理由；

(2)接著王老師又出示了一道題：“設(shè)a,b,c為常數(shù),已知關(guān)于x,y的多項(xiàng)式Max2+bxy+cy2-3y=2,N=

2x2-xy+4y2+2久-3,并且M-N的差是關(guān)于x,y的一次多項(xiàng)式，求代數(shù)式((a-b-。產(chǎn)?'的值.”請你解決

這個問題.

技巧4先挖掘“無關(guān)”信息，再求值

4.[2024眉山期末]已知A=a2-ab-3b2,B=2a2+ab-6b2.

⑴求2A-B;

⑵若代數(shù)式(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1)的值與字母x的取值無關(guān)，求代數(shù)式2A-B的值.

技巧5整體代入求值

5.新考法閱讀類比法7數(shù)學(xué)中,運(yùn)用整體思想方法在求代數(shù)式的值中非常重要.

例如：已知a?+2a=3,則代數(shù)式2a2+4a+1=2(a2+2a)+l=2x3+l=7.

請你根據(jù)以上材料解答以下問題：

(1)若a2—a—2,則2025—a+a2

(2)已知a--b=5,b-c=3,求代數(shù)式((a-c)2+3a-3c的值；

(3)當(dāng)x=-l,y=2時，代數(shù)式ax2y-bxy2-1的值為5,則當(dāng)x=l,y=-2時,求代數(shù)式ax2y-bxy2-1的值.

技巧6利用特殊值法求代數(shù)式的值

32

6.新考法閱讀類比法已知a/"+a3x+a2x+axx+a0=6久，則

①當(dāng)x=0時,a0=0;②當(dāng)x=l時,a4+a3+a2+a1+a0=6;

③當(dāng)x=-l時,a4—a3+a2-+?o=-6;

④把②③的結(jié)論相加，可以得到2a4+2a2+2a0=0,結(jié)合①的結(jié)論，可得出a4+a2=0.

請類比上例，解決下面的問題：

65432

已知2e(x—I)+a團(tuán)(%—I)+a4(x—I)+a3(x—l)+a2(x—l)+a^x—1)+a0=c4x,求:

(l)a0的值：

(2)cig+as+CI4+a?+a?+a[+的值；

(3)a6+a44-a2的值.

階段拔尖專訓(xùn)I9線段、角的計(jì)數(shù)問題

類型1射線的計(jì)數(shù)問題

L如圖，射線0A上有0,A,B,C,D五個點(diǎn)，圖中有幾條射線？若有n個點(diǎn)（包括端點(diǎn)）呢？

1I________|________|________|_

OABCD

2.如圖，直線1上有A,B,C,D,E五個點(diǎn)，圖中共有幾條射線？若有n個點(diǎn)呢？

__|_________|________|________|________L

ABCDE

類型2線段的計(jì)數(shù)問題

3.如圖，直線1上有A,B,C,D,E五個點(diǎn)，圖中共有幾條線段？若有n個點(diǎn)呢?

]I1[

ABDE

類型3直線的計(jì)數(shù)問題

4.新視角規(guī)律探究題/如圖：

??,.?

??????

①②③

（1）試驗(yàn)觀察：

如果經(jīng)過兩點(diǎn)畫直線，那么圖①中最多可以畫一條直線；圖②中最多可以畫一條直線；圖③中最多可以畫

條直線.

⑵探索歸納：

如果平面上有n（吟3）個點(diǎn)，目任意3個點(diǎn)均不在一條直線上，那么經(jīng)過兩點(diǎn)最多可以畫一條直線，（用含n的

式予表示）

⑶解決問題：

某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握1次手間好，那么共握一次手.

類型4交點(diǎn)的計(jì)數(shù)問題

5.在同一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交最多有幾個交點(diǎn)？四條直線兩兩相交最多有幾個交點(diǎn)？五條直線兩兩相交最多

有幾個交點(diǎn)？n條直線兩兩相交最多有幾個交點(diǎn)？

類型5角的計(jì)數(shù)問題

6.如圖，圖中共有幾個角？若圖中有n條射線呢?

7.[2024宜賓模擬]在.乙40B的內(nèi)部弓|一條射線，如圖①，則共有多少個角？在乙40B的內(nèi)部弓|兩條射線，如圖②，

則共有多少個角？在乙4。8的內(nèi)部引三條射線，如圖③，則共有多少個角？若在乙4。8的內(nèi)部引n條射線，如圖

④，則共有多少個角?

類型6平面的計(jì)數(shù)問題

8.在同一平面上，1條直線把平面分成片上=2（個店口分，2條直線把平面最多分成三三=4（個）部分，3條直線

把平面最多分成W=7（個）部分，那么8條直線把平面最多分成個部分，口條直線把平面最多分成一

一個部分.

階段拔尖專訓(xùn)10線段和角中的動態(tài)問題

類型1線段中的動態(tài)問題

題型1與線段中點(diǎn)有關(guān)的動點(diǎn)問題

1.如圖①，已知線段AB=12,點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D,E分別是AC和BC的中點(diǎn).

ADCEBQB

①②

⑴若AC=4廁DE的長為.

⑵若BC=m,求DE的長.

⑶如圖②，動點(diǎn)P,Q分別從A,B兩點(diǎn)同時出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P以每秒3個單位長度的速度沿線段AB向右勻

速運(yùn)動，點(diǎn)Q以每秒6個單位長度的速度沿線段AB向左勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為ts,問當(dāng)t為多少時，P,Q

之間的距離為6?

題型2線段和差倍分關(guān)系中的動線段問題

2.已知點(diǎn)C在線段AB±,AC=2BC,點(diǎn)D,E在線段AB上點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè).若AB=18,DE=8,線段DE在線

段AB上移動.

(1)如圖，當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時，求AD的長；

⑵點(diǎn)F(異于A,B,C點(diǎn))在線段AB上,AF=3AD,CE+EF=3,,求AD的長

ADCEBACB

備用圖

題型3線段中的存在性探究問題

3.[2024泰州高港區(qū)期末]【背景知識】數(shù)軸是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合.已知結(jié)論：

數(shù)軸上點(diǎn)A,B表示的數(shù)分別為a,b,則A,B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a-線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為等.

【知識運(yùn)用】⑴點(diǎn)A,B表示的數(shù)分別為a,b,若a與-巳互為倒數(shù),b與7互為相反數(shù).則A,B兩點(diǎn)之間的

距離為—；線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為—.

【拓展遷移】⑵在⑴的條件下，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q

從點(diǎn)B出發(fā)以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運(yùn)動，點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為ts.

①點(diǎn)M表示的數(shù)是—；（用含t的代數(shù)式表示）

②在運(yùn)動過程中，若點(diǎn)A,P,Q中恰有一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)連接所得線段的中點(diǎn)，求t的值；

③線段PQ,AM的長度隨運(yùn)動時間的變化而變化，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)時，是否存在常數(shù)m，使得mPQ+AM為

定值？若存在，求常數(shù)m及該定值；若不存在，請說明理由.

類型2角中的動態(tài)問題

題型1求角度問題

4.已知4AOB=90。,"。。=60°,,按如圖①所示擺放，將OA,OC邊重合在直線MN上,OB,OD邊在直線MN

的兩側(cè).

（1）保持乙4OB不動，將NC。。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，則：

①N40C+乙BOD=.

②乙BOC-AAOD=.

（2）若NCOD按每分鐘5。的速度繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)，乙4OB按每分鐘2。的速度也繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，2。（^旋轉(zhuǎn)到

射線ON上時都停止運(yùn)動，設(shè)旋轉(zhuǎn)tmin,計(jì)算.乙MOC-乙4。。的值.（用含t的代數(shù)式表示）.

①備用圖

題型2定值問題

5.[2024汕頭金平區(qū)期末]如圖，"0B=90°,4D0E=40°,,角的頂點(diǎn)O互相重合，將以O(shè)B繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).

⑴當(dāng)射線OB,OD重合時，乙4OE=。；

⑵在乙408繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線OB,OD與OE中的某一條射線是另兩條射線所夾角的平分線，則NBO

D的度數(shù)為；

⑶在/AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線OB始終在NDOE的內(nèi)部.

①善于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，NAOE-/BOD的值為定值，請你求出這個定值；

②作/BOD和NAOE的平分線OM,ON,在旋轉(zhuǎn)過程中NM0N的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個度數(shù)，

若變化，請求出變化的范圍.

題型3存在性探究問題

6.[2024襄陽期末]如圖①，點(diǎn)A,O,B依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O沿順時針方向以每秒4。的速度旋

轉(zhuǎn)，同時射線OB繞點(diǎn)O沿逆時針方向以每秒（6。。的速度旋轉(zhuǎn)，直線MN保持不動，如圖②，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為ts（t

的值在0到30之間）.

⑴當(dāng)t=3時，求NAOB的度數(shù)；

⑵在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)乙4。8第二次達(dá)至I」60。時，求t的值；60°

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的t，使得射線OB與射線OA的夾角為90。?如果存在，請直接寫出t的值；如果不

存在，請說明理由.

階段拔尖專訓(xùn)11巧妙設(shè)元方法歸納

方法1直接設(shè)元法

【高分秘籍】“直接設(shè)元”就是題目要求什么量，就設(shè)什么量為未知數(shù)，或者有幾個要求的量，設(shè)其中某一個量為

未知數(shù).“直接設(shè)元”是最常用的設(shè)元法.

1.中國古代問題：有甲、乙兩個牧童，甲對乙說：“把你的羊給我一只，我的羊數(shù)就是你的羊數(shù)的2倍.”乙回答說：

“最好還是把你的羊給我一只，我們羊數(shù)就一樣了.”則甲的羊數(shù)是（）

A.5RB.6RC.7只D.8只

2.[2024鎮(zhèn)江期末]一列“動車組”高速列車和一列普通列車的車身長分別為80米與100米，它們在平行的軌道上相

向行駛，若坐在高速列車上的旅客看見普通列車駛過窗口的時間是5秒，則坐在普通列車上的旅客看見高速列

車駛過窗口的時間是（）

A.7.5秒B,6秒C.5秒D.4秒

3.情境題游戲活動10個人圍成一個圓圈做游戲，游戲的規(guī)則是：每個人心里都想好一個數(shù)，并把自己想好的數(shù)如

實(shí)地告訴與他相鄰的兩個人，然后每個人將與他相鄰的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報出來，若報出來的數(shù)如圖

所示，則報2的人心里想的數(shù)是.

方法2間接設(shè)元法

【高分秘籍】為更容易找出題中的等量關(guān)系，適當(dāng)?shù)剡x擇設(shè)與題目要求的未知數(shù)有關(guān)的某個量為未知數(shù)，從而列

出方程，即“間接設(shè)元”所設(shè)的不是所求的.

4.如圖是一個長方形色塊圖，由6個不同顏色的正方形組成，已知中間最小的一個正方形邊長為1,則這個長方形

的面積為.

5.新考向數(shù)學(xué)文化7大數(shù)學(xué)家歐拉的數(shù)學(xué)名著《代數(shù)基礎(chǔ)》中記錄了一個有趣的問題：有一位父親，臨終時囑咐

他的兒子這樣來分他的財產(chǎn)：第一個兒子分得100克朗和剩下財產(chǎn)的十分之一；第二個兒子分得200克朗和剩

下財產(chǎn)的十分之一；第三個兒子分得300克朗和剩下財產(chǎn)的十分之一；第四個兒子分得400克朗和剩下財產(chǎn)的

十分之一……按這種方法一直分下去，最后，每一個兒子所得財產(chǎn)一樣多.問：這位父親共有幾個兒子？每個兒

子分得多少財產(chǎn)？

6.新考法分類討論法小明家的電話號碼是八位數(shù)，它的前四位數(shù)字相同，后五位數(shù)字是連續(xù)的自然數(shù)，電話號碼

的數(shù)字和等于它的最后兩位數(shù).問：小明家的電話號碼是多少？

方法3輔助設(shè)元法

【高分秘籍】對于一些較為復(fù)雜的問題，數(shù)量之間的關(guān)系往往錯綜復(fù)雜，有些量與求解無直接聯(lián)系，但如果不指

明這些量，則很難求解，因而需把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就是輔助設(shè)元.在已知條件和

所求結(jié)論之間架起一座“橋梁”，從而理清各個數(shù)量間的關(guān)系，這種設(shè)元方法叫作輔助設(shè)元法，也叫參數(shù)法或設(shè)而

不求法.

7.[2024北京豐臺區(qū)月考]植樹節(jié)時，某班平均每人植樹6棵，如果只由女同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹15棵；如果只由

男同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹（）

A.9棵B.10棵C.12棵D.14棵

8.新趨勢跨學(xué)科有兩塊鋅銅合金的質(zhì)量分別為10kg.15kg,這兩塊合金含銅的百分比不同，現(xiàn)分別從這兩塊合金

中各切下一塊質(zhì)量相同的合金，交換后分別與另一塊合在一起熔化，冷卻后測得這兩塊合金含銅的百分比相同,

求切下的一塊合金的質(zhì)量.

方法4整體設(shè)元法

【高分秘籍1有些應(yīng)用題中未知量太多，而已知關(guān)系又少，如果在未知數(shù)的某一部分存在一個整體關(guān)系，可設(shè)這

一部分為一個未知數(shù)，這樣就減少了設(shè)元的個數(shù)，這種設(shè)元的方法叫作整體設(shè)元法.

9.新考問知識情境化/如圖所示的算式中，每個漢字代表1個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，已知“神”=3,那

么乘數(shù)“神舟飛船升空”是—.

神舟飛船升空

x神

升空神舟飛船

10.一^六位數(shù)2abede的3倍等于abcde9,則這個六位數(shù)是」

階段拔尖專訓(xùn)12構(gòu)造一元一次方程解決問題

根據(jù)一元一次方程的定義構(gòu)造方程

1.已知((血2-4)x2-(m+2)x+8=。是關(guān)于x的一元一次方程.求200(2m+0(3%一2m)+|6的值.

類型2根據(jù)一元一次方程解的定義構(gòu)造方程

2.新考法逆向思維法在練習(xí)解方程時，作業(yè)上有一個方程2y~l=?y+=，中的■沒印清，小華問老師，老師只是

3o

說：“■是一個有理數(shù)，該方程的解與x=3時，代數(shù)式55(%-1)-2(%-2)-4的值相同;

⑴求當(dāng)x=3時代數(shù)式5(x—1)—2(x—2)—4的值；

(2)求原方程中■的值.

類型3根據(jù)兩個一元一次方程的解的關(guān)系構(gòu)造方程

3.新考法同解求值法若方程序+等=1-軍與關(guān)于x的方程x+等=B-3久的解相同，求a的值.

6343o

4.[2024許昌期末]已知關(guān)于x的方程j(x-l)=5+k的解與方程式x-1)-1k=|(久-1)的解互為相反數(shù)，求k

的值

根據(jù)方程無解構(gòu)造方程

5.[2024廣州海珠區(qū)期中偌關(guān)于x的方程網(wǎng)產(chǎn)一久=弓-n與寸-等=g均無解，求代數(shù)式6m+4n-2(m-l)(n+l)

z334o

的值.

類型5根據(jù)方程有無窮解構(gòu)造方程

6.不論k為何值，x=-l總是關(guān)于x的方程等二一等的解.求ab的值.

類型6根據(jù)有理數(shù)的相關(guān)概念構(gòu)造方程

7.母疆考法：數(shù)據(jù)結(jié)合法］如圖是一個正方體的展開圖，如果正方體相對的兩個面所標(biāo)注的值均互為相反數(shù)，則字

母A所標(biāo)注的代數(shù)式的值為

A.24B.-24C.12D.-12

8.［2024武漢黃陂區(qū)月考］已知千與?互為相反數(shù)，手與|互為倒數(shù)，

3263

⑴求a,b的值；

(2)^<3(2cz2+3ab—2b2—1)+5(—u2+ab—〃.)的彳直

類型7根據(jù)代數(shù)式的相關(guān)知識構(gòu)造方程

9.已知代數(shù)式苫-等的值比的值小1，求x的值.

1

10.已知關(guān)于x,y的單項(xiàng)式-rnxyi-m與-3xy2<m+n+5是同類項(xiàng)，求當(dāng)x==-4時，代數(shù)式-血孫”"_

3支產(chǎn)m+l)+5的值

類型8根據(jù)新定義構(gòu)造方程

11.新疆2生確定義期末給出定義如下：我們稱使等式a―b=ab+1成立的一對有理數(shù)(a,b)為“共生有理數(shù)對”.如:

3-j=3x|+l,5-|=5x|+1,所以數(shù)對(3-1),(5-1)都是“共生有理數(shù)對”.

⑴數(shù)對(-2,0,(-3-3)中,是“共生有理數(shù)對”的是二

⑵若(x+1,5)是“共生有理數(shù)對"，貝!］x的值是多少？寫出求解過程.

(3)若(a,b)是“共生有理數(shù)對"，求3ab+a-(b+4ab)+l的值.

類型9根據(jù)圖形信息構(gòu)造方程

12.［2024上海寶山區(qū)期中］如圖，在一塊長方形的展板上，整齊地貼著許多大小相同的長方形卡片，卡片之間有三

塊正方形空隙(圖中陰影部分)，已知卡片的短邊長是10cm,那么圖中三塊陰影部分的總面積是—cmZ

階段拔尖專訓(xùn)13數(shù)形結(jié)合思想

【高分秘籍】數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決

方法(以形助數(shù))，或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題(以數(shù)助形)的一種數(shù)學(xué)思想.數(shù)形結(jié)合思

想將數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，使問題得以解決.

類型1有理數(shù)中的數(shù)形結(jié)合思想

1.R024達(dá)州期中］a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a,b,-a,-b的大小關(guān)系是)

a-10b1

A.a>b>-a>-bB.-a<b<a<-bC.-a<b<-b<aD.-a>b>-b>a

2.再20：24；按相同明官匯用考］如圖，將一個邊長為1的正方形紙片分割成6部分，部分①的面積是整體面積的

一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面積的一半，以此類推.

⑴圖中陰影部分的面積是.

(2)寫出|+或+套+…++的結(jié)果為」

類型2代數(shù)式中的數(shù)形結(jié)合思想

3.已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，目a|=|b|.

⑴求a+b和a/b的值；

(2)化簡:閭-|a+b|-|c-a|+|c-bH-2bl.

I1

b0

4.新考選：整體代入法如圖①是一個長為2x,寬為2y的長方形，按圖中虛線用剪刀剪開，將其平均分成四個完全

相同的小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形.

⑴試用含x,y的式子表示圖②中陰影部分的面積；（用兩種不同的方法表示）

⑵根據(jù)⑴中陰影部分的面積的不同表示方法，你能得出什么數(shù)量關(guān)系？

⑶根據(jù)⑵中的數(shù)量關(guān)系，解決如下問題:若x+y=5,xy=3.求（（x-的值.

①

類型3方程中的數(shù)形結(jié)合思想

5.[2024漳州期中]如圖，正方形ABCD的邊長是2個單位，一只烏龜從A點(diǎn)出發(fā)以2個單位/秒的速度順時針繞正

方形的邊運(yùn)動，另有一只兔子也從A點(diǎn)出發(fā)以6個單位/秒的速度逆時針D繞正方形的邊運(yùn)動，則第2024次相

遇在()

D

A.點(diǎn)A處B.點(diǎn)B處C.點(diǎn)C處D.點(diǎn)D處

AB

6.新視角動點(diǎn)探究題/如圖，A,B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)表示的數(shù)為-2,B點(diǎn)表示的數(shù)為10,O是原點(diǎn).動點(diǎn)P從

點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，速度為每秒3個單

位長度，到達(dá)點(diǎn)B后立即返回，以原來的速度向點(diǎn)O勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P,Q再次重合時，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)

Q,P兩點(diǎn)同時出發(fā)，運(yùn)動時間為ts.

_______，f，一》，；■

AQOPB

(1)當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)P表示的數(shù)為；

⑵在點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B前，點(diǎn)Q表示的數(shù)為；(用含t的代數(shù)式表示)

(3)在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，P,Q兩點(diǎn)相距1個單位長度.

類型4幾何中的數(shù)形結(jié)合思想

7.[2024珠海十中模擬]已知/AOB=3NBOC,OD,OE分另U為乙4OB和NBOC的平分線.

⑴如圖①，當(dāng)OC在/AOB的內(nèi)部時，若NBOC=20。,求4OE的度數(shù)

⑵如圖②，當(dāng)OC在/AOB的外部時，若.NDOE=22。,求N40C的度數(shù)

8.新視角動點(diǎn)探究題7如圖，射線OM上有三點(diǎn)A,B,C,滿足(OA=20cm,AB=60cm,BC=10cm,m,點(diǎn)P從

點(diǎn)O出發(fā)，沿OM方向以lcm/s的速度勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)在線段CO上向點(diǎn)O勻速運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出

發(fā)，當(dāng)