2025年湖北省武漢市部分市級示范高中高三二輪復習研究性考試（五）數學試題含解析

2025年湖北省武漢市部分市級示范高中高三二輪復習研究性考試（五）數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為A．-40 B．-20 C．20 D．402．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．3．設全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．4．將函數的圖象分別向右平移個單位長度與向左平移(>0)個單位長度，若所得到的兩個圖象重合，則的最小值為()A． B． C． D．5．的二項展開式中，的系數是（）A．70 B．-70 C．28 D．-286．設a，b，c為正數，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不修要條件7．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．8．如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．9．已知拋物線：，點為上一點，過點作軸于點，又知點，則的最小值為（）A． B． C．3 D．510．已知，則不等式的解集是（）A． B． C． D．11．已知點為雙曲線的右焦點，直線與雙曲線交于A，B兩點，若，則的面積為（）A． B． C． D．12．已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數在區(qū)間上有且僅有一個零點，則實數的取值范圍有___________.14．如圖，在矩形中，，是的中點，將，分別沿折起，使得平面平面，平面平面，則所得幾何體的外接球的體積為__________.15．已知“在中，”，類比以上正弦定理，“在三棱錐中，側棱與平面所成的角為、與平面所成的角為，則________．16．在平面直角坐標系中，雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上，則實數的值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質數）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當點G的橫坐標為整數時，S是否為整數？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.18．（12分）已知數列和滿足：.（1）求證:數列為等比數列；（2）求數列的前項和.19．（12分）已知函數.（1）討論函數單調性；（2）當時，求證：.20．（12分）試求曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數解析式，其中M，N．21．（12分）已知的面積為，且.（1）求角的大小及長的最小值；（2）設為的中點，且，的平分線交于點，求線段的長.22．（10分）已知，，且.（1）求的最小值；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數項=-40，故所求的常數項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數項==-40+80=402．D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.本題考查余弦定理邊角互化的應用，屬于基礎題.3．A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以，又因為.所以.故選：A.本題考查集合間的基本運算，涉及到解一元二次不等式、指數不等式，是一道容易題.4．B【解析】

首先根據函數的圖象分別向左與向右平移m,n個單位長度后，所得的兩個圖像重合，那么，利用的最小正周期為，從而求得結果.【詳解】的最小正周期為，那么(∈)，于是，于是當時，最小值為，故選B.該題考查的是有關三角函數的周期與函數圖象平移之間的關系，屬于簡單題目.5．A【解析】試題分析：由題意得，二項展開式的通項為，令，所以的系數是，故選A．考點：二項式定理的應用．6．B【解析】

根據不等式的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：，，為正數，當，，時，滿足，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合不等式的性質是解決本題的關鍵．7．A【解析】

設切點為，對求導，得到，從而得到切線的斜率，結合直線方程的點斜式化簡得切線方程，聯立方程組，求得結果.【詳解】設切點為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.該題考查的是有關直線與曲線相切求參數的問題，涉及到的知識點有導數的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單題目.8．C【解析】

分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設.則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9．C【解析】

由,再運用三點共線時和最小，即可求解.【詳解】.故選：C本題考查拋物線的定義，合理轉化是本題的關鍵，注意拋物線的性質的靈活運用，屬于中檔題．10．A【解析】

構造函數，通過分析的單調性和對稱性，求得不等式的解集.【詳解】構造函數，是單調遞增函數，且向左移動一個單位得到，的定義域為，且，所以為奇函數，圖像關于原點對稱，所以圖像關于對稱.不等式等價于，等價于，注意到，結合圖像關于對稱和單調遞增可知.所以不等式的解集是.故選：A本小題主要考查根據函數的單調性和對稱性解不等式，屬于中檔題.11．D【解析】

設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，設，得，求出的值，即得解.【詳解】設雙曲線C的左焦點為，連接，由對稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設，則，又.故，所以.故選：D本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12．B【解析】

根據f（x）是R上的奇函數，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時，；∴由奇函數性質可得；∴；∴時，；∴.故選：B.本題考查利用函數的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據條件先推導出周期，利用函數的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．或【解析】

函數的零點方程的根，求出方程的兩根為，，從而可得或，即或.【詳解】函數在區(qū)間的零點方程在區(qū)間的根，所以，解得：，，因為函數在區(qū)間上有且僅有一個零點，所以或，即或.本題考查函數的零點與方程根的關系，在求含絕對值方程時，要注意對絕對值內數的正負進行討論.14．【解析】

根據題意，畫出空間幾何體，設的中點分別為，并連接，利用面面垂直的性質及所給線段關系，可知幾何體的外接球的球心為，即可求得其外接球的體積.【詳解】由題可得，，均為等腰直角三角形，如圖所示，設的中點分別為，連接，則，.因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，易得，則幾何體的外接球的球心為，半徑，所以幾何體的外接球的體積為.故答案為：.本題考查了空間幾何體的綜合應用，折疊后空間幾何體的線面位置關系應用，空間幾何體外接球的性質及體積求法，屬于中檔題.15．【解析】

類比，三角形邊長類比三棱錐各面的面積，三角形內角類比三棱錐中側棱與面所成角．【詳解】，故，本題考查類比推理．類比正弦定理可得，類比時有結構類比，方法類比等．16．【解析】

求出雙曲線的右準線與漸近線的交點坐標，并將該交點代入拋物線的方程，即可求出實數的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為，則雙曲線的右準線方程為，漸近線方程為，所以，該雙曲線右準線與漸近線的交點為.由題意得，解得.故答案為：.本題考查利用拋物線上的點求參數，涉及到雙曲線的準線與漸近線方程的應用，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）當G點橫坐標為整數時，S不是整數．【解析】

（1）先求解導數，得出切線方程，聯立方程得出交點G的軌跡方程；（2）先求解弦長，再分別求解點到直線的距離，表示出四邊形的面積，結合點G的橫坐標為整數進行判斷.【詳解】（1）設，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩切線均過點G，所以，所以A，B兩點均在直線上，所以直線AB的方程為，又因為直線AB過點F(0，p)，所以，即G點軌跡方程為；（2）設點G(，)，由（1）可知，直線AB的方程為，即，將直線AB的方程與拋物線聯立，，整理得，所以，，解得，因為直線AB的斜率，所以，且，線段AB的中點為M，所以直線EM的方程為：，所以E點坐標為(0，)，直線AB的方程整理得，則G到AB的距離，則E到AB的距離，所以，設，因為p是質數，且為整數，所以或，當時，，是無理數，不符題意，當時，，因為當時，，即是無理數，所以不符題意，當時，是無理數，不符題意，綜上，當G點橫坐標為整數時，S不是整數．本題主要考查直線與拋物線的位置關系，拋物線中的切線問題通常借助導數來求解，四邊形的面積問題一般轉化為三角形的面積和問題，表示出面積的表達式是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).18．（1）見解析（2）【解析】

（1）根據題目所給遞推關系式得到，由此證得數列為等比數列.（2）由（1）求得數列的通項公式，判斷出，由此利用裂項求和法求得數列的前項和.【詳解】（1）所以數列是以3為首項，以3為公比的等比數列.（2）由（1）知，∴為常數列，且，∴，∴∴本小題主要考查根據遞推關系式證明等比數列，考查裂項求和法，屬于中檔題.19．（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）根據的導函數進行分類討論單調性（2）欲證，只需證，構造函數，證明，這時需研究的單調性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域為，，①當時，由得，由，得，所以在上單調遞增，在單調遞減；②當時，由得，由，得，或，所以在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增；③當時，，所以在上單調遞增；④當時，由，得，由，得，或，所以在上單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.（2）當時，欲證，只需證，令，，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當變化時，，的變化如下：0單調遞增單調遞減所以.因為，所以，所以.即，所以當時，成立.考查求函數單調性的方法和用函數的最值證明不等式的方法，難題.20．y＝2sin2x．【解析】

計算MN，計算得到函數表達式.【詳解】∵M，N，∴MN，∴在矩陣MN變換下，→∴曲線y＝sinx在矩陣MN變換下的函數解析式為y＝2sin2x．本題考查了矩陣變換，意在考查學生的計算能力.21．（1），；（2）.【解析】

（1）根據面積公式和數量積性質求角及最大邊；（2）根據的長度求出，再根據面積比值求，從而求出．【詳解】（1）在中，由，得，由，得，所以，所以，，因為在