高考數(shù)學一輪復習：函數(shù)與導數(shù) 專項突破卷

函數(shù)與導數(shù)專項突破-高考數(shù)學一輪復習檢測卷

一、單選題

1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間(。,+e)上單調遞增的是()

A.y=e%B.y=x--C.y=|x3|D.y=cosx

2.己知偶函數(shù)/(x)與其導函數(shù)g(x)定義域均為R,為奇函數(shù)，若2是的

極值點，則g(x)=O在區(qū)間(0,6)內解的個數(shù)最少有()個.

A.7B.8C.9D.11

3.已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且/(2x-l)為偶函數(shù)，-知為奇函數(shù)，當x時,

=則/(")=()

2

1-1

A.—1B.—C.—D.1

22

4.己知函數(shù)/(x)=4"+lnx-2的零點為占，g(x)存在零點x2,使人-馬|＜；,則g(x)不

能是()

A.g(x)=3x3-2x2—3x+2B.g(x)=cos[x+1^j

C.g(x)=xe*-2-lnx-x+1D.g(x)=4'-1-2-'-1

5.已知定義域為R的函數(shù)/'(x)為偶函數(shù)，且/(x)在區(qū)間[0,y)上單調遞減，則下列選項

正確的是()

、

B./^</(log5)</log[4

)4

a</log14</(log45

-41}37I37

/、/、

3

C.flog]4</(log45)</D./(log45)</log]4<f

I3J

37

xlnx,x>0,

6.已知函數(shù)T尤=。，若關于X的方程/(x)=依-1有5個不同的實數(shù)根,

xln(-x)-2,x<0.

則。的取值范圍是()

A.(l,+oo)B.(2,+co)C.(l,e)D.(2,2e)

兀

1-sin—x,0<x<2

7.已知〃尤)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，〃x)=<若關于1的

^/(x-2),x>2

方程尸(%)-(a+l)〃x)+a=O(a￡R)恰有4個不相等的實數(shù)根，則這4個實數(shù)根之和為()

A.-4B.8C.T或8D.4

8.已知函數(shù)y=/(x)滿足/(%+2)=/。-2)且/(4—%)=/(%),當%40,函時,

X€0,—

2

，則函數(shù)尸(%)=/(%)-Hgxl在區(qū)間Q10]上的零點個數(shù)為(

A.0B.1C.5D.10

二、多選題

9.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)/(%),其導函數(shù)為廣(%),且滿足

/(x+y)=/(x)+/(y)+孫，/■⑴=。,/”)=；，則下列說法正確的是()

A./(-1)=1

B.f(x)的圖像關于點成中心對稱

C./(1012)=1011x506

1012

D.￡/伏)=1012x506

k=l

10.已知“X)是定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)，其導函數(shù)為g(x)J(4元)=/(4-4x).當

時，g'(x)<0,貝I]()

A./(x)的圖象關于直線x=l對稱B.8是函數(shù)f(x)的一個周期

C.g(x)的圖象關于點(2,0)對稱D.g(x)在x=2028處取得極大值

11.已知函數(shù)/(x)=(x-l)lnx,g(x)=x2,下列命題正確的是()

A.若H(x)=/(x)-g(x),則7/(x)有且只有一個零點

B.若H(x)=W，，則H(x)在定義域上單調，且最小值為0

g(x)

C.若8(x)=f(x)-g'(x),則H(x)有且只有兩個零點

試卷第2頁，共6頁

D.若“⑺二品’則“⑴為奇函數(shù)

三、填空題

12.已知辦“eR,且加+2〃=2,則〃〃2'"+小22用的最小值為.

13.給定函數(shù)/(力=卜2+48(司=》+1,用Af(x)表示/(x),g(x)中的較大者，記

M(x)=max{/(x),g(x)}.若函數(shù)y=M(x)的圖象與y=。有3個不同的交點，則實數(shù)〃的

取值范圍是.

14.牛頓選代法又稱牛頓——拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)集上近似

求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設r是函數(shù)y=/(x)的一個零點，任意選取與作

為r的初始近似值，在點(xoJOo))作曲線y=/0)的切線4,設與4軸x交點的橫坐標為七，

并稱4為廠的1次近似值；在點(的,/(均))作曲線y=/(x)的切線4,設與4軸x交點的橫坐

標為X2,稱％為r的2次近似值.一般地,在點(無“,/(%))(〃eN)作曲線y=/(切的切線/向，

記1?+1與x軸交點的橫坐標為加，并稱3為r的力+1次近似直設“X)=丁+x_3(x?0)的

零點為，，取方=。，則廠的1次近似值為;若%為r的"次近似值，設?！?察當,

〃eN*,數(shù)列{即}的前〃項積為人若任意〃eN*,(＞幾恒成立，則整數(shù)4的最大值為.

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)="xTnx-a,若/'(彳)的最小值為0,

(1)求。的值；

⑵若g(x)=獷(幻，證明:g(x)存在唯一的極大值點與,且g(xo)＜；.

16.函數(shù)/(x)=e"-4sinx+X-2的圖象在尤=0處的切線為，=ax-a-3,aeR.

⑴求力的值；

⑵求/(%)在(0,+8)上零點的個數(shù).

試卷第4頁，共6頁

17.已知函數(shù)/Or)」.■竺+a,其中awR.

e%

⑴當0=1時，求曲線y=y(x)在(OJ(O))處的切線方程;

⑵討論“X)的極值.

2

18.已知函數(shù)/(%)=lnx+——。(％+1)(〃ER).

x

(1)當〃=-1時，討論了(%)的單調性；

(2)若%,%(%<々)是/(X)的兩個極值點，證明：/(X2)-/(X1)<

fl〃—1-y--y

19.給定自然數(shù)〃且“22,設44,,?,當均為正數(shù)，E%=T（T為常數(shù)），2亍J=L

M.=1T一XiT-X,

如果函數(shù)〃x）在區(qū)間/上恒有/"（x）＞0,則稱函數(shù)〃x）為凸函數(shù).凸函數(shù)〃x）具有性質:

/A小皮3]

⑴判斷F（x）=/匚，xe（O,l）是否為凸函數(shù)，并證明；

1-X

X.、11,1

（2）設y=U（z，=1，2,，,〃），證明：---------1-----r；

7

T'yni-y?I

⑶求;^的最小值.

T-xn

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)題意，結合函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，結合初等函數(shù)的單調性，逐項判定，

即可求解.

【詳解】對于A中，由指數(shù)函數(shù)的性質，可得函數(shù)，=/為非奇非偶函數(shù)，所以A不符合

題意；

對于B中，函數(shù)"%)=尤-工的定義域為(-8,0)一(0,—)關于原點對稱，

X

且〃-尤)=-(x-J)=-〃x),所以〃尤)為奇函數(shù)，所以B不符合題意；

對于C中，函數(shù)的定義域為R關于原點對稱，且滿足“_句=口3卜用=〃切，

所以“X)為偶函數(shù)，

當X6(0,+8)時，〃力=*3,在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，所以C符合題意；

對于D中，函數(shù)y=cosx在期間(0,+8)上不是單調遞增函數(shù)，所以D不符合題意.

故選：C.

2.D

【分析】根據(jù)f(x)為偶函數(shù)，得到，'(x)=-f(T)ngQ)=-g(-x),g(x)為奇函數(shù)，求出

g(0)=0,再根據(jù)題目條件得到了[；+xj=/[1-x],進而得到g(x)=g(x+3),g(x)的周

期為3,由函數(shù)的極值點得到g(2)=0,且g(x)關于點g，°]對稱，結合函數(shù)的周期性得到

8(勸=0在(0,6)內解最少有；1,1,匕32,匕53,：7,4,三95,三11,得到答案.

【詳解】/(X)為偶函數(shù)，所以〃X)=/(T),求導得I，(x)=-r(T)=g(x)=-g(-x),

所以g(x)為奇函數(shù).

g(x)定義域均為R,故g(0)=0,

因為/g-2x)為奇函數(shù)，所以-2力=-/匕+2苫)

故/匕一[=一/j+x],即f(x)關于點,0)對稱，

兩邊求導得尤

即g[：+x,g||_x)ng(x)=g1|一x|,①

答案第1頁，共21頁

所以_g(T)=g-x]=g(T)=一8(T-x],

故g(X)=-g]x+|J,(2)

將X替換為x+1得g(尤+])=-g(x+3),

故g(x)=g(x+3),g(x)的周期為3.

故g(x)為周期為3的奇函數(shù).

故g(0)=g(3)=0.

又2是/(尤)的極值點,得g⑵=0,

因為g(x)為周期為3故g(5)=0,

由g(x)=-g(-x)得g(-2)=-g(2)=。，

因為g(x)為周期為3,故g(D=0,g(4)=0.

又g(x)為奇函數(shù)，gCr)=-g(T)=gCr+3),得一g(-無)=g(尤+3),

所以g(x)關于點對稱,故g||)=。，且g]|+3)=g]，=0,

由①得g(x)=g[T-x]ng6=g[q-l]=g(；]=0,

又g[]=g"=g0m

由②得g(x)=-g[x+T]ng⑴=-g1+0=_gH=0，

又g0=gC+3]=g'=O,

1357911

故g(x)=0在(0,6)內解最少有;,1,匕2,匕3,：,4,三5,二最少有11個.

222222

故選：D

【點睛】方法點睛：設函數(shù)y=f(x)，xeR,a>0,a#b.

（1）若〃x+a）=〃x-a）,則函數(shù)的周期為2a；

（2）若“x+4）=-/（x）,則函數(shù)的周期為2a；

若/（尤+。）=----二

(3)則函數(shù)“X）的周期為2a；

若小+力六,

(4)則函數(shù)〃x）的周期為2°；

（5）若〃x+a）=/（x+6）,則函數(shù)的周期為,一同；

答案第2頁，共21頁

(6)若函數(shù)的圖象關于直線x=a與x=b對稱，則函數(shù)〃元)的周期為2性-4；

(7)若函數(shù)外力的圖象既關于點(。,0)對稱,又關于點修,0)對稱,則函數(shù)的周期為

2\b-a\；

3.C

【分析】先根據(jù)為偶函數(shù)，/(尤-2)為奇函數(shù)，求出函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周

期求解即可.

【詳解】因為/(2尤-1)為偶函數(shù)，

所以〃2x-l)=/(-2x-l),即“x—=x—l),所以〃x)=/(—x—2),

因為/(x-2)為奇函數(shù)，

所以“T-2)—),

所以/(x)=—/。一2),即〃x+2)=—“X),

所以〃x+4)=_〃x+2)"(x),

所以函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以/。1)=/(3),

Xf(x+2)=-f(x),所以〃3)=-”1)=；,

即"11)=3.

故選：C.

【點睛】方法點睛：函數(shù)的三個性質：單調性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命

題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調性與奇偶性結合、周期性與抽象函數(shù)相結合,

并結合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；

(1)函數(shù)的單調性與奇偶性相結合，注意函數(shù)的單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)

圖象的對稱性.

(2)周期性與奇偶性相結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，

將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內求解；

(3)周期性、奇偶性與單調性相結合，解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的

區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解.

答案第3頁，共21頁

4.C

【分析】求出函數(shù)/（%）的零點的取值范圍，分別求出函數(shù)g（%）的零點，判斷不等式

卜-封<:是否成立即可.

【詳解】解:函數(shù)〃x）=4，+lnx—2定義域為（0,+“），

函數(shù)/（彳）在（0,+。）上單調遞增，

而/出=4?+山；一2=-1112<0

/（1）=2>0,因此（<玉<1,

對于A,由g（%）=0,得（九+1）（九一1）（3九一2）=。，

2

解得或%=§或x=l，

顯然玉或悅故A錯誤；

對于B,由g（x）=0,得cos[x+1||=0,

貝UJVH-----=kit-\—,kGZ,

122

兀

解得x=E+;，keZ,

取左=0,%此時存在零點/，使瓦—/kg，故B錯誤；

對于C,g（x）=xeA2—in光-九+1的定義域為（0,+e）,

g'（%）=（X+1）ex-2—g—1=（X+1）?（6"一2-,

令/2（%）=/2—由指數(shù)函數(shù)和塞函數(shù)的單調性可知：

X

/?（%）在（。,+8）上為增函數(shù)，

因為一>士，所以「萬<4,

23

且彳|]=/3<0,//（2）=1-1>0,

所以玉。.|,2）使得Mx°）=eW一（=0.

答案第4頁，共21頁

當xe(O,尤o)時，g,(x)<0,g(x)為減函數(shù),

當xe(%+co)時*g,(x)>0,g(尤)為增函數(shù),

xe

g(尤o)=o*_一山龍o―尤。+1=x。+(無o-2)—x0+1=0,

所以g(x)存在零點％=/,

所以不滿足值-馬|<),故C正確.

Ax1

對于D,由g(x)=。，得^——二=0,

42r.2

則8'-2=0解得x=g,

/^=25+ln|-2>25+ln-^-2=2^-2.5>0,

即；<&—；<[<；，故D錯誤.

24o5122

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題c選項的關鍵是利用導數(shù)結合隱零點法得到e(l,2)使得

可尤。)=口-2---0,再利用零點存在性定理即可判斷.

%0

5.A

【分析】先利用偶函數(shù)，把自變量為負數(shù)的等價到相反數(shù)來比較，利用對數(shù)運算估計和比較

對數(shù)值的大小，再利用函數(shù)在區(qū)間［。,行)上單調遞減，就可以比較各選項.

/\

【詳解】因為新14=一題34,所以/iogl4=/(-log34)=/(log34).

3k37

中0IUfln3+ln5Y(InlS?(lnl6Y,2/1

因為In3」n5<1——-——I=1^—1<1^—1=ln4,

ln4ln5,,-

所以丁二〉;~7,BoPn4>

In3ln4

3—

又]=log335=]o8后>log3Vi6=log34,

所以5>logs4>log45,又“X)在區(qū)間[0,”)上單調遞減,

所以(1]<〃1幅4)<〃1叫5),

答案第5頁，共21頁

即/⑶</log3<〃啕5).

故選:A.

6.A

xlnx+1,x>0,

【分析】直線k依與函數(shù)Mx)=〃x)+1=，0,尤=0,的圖象有5個交點，可得h(x)是

xln(-x)-l,x<0

奇函數(shù)，可得只需直線y=ax與曲線、=兄皿+1(尤>0)有2個交點即可，即方程a=lnx+4有

X

2個實數(shù)根，利用導數(shù)即可求解.

xlnx+1,x>0,

【詳解】由題意得辦=/(x)+l,則直線產(chǎn)依與函數(shù)Mx)=/(x)+l=0,x=0,的

xln(-x)-l,x<0

圖象有5個交點.

顯然，直線,=6與九(%)的圖象交于點(o,o).

又當%>0時，一%<0,一x)=—xlnx—1=-h[x)；

當％v0時，-%>0,/z(-力=-xln(-x)+l=-/z(x)；

當x=0時，/z(x)=0,所以h(%)是奇函數(shù)，

則必須且只需直線y="與曲線y=%lm+l(x>0)有2個交點即可，

11_i

所以方程a=Inx+(有2個實數(shù)根.令《x)=Iru+；,則?x)=r，

當0<x<l時，f'(x)<0,f(x)單調遞減;

當尤>1時，，(x)>0,f(x)單調遞增,

所以f(x)與(l)=L

.又當x于0時，f(無)=ln無H—=—In—=i/—Inw,w=---->+oo以t(x)->+8；

XXXX

當了~F*+oo日寸，Inx—+8,---->0t(x)=InxH------+oo,

XX

所以必須且只需a>l.

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：直接法；

分離參數(shù)法；數(shù)形結合法.

答案第6頁，共21頁

7.C

【分析】先作出函數(shù)尤>0時的圖象，設/(%)=/,求出f=l或=。，結合圖象分類討論，即

可求得答案.

【詳解】/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則x=0時，/(0)=0；

TT

由題意知當0<xV2時，f(x)=1-sin—%,

當2Vx<4時，0<工一2<2,則/'(x)=g/(x-2)=；(l-sin](x-2)),

當4Vx<6時，2<犬一2〈4,則/(x)=g/(x-2)=；[l-s嗚(x-4)),

依此類推，可作出當x>0時，〃x)=.時的圖象

1/(x-2),x>2

設/(x)=t,貝ij/2(x)__(a+i)/(x)+a=o(aeR)即為/_(a+])r+a=o(aeR),

解得f=1或r=。，

當1=1時，f(x)=l有一個根為玉=2,

要使得方程f(x)-(a+l)/(x)+a=0(。eR)恰有4個不相等的實數(shù)根，

可分兩種情況考慮：

當/="=：時，/(x)=g有3個根，不妨設為馬，當，匕，且滿足％+忍=2,匕=4,

此時這4個實數(shù)根之和為8；

結合函數(shù)的奇偶性可知，當一時，y(x)=有3個根，

+X

不妨設為三，苫6,尤7，且滿足%6=-2,X7=-4,

此時這4個實數(shù)根之和為-4；

故選：C

8.B

【分析】將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，畫出函數(shù)圖象找交點個數(shù)

即可.

答案第7頁，共21頁

【詳解】由題意，知4為函數(shù)y=/(x)的一個周期且函數(shù)/(》)的圖象關于直線x=2對稱.

當xe［0,2］時，由函數(shù)y=/(x)的解析式，兩出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.

當xe(O,l)時，函數(shù)y=/(尤)的圖象與函數(shù)y=|lgx|的圖象有且僅有一個交點；

當龍€［1,10］時，總有/(元)21.而函數(shù)y=|lgx|在區(qū)間口［0］上單調遞增且|lgl0|=l,

〃10)=〃2)=|>1,

所以函數(shù)y=/(尤)的圖象與函數(shù)y=|igx|的圖象在區(qū)間CM。］上沒有交點.

綜上，函數(shù)/(%)=/(尤)-Hgxl在區(qū)間9,10］上的零點個數(shù)為1.

故選：B.

【點睛】方法點睛：數(shù)形結合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做

到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維.使用數(shù)形結合法的前提是題目中的條件有明確

的幾何意義，解題時要準確把握條件、結論與幾何圖形的對應關系，準確利用幾何圖形中的

相關結論求解.

9.ACD

【分析】對A、B,利用賦值法進行計算即可得；對C、D,利用賦值法后結合數(shù)列的性質

進行相應的累加及等差數(shù)列公式法求和即可得.

【詳解】對A：令x=l,y=-l,則有〃0)=〃1)+〃一1)-1,故〃-1)=1,故A正確;

對B：令尤=y=l,則有〃2)=/(1)+〃1)+1,又“1)=0,故"2)=1,f(-l)=l^-/(2),

故B錯誤；

對C：令)=1,貝!］有/(x+l)=/(x)+/(l)+x,即/(x+l)_/(x)=x,

則/(1012)=/(1012)_/(1011)+/(1011)_/(1010)+-/(1)+/(1)

(1011+1)x1011MCTTN

=1011+1010++1+0=^-------------------=1011x506,故C正確；

2

對D：/(x+l)=/(x)+x,

則f'(x+1)=f'(x)+1,即f'(x+1)-⑺=1,

答案第8頁，共21頁

又［(l)=g,故-優(yōu))=3+左一1=4一),

cI-+1012--|xl012皿一

川Zf'(k)=—................------=1012x506;故口正確.

k=l2

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：本題C、D選項關鍵在于利用賦值法，結合數(shù)列的性質進行相應的累

加及等差數(shù)列公式法求和.

10.BCD

【分析】由已知可得/(力=/(4-力，可得函數(shù)的對稱軸判斷A；進而可得/(x+8)=

-〃4+x)=/(x),可得周期判斷B；對/(—%)=—〃>)兩邊求導，得出g(x)為偶函數(shù),對

/(力=〃4-力兩邊求導，從而得函數(shù)g(x)的周期性與圖象的對稱性判斷C；g(x)在

［Y,-2］上單調遞減，結合對稱性與周期性可判斷D.

【詳解】由〃4x)=〃4-4力，得〃x)=〃4-x),所以/⑺的圖象關于直線尤=2對稱,

故A錯誤.

因為/(x)為奇函數(shù)，所以一/(x)=/(-x)=/(4+x),

則〃x+8)=—〃4+x)=〃x),所以8是函數(shù)的一個周期，B正確.

將f(-%)=—(%)兩邊同時求導,得_/'(_力=_小),即r(_x)=r(x).

又g(x)=f'(x)，所以g(—x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù).

由/(x)=/(4—x),得/。)=一/'(4-x),即g(x)=-g(4-久)，

即g(x)+g(4—x)=0,所以g(x)的圖象關于點(2,0)對稱，C正確.

因為g(8+x)=-g(-4—x),g(x)為偶函數(shù)，所以g(8+x)=—g(4+x).

又g(x)=—g(4-久)，所以g(4+x)=-g(-x),所以g(8+x)=g(—x)=g(x),

所以8為g(x)的一個周期.

當2］時，g,x)<0,所以g(x)在［T,-2］上單調遞減.

由g(x)為偶函數(shù)可知，g(x)的圖象關于點(-2,0)對稱，

答案第9頁，共21頁

所以g(x)在(-2,0］上單調遞減，所以g(x)在［<0］上單調遞減，

則g(x)在(0,4］上單調遞增.根據(jù)g(x)的周期性可知，g(x)在(4,8］上單調遞減，

所以g(x)在x=4處取得極大值.又g(2028)=g(253x8+4)=g(4),

所以g(x)在尤=2028處取得極大值，D正確.

故選：BCD.

11.ACD

【分析】對于A,根據(jù)零點存在性定理，利用導數(shù)要求其單調性，可得其正誤；對于B,根

據(jù)單調性的定義，取幾個點比較大小，可得其正誤；對于C,利用導數(shù)研究其單調性，求得

其最小值，在其左右兩邊利用零點存在性定理，可得其正誤；對于D,利用奇函數(shù)的定義,

可得答案.

【詳解】對于選項A,由題意得H(x)=/(x)-g(x)=(x-l)lnx-x2,xe(0,+oo),

顯然〃⑴=-1,故H。)存在零點，為判斷其唯一性，對“(X)求導，

得H'(x)=lnx-：-2x+l,尤e(0,+co).由于不便于判斷H'(x)的正負性，令"x)="'(x),

2rX+1

再對F(幻求導，^F(x)=-+4-2=~-t>xe(0,+8),令尸(x)=0,得尤=1,

XXX

易知在xw(0,1)中，F(xiàn)(x)>0,在xe(l,+co)中，F(xiàn)(x)<0,

所以H\x)在xe(0,1)上單調遞增,在尤e(1,+8)上單調遞減，

牙(x)的最大值為⑴=-2,故W)<-2<0,

即〃(尤)=/(x)-g(尤)=(x-1)Inx-尤2在%?(0,+co)上單調遞減，

因此H(x)有且只有一個零點，故A正確.

對于選項B,80)=券^=@I?"%,xe(0,+oo),

g(x)x

由H(；］=241n2,H(；1=21n2,"(1)=0,H(2)=1ln2,

由241n2>21n2>1n2>0,則判斷出H(x)在定義域上并不單調，故B錯誤.

2

對于選項c,H(X)=/(x)-g\x)=(x-l)lnx-2x,XG(0,+OO),

對"(x)求導，得H'(x)=lnx-工一1,%￡(0,+8),

x

由于不便于判斷“'(X)的正負性，令"x)=H'(x),得尸(x)=:+5>0,無€(0,y),

答案第10頁，共21頁

所以H'Q)在xe(O,+s)上單調遞增，又因為0<e<e2,H,(e)=--<0,=2-4>0,

且H'(x)在xe(0,+oo)上連續(xù)，

所以，由函數(shù)的零點存在性定理，存在X。6(0,+8),使得“'(%)=0,

故所以H(x)在久e(0,久°)上單調遞減，在x6(汽,+8)上單調遞增，

XH(e)=(e-l)lne-2e=-l-e<0,//(e2)=(e2-l)lne2-2e2=-2<0,

所以7/(x)的最小值為H(^)=(x0-l)lnx0-2x0<0.

因為7/(x)在xe(0,+oo)上連續(xù)，所以在xe(0,而)中取

唱卜營?。阂?：=2一1>0,

JJeee

在xe(%,+(?)中取//(e)=(e?_l)lne3—2/=1—3>0,

則存在4?0,%)中使得"(％)=0,存在%e(%,+8)中使得〃(馬)=0,

故H(x)有且只有兩個零點，故C正確.

對于選項D,“(加瑞2x

(|x|-l)ln|x|

由"(一"=-"(力，則得出〃(X)為奇函數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】本題的解題關鍵在于利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，對于導數(shù)的處理方法一般有：法

一是對其分解因式，直接判斷其與零的大小關系；法二是若函數(shù)為分式函數(shù)，取分子部分構

造函數(shù)再求導研究其單調性求最值,判斷其與零答大小關系；法三是再次求導研究其單調性,

并求其最值，判斷其與零的大小關系.

12.4

【分析】先根據(jù)等式將〃消去,構造函數(shù)/(m)=，〃""+小223=7〃.2恒+(2-m)"？然后

討論機，研究函數(shù)的單調性求出最小值即可.

【詳解】因為加+2〃=2,

所以f(m)=m-2m+n-22n+1=m-2m+(2-m)-22-m,

因為J(2-租)=(2-〃z)?22-m+[2-(2-ni)]-22-(2"n,=(2-m)-22f+m-2m=f{m)

所以f('n)關于m=1對稱.

當N1時，

答案第n頁，共21頁

=r1+m-2"In2+42"T8-4〃?)2"hi2

J(2嚀

cmcmic—4—(8-4/TZ)In2

=2m+rn-2mIn2+----------------——

2m

_2為+%?22"'In2-4一(8-4相)In2

一T

(4'"-4)+In2(m-4m+4m-8)

一T

因為m21,所以4"-420,

令g(ni)=m-4"(jn>1),所以g'(ni)=4m+m-4m-In4>0

所以g(m)=rn-4m在［l,+?>)單調遞增，

所以〃?.4a+4〃L8在口,+s)單調遞增，

即(4"-4)+In2(m-4m+4/n-8)>0,故f'(rri)20在口,+◎成立,

所以“⑺在口,+8）單調遞增，同理，/（⑶在（Y,U單調遞減,

所以當機=1時，/O）取的最小值,

故當機=1,〃=3時，獷2"'+小22用的最小值為4.

故答案為：4.

。。（2，+⑹

13.

【分析】在同一坐標系下畫出"尤）=卜2+尤|赭（尤）=》+/的圖象，求出交點坐標；結合圖象

再做出滿足條件的直線'=應進而求出〃的取值范圍即可.

【詳解】

Ix2+x(^x<-l^x>0)

+X=,g(x)=x+-,

一爐—x(—1<%<0)X

因為M(x)=max{〃x),g(x)},

答案第12頁，共21頁

所以圖象變?yōu)?

yjk

\\jkM(x)

---------------------->

-1OX

其中(產(chǎn)+NL=*i<x<o),當且僅當^=-1時取最大值；

/(x)=|x2+x|

且設兩函數(shù)在第一象限的交點為Q，即當X>0,y>0,1,

g(x)=x+-

解得：尸(1,2),

由題意與函數(shù)y=M(x)的圖象有3個不同的交點，

由數(shù)形結合易知：0<a<g,或。>2,

4

故答案為：(0。1口(2,+“).

14.31

【分析】利用給定定義，整理出血包=瓷土1,求值解決第一空即可，利用q=￥普求

3xn+1+3

出工=%，進而得到北，再確定彳的最大值即可.

%+i

【詳解】易知尸(x)=3f+l,設切點為(當,石+七一3),

由切線幾何意義得斜率為34+1,故切線方程為y=(3%+1)食-%)+尤:+無“-3,

由給定定義知(七+>0)在該直線上，代入直線得x角=一只:m；3+%=*=，

X+13無a+1

當％o=。時，易知玉=3,故廠的1次近似值為3,

而函數(shù)“x)=J+x—3(x20)的零點為「，且/'")=3犬+1>0,

答案第13頁，共21頁

故在(0,+8)上單調遞增，且〃1)<0,f(2)>0,

^/(2)./(1)<0,由零點存在性定理得re(1,2),

3333

由題意得；-->/(5,3),故而2是整數(shù)，故4"=1,

X

n+l丫乙2

故答案為:3；1

【點睛】關鍵點點睛：本題考查數(shù)列和導數(shù)新定義，解題關鍵是利用給定定義，然后表示出

—=an,求出北，得到所要求的參數(shù)最值即可.

Xn+\

15.(1)^=1

(2)證明見解析

【分析】(1)對函數(shù)求導后，分和〃>0兩種情況討論求解即可；

⑵令版x)=g'(x)=2x-2_lnx,求導后可得以幻在遞減，［；,+4(遞增，再結合零

點存在性定理得加x)在存在唯一的x。e使得g))=0,在］，+［存在唯一的

零點x=l,從而得尤=%是g(x)唯一的極大值點.

【詳解】(1)f'(x)=a--^^—^(x>0),

當時，frM<0,所以/(X)在(0,+⑹上遞減，則/'(X)沒有最小值，

當。>0時，由:(x)>0,得了>工，由尸(x)<0,得0<工<!，

aa

所以/(X)在1o,￡|上遞減，在上遞增，

所以x=L時，/(X)取得最小值==得4=1成立，

a\a)a

下面證〃=1為唯一解，

11—Z7

令，⑷=l+ln"Q,則*Q)=——1=---(a>0),

aa

當0vav1時，/(a)>0,當a>1時，，(。)<。,

所以，(。)在@1)上遞增，在(1,+8)上遞減，

所以《嘰ax=?l)=。，

所以方程1+111。-"=0有且只有唯一解〃=1,

綜上，a=l；

答案第14頁，共21頁

(2)證明:由(1)知g(x)=x2一x—xinx,g'(x)=2%-2—lnx,

19r—1

h(x)=2x-2-lnx,“(％)=2——=-------(x>0),

xx

I1

當0<x<—時，hr(x)<0,當％〉一時，h\x)>0,

22

所以Zz(x)在上遞減，■，+［上遞增，

因為=ln2—1<0,/z^—=—>0,h(y)=0,

所以以x)在［o,￡|存在唯一的5jo,［使得刈毛)=0,在存在唯一的零點》=1,

所以當0<x<x()或彳>1時，h(x)>0,gpg'(x)>0,

當尤o<尤<1時，h(x)<0,即g'(x)<0,

所以g（x）在（0,x0）上遞增，在（尤。,1）上遞減，在（1,+◎上遞增,

即％=不是g（x）唯一的極大值點,

gljo—o-xolnxo，

由雙飛）=0,得In%=2（毛-1）,

-

所以g（%）=焉-2.x0（x0-1）=-1x0-—j+—,

因為不€?,所以g（x（））＜；.

【點睛】關鍵點點睛：此題考查函數(shù)的單調性，考零點存在性定理，考查導數(shù)的綜合應用,

第（2）問解題的關鍵是二次求導后結合零點存在性定理確定出函數(shù)極值點的范圍，考查數(shù)

學轉化思想和計算能力，屬于較難題.

16.（1）2=1

（2）/（彳）在（。,+8）上僅有1個零點

【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率，和切點，然后得到切線方程，利用對

應相等，即可求得4的值；

（2）利用一次求導和二次求導分析原函數(shù)和導函數(shù)的單調性，分xN兀與。＜彳＜兀兩種情況

討論，結合單調性和零點存在性定理，即得證.

答案第15頁，共21頁

【詳解】(1)因為/'(x)=e""-4sinx+/l-2,/'(x)=zle''-4cosx,

所以八0)="4,所以切線斜率為4-4,即a=X-4,

所切線方程為y=(2-4)x-4+1

又/(0)=2-1,所以切點坐標為(0〃-1),代入得

則X—1=—幾+1,解得4=1.

(2)由(1)得/(x)=e*-4sinx-l,/⑺=e*-4cosx,

令g(x)=r(x)=e*-4cosx,貝!]g<x)=e*+4sinx,

當XNTI時，r(x)=e*-4cosx>0恒成立，所以f(x)在[兀,+co)上遞增，

所以/(%)>/(兀)=e"-4sin%-l>e71-5>0,

因此f(x)在E,+8)無零點；

當0<x<兀時，g<x)=e"+4sinx>0恒成立，所以(元)單調遞增，

又/(OXTvOj'She』〉。，

所以尸(x)在(0,兀)上存在唯一的零點看,

當xe(0,/),尸(x)<0,/(x)單調遞減；

當xe(%,兀),/(x)>0"(x)單調遞增；

又/(0)=0,〃%)</(0)=0,f(n)=e-l>Q,

因此/'(x)在(0,無)上僅有1個零點；

綜上，f(x)在(0,+℃)上僅有1個零點.

17.(l)2%+y-l=0

(2)答案見解析

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求切線方程即可；

(2)求導，分類討論/''(》)=0的兩根大小，利用導數(shù)求出極值即可.

■、*HR、/?、、(4x—a)e*'—e*(21x--at+a)—2尤2+(q+4)x_2a

【詳解】(1)y(x)=------------------------------------=-------------------------

(e)e

答案第16頁，共21頁

當。=1時，:(x)=F+，一,/(0)=-2,又?./(0)=1,

eA

故曲線>=〃力在(。,〃。))處的切線方程為>-1=-2"-0),即2x+y-l=0.

(2)/'(X)=一21+m+4)x—2“=(-21+”)(x—2)=0,解得芯=2,

exe無2

①若”4,可得或x>2時，尸⑺<0,當|<x<2時，〃x)>0,

所以在(-co，'|)(2,y)遞減，("j"遞增，

所以〃x)的極小值為了(泉=4,的極大值為了⑵=".

e2e-

②若4=4,則/'(x)W0,所以函數(shù)在R上單調遞減，無極值；

③若a>4,當x<2或x>：時，f,(x)<0,當2<x<g時，/'(x)>0,

所以〃力在(-8,2),1,+力遞減，(2,今)遞增,

所以的極小值為"2)=與，/(x)的極大值為城)=4.

e"e2

綜上，當a<4時，””的極小值為嗎)==，〃x)的極大值為/(2)=".

e2e-

當a=4時，函數(shù)7'(X)無極值.

當a>4時，“X)的極小值為八2)=號，"X)的極大值為嗎)=號.

ee2

18.(l)f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+8)上單調遞增

(2)證明見解析

【分析】(1)將。=-1代入函數(shù)解析式，求出導函數(shù)，解導數(shù)不等式即可得到/(x)的單調

區(qū)間；