2023年初中數(shù)學(xué)方程及方程的解知識點總結(jié)

知識點1:

一元一次方程

只具有一種未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不等于。的整式方程，叫做一元一次方程.

一元一次方程的原則形式是：ax+b=O（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，并且存0）.

一元一次方程的I最簡形式是：ax=b（a加）.

不定方程:一種代數(shù)方程，具有兩個或兩個以上未知數(shù)時，叫做不定方程，不定方程一般有無窮多解。

代數(shù)方程：代數(shù)方程一般指整式方程。有時也泛指方程兩邊都是代數(shù)式的情形，因而也包括分式方程和無

理方程。

等式：用符號“=”來表達相等關(guān)系的式子，叫做等式.在等式中，等號左、右兩邊的式子，分別叫做這個

等式的左邊、右邊.性質(zhì)：兩邊同加同減一種數(shù)或等式仍為等式；兩邊同乘同除一種數(shù)或等式（除數(shù)不能

是0）仍為等式。

方程的根：只具有一種未知數(shù)的方程的解，也叫做方程時根。

解一元一次方程的一般環(huán)節(jié)：1.去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)；

2.去括號：先去小括號，再去中括號，最終去大括號；

3.移項：把具有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊；

4.合并同類項：把方程化成ax=b（a=0）的形式；

5.系數(shù)化成1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,得到方程的解。

矛盾方程：一種方程，假如不存在使其左邊與右邊時值相等的未知數(shù)時值，這樣的方程叫矛盾方程.

知識點2：

二元一次方程

有兩個未知數(shù)并且未知項的次數(shù)是1,這樣日勺方程，叫做二元一次方程.

二元一次方程組：具有相似的兩個未知數(shù)的兩個一次方程所構(gòu)成的方程組，叫做二元一次方程組.

解：使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊時值都相等的兩個未知數(shù)時值，叫做二元一次方程組的

解.

二元一次方程組的兩種解法：

（1）代入消元法，簡稱代入法.

①把方程組里的任何一種未知數(shù)化成用另一種未知數(shù)時代數(shù)式表達.

②把這個代數(shù)式代入另一種方程里，消去一種未知數(shù)，得到一種一元一次方程.

③解這個一元一次方程，求得一種未知數(shù)時值，然后再求另一種未知數(shù)日勺值.

④把求得兩個未知數(shù)的值寫在一起，就是原方程組時解.

2）加減消元法，簡稱加減法.

①把一種方程或兩個方程的兩邊都乘以合適的數(shù)，使同一種未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等.

②把所得的兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一種未知數(shù)，得到一種一元一次方程.

③解這個一元一次方程，求得一種未知數(shù)時值，然后再求另一種未知數(shù)的值.

④把求得的兩個未知數(shù)時值寫在一起，就是原方程組的解.

二元一次方程組解的狀況：

方程組條件解的情況

X的系數(shù)與y的系數(shù)不成比例

即包工馬_方程組有唯一一解

a2b2

x的系數(shù)與y的系數(shù)成比例但

卜逐+biy=j

與常數(shù)項不成比例即方程組無解

[a2x4-b2y=c2生=且工￡1

a2b2c2

X的系數(shù)與y的系數(shù)及常數(shù)項

都成比例即

ai_旦_￡i_方程組有無數(shù)組解

a2b2C2

知識點3：

一元一次不等式（組）：

不等號有〉、》、＜、W或#等等.用不等號表達不等關(guān)系的式子，叫做不等式.

只具有一種未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1,系數(shù)不等于。的不等式，叫做一元一次不等式.如

ax<b或ax>b（a，O）

幾種一元一次不等式所構(gòu)成的不等式組，叫做一元一次不等式組

不等式基本性質(zhì)：

（1）不等式兩邊都加上（或減去）同一種數(shù)或同一種整式，不等號的方向不變.

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一種正數(shù)，不等號的方向不變.

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一種負數(shù)，不等號的方向變化.

一元一次不等式的解法環(huán)節(jié)：（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）系數(shù)化成1

（假如乘數(shù)和除數(shù)是負數(shù)，要把不等號變化方向）

一元一次不等式組的解法環(huán)節(jié)：（1）分別求出不等式組中所有一元一次不等式的解集.

（2）在數(shù)軸上表達各個不等式的解集.（3）寫出不等式組的解集.

一元一次不等式組的四種狀況：

a<b

題型x>ax<ax>ax<a

■：<

"x<b

x>bx<bx>b

敬軸表示JJ）

abxabxabxabx

解集x>bx<aa<x《b無解

知識點4

一元二次方程

基本概念：

只具有一種未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

一元二次方程3x2+5x-2=0的常數(shù)項是-2（任意）.一次項系數(shù)為5（任意），二次項是3（任意不為0）.

一元二次方程的求根公式:

方程ax?+bx+c=0(a盧0)

2

-b+Vb-4ac2、c、

x=--------------------(b-4ac^0)

2a

一元二次方程的解法：

1.解一元二次方程時直接開平措施

假如一元二次方程的一邊是具有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一種非負數(shù)，則根據(jù)平方根的概念可

以用直接開平措施來解.

己知方程(mx+n)2=k(m^0,k>0)

貝Umx+n=±灰即x=土返~—

m

2.解一元二次方程的配措施

先把方程時常數(shù)項移到方程的右邊，再把左邊配成一種完全平方式，假如右邊是非負數(shù)，可通過直接開

平措施來求方程的解，也就是先配方再求解.

3.解一元二次方程的公式法

運用求根公式解一元二次方程的措施叫公式法.

4.解一元二次方程的因式分解法

在一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式時，可先將一邊分解成兩個一次因式的

積，再分別令每個因式為零，通過解一元一次方程，可求得原方程的解.

ax2+bx+c=0

=a(x-Xj)(x-x2)=0

=x=Xi或x=x2

一元二次方程的解

1.方程X-4=0的根為.

A.x=2B.x=-2C.xl=2,x2=-2D.x=4

2.方程x2-l=0的兩根為

A.x=lB.x=-lC.xl=l,x2=-lD.x=2

3.方程(x-3)(x+4)=0的兩根為.

A.xl=-3,x2=4B.xl=-3,x2=-4C.xl=3,x2=4D.xl=3,x2=-4

4.方程x(x-2)=0的兩根為.

A.xl=0,x2=2B.xl=l,x2=2C.xl=0,x2=-2D.xl=l,x2=-2

5.方程x2-9=0的兩根為.

A.x=3B.x=-3C.xl=3,x2=-3D.xl=+，,x2=-，

方程解的狀況及換元法

1.一元二次方程4.+3x-2=0的根的狀況是.

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一種實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

2.不解方程，鑒別方程3x2-5x+3=0的根的狀況是.

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一種實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

3.不解方程，鑒別方程3x2+4x+2=0的根的狀況是.

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一種實數(shù)根D,沒有實數(shù)根

4.不解方程，鑒別方程4x2+4x-l=0的根的狀況是.

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一種實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

5.不解方程，鑒別方程5x2-7x+5=0的根的狀況是.

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一種實數(shù)根D,沒有實數(shù)根

6.不解方程，鑒別方程5x2+7x=-5的根的狀況是.

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一種實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

7.不解方程，鑒別方程X2+4X+2=0的根的狀況是—.

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一種實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

8.不解方程，判斷方程5y2+1=2岔y的根的狀況是

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一種實數(shù)根D,沒有實數(shù)根

9.用換元法解方程---5(1)=4時，令工=y，于是原方程變?yōu)橐?

x—3xx—3

A.y2-5y+4=0B.y2-5y-4=0C.y2-4y-5=0D.y2+4y-5=0

10.用換元法解方程二--5(x；3)=4時，令W=y,于是原方程變?yōu)開.

x—3xx

A.5y2-4y+l=0B.5y2-4y-l=0C.-5y2-4y-l=0D.-5y2-4y-l=0

xxx

11.用換元法解方程(——)2-5(——)+6=0時，設(shè)——二y,則原方程化為有關(guān)y的方程是

x+1x+lX+1

A.y2+5y+6=0B.y2-5y+6=0C.y2+5y-6=0D.y2-5y-6=0

知識點5：直角坐標系與點的位置

1.直角坐標系中，點A(3,0)在y軸上。

2.直角坐標系中，x軸上的任意點的橫坐標為0.

3.直角坐標系中，點A(1,1)在第一象限.

4.直角坐標系中，點A(-2,3)在第四象限.

5.直角坐標系中，點A(-2,1)在第二象限.

知識點6：基本函數(shù)的概念及性質(zhì)

1.函數(shù)y=-8x是一次函數(shù).

2.函數(shù)y=4x+l是正比例函數(shù).

3.函數(shù)y=是反比例函數(shù).

-2

4.拋物線y=-3(x-2)2-5時開口向下.

5.拋物線y=4(x-3)2-10日勺對稱軸是x=3.

6.拋物線y=g(尤一1)2+2日勺頂點坐標是(1,2).

7.反比例函數(shù)＞=2的圖象在第一、三象限

X

練習(xí)

.1.下列函數(shù)中,正比例函數(shù)是

Q

A.y=-8xB.y=-8x+lC.y=8x2+1D.y=——

x

2.下列函數(shù)中反比例函數(shù)是

8

A.y=8x29B,y=8x+1C.k8xD.尸一

x

Q

3.下列函數(shù)：①y=8W；?y=8x+l；③y=4x；④v=—.其數(shù)一次函數(shù)有個.

X

A.1個B.2個C.3個D.4個

知識點7：自變量的取值范圍

1.函數(shù)丫=石二I中，自變量X的取值范圍是

A.x#2B.xW2C.x2-2D.xW-2

2.函數(shù)y=」一時自變量的取值范圍是—.

x-3

A.x>3B.x23C.xW3D.x為任意實數(shù)

3.函數(shù)y='的自變量的取值范圍是—.

X+1

A.x2-1B.x>-1C.xWlD.xW-1

4.函數(shù)y=——匚時自變量的取值范圍是—.

X-1

A.x21B.xWlC.xWlD.x為任意實數(shù)

5.函數(shù)y=立三5的自變量的取值范圍是.

2—

A.x>5B.x25C.xW5D.x為任意實數(shù)

知識點8：函數(shù)圖像問題

1.已知：有關(guān)x的一元二次方程ox?+Zzx+c=3的I一種根為X1=2,且二次函數(shù)y=ax?+bx+c股I對稱軸

是直線x=2,則拋物線的頂點坐標是

A.(2,-3)B.(2,1)C.(2,3)D.(3,2)

2.若拋物線的解析式為y=2(x-3>+2,則它的頂點坐標是

A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(3,-2)

3.一次函數(shù)y=x+l歐I圖象在—.

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

4.函數(shù)y=2x+l的(圖象不通過_.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2

5.反比例函數(shù)y=—的圖象在—.

x

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D(zhuǎn).第二、四象限

6.反比例函數(shù)y=-W的圖象不通過.

x

A第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D(zhuǎn).第二、四象限

7.若拋物線的解析式為y=2(x-3>+2,則它的頂點坐標是

A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.(3,-2)

8.一次函數(shù)y=-x+l的圖象在.

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第一、二、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

9.一次函數(shù)y=-2x+l的圖象通過.

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

10.已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0且a、b、c為常數(shù))時對稱軸為x=l,且函數(shù)圖象上有三點A(-l,yi)>

B(；,y2)、C(2,y3),則yi、y2、y3日勺大小關(guān)系是—.

A.y3<yi<y2B.y2<y3<yiC.y3<y2<yiD.yi<y3<y2

知識點9：基本函數(shù)圖像與性質(zhì)

11"

1.若點A(-l,y。、B(—,y)>C(—以)在反比例函數(shù)y=—(k<0)的圖象上，則下列各式中不對時時是—.

422x

A.y3<yi<y2B.y2+y3<0C.yi+y3<0D.yry3*y2<0

3m—6―

2.在反比例函數(shù)y=-----aJ圖象上有兩點A(xi,yD、B(x2,y2),若X2<0<xi加勺2,則m的I取值范圍是___.

x

A.m>2B.m<2C.m<0D.m>0

2

3.已知:如圖,過原點O時直線交反比例函數(shù)y=-時圖象于A、B兩點,AC，x軸,AD，y軸,ZkABC的I

x

面積為S,則—.

A.S=2B.2<S<4C.S=4D.S>4

2

4.已知點(xi,yi)、(X2,y2)在反比例函數(shù)尸一的I圖象上,下列的I說法中：

x

①圖象在第二、四象限;②y隨x的I增大而增大;③當0<xi<X2時，yi<y2；④點(-xi,-yi)、出9)也一定在此反比例函

數(shù)的圖象上，其中對的I的有一個.

A.1個B.2個C.3個D.4個

k

5.若反比例函數(shù)y