黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文含解析

PAGE19-黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題文（含解析）一、選擇題（每小題只有一個選項正確，每小題5分，共60分）1.已知集合，則中元素的個數(shù)為（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】D【解析】【分析】依據(jù)知這個是一個圓,再依據(jù)找到圓內(nèi)滿意條件的點即可.【詳解】解：,表示平面內(nèi)圓心為,半徑的圓,又因為,依題意畫圖,可得集合中元素的個數(shù)為．故選：D【點睛】本題考查集合元素的個數(shù),要知道集合是一個點集.2.若a,b∈R，則a＞b＞0是a2＞b2的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】依據(jù)不等式的性質(zhì)，由a＞b＞0可推出a2＞b2；但，由a2＞b2無法推出a＞b＞0，如a=-2,b=1，即a＞b＞0是a2＞b2的充分不必要條件，故選A.3.設(shè)（是虛數(shù)單位），則（）A.0 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先進(jìn)行復(fù)數(shù)的商的運算,再進(jìn)行加法運算,最終用求模公式求解.【詳解】解：復(fù)數(shù)故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法,考查計算實力.4.在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，若，，則＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量的坐標(biāo)表示,再求出,的坐標(biāo)表示,再依據(jù)向量平行、垂直運算性質(zhì)進(jìn)行運算求出即可.【詳解】解：,,,又因為,,則解得：故選：C【點睛】本題考查向量平行、垂直的坐標(biāo)運算,屬于基礎(chǔ)題.5.已知數(shù)列滿意：，，為數(shù)列的前項和，則（）A.3 B.4. C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】依據(jù)遞推公式列舉出到,得出數(shù)列的周期為6,所以可以求出.【詳解】解：,依據(jù)遞推公式有：所以數(shù)列的周期為6.故.故選：B【點睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用以及周期數(shù)列的前項和.6.為了得到函數(shù)的圖像,可以將函數(shù)的圖像（）A.向右平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向左平移個單位長度【答案】A【解析】試題分析：依據(jù)題意，令，解得，由圖像平移知，須要將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像；故答案為A.考點：函數(shù)圖像平移法則的應(yīng)用.7.函數(shù)在區(qū)間的簡圖是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】將代入到函數(shù)解析式中得，可解除C，D;將x=π代入到函數(shù)解析式中求出函數(shù)值為負(fù)數(shù)，可解除B，故選A．8.已知函數(shù)，對都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意函數(shù)對都有,可以分別出函數(shù)中的參數(shù),轉(zhuǎn)化為,只需即可,所以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的極值來解題.【詳解】解：函數(shù),對都有,當(dāng)時,即,即為可化為令,則當(dāng)時,,單調(diào)遞減.因此所以故實數(shù)的取值范圍是故選：B【點睛】對于不等式恒成立問題中求參數(shù)的取值范圍,先分別出參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),用導(dǎo)數(shù)推斷出最值,求出最大值與最小值即可求出參數(shù)的范圍.9.已知函數(shù)，則A.的最小正周期為，最大值為B.最小正周期為，最大值為C.的最小正周期為，最大值為D.的最小正周期為，最大值為【答案】B【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，將解析式化簡為，之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項.【詳解】依據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過程中，要留意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結(jié)果.10.已知函數(shù)，若對都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得,都有的圖象在的上方,將題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象來解決.【詳解】解：因為,都有,則可都有圖象在的上方.依題意畫圖要使的圖象恒在的上方,則斜率,或者,實數(shù)的取值范圍是.故選：B【點睛】本題考查函數(shù)不等式恒成立問題,可轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為一個圖像恒在另一個圖像的上方而轉(zhuǎn)為為斜率問題來求解,這類題型考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合實力.11.已知函數(shù)，假如對隨意的n∈N*，定義，那么（）A.0 B.1 C.2 D.2024【答案】C【解析】【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì),先代入,然后得出數(shù)值之后代入,得出規(guī)律,則可求出.【詳解】解：,故選：C【點睛】本題考查函數(shù)值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要留意分段函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值的規(guī)律.12.已知定義在上的奇函數(shù)滿意，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得到函數(shù)的周期是8，然后利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行推斷大小.【詳解】因為滿意，所以，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則.由是定義在上的奇函數(shù)，且滿意，得.因為在區(qū)間上是增函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即.【點睛】在比較，，，的大小時，首先應(yīng)當(dāng)依據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性將，，，通過等值變形將自變量置于同一個單調(diào)區(qū)間，然后依據(jù)單調(diào)性比較大?。?、填空題（每小題5分，共20分）13.若，且為第三象限角，則_______.【答案】【解析】試題分析：依據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系算出再利用兩角和的正弦公式，即可算出的值；是第三象限的角，.考點：兩角和與差的正弦函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系14.，則的最大值為________．【答案】6【解析】【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,如圖：（陰影部分）由得,平移直線經(jīng)過點時,直線的截距最大,此時最大.由,解得,即將的坐標(biāo)帶入目標(biāo)函數(shù),得,即的最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵,利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法.15.函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________.【答案】2【解析】求函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點，可以大致估算兩個相鄰自然數(shù)的函數(shù)值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<lne＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n＝2．16.已知命題，使；命題，都有.給出下列結(jié)論：①命題是真命題；②命題是假命題；③命題是真命題；④命題是假命題，其中正確的是________(把全部正確結(jié)論的序號都填上)．【答案】②③【解析】【分析】先推斷命題和命題的真假,再推斷,的真假,最終依據(jù)真值表可得出結(jié)論.【詳解】解：,所以是假命題.又,所以是真命題.是真命題,是假命題,故依據(jù)真值表可得②③正確.故答案為：②③【點睛】本題考查含簡潔邏輯連接詞的命題的真假性的推斷問題.步驟為：①推斷和的真假,②依據(jù)真值表推斷復(fù)合命題的真假.三、解答題（17小題10分，18--22小題每小題12分，共70分）17.已知為等差數(shù)列，其前項和為，是首項為2且單調(diào)遞增的等比數(shù)列，其前項和為，，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前項和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,將條件帶入通項公式,解方程即可求出.（2）將、的通項公式代入、中,得到的通項公式為,用裂項相消求和.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,由已知得,得,而,所以又因為,解得,所以由,可得,由,可得解得,由此可得所以數(shù)列的通項公式為,數(shù)列的通項公式為（2）由（1）得,,所以所以【點睛】本題考查求等差等比數(shù)列的通項公式,設(shè)首項和公差、公比,代入已知條件中即可求解.還考查用裂項相消求數(shù)列前項和,須要熟記公式,敏捷求解.18.的內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求角；(2)若，的面積.求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)正弦定理的邊化角公式和三角形內(nèi)角和等于,將已知條件化簡為：,約分之后再用降冪公式即可求出的值.（2）由三角形面積公式可求得,帶入余弦定理即可求得.【詳解】（1）因為,,由已知和正弦定理得：,又因為,所以,,,（2）由面積公式得,由余弦定理,得【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積計算公式、和差公式,考查了推理實力與計算實力,屬于中檔題.19.已知四面體中面，，垂足為，，為中點，,（1）求證：面；（2）求點到面的距離．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）證明線面平行,需先證明線線平行,可從三角形的中位線定理證明線線平行,從而再證線面平行.（2）求點到面的距離用等體積法,由,分別算出、,建立體積等式關(guān)系即可求到面的距離．【詳解】、（1）因為,所以為中點,又因為是中點,所以,而面,面,所以面.（2）由已知得,,,所以三角形為直角三角形其面積,三角形的面積設(shè)點到面的距離為,因為,即解得,所以點到面的距離為.【點睛】（1）線面平行的判定定理是：若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線與這個平面平行,即.（2）用等體積法求點到平面的距離主要是一個轉(zhuǎn)換的思想,先用簡潔的方法求出四面體的體積,然后計算出底面三角形的面積,再依據(jù)四面體體積公式V=-Sh求出點到平面的距離.20.某班隨機抽查了20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果，分?jǐn)?shù)制成如圖的莖葉圖，其中A組學(xué)生每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不足1個小時，B組學(xué)生每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間達(dá)到一個小時。學(xué)校規(guī)定90分及90分以上記為優(yōu)秀，75分及75分以上記為達(dá)標(biāo)，75分以下記為未達(dá)標(biāo)．（1）分別求出A、B兩組學(xué)生的平均分、并估計全班的數(shù)學(xué)平均分；（2）現(xiàn)在從成果優(yōu)秀的學(xué)生中隨意抽取2人，求這兩人恰好都來自B組的概率；（3）依據(jù)成果得到如下列聯(lián)表：①干脆寫出表中的值；②推斷是否有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成果達(dá)標(biāo)與否”與“每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間能否達(dá)到一小時”有關(guān)．參考公式與臨界值表：K2＝.【答案】（1），，；（2）P（E）=；（3）①a=6、b=4、c=9、d=1；②沒有95%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成果達(dá)標(biāo)與否”與“每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間能否達(dá)到一小時”有關(guān)【解析】【分析】(1)依據(jù)平均分公式分別算出A、B兩組的平均分,再依據(jù)兩組的平均分估算20人的總分,估算出的平均分即為估算的班級的平均分.(2)A組優(yōu)秀人數(shù)有2人,B組優(yōu)秀人數(shù)有3人.列出全部可能的基本狀況,利用古典概型,即可求出結(jié)果.(3)把數(shù)據(jù)填入表格中,利用公式求得,與臨界值比較即可得出結(jié)論.【詳解】（1）A組學(xué)生的平均分B兩組學(xué)生的平均分估計全班的數(shù)學(xué)平均分（2）設(shè)這兩人恰好都來自B組為事務(wù),由題意該概型符合古典概型,成果優(yōu)秀共計5人,A組2人設(shè)為,B組3人設(shè)為,從5人中抽取兩人有如下狀況：共計包含基本領(lǐng)件10個,事務(wù)E包含基本領(lǐng)件3個兩人恰好都來自B組的概率為（3）①通過莖葉圖知；②由公式=,而所以沒有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成果達(dá)標(biāo)與否”與“每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間能否達(dá)到一小時”有關(guān).【點睛】本題考查幾何概型、獨立性檢驗學(xué)問,考查學(xué)生的計算實力和分析解決問題實力.21.已知拋物線的焦點恰好是橢圓的右焦點.（1）求實數(shù)的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）過點任作兩條相互垂直的直線分別交拋物線于、和、點，求兩條弦的弦長之和的最小值．【答案】（1），；（2）最小值為【解析】【分析】（1）依據(jù)橢圓方程C:求出右焦點,即為拋物線的焦點,依據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)與的關(guān)系式即可求出,最終得拋物線的準(zhǔn)線方程.（2）依據(jù)題意設(shè)、的直線方程,將直線代入拋物線中,消得,依據(jù)韋達(dá)韋達(dá)定理求得,同理求得,將+用基本不等式不等式即可求出最小值.【詳解】（1）由已知橢圓C整理得,所以焦點F的坐標(biāo)為,所以所以拋物線E的準(zhǔn)線方程為：（2）由題意知兩條直線的斜率存在且不為零設(shè)直線的斜率為,方程為,則的斜率為,方程為設(shè)、,由得因為,所以,,所以同理得,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時取“等號”,所以兩條弦的弦長之和的最小值為【點睛】本題考查拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和拋物線的幾何性質(zhì)中的定點定值問題,依據(jù)垂直問題設(shè)斜率可以削減變量,從而便利求極值.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對，使成立，求實數(shù)的取值范圍(其中是自然對數(shù)的底數(shù))．【答案】（1）遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解析】【分析】（1）將代入原函數(shù),求函數(shù)的定義域,再對函數(shù)求導(dǎo),最終依據(jù)單調(diào)遞增,單