2025年北京市西城區(qū)第四十四中學全國高三模擬考試(六)數(shù)學試題含解析_第1頁
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2025年北京市西城區(qū)第四十四中學全國高三模擬考試(六)數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的值為()A.0 B.1 C. D.2.已知數(shù)列的通項公式是,則()A.0 B.55 C.66 D.783.某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積為()A. B.1 C. D.4.已知點,若點在曲線上運動,則面積的最小值為()A.6 B.3 C. D.5.如圖,設為內(nèi)一點,且,則與的面積之比為A. B.C. D.6.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為()A. B. C. D.7.在邊長為1的等邊三角形中,點E是中點,點F是中點,則()A. B. C. D.8.已知雙曲線:的左右焦點分別為,,為雙曲線上一點,為雙曲線C漸近線上一點,,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.10.記單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項和為,若,,則()A. B. C. D.11.正方形的邊長為,是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點,且,則的最小值為()A. B. C. D.12.對某兩名高三學生在連續(xù)9次數(shù)學測試中的成績(單位:分)進行統(tǒng)計得到折線圖,下面是關于這兩位同學的數(shù)學成績分析.①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性,故平均成績?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,估計該同學平均成績在區(qū)間110,120內(nèi);③乙同學的數(shù)學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性,且為正相關;④乙同學連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步.其中正確的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知雙曲線的左焦點為,、為雙曲線上關于原點對稱的兩點,的中點為,的中點為,的中點為,若,且直線的斜率為,則__________,雙曲線的離心率為__________.14.已知集合,,則________.15.如圖,已知,,為的中點,為以為直徑的圓上一動點,則的最小值是_____.16.若函數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實數(shù),,滿足,求證:.18.(12分)如圖,在平面直角坐標系中,已知圓C:,橢圓E:()的右頂點A在圓C上,右準線與圓C相切.(1)求橢圓E的方程;(2)設過點A的直線l與圓C相交于另一點M,與橢圓E相交于另一點N.當時,求直線l的方程.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點為棱的中點.(1)證明::(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)若為棱上一點,滿足,求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù),,若存在實數(shù)使成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動,并在培訓結束后對學生進行了考核.記表示學生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓活動的效果,在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績,并作成如下莖葉圖:(Ⅰ)從參加培訓的學生中隨機選取1人,請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計這名學生考核優(yōu)秀的概率;(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;(Ⅲ)記表示學生的考核成績在區(qū)間的概率,根據(jù)以往培訓數(shù)據(jù),規(guī)定當時培訓有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效,并說明理由.22.(10分)橢圓:()的離心率為,它的四個頂點構成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程;(2)設是直線上任意一點,過點作圓的兩條切線,切點分別為,,求證:直線恒過一個定點.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)輸入的值大小關系,代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入,,因為,所以由程序框圖知,輸出的值為.故選:A本題考查了對數(shù)式大小比較,條件程序框圖的簡單應用,屬于基礎題.2.D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值,可進一步得到數(shù)列的通項公式,然后代入轉化計算,再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結果.【詳解】解:由題意得,當為奇數(shù)時,,當為偶數(shù)時,所以當為奇數(shù)時,;當為偶數(shù)時,,所以故選:D此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題,以及數(shù)列求和,考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應用,等差數(shù)列的求和公式,屬于中檔題.3.C【解析】該幾何體為三棱錐,其直觀圖如圖所示,體積.故選.4.B【解析】

求得直線的方程,畫出曲線表示的下半圓,結合圖象可得位于,結合點到直線的距離公式和兩點的距離公式,以及三角形的面積公式,可得所求最小值.【詳解】解:曲線表示以原點為圓心,1為半徑的下半圓(包括兩個端點),如圖,直線的方程為,可得,由圓與直線的位置關系知在時,到直線距離最短,即為,則的面積的最小值為.故選:B.本題考查三角形面積最值,解題關鍵是掌握直線與圓的位置關系,確定半圓上的點到直線距離的最小值,這由數(shù)形結合思想易得.5.A【解析】

作交于點,根據(jù)向量比例,利用三角形面積公式,得出與的比例,再由與的比例,可得到結果.【詳解】如圖,作交于點,則,由題意,,,且,所以又,所以,,即,所以本題答案為A.本題考查三角函數(shù)與向量的結合,三角形面積公式,屬基礎題,作出合適的輔助線是本題的關鍵.6.B【解析】

由點求得的值,化簡解析式,根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法,求得的對稱軸,由此確定正確選項.【詳解】由題可知.所以令,得令,得故選:B本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點的坐標求參數(shù),考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)對稱軸的求法,屬于中檔題.7.C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理,用來表示,然后利用數(shù)量積公式,簡單計算,可得結果.【詳解】由題可知:點E是中點,點F是中點,所以又所以則故選:C本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細心觀察,屬基礎題.8.D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為,為雙曲線上的一點,為雙曲線的漸近線上的一點,且都位于第一象限,且,可知為的三等分點,且,點在直線上,并且,則,,設,則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉化思想以及運算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式,轉化為的齊次式,然后轉化為關于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).9.D【解析】

根據(jù)集合的混合運算,即可容易求得結果.【詳解】,故可得.故選:D.本題考查集合的混合運算,屬基礎題.10.C【解析】

先利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到的值,再根據(jù)的方程組可得的值,從而得到數(shù)列的公比,進而得到數(shù)列的通項和前項和,根據(jù)后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數(shù)列,所以,故即,由可得或,因為為遞增數(shù)列,故符合.此時,所以或(舍,因為為遞增數(shù)列).故,.故選C.一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時,則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.11.C【解析】

分別以直線為軸,直線為軸建立平面直角坐標系,設,根據(jù),可求,而,化簡求解.【詳解】解:建立以為原點,以直線為軸,直線為軸的平面直角坐標系.設,,,則,,由,即,得.所以=,所以當時,的最小值為.故選:C.本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示,屬于基礎題.12.C【解析】

利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關性,成績的比較,說明正誤即可.【詳解】①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性,最高130分,平均成績?yōu)榈陀?30分,①錯誤;②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,估計該同學平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學的數(shù)學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性,且為正相關,③正確;④乙同學在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步,故④不正確.故選:C.本題考查折線圖的應用,線性相關以及平均分的求解,考查轉化思想以及計算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

設,,根據(jù)中點坐標公式可得坐標,利用可得到點坐標所滿足的方程,結合直線斜率可求得,進而求得;將點坐標代入雙曲線方程,結合焦點坐標可求得,進而得到離心率.【詳解】左焦點為,雙曲線的半焦距.設,,,,,,即,,即,又直線斜率為,即,,,,在雙曲線上,,即,結合可解得:,,離心率.故答案為:;.本題考查直線與雙曲線的綜合應用問題,涉及到直線截雙曲線所得線段長度的求解、雙曲線離心率的求解問題;關鍵是能夠通過設點的方式,結合直線斜率、垂直關系、點在雙曲線上來構造方程組求得所需變量的值.14.【解析】

利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎知識,考查運算求解能力,屬于基礎題.15.【解析】

建立合適的直角坐標系,求出相關點的坐標,進而可得的坐標表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出的表達式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標系如圖所示:則點,,,設點,所以,由平面向量數(shù)量積的坐標表示可得,,其中,因為,所以的最小值為.故答案為:本題考查平面向量數(shù)量積的坐標表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結合思想和轉化與化歸能力、運算求解能力;建立直角坐標系,把表示為關于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關鍵;屬于中檔題.16.【解析】

若函數(shù)恒成立,即,求導得,在三種情況下,分別討論函數(shù)單調(diào)性,求出每種情況時的,解關于的不等式,再取并集,即得?!驹斀狻坑深}意得,只要即可,,當時,令解得,令,解得,單調(diào)遞減,令,解得,單調(diào)遞增,故在時,有最小值,,若恒成立,則,解得;當時,恒成立;當時,,單調(diào)遞增,,不合題意,舍去.綜上,實數(shù)的取值范圍是.故答案為:本題考查恒成立條件下,求參數(shù)的取值范圍,是??碱}型。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)證明見詳解.【解析】

(1)將不等式的解集用表示出來,結合題中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式證明.【詳解】解:(1),,,因為的解集為,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,當且僅當,,,等號成立.本題考查了絕對值不等式的解法,利用柯西不等式證明不等式的問題,屬于中檔題.18.(1)(2)或.【解析】

(1)圓的方程已知,根據(jù)條件列出方程組,解方程即得;(2)設,,顯然直線l的斜率存在,方法一:設直線l的方程為:,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立,消去,可得,同理直線方程和圓方程聯(lián)立,可得,再由可解得,即得;方法二:設直線l的方程為:,與橢圓方程聯(lián)立,可得,將其與圓方程聯(lián)立,可得,由可解得,即得.【詳解】(1)記橢圓E的焦距為().右頂點在圓C上,右準線與圓C:相切.解得,,橢圓方程為:.(2)法1:設,,顯然直線l的斜率存在,設直線l的方程為:.直線方程和橢圓方程聯(lián)立,由方程組消去y得,整理得.由,解得.直線方程和圓方程聯(lián)立,由方程組消去y得,由,解得.又,則有.即,解得,故直線l的方程為或.分法2:設,,當直線l與x軸重合時,不符題意.設直線l的方程為:.由方程組消去x得,,解得.由方程組消去x得,,解得.又,則有.即,解得,故直線l的方程為或.本題考查求橢圓的標準方程,以及直線和橢圓的位置關系,考查學生的分析和運算能力.19.(1)證明見解析(2)(3)【解析】

(1)根據(jù)題意以為坐標原點,建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,并表示出,由空間向量數(shù)量積運算即可證明.(2)先求得平面的法向量,即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值,即為直線與平面所成角的正弦值;(3)由點在棱上,設,再由,結合,由空間向量垂直的坐標關系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量,由空間向量數(shù)量積的運算求得兩個平面夾角的余弦值,再根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵底面,,以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,∵,,點為棱的中點.∴,,,,,,.(2),設平面的法向量為.則,代入可得,令解得,即,設直線與平面所成角為,由直線與平面夾角可知所以直線與平面所成角的正弦值為.(3),由點在棱上,設,故,由,得,解得,即,設平面的法向量為,由,得,令,則取平面的法向量,則二面角的平面角滿足,由圖可知,二面角為銳二面角,故二面角的余弦值為.本題考查了空間向量的綜合應用,由空間向量證明線線垂直,求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小,計算量較大,屬于中檔題.20.【解析】試題分析:先將問題“

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