“古典概型”的教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)古典概型沈陽市第八十三中學(xué)李杰“古典概型”的教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)3（必修）第三章概率的第二節(jié)古典概型的第一課時(shí)，是在隨機(jī)事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學(xué)習(xí)排列組合的情況下教學(xué)的。古典概型是一種特殊的數(shù)學(xué)模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當(dāng)重要的地位。學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)有利于理解概率的概念，有利于計(jì)算一些簡(jiǎn)單事件的概率，有利于解釋生活中的一些現(xiàn)象與問題。主要內(nèi)容有：１．基本事件的概念及特點(diǎn)：（１）任何兩個(gè)基本事件是互斥的；（２）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。２．古典概型的特征：（１）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（２）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。３．古典概型的概率計(jì)算公式，用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件的個(gè)數(shù)及事件發(fā)生的概率。本節(jié)課的重點(diǎn)是理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機(jī)事件的概率。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析１．通過“擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗(yàn)”和“擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)”了解基本事件的概念和特點(diǎn)２．通過實(shí)例，理解古典概型及其概率計(jì)算公式。根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平，通過模擬試驗(yàn)讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性。觀察類比各個(gè)試驗(yàn)，歸納總結(jié)出古典概型的概率計(jì)算公式。鼓勵(lì)學(xué)生通過觀察類比提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維情趣，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度。同時(shí)適當(dāng)?shù)卦黾訉W(xué)生合作學(xué)習(xí)交流的機(jī)會(huì)，盡量地讓學(xué)生自己舉出生活和學(xué)習(xí)中與古典概型有關(guān)的實(shí)例。使得學(xué)生在體會(huì)概率意義的同時(shí)，感受與他人合作的重要性以初步形成實(shí)事求是地科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神。３．會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。掌握列舉法，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想解決概率的計(jì)算問題。４．會(huì)初步應(yīng)用概率計(jì)算公式解決簡(jiǎn)單的古典概型問題。用有現(xiàn)實(shí)意義的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。培養(yǎng)學(xué)生掌握“理論來源于實(shí)踐，并把理論應(yīng)用于實(shí)踐”的辨證思想。三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)是：已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件的概率，通過實(shí)例，已經(jīng)了解隨機(jī)事件的不確定性和概率的穩(wěn)定性。了解了概率的意義，了解互斥事件及有限個(gè)互斥事件概率加法公式。學(xué)生已學(xué)了隨機(jī)事件的概率，并親自動(dòng)手操作了擲硬幣、骰子（包括同時(shí)擲兩個(gè)）的試驗(yàn)，由此歸納出古典概型的兩個(gè)特征不是難點(diǎn)，關(guān)鍵是以下問題：1、學(xué)生在解決古典概型的有關(guān)概率計(jì)算時(shí)，往往會(huì)忽視古典概型的兩個(gè)特征，錯(cuò)用古典概型概率計(jì)算公式，因此在教學(xué)中結(jié)合問題6進(jìn)行深入討論，讓學(xué)生真正體會(huì)到判斷古典概型的重要性，其中可以利用試驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)、列舉等手段來幫助學(xué)生解決問題。2、在歸納概率計(jì)算公式時(shí)，很多學(xué)生可能會(huì)不重視，想當(dāng)然地得出結(jié)論，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生揭示公式得出的過程，并學(xué)會(huì)從特殊到一般研究問題的方法。3、學(xué)生初步學(xué)習(xí)概率，較難將實(shí)際問題模型（古典概型）化，因此在教學(xué)應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生建模的意識(shí)的能力。教學(xué)難點(diǎn)：如何判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，分清在一個(gè)古典概型中某隨機(jī)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)。在解決概率的計(jì)算上，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試列表和畫出樹狀圖，讓學(xué)生感受求基本事件個(gè)數(shù)的一般方法，讓學(xué)生直觀的感受到對(duì)象的總數(shù)，而且還能使學(xué)生在列舉的時(shí)候作到不重不漏，從而化解由于沒有學(xué)習(xí)排列組合而學(xué)習(xí)概率這一教學(xué)困惑。在判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型時(shí)，教師可以設(shè)置一些問題讓學(xué)生判斷，加深對(duì)兩個(gè)特點(diǎn)缺一不可的理解。在問題6教學(xué)中，給出由于忽略等可能的條件而導(dǎo)致的錯(cuò)誤解法，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，有利于學(xué)生的掌握知識(shí)。四、教學(xué)支持條件分析為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可準(zhǔn)備投影儀、多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備硬幣、骰子數(shù)枚。在教學(xué)中利用直觀圖形、計(jì)算機(jī)模擬、列表、畫樹形圖來支持對(duì)概率古典定義的理解與運(yùn)用。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題問題１：考察兩個(gè)試驗(yàn)：（１）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗(yàn)；（２）擲一顆質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)。在這兩個(gè)試驗(yàn)中，可能的結(jié)果分別有哪些？設(shè)計(jì)意圖：通過擲硬幣與擲骰子兩個(gè)接近于生活的試驗(yàn)的設(shè)計(jì)。先激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察試驗(yàn)，分析結(jié)果，找出共性。師生活動(dòng)：學(xué)生思考、討論，教師利用試驗(yàn)給出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果即基本事件。問題2：例１.（1）從字母A、B、C、D中任意取出一個(gè)字母的試驗(yàn)中，有哪些基本事件？（2）任意取出兩個(gè)不同字母呢？設(shè)計(jì)意圖：由于沒有學(xué)習(xí)排列組合，因此用列舉法列舉基本事件的個(gè)數(shù)，不僅能讓學(xué)生直觀的感受到對(duì)象的總數(shù)，而且還能使學(xué)生在列舉的時(shí)候作到不重不漏。解決了求古典概型中基本事件總數(shù)這一難點(diǎn)，并為歸納古典概型提供更多背景。師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生列舉時(shí)做到不重復(fù)、不遺漏。學(xué)生列舉出基本事件。教師指出畫樹狀圖是列舉法的基本方法（二）通過設(shè)疑，引出概念問題3

在擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣或骰子及例1的試驗(yàn)中，基本事件分別有幾個(gè)，它們之間有什么共同特征？設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)運(yùn)用從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)分析問題的能力，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想。啟發(fā)誘導(dǎo)的同時(shí)，訓(xùn)練了學(xué)生觀察和概括歸納的能力。通過問題的解決引出古典概型的概念。師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生找出共性。具有下列兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型才能運(yùn)用上述公式，我們稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型。（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（有限性）（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。（等可能性）問題4：（1）向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn)，如果該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的，你認(rèn)為這是古典概型嗎?為什么？（２）某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)。你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)問題的設(shè)計(jì)是為了讓學(xué)生更加準(zhǔn)確的把握古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)。突破了如何判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型這一教學(xué)難點(diǎn)。師生活動(dòng)：學(xué)生互相交流，回答補(bǔ)充，教師歸納。（１）不是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點(diǎn)，試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的；（２）不是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的所有可能結(jié)果只有7個(gè)，而命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個(gè)條件。（三）歸納公式，例題鞏固問題5我們用模擬試驗(yàn)的方法已經(jīng)得到：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率為，你能否用已學(xué)的概率知識(shí)加以說明（求某一隨機(jī)事件的概率都用模擬試驗(yàn)的方法好不好，為什么？）？對(duì)于擲一枚質(zhì)地均勻骰子的試驗(yàn)?zāi)?？由此能否得出古典概型中任何事件的概率?jì)算公式？設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生從特殊問題入手，歸納出古典概型概率計(jì)算公式。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從特殊試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)任意兩個(gè)基本事件都是互斥且等可能，任何事件（包括必然事件）都可以表示為基本事件的和，利用概率的加法公式得出結(jié)果，并體會(huì)從特殊到一般歸納問題的思想。例2.同時(shí)擲兩個(gè)骰子，計(jì)算：（1）一共有多少種不同的結(jié)果？（2）其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？（3）向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少？設(shè)計(jì)意圖：這節(jié)課是在沒有學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)如何求概率，所以在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)古典概型的特征，用列舉法解決概率問題。深化鞏固對(duì)古典概型及其概率計(jì)算公式的理解，和用列舉法來計(jì)算一些隨機(jī)事件所含基本事件的個(gè)數(shù)及事件發(fā)生的概率。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維情趣，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度。通過觀察對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩種結(jié)果不同的根本原因是——研究的問題是否滿足古典概型，從而再次突出了古典概型這一教學(xué)重點(diǎn)，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，逐漸養(yǎng)成自主探究能力。師生活動(dòng)：（１）教師給出問題，學(xué)生思考求解。（２）教師將學(xué)生的結(jié)果匯總展示，學(xué)生給出的答案可能會(huì)有兩種，然后引導(dǎo)學(xué)生分析原因，尋找解答中存在的問題。其中這兩種答案分別對(duì)應(yīng)了解題中的兩種處理方法：把骰子標(biāo)號(hào)進(jìn)行解題和不標(biāo)號(hào)進(jìn)行解題，可以提示學(xué)生先把這兩種方法下的基本事件全部列出來，然后驗(yàn)證是否為古典概型。（３）學(xué)生思考、討論，列出兩種方法下的基本事件，發(fā)現(xiàn)基本事件的總數(shù)不相等。（４）教師通過模擬和分析兩種方式中每個(gè)基本事件的等可能性，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在第二種情況下每個(gè)基本事件不是等可能的，不是古典概型，因此不能用古典概型計(jì)算公式。（５）師生共同總結(jié)解題步驟：①

列舉基本事件（驗(yàn)證基本事件是否有限，所有基本事件出現(xiàn)是否等可能）；②

列舉目標(biāo)事件所包含的基本事件；③

利用公式進(jìn)行計(jì)算。（四）循序漸進(jìn)，變式練習(xí)例3

單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案，請(qǐng)大家完成下列問題：（1）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為（

）(A)

(B)

(C)

(D)（2）Throwstwoqualityofmaterialevencoins,allappearsfrontagetofaceontheprobabilityis（

）(A)

(B)

(C)

(D)設(shè)計(jì)意圖：先統(tǒng)計(jì)全班學(xué)生選擇A、B、C、D的人數(shù)（統(tǒng)計(jì)思想），再由學(xué)生判斷該概率模型（只針對(duì)選擇A、B、C、D）是不是古典概型，并發(fā)現(xiàn)：如果掌握了考察的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案；如果掌握了考察的部分內(nèi)容，他可以提高選擇的正確率；假設(shè)考生不會(huì)做，他只能隨機(jī)選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率最低（此時(shí)為古典概型），通過親身感受使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)統(tǒng)計(jì)與古典概型的意義，同時(shí)讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到掌握知識(shí)的重要性。引申：現(xiàn)行的高考數(shù)學(xué)試卷中有10道單選題，如果有一個(gè)考生答對(duì)了8道題，他是隨機(jī)選擇的可能性大，還是他掌握了一定知識(shí)的可能性大？在物理考試中既有單選題又有多選題，多選題是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案，同學(xué)們可能有一種感覺，如果不知道正確答案，多選題更難猜對(duì)，這是為什么？設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生通過相似問題背景的比較，進(jìn)一步理解古典概型在解決概率問題中有關(guān)的思想方法。師生活動(dòng)：對(duì)于前者，引導(dǎo)學(xué)生采用極大似然法進(jìn)行分析，而后者主要解決基本事件的個(gè)數(shù)，這里可以結(jié)合例1的結(jié)果。問題6拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，由骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)來決定乒乓球比賽中的發(fā)球權(quán)，公平嗎？同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，由兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)還是偶數(shù)來決定乒乓球比賽中的發(fā)球權(quán)，公平嗎？設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)手操作并利用統(tǒng)計(jì)手段（統(tǒng)計(jì)思想），使學(xué)生深入理解在使用古典概型的概率公式時(shí)，首先要判斷該概率模型是不是古典概型，然后要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)。師生活動(dòng)：向每位學(xué)生分發(fā)一枚質(zhì)地均勻的骰子，同桌合作做試驗(yàn)，結(jié)合試驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，通過交流與討論，嘗試解決此問題，并重點(diǎn)揭示以下錯(cuò)誤的根源（由于沒有從根本上認(rèn)識(shí)基本事件而造成）。錯(cuò)誤一：將兩點(diǎn)數(shù)之和2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12這11個(gè)數(shù)看成基本事件，并誤認(rèn)為是等可能，從而得到點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)或偶數(shù)的概率分別為與。錯(cuò)誤二：對(duì)類似于（1，2）和（2，1）的結(jié)果沒有區(qū)別，則所有可能的結(jié)果是：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，4）（4，5）（4，6）（5，5）（5，6）（6，6）共有21種,從而得到點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)或偶數(shù)的概率分別為與。例4

假設(shè)儲(chǔ)蓄卡的密碼由4個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可以是0，1，2…，9十個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)。假設(shè)一個(gè)人完全忘記了密碼，問他到自動(dòng)提款機(jī)上隨機(jī)式一次密碼就能取到錢的概率是多少？設(shè)計(jì)意圖：選用具有現(xiàn)實(shí)意義的例題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。師生活動(dòng)：教師要引導(dǎo)學(xué)生注意題目的前提是“完全忘記了自己的儲(chǔ)蓄卡密碼”，在這種前提下才是古典概型問題，才能用古典概型公式解決問題。學(xué)生思考、討論、交流，在教師的指導(dǎo)下各自解題。教師對(duì)學(xué)生的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)和完善，同時(shí)讓學(xué)生理解為什么自動(dòng)取款機(jī)不能無限制地讓用戶試密碼，用身份證上的號(hào)碼作密碼不安全等現(xiàn)象。練習(xí)

某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，問質(zhì)檢人員隨機(jī)抽出2聽，檢測(cè)出不合格產(chǎn)品的概率有多大？設(shè)計(jì)意圖：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解題能力。師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，必要時(shí)可以討論。教師個(gè)別指導(dǎo)。題目中關(guān)鍵是基本事件的表示方法，教師可給出相應(yīng)的引導(dǎo)與提示。（五）總結(jié)概括，自我評(píng)價(jià)問題7：這節(jié)課你有什么收獲?學(xué)到了哪些知識(shí)和方法?設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生對(duì)本節(jié)課的知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)全面的認(rèn)識(shí)，并把學(xué)過的相關(guān)知識(shí)有機(jī)地串聯(lián)起來，便于記憶和應(yīng)用，也進(jìn)一步升華了這節(jié)課所要表達(dá)的本質(zhì)思想，讓學(xué)生的認(rèn)知更上一層。師生活動(dòng)：學(xué)生小結(jié)歸納，不足的地方老師補(bǔ)充說明。1．我們將具有（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（有限性）（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。（等可能性）這樣兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率概型，簡(jiǎn)稱古典概型。2．古典概型計(jì)算任何事件的概率計(jì)算公式。3．求某個(gè)隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和實(shí)驗(yàn)中基本事件的總數(shù)的常用方法是列舉法（畫樹狀圖和列表），應(yīng)做到不重不漏。六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1、一枚硬幣連擲