河南圣級名校2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)摸底考試試題文含解析

PAGE19-河南省頂級名校2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)摸底考試試題文（含解析）第I卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可以求出集合，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】解：，，.故選：.【點睛】考查描述法的定義，肯定值不等式的解法，以及交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.已知復(fù)數(shù)滿意，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式即可得解；【詳解】解：，的虛部為1.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，關(guān)鍵是將其分母實數(shù)化，化為的形式，進(jìn)行推斷，屬于基礎(chǔ)題．3.在等差數(shù)列中，，，則其公差為（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】等差數(shù)列中，依據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)解得：、，即可得出公差．【詳解】解：在等差數(shù)列中，，，又，，公差為.故選：D.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式，化簡要求的式子，可得結(jié)果．【詳解】解：，，.故選：A.【點睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.如圖所示的中，點D、E分別在邊BC、AD上，且.，則向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題目條件，結(jié)合平面對量運(yùn)算的三角形法則，進(jìn)行推導(dǎo)即可．【詳解】解：，，又，，，又，，.故選：B.【點睛】本題考查了平面對量運(yùn)算的三角形法則，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．6.在《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑.若某個鱉臑的三視圖均為直角邊長為1的等腰直角三角形（如圖所示）.則該鰲臑的中最大面積為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三視圖畫出幾何體的直觀圖，推斷各個面的面積的最大者，求解即可得到結(jié)果．【詳解】解：依據(jù)三視圖畫出該幾何體的直觀圖為如圖所示的四面體，其中PA垂直于等腰直角三角形ABC所在的平面.將其放置于正方體中（如圖所示），可知該正方體的棱長為1，所以，，所以表面中最大面的面積為.故選：A.【點睛】本題考查的學(xué)問要點：三視圖的應(yīng)用，幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算實力和轉(zhuǎn)化實力，屬于基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，若當(dāng)時，，則滿意的x的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，分兩種狀況探討，然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：由題易知在上單調(diào)遞增，且，則由，得，又因為為偶函數(shù)，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，且有，則由，得，所以滿意的x的取值范圍為.故選：A.【點睛】本題主要考查不等式的求解，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8.已知函數(shù)，，且的圖象關(guān)于直線對稱，則的取值可以為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由，求出，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求出的值．【詳解】解：，，又，，從而.的圖象關(guān)于直線對稱，，，即，，令，得.故選：B.【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題，9.已知三個村莊所處的位置恰好位于三角形的三個頂點處，且.現(xiàn)在內(nèi)任取一點建一大型的超市，則點到三個村莊的距離都不小于的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】采納數(shù)形結(jié)合，計算，以及“點到三個村莊的距離都不小于”這部分區(qū)域的面積，然后結(jié)合幾何概型，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以該三角形為直角三角形分別以作為圓心，作半徑為2的圓如圖所以則“點到三個村莊距離都不小于”該部分即上圖陰影部分，記該部分面積為又三角形內(nèi)角和為，所以設(shè)點到三個村莊的距離都不小于的概率為所以故選：D【點睛】本題考查面積型幾何概型問題，重點在于計算面積，難點在于計算陰影部分面積，考驗理解實力，屬基礎(chǔ)題.10.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M為棱A1B1的中點，則異面直線AM與BD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取A1D1的中點N，連結(jié)MN，B1D1，易得MN∥BD，故異面直線AM與BD所成角的余弦值為直線AM與MN所成角的余弦值.【詳解】如圖所示，取A1D1的中點N，連結(jié)MN，B1D1，∵M(jìn)為棱A1B1的中點，∴MN∥B1D1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BD∥B1D1，∴異面直線AM與BD所成角的余弦值為直線AM與MN所成角的余弦值，連結(jié)AN，則∠AMN（或其補(bǔ)角）為異面直線AM與BD所成的角，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2a，則AM=AN=，MN=，在△AMN中，由余弦定理得：cos∠AMN==．故答案為D【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查空間想象實力與計算實力，屬于?？碱}型.11.已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線，過定點P作兩直線分別交拋物線C于點A、B，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，，，求得，再求出、的斜率，由斜率和為0求得的值，進(jìn)一步求出的斜率，則答案可求．【詳解】解：設(shè)，，則，，同理.因為，所以，，所以，又，所以.故選：B.【點睛】本題考查拋物線的簡潔性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，屬于中檔題．12.若對隨意的實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在單調(diào)性，并計算，可得結(jié)果.【詳解】令，則，令若時，若時，所以可知函數(shù)在遞減，在遞增所以由對隨意的實數(shù)恒成立所以故選：A【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.第II卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分.13.在中，，，，則________.【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形的面積公式即可計算得解．詳解】解：，，，．故答案：．【點睛】本題主要考查了三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.已知直線與圓，若圓心到直線的距離為，則________.【答案】【解析】【分析】由點到直線的距離公式可知，圓心到直線的距離為，結(jié)合已知可求．【詳解】解：由點到直線的距離公式可知，圓心到直線的距離為，解可得，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了利用點到直線的距離公式解決直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15.若x、y滿意約束條件，則的最大值為_________.【答案】【解析】【分析】作出可行域后,依據(jù)斜率關(guān)系找到最優(yōu)解,代入最優(yōu)解的坐標(biāo)即可求得最大值.【詳解】作出可行域如圖所示:由可得,由圖可知最優(yōu)解為,聯(lián)立,解得,,所以最優(yōu)解為,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最大值,利用斜率關(guān)系找到最優(yōu)解是答題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16.如下分組的正整數(shù)對：第1組為，，第2組為，，第3組為，，，，第4組為，，，，，則第40組第21個數(shù)對為______．【答案】【解析】【分析】由題意可得第n組各個數(shù)和為，且各個數(shù)對無重復(fù)數(shù)字，依據(jù)依次排列，即可得到所求數(shù)對．【詳解】由題意可得第一組的各個數(shù)和為3，其次組各個數(shù)和為4，第三組各個數(shù)和為5，第四組各個數(shù)和為6，，第n組各個數(shù)和為，且各個數(shù)對無重復(fù)數(shù)字，可得第40組各個數(shù)和為42，則第40組第21個數(shù)對為．故答案為．【點睛】本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，留意總結(jié)各組數(shù)對的特點，考查簡潔的歸納推等基礎(chǔ)學(xué)問，考查推斷實力、推理實力、數(shù)據(jù)處理實力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．，三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前項和．（1）求數(shù)列通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)和關(guān)系得到答案.（2）首先計算數(shù)列通項，再依據(jù)裂項求和得到答案.【詳解】解：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，（2）【點睛】本題考查了和關(guān)系，裂項求和，是數(shù)列的?？碱}型.18.為提高產(chǎn)品質(zhì)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部門常常不定期地抽查產(chǎn)品進(jìn)行檢測，現(xiàn)在某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100個產(chǎn)品進(jìn)行相關(guān)數(shù)據(jù)的對比，并對每個產(chǎn)品進(jìn)行綜合評分（滿分100分），將每個產(chǎn)品所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80分及以上的產(chǎn)品為一等品.（1）求圖中的值，并求綜合評分的中位數(shù)；（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，按分層抽樣的思想，先在該條生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取5個產(chǎn)品，再從這5個產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個產(chǎn)品記錄有關(guān)數(shù)據(jù)，求這2個產(chǎn)品中恰有一個一等品的概率.【答案】(1)；中位數(shù)為82.5.(2)【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率之和為1，結(jié)合頻率分布直方圖對應(yīng)矩形區(qū)域面積求解即可；先結(jié)合數(shù)值預(yù)判中位數(shù)所在組距應(yīng)在80到90之間，設(shè)綜合評分的中位數(shù)為，結(jié)合頻率計算公式求解即可；（2）先結(jié)合分層抽樣計算出一等品所占比例，再采納列舉法表示出全部基本領(lǐng)件，結(jié)合古典概率公式求解即可【詳解】（1）由頻率和為1，得，；設(shè)綜合評分的中位數(shù)為，則，解得，所以綜合評分的中位數(shù)為82.5.（2）由頻率分布直方圖知，一等品的頻率為，即概率為0.6；所以100個產(chǎn)品中一等品有60個，非一等品有40個，則一等品與非一等品的抽樣比為3：2；所以現(xiàn)抽取5個產(chǎn)品，一等品有3個，記為、、，非一等品2個，記為、；從這5個產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2個，基本領(lǐng)件為：、、、、、、、、、共10種；抽取的這2個產(chǎn)品中恰有一個一等品的事務(wù)為：、、、、、共6種，所以所求的概率為.【點睛】本題考查頻率分布直方圖中詳細(xì)數(shù)值的求解，中位數(shù)的計算，求解詳細(xì)事務(wù)對應(yīng)的概率，屬于中檔題19.如圖所示，在四棱錐中，底面BCDE為正方形.且，，.（1）證明：平面BCDE；（2）若點P在線段AD上，且，求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，，由此能證明平面．（2）由，，得平面，過點作，交于點，推導(dǎo)出為點到平面的距離，由此能求出三棱錐的體積．【詳解】解：（1）因為底面BCDE為正方形，且，，，所以，，所以，，又，平面BCDE，平面，所以平面BCDE.（2）由（1）知，，又底面BCDE為正方形，所以，又，平面，平面，所以平面.過點P作交AC于點F.因為，所以，所以平面，所以PF為點P到平面的距離.由，知，所以.【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實力，屬于中檔題．20.已知橢圓的中心為原點O，過O作兩條相互垂直的射線分別交橢圓于P、Q兩點.（1）證明：為定值；（2）若橢圓，過原點O作直線PQ的垂線，垂足為D，求.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）分類探討，當(dāng)，斜率存在且不為0時，設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，求得，同理求得，即可求證為定值；（2）依據(jù)（1）及三角形面積相等，即可求得的值．【詳解】解：（1）當(dāng)射線或在軸上時，明顯有；當(dāng)射線，不在軸上時，設(shè)，，聯(lián)立方程，，，則，所以.用是代替上式中的，可得，所以.綜上為定值.（2）由（1）的證明，可知，即，所以所以.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中定值問題，考查三角形的面積相等，考查計算實力，屬于中檔題．21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程.（2）當(dāng)時，若對隨意的，都有，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得時的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得所求切線方程；（2）求得的導(dǎo)數(shù)，探討，，的單調(diào)區(qū)間，考慮在，的單調(diào)性，求得最小值，可令其不小于，解不等式可得所求范圍．【詳解】解：（1）當(dāng)時，，所以，所以曲線在點處的切線斜率，又，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由，得當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，則，明顯成立；當(dāng)時，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.①時，，在上單調(diào)遞減，所以，所以對隨意的，都有等價于，即，解得，又，所以；②當(dāng)時，，所以在上的最小值為.又當(dāng)時，，明顯成立.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)性、極值和最值，考查分類探討思想和化簡運(yùn)算實力，屬于中檔題．請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的一般方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點.求【