2024秋高中數(shù)學第一章解三角形1.2應用舉例第1課時距離問題達標檢測含解析新人教A版必修5

PAGE1-距離問題A級基礎鞏固一、選擇題1．學校體育館的人字形屋架為等腰三角形，如圖所示，測得AC的長度為4米，A＝30°，則其跨度AB的長為()A．12米 B．8米 C．3eq\r(3)米 D．4eq\r(3)米解析：△ABC為等腰三角形，A＝30°，所以B＝30°，C＝120°，×4×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝48，所以AB＝4eq\r(3).答案：D2.如圖所示為起重機裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為()A．30m B．eq\f(15\r(3),2)mC．15eq\r(3)m D．45m解析：在△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(102＋（5\r(19)）2－152,2×10×5\r(19))＝eq\f(7,2\r(19))，∠ABC∈(0°，180°)，所以sin∠ABC＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2\r(19))))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(3),2\r(19))，所以在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝5eq\r(19)×eq\f(3\r(3),2\r(19))＝eq\f(15\r(3),2)(m)．答案：B3．甲騎電動自行車以24km/h的速度沿著正北方向的馬路行駛，在點A處望見電視塔在電動車的北偏東30°方向上，15min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是()A．6km B．3eq\r(3)km C．3eq\r(2)km D．3km解析：由題意知，AB＝24×eq\f(1,4)＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BS＝eq\f(ABsin∠BAS,sin∠ASB)＝eq\f(6sin30°,sin45°)＝3eq\r(2)(km)．答案：C4．一艘海輪從A處動身，以每小時40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處視察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處視察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(2)海里 D．20eq\r(3)海里解析：如圖，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，從而∠ACB＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得BC＝eq\f(AB,sin45°)×sin30°＝10eq\r(2).答案：A5.如圖，海中有一小島C，一小船從A地動身由西向東航行，望見小島C在北偏東60°，航行8海里到達B處，望見小島C在北偏東15°，若此小船不變更航行的方向接著前行2(eq\r(3)－1)海里，則離小島C的距離為()A．8(eq\r(3)＋2)海里 B．2(eq\r(3)－1)海里C．2(eq\r(3)＋1)海里 D．4(eq\r(3)＋1)海里解析：BC＝eq\f(AB·sin30°,sin45°)＝eq\f(8×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝4eq\r(2)，所以離小島C的距離為eq\r([2（\r(3)－1）]2＋（4\r(2)）2－2×2（\r(3)－1）×4\r(2)×cos75°)＝eq\r([2（\r(3)－1）]2＋（4\r(2)）2－2×2（\r(3)－1）×4\r(2)×\f(\r(6)－\r(2),4))＝2(eq\r(3)＋1)，選C.答案：C二、填空題6．一艘海輪以20nmile/h的速度向正東方向航行，它在A點測得燈塔P在船的北偏東60°方向上，2h后船到達B點時，測得燈塔P在船的北偏東45°方向上，則B點到燈塔P的距離為________nmile.解析：由題可知，在△ABP中，AB＝40，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，所以∠BPA＝15°，由正弦定理得eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(BP,sin30°)，所以BP＝eq\f(AB·sin30°,sin15°)＝eq\f(40×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝20(eq\r(6)＋eq\r(2))．答案：20(eq\r(6)＋eq\r(2))7．已知A，B，C三地，其中A，C兩地被一個湖隔開，測得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，則A、C兩地的距離為______km.解析：依據(jù)題意，由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，代入數(shù)值得eq\f(3,sin30°)＝eq\f(AC,sin45°)，解得AC＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)8.《九章算術》中記載了一個“折竹抵地”問題，2024年超強臺風“山竹”登陸時再現(xiàn)了這一現(xiàn)象(如圖所示)，不少大樹被大風折斷．某路邊一樹干被臺風吹斷后(沒有完全斷開)，樹干與地面成75°角，折斷部分與地面成45°角，樹干底部與樹尖著地處相距10米，則大樹原來的高度是________米(結(jié)果保留根號)．解析：如圖所示，設樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A，則∠AOB＝75°，∠ABO＝45°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(AB,sin75°)＝eq\f(10,sin60°)，所以OA＝eq\f(10\r(6),3)，AB＝eq\f(15\r(2)＋5\r(6),3)，所以OA＋AB＝5eq\r(2)＋5eq\r(6).答案：5eq\r(2)＋5eq\r(6)三、解答題9．要測量對岸兩點A、B之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C、D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之間的距離．解：如圖所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝eq\r(3)(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，所以BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，所以AB＝eq\r(5)(km)．所以A、B之間的距離為eq\r(5)km.10.如圖所示，某觀測站C在城A的南偏西20°的方向，從城A動身有一條走向為南偏東40°的馬路，在C處觀測到距離C處31km的馬路上的B處有一輛汽車正沿馬路向A城駛?cè)ィ旭偭?0km后到達D處，測得C，D兩處的距離為21km，這時此車距離A城多少千米？解：在△BCD中，BC＝31km，BD＝20km，CD＝21km，由余弦定理得cos∠BDC＝eq\f(BD2＋CD2－BC2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7).所以cos∠ADC＝eq\f(1,7)，所以sin∠ADC＝eq\r(1－cos2∠ADC)＝eq\f(4\r(3),7).在△ACD中，由條件知CD＝21km，∠BAC＝20°＋40°＝60°，所以sin∠ACD＝sin(60°＋∠ADC)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(5\r(3),14).由正弦定理得eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(CD,sin∠BAC)，所以AD＝eq\f(21,\f(\r(3),2))×eq\f(5\r(3),14)＝15(km)．故這時此車距離A城15km.B級實力提升1．如圖所示，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A—C—B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車干脆沿直線AB行駛．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走(結(jié)果精確到0.1km；參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)()A．3.4km B．2.3km C．5km D．3.2km解析：過點C作CD⊥AB，垂足為D.在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10(km)，CD＝eq\f(1,2)AC＝5(km)，AD＝AC·cos30°＝5eq\r(3)(km)．在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)，BC＝eq\f(CD,sin45°)＝5eq\r(2)(km)．AB＝AD＋BD＝(5eq\r(3)＋5)(km)，AC＋BC－AB＝10＋5eq\r(2)－(5eq\r(3)＋5)＝5＋5eq\r(2)－5eq\r(3)≈5＋5×1.41－5×1.73≈3.4(km)．答案：A2．我艦在島A南偏西50°相距12海里的B處發(fā)覺敵艦正從島A沿北偏西10°的方向以每小時10海里的速度航行，若我艦要用2小時追上敵艦，則速度為________海里/時．解析：由題可得下圖．不妨設我艦追上敵艦時在C點．則AC＝20，∠BAC＝120°，AB＝12，所以BC2＝122＋202－2·12·20·cos120°＝282，所以BC＝28，所以速度v＝eq\f(28,2)＝14(海里/時)．答案：143．如圖所示，港口B在港口O正東方向120海里處，小島C在港口O北偏東60°方向，且在港口B北偏西30°方向上．一艘科學家考察船從港口O動身，沿北偏東30°的OA方向以20海里/時的速度行駛，一艘快艇從港口B動身，以60海里/時的速度駛向小島C，在C島裝運補給物資后給考察船送去．現(xiàn)兩船同時動身，補給物資的裝船時間為1小時，則快艇駛離港口B后，最少要經(jīng)過多少小時才能和考察船相遇？解：設快艇駛離港口B后，經(jīng)過x小時，在OA上的點D處與考察船相遇．如圖所示，連接CD，則快艇沿線段BC，CD航行．在△OBC中，由題意易得∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，因為BO＝120，所以