2024年高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)真題分類匯編：立體幾何初步（原卷版）（新教材）

立體幾何初步

考點(diǎn)一：簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積

1.（2023?北泉）已知二棱柱ABC-的體積為12,則二棱錐的體積為（）

A.3B.4C.6D.8

2.（2023?河北）將一塊棱長(zhǎng)為60cm的正方體石塊，磨制成一個(gè)球形石塊，則最大球形石塊的體積是（取

兀=3）（）

A.864000cm3B.108000cm3C.10800cm3D.5400cm3

3.（2023春?福建）已知球體。的半徑為2,則球體。的表面積為（）

A.4兀B.8兀C.16KD.32兀

4.（2022?北京）如圖，在直三棱柱ABC-4耳￡中，ASC是等腰直角三角形.若山?=AC=4,明=3,

5.（2022春?天津）已知圓錐的底面半徑是1,高是2,則這個(gè)圓錐的體積為（）

6.（2021?北京）如圖，在三棱錐尸—ASC中，尸C_L平面ABC,AC±BC,AC=BC=2,PC=3,則三棱

7.（2021春?天津）如圖，圓柱0'0的底面半徑是2,高是3,則這個(gè)圓柱的體積是（）

C.4兀D.12K

8.（2023?山西）在三棱錐A-5CD中，平面BCD,AB=CD=4,則三棱錐A-58的外接球的表

面積的最小值為（）

112K

A.16KB.32兀D.64兀

9.（2022春,浙江）某廣場(chǎng)設(shè)置了一些石凳供大家休息，每個(gè)石凳都是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得

到的（如圖，從棱的中點(diǎn)截）.如果被截正方體的棱長(zhǎng)是4（單位：dm）,那么一個(gè)石凳的體積是（單

位：dm3）.

10.（2022春?貴州）已知長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為1,插，底,則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（結(jié)

果用含乃的式子表示）

11.（2021春?福建）半徑為1的球的體積為.

12.（2021秋?青海）如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上下底面及母線均相切，已知圓柱的底面半

徑為3,則圓柱的體積為.

考點(diǎn)二：空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

1.（2023?北京）四棱錐P-ABC。如圖所示，則直線PC（）

A.與直線AO平行B.與直線相交

C.與直線8D平行D.與直線8。是異面直線

2.（2023?河北）已知根，〃是兩條不同的直線，。是平面，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

A.若加」a,nLa,則:〃//"B.若〃?//（z,nila,則相〃"

C.若〃z_L〃，則〃〃aD.若機(jī)，〃與a所成的角相等，則加//〃

3.（2023?山西）已知三條不重合的直線加，W，I,三個(gè)不重合的平面/,貝！J（）

A.若m//n,"ua,則mlla

B.若/_La,rna/3,/1m,則a〃￡

C.若a_Ly,/3Ly,ar\/3=l,貝

D.若根ua,”ua,mlIp,nll/3,則

4.（2023?江蘇）已知直線/平面a,直線機(jī)u平面a,則/與優(yōu)不可能（）

A.平行B.相交C.異面D.垂直

5.（2023春?浙江）下列說(shuō)法正確的是（）

A.一個(gè)平面里有三個(gè)不同的點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，則這兩個(gè)面平行

B.和同一條直線都相交的兩條直線一定相交

C.經(jīng)過(guò)空間中三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面

D.經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面

6.（2023春?福建）已知四棱錐S-ABC。底面為正方形，平面A3CD,則（）

B

A.SBYSCB.SD1AB

C.SA_L平面A5CDD.N/平面SBC

7.（2023?廣東）已知a和夕是兩個(gè)不同平面，A-.aH/3,8:a和￡沒(méi)有公共點(diǎn)，則A是8的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2023春?新疆）已知直線a和兩個(gè)不重合的平面a,",則下列命題正確的是（）

A,若“〃a,au4,則a〃尸B,若a_La,aJ_方，則

C.若a〃氏a〃尸，則a〃/D.若a〃a,a1°,則a_L/7

9.（2022?北京）在空間中，設(shè)私〃是不同的直線，是不同的平面，則下形命題中真命題是（）

A.若根//a,w//a,則相〃"B.若m_Lc,則相〃”

C.若mllajnlI/3,則a〃/?D.若mllajnu/3,同a/10

10.（2022秋?廣東）已知直線加與平面。，則下列結(jié)論成立的是（）

A.若直線加垂直于平面。內(nèi)的一條直線，則根_L（z

B.若直線加垂直于平面。內(nèi)的兩條直線，則

C.若直線加平行于平面々內(nèi)的一條直線，則機(jī)//?

D.若直線加與平面。沒(méi)有公共點(diǎn)，則根//￡

11.（2022春?廣西）如圖，正方體ABC。-A耳￡。中，E,F分別是瓦G，RG的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正解的

A.EF±BDB.EF//BDC.EF與5。相交D.E尸與BQ相交

12.（2022春?貴州）如圖，在正方體ABCO-ABC。中，直線AB與RC的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行C.異面不垂直D.異面垂直

13.（2021秋?浙江）已知平面內(nèi)"和直線/,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若/〃a,/〃6，則c//夕B,若I!/aJu/3,則a//￡

C.若/J_a,/u￡,則ar_L/?D.若/_La,則。_!_/

14.（2021春?貴州）如圖，正方體中，E為的中點(diǎn)，則下列直線中與平面AEC平行

C.BDtD.EO

15.（2021秋?貴州）如圖，在正方體A8CD-A/8/G功中，直線BQ與平面D4A/。/的位置關(guān)系是（）

A.直線BG與平面D4A2平行

B.直線BG與平面9以2垂直

C.直線BG與平面D招2相交但不垂直

D.直線BG在平面。嵋。

16.（多選）（2021?湖北）已知/，機(jī)是平面a外的兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）

A.若///a,mlla,則〃/B.若/_La,mlla,貝!)/_!_加

C.若/_La,/±m(xù),則7"〃aD.若/_L/w,mlla,則/_La

17.（2023?北京）如圖，在正方體ABCD-ABCQI中，。是正方形A8CD及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.給出

下列三個(gè)結(jié)論：

?VPeQ,A}P>\A.

@BPeQ,4尸〃用C；

③WPeQ,AP與8c不垂直.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

18.（2022春?廣西）如圖，在三棱錐P-ABC中，PAL底面ABC,ZACB=90°,則這個(gè)三棱錐的四個(gè)面中,

是直角三角形的個(gè)數(shù)有一個(gè).

19.（202”北京）如圖，在正方體ABCO-ABCR中，E是BC1的中點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)論:

①〃平面AD2A；

②BC,1DE.

③線段B3的長(zhǎng)度大于線段DE的長(zhǎng)度.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

考點(diǎn)三：異面直線所成角

1.（2023春?湖南）如圖，在正方體ABCD-ABCiA中，異面直線AC與qA所成的角為（）

2.（2023?云南）在正方體4BCD-ABGA中，異面直線AC與4。所成角的大小為（）

3.（2021春?河北）如圖，在正方體中，E,P分別是AB,CG的中點(diǎn)，則異面直線屏與

A-TB-Tc?乎D-f

4.（2021秋?浙江）如圖，正方體ABC。-AgGA中，E,尸分別為棱G2,AD的中點(diǎn)，則異面直線DE與

AF所成角的余弦值是（）

43_3回

A.-B.一C.-------D

5510-f

5.（2021春?福建）如圖的正方體ABC。-44clp中，異面直線AA與2C所成的角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

考點(diǎn)四：直線與平面所成角

1.（2023?江蘇）如圖，正方體ABC。-4與G"中，直線BO】與平面ABCQ所成角的正切值為（）

A.1B.3C.顯D.在

223

2.（2022秋?浙江）如圖，正方體A3cO-A4GA中，N是棱。2的中點(diǎn)，則直線CN與平面。月四口所成

岳

ARMLr?---------

-I55

3.（2021秋?浙江）如圖，在三棱錐O-ABC中，AB=BC=CD=DA,/ABC=90°,E,EO分別為棱

8C,￡）AAC的中點(diǎn)，記直線E尸與平面3OD所成角為6,則夕的取值范圍是（）

7171nn

c.“5D.?，-2

4.（2021秋?貴州）如圖，在三棱錐尸-ABC中，24,底面ABC,PA=ACf則直線PC與平面ABC所

成角的大小為

B.45

C.60D.90

考點(diǎn)五：二面角

1.（2023,河北）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABC。為矩形，尸CD是等邊三角形，平面PCD,底

面ABC。，AD=3,四棱錐P-A8co的體積為18vLE為PC的中點(diǎn).平面上4B與平面ABC。所成二面角

的正切值是（）

考點(diǎn)六：立體幾何解答題

1.（2023?北京）閱讀下面題目及其解答過(guò)程.

如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，ABJ.AC,D,E分別為BC,A片的中點(diǎn).

（1）求證：。石//平面$4^6；

（2）求證：AB.LDE.

解：（1）取AG的中點(diǎn)/，連接EF,FC,如圖所示.

在△ABiG中，E,尸分別為44，AG的中點(diǎn)，

所以E尸//BG，EF=^BiCl.

由題意知，四邊形4BC四為①.

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，所以。c〃4G，oc=；AG.

所以EF//DC,EF=DC.

所以四邊形0cPE為平行四邊形，

所以DE//CF.

又⑵，CFu平面AAC￡,

所以，￡見(jiàn)//平面44^；

（2）因?yàn)锳BC-A瓦G為直三棱柱，所以AA，平面A8C.

又ABu平面ABC,所以③.

因?yàn)锳B/AC,且AAIAC=A,所以⑷.

又CPu平面AACG，所以AB_LCF.

因?yàn)棰?，所?/p>

以上題目的解答過(guò)程中，設(shè)置了①?⑤五個(gè)空格，如下的表格中為每個(gè)空格給出了兩個(gè)選項(xiàng)，其中只有一

個(gè)符合邏輯推理.請(qǐng)選出符合邏輯推理的選項(xiàng)，并填寫(xiě)在答題卡的指定位置（只需填寫(xiě)"A"或"B"）.

空格序號(hào)選項(xiàng)

①A.矩形B.梯形

②A.平面AACGB.DEu平面AACG

③A.BC1B.AB±

④A.ABI平面AACGB.3C7,平面AACC]

⑤A.DE=CFB.DE//CF

2.（2023?山西）如圖所示，三棱柱ABC-A用￡,底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱懼，底面ABC,點(diǎn)

E,尸分別是棱CG，8片上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，EC=2FB=2.

（1）求證〃平面AEF；

（2）求BM與EF所成角的余弦值.

3.（2023?江蘇）如圖，三棱錐尸-ABC的底面A3C和側(cè)面P3C都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別

是AB,8C的中點(diǎn)，PNLAN.

p

⑴證明：MN〃平面B4C；

(2)求三棱錐P-ABC的體積.

4.（2023春?福建）如圖，長(zhǎng)方體,AB=2,BC=CCl=\.

⑴求三棱錐C「BCD的體積;

(2)證明：瓦2〃平面GB。.

5.(2023春?湖南)如圖，尸為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面圓的圓心，AC為底面圓的直徑，8是底面圓周上不

同于A,C的任意一點(diǎn)，點(diǎn)。，E分別為母線尸8,PC的中點(diǎn).

p

B

（1）求證：DE//平面ABC；

⑵若PO=2,AB=BC=?，求圓錐PO的體積.

6.（2023?廣東）如圖，圓的直徑為AB=4,直線PA垂直圓所在的平面，C是圓上的任意一點(diǎn).

(1)證明面PAC；

(2)若PA=20,4C=2,求PB與面PAC的夾角.

7.（2023,云南）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD_L平面ABCD,=拒.

s

二我c

/

⑴求四棱錐S-ABCD的體積;

(2)求證：AC1_平面S3Z).

8.(2023春?新疆)在三棱錐P-ABC中，上4,底面ABC,ABJ.BC,E,尸分別是BC,PC的中點(diǎn).

B

⑴證明：EF〃平面PAB；

(2)證明防工3c.

9.(2022?北京)閱讀下面題目及其解答過(guò)程.

如圖，已知正方體ABCD-ABQA.

(I)求證：AC±BDI；

(II)求證：直線烏。與平面MC不平行.

解：(I)如圖，連接824，.

因?yàn)锳BCD-A4G，為正方體，

所以平面ABCD.

所以①.

因?yàn)樗倪呅蜛3CD為正方形，

所以②.

因?yàn)锳。cBD=D,

所以③.

所以ACLBR.

(II)如圖，設(shè)ACBD=O,連接與O.

假設(shè)〃平面鉆C.

因?yàn)镈[Du平面DlDBBl,且平面ABQ1平面D,DBBl=④

所以⑤.

又D\DHB、B,

這樣過(guò)點(diǎn)耳有兩條直線用。，瑪2都與2。平行，顯然不可能.

所以直線與平面AB.C不平行.

以上題目的解答過(guò)程中，設(shè)置了①?⑤五個(gè)空格，如下的表格中為每個(gè)空格給出了兩個(gè)選項(xiàng)，其中只有一

個(gè)符合推理，請(qǐng)選出符合推理的選項(xiàng)，并填寫(xiě)在答題卡的指定位置(只需填寫(xiě)"A"或"B").

空格序號(hào)選項(xiàng)

①A.D.D±ACB.D{DLBD

②A.AB1BCB.AC1BD

③A.BD1平面的。B.AC_L平面RO84

④A.BQB.B\B

⑤A.DQ//BQB.%。與瓦。為相交直線

10.（2022秋?廣東）如圖，PA是圓柱的母線，42是底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A.2的一點(diǎn),

且PA=AC=8C=2.

（1）求證：3c1平面E4C

⑵若“是尸C的中點(diǎn)，求三棱錐B-ACM的體積.

11.（2022秋,福建）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC_L平面A3C,AC，BC

p

A

(1)求證：PAIBC-,

(2)若PA=PC=BC=2,/A4C=30,求三棱錐尸-ABC的體積.

12.（2022春?天津）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面是正方形，平面ABC。，M,N分別是BC,PC

的中點(diǎn).

⑴求證：肱V〃平面尸

（2）求證：ACl5P?PDB.

13.（2022?山西）如圖，在直四棱柱ABC￡>-4B]GR中，底面A3CD為菱形，E為。2中點(diǎn).

D

Cl）求證：8,//平面ACE；

（2）求證：BD}±AC.

14.（2022春?浙江）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是梯形，AB//CD,ADYAB,

A8=AD=尸O=gc。,尸平面ABCD,點(diǎn)M是棱尸C上的一點(diǎn).

（1）若PC=3PM,求證：PA/平面MBD；

⑵若〃是PC的中點(diǎn)，求二面角M-BD-C的余弦值.

15.（2022?湖南）在直三棱柱ABC-A瓦G中，AB=AC,。為BC中點(diǎn).

A\

Bi

(1)求證：AD_L平面BCC14；

(2)若AB=8C=2,A4,=3,求四棱錐A-BCC^的體積.

16.(2022春?廣西)如圖，AB是底面的直徑，C為。上異于A、B的點(diǎn)，PC垂直于；。所在平面,

D、￡分別為H4、PC的中點(diǎn).

(1)求證：DEW平面ABC.

(2)求證：平面平面P8C.

17.(2022春?貴州)如圖，直三棱柱4BC-4月￡中，AB=BC=acq=2,ABLBC,M為棱CG上一

⑴求三棱錐c-A瓦G的體積;

⑵求證：

18.（2021?北京）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A3CD是正方形,PD_L平面A3CD

⑴求證：3c〃平面PAD；

⑵求證：AC_L平面P8D.

19.（2021春?天津）如圖，長(zhǎng)方體ABCO-ABIGA中，底面ABC。是正方形.

⑴求證：BQ〃平面8Z）G；

（2）求證：4。一平面ACGA.

20.（2021秋?吉林）如圖，三棱柱ABC-A4G中，44,_L平面ABC,AB=3,AC=4,BC=5.

（1）求證：AB工平面ACCM；

⑵若異面直線B耳與AC所成的角為30。，求三棱柱ABC-AAG的體積.

21.（2021?吉林）如圖，在正方體ABCD-A4GA中，E、P分別為。Q、CQ的中點(diǎn).

(1)求證：AC1BD,；

(2)求證：AE//平面BFDt,

22.（2021春?福建）如圖，在三棱錐P-AB