陜西省榆林市神木市第四中學2024-2025學年高二上學期第一次檢測考試數(shù)學試題（解析版）

神木四中2024~2025學年度第一學期高二第一次檢測考試數(shù)學全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結束后，請將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內容：必修第二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算的基本概念和性質，即可求出結果．【詳解】由題意可知,，故選B．【點睛】本題主要考查了復數(shù)的基本性質，屬于基礎題．2.已知向量，，若，則（）A.1或 B.或2 C.1或 D.或【答案】A【解析】【分析】運用向量平行的坐標表示求解即可.【詳解】由，有，解得或．故選：A.3.已知復數(shù)為虛數(shù)單位，則“”是“復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)對應點在第一象限的條件為實部虛部都大于零，解得,然后根據(jù)充分、必要條件的概念，判定即可.【詳解】若復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限，必有，可得.“a>0”是“”的必要不充分條件，∴“a>0”是“復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限”的必要不充分條件.故選：B.4.已知隨機事件和互斥，和對立，且，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】D【解析】【分析】利用對立事件概率公式和互斥事件加法公式計算即可.【詳解】由和對立，，可得，解得，又由隨機事件和互斥可知，由，將代入計算可得.故選：D.5.如圖所示，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則該圓柱的表面積與球的表面積之比為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設球的半徑為，根據(jù)公式分別求出球的表面積和圓柱的表面積的表達式，求出兩者比值即可.【詳解】設球的半徑為R，所以球的表面積.圓柱表面積，所以該圓柱的表面積與球的表面積之比.故選：C.6.為做好“甲型流感”傳染防控工作，某校堅持每日測溫報告，以下是高三（一）班，高三（二）班各10名同學的體溫記錄（從低到高）：高三（一）班:36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（單位:℃），高三（二）班:36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1（單位:℃）則高三（一）班這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)和高三（二）班第80百分位數(shù)分別為（）A.36.3，36.7 B.36.3，36.8 C.36.25，36.7 D.36.25，36.8【答案】B【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義進行求解.【詳解】，故從小到大，選取第3個數(shù)據(jù)作為高三（一）班這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)，即36.3；，故從小到大，選取第8個和第9個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為第80百分位數(shù)，即.故選：B．7.已知數(shù)據(jù)1，2，3，5，m（m為整數(shù)）的平均數(shù)是極差的倍，從這5個數(shù)中任取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)之和不小于7的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過分類討論得出，再由古典概率公式求解．【詳解】當時，，得（舍），當時，，得，當時，，得（舍），，從1，2，3，5，4中任取2個數(shù)結果:共10種，符合題意，共4種，所以概率為．故選：A．8.《易經(jīng)》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田，已知正八邊形的邊長為，點是正八邊形的內部（包含邊界）任一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】延長交于點，延長交于點，轉化為求的最值，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得的范圍．【詳解】延長交于點，延長交于點，如圖所示：根據(jù)正八邊形的特征，可知，又，所以，，則的取值范圍是.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.從裝有3個紅球和3個黑球的口袋內任取兩個球，則下列說法正確的是（）A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”是互斥而不對立的事件B.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”不是互斥事件C.“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”是互斥而且是對立的事件D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”是對立事件【答案】BD【解析】【分析】由互斥事件及對立事件的定義進行依次判斷．【詳解】“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”與“都是黑球”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故A錯誤；“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”，“至少有一個紅球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個紅球”，可以同時發(fā)生，故B正確；“恰好有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球”，與“恰好有兩個黑球”，不同時發(fā)生，還有可能都是紅球，不是對立事件，故C錯誤；“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”，與“都是紅球”，不同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，是對立事件，故D正確．故選：BD．10.已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】BC【解析】【分析】選項A，根據(jù)條件得到或，即可求解；選項B，由，，得到或，再由面面垂直的判定定理即可求解；選項C，由面面平行的性質，即可求解；選項D，在正方體中，通過特例，即可求解.【詳解】對于選項A，若，，則或，所以選項A錯誤；對于選項B，若，，則或，又，則，所以選項B正確；對于選項C，若，，則，所以選項C正確；對于選項D，在正方體中，平面平面，平面平面，平面平面，但，所以選項D錯誤.故選：BC.11.在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，則下列說法正確的是（）A.若，則是等腰三角形B.若，則C.若，則是鈍角三角形D.若不是直角三角形，則【答案】BCD【解析】【分析】由正弦定理及余弦定理判斷A,B,C項，由兩角和的正切公式判斷D項．【詳解】因為，由正弦定理得，即，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；由正弦定理得，故B正確；因為，由正弦定理得，所以，所以，所以是鈍角三角形，故C正確；由不是直角三角形且，得，所以，故D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則__________．【答案】##【解析】【分析】由復數(shù)的除法運算及模運算求解．詳解】，故．故答案為：13.在中，，若此三角形恰有兩解，則BC邊長度的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】依題意得，由求解【詳解】若恰有兩解，則，解得，即邊長度的取值范圍為．故答案為：14.已知，，為球的球面上的三個點，若，，球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為___________．【答案】【解析】【分析】首先求出球的半徑，依題意可得的外接圓的半徑為，即可求出點到平面的距離，設，由勾股定理可得，利用基本不等式求出的最大值，即可得解.【詳解】設球的半徑為，則，所以，因為，所以的外接圓的半徑為，所以點到平面的距離為，設，則，所以，當且僅當時等號成立，所以三棱錐的體積的最大值為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.已知向量．（1）求；（2）設向量的夾角為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由求出，從而可求出的坐標，進而可求出模；（2）直接利用向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】由可得，，即，所以，所以；【小問2詳解】因為，所以．16.近期九江市各部門掀起創(chuàng)建文明城市高潮，為增強師生創(chuàng)建全國文明城市意識，某校組織了一次教師創(chuàng)建全國文明城市知識考核，每位教師必需參加且最多參加次考核，一旦第一次考核通過則不再參加第二次考核，次考核未通過的教師將被扣除文明積分.已知教師甲每次考核通過的概率為，教師乙每次考核通過的概率為，且甲乙每次是否通過相互獨立.（1）求乙通過考核的概率；（2）求甲乙兩人考核的次數(shù)和為的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)互斥事件分類再結合獨立事件概率求解；（2）根據(jù)互斥事件分類再結合獨立事件概率求解.【小問1詳解】乙第一次考核通過的概率，乙第二次考核通過的概率為，乙通過考核的概率為；【小問2詳解】甲考核1次，乙考核2次的概率；甲考核2次，乙考核1次的概率；甲乙兩人的考核次數(shù)和為3的概率.17.為了做好下一階段數(shù)學的復習重心，某中學研究本校高三學生在市聯(lián)考中的數(shù)學成績，隨機抽取了位同學的數(shù)學成績作為樣本（成績均在內），將所得成績分成7組：80,90，，，，，，，整理得到樣本頻率分布直方圖如圖所示：（1）求的值，并估計本次聯(lián)考該校數(shù)學成績的中位數(shù)和平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）（2）從樣本內數(shù)學分數(shù)在，的兩組學生中，用分層抽樣的方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機選出3人進行數(shù)學學習經(jīng)驗的分享，求選出的3人中恰有一人成績在中的概率.【答案】（1），平均數(shù)為，中位數(shù)；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1，即可求解出；再用每一組區(qū)間的中點值代表該組數(shù)據(jù)，分別乘以每個小矩形的面積，計算平均數(shù)；最后計算中位數(shù)，即將頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分的分界線與軸交點的橫坐標.（2）分別求出在區(qū)間，內抽取的人數(shù)，再利用列舉法結合古典概型概率公式即可求解.【小問1詳解】由題意知，解得，所以數(shù)學成績的平均數(shù)為由頻率分布直方圖知，分數(shù)在區(qū)間、內的頻率分別為0.34，0.62，所以該校數(shù)學成績的中位數(shù)，則，解得；【小問2詳解】由題意知，抽取的5人中，分數(shù)在內的有（人），在內的有1人，記在內的4人為，，，，在內的1人為，從5人中任取3人，有，，，，，，，，，，共10種選法，選出的3人中恰有一人成績在中，有，，，，，，共6種選法，所以選出3人中恰有一人成績在中的概率是.18.如圖，已知扇形OAB的半徑為2，，P是上的動點，M是線段OA上的一點，且．（1）若，求PM的長；（2）求的面積最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得，利用平方關系求出，再由兩角差的正弦得到，最后由正弦定理可得答案；（2）設，由余弦定理得，再利用基本不等式得可得答案．【小問1詳解】在中，由余弦定理得，又，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以；【小問2詳解】設，則在中，由余弦定理得，即，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，即的面積最大值為．19.如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，是棱上的一點.（1）若，求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）結合相似三角形的判定定理和性質、線面平行的判定定理進行證明即可；（2）根據(jù)線面角的定義找出直線與平面所成角，即可求解.【小問1詳解】連接，交于點，連接，如圖所示因為，易得，所以，又，，所以，又平面平面，所以平面；【小問2詳解】取中點，連接交于點，連接，則，且，所以四邊形是平行四邊形，為中點，.因為平面，所以直線是直線在平面內射影，所以是直線與平面所成的角，即為直線與平面所成角的平面角.如圖所示，過點作，垂足為，連接，因為