2023-2024學年山東省泰安市岱岳區(qū)七年級（下）期末數(shù)學試卷（五四學制）

第1頁（共1頁）2023-2024學年山東省泰安市岱岳區(qū)七年級（下）期末數(shù)學試卷（五四學制）一、選擇題（本小題共10個小題，每小題4分，共40分）1．（4分）下列說法不正確的是（）A．買一張電影票，座位號為奇數(shù)是不確定事件 B．連續(xù)拋5次硬幣，至少有一次國徽面朝上 C．從一個裝有2個紅球，2個白球的密閉盒子里任取一個球，取出的球的顏色是紅球或白球是等可能事件 D．擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)是2的倍數(shù)的可能性大于擲出的點數(shù)是3的倍數(shù)的可能性．2．（4分）若a＞b，則下列不等式中成立的是（）A．a(chǎn)﹣5＞b﹣5 B． C．a(chǎn)+5＜b+5 D．﹣a＞﹣b3．（4分）某商場為吸引顧客設計了如圖所示的自由轉(zhuǎn)盤，當指針指向陰影部分時，該顧客可獲獎品一份，那么該顧客獲獎的概率為（）A． B． C． D．4．（4分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．5．（4分）如圖，直線l∥m，等邊△ABC的兩個頂點A，B分別在直線l和m上，若∠CAD＝27°，則∠CBE的度數(shù)是（）A．27° B．33° C．63° D．73°6．（4分）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，成書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行．問人與車各多少？設有x人，y輛車，可列方程組為（）A． B． C． D．7．（4分）如圖所示，一次函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）與正比例函數(shù)y＝mx（m是常數(shù)，m≠0）的圖象相交于點M（1，2），下列判斷錯誤的是（）A．關于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 B．關于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＞1 C．當x＜0時，函數(shù)y＝kx+b的值比函數(shù)y＝mx的值大 D．關于x，y的方程組的解是8．（4分）如圖，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A，C到直線l的距離分別是1和2，則正方形ABCD的面積是（）A．5 B．2 C． D．39．（4分）某商場促銷，小魚將促銷信息告訴了媽媽，小魚媽媽假設某一商品的定價為x，并列出不等式為0.7×（2x﹣100）＜1000，那么小魚告訴媽媽的信息是（）A．買兩件等值的商品可減100元，再打3折，最后不到1000元 B．買兩件等值的商品可打3折，再減100元，最后不到1000元 C．買兩件等值的商品可減100元，再打7折，最后不到1000元 D．買兩件等值的商品可打7折，再減100元，最后不到1000元10．（4分）如圖，在△ABC中，以點A為圓心，AC的長為半徑作弧，與BC交于點E，分別以點E和點C為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線AP交BC于點D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，則∠BAE的度數(shù)為（）A．15° B．25° C．30° D．35°二、填空題（本小題共6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）一個口袋中有紅球、白球共20個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻，從中任意摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了400次球，發(fā)現(xiàn)180次摸到紅球，則這個口袋中紅球的個數(shù)約為個．12．（4分）如圖，直線a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，則∠2的度數(shù)為．13．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，點D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，BC＝．14．（4分）《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木根部8尺處時繩索用盡．問繩索長是多少？設繩索長為x尺，可列方程為．15．（4分）若關于x的不等式組有且僅有兩個整數(shù)解，則a的取值范圍為．16．（4分）如圖所示，點A1，A2，A3，…在x軸上，點B1，B2，B3，…在直線上．已知B1O＝B1A2，B1A1⊥x軸，A2B1∥A3B2∥A4B3，…，A1B1∥A2B2∥A3B3，OA1＝1，則B6的坐標為．三、解答題（本大題共8個小題，共86分）17．（12分）（1）解不等式：；（2）解不等式組：．18．（12分）解方程組：（1）．（2）．19．（6分）在一個不透明的袋子中裝有5個紅球和10個黃球，這些球除顏色外都相同，將袋子中的球充分搖勻后，隨機摸出一球．（1）求出摸出的球是黃球的概率；（2）為了使摸出兩種球的概率相同，再放進去9個同樣的紅球或黃球，那么這9個球中，紅球和黃球的數(shù)量分別應是多少？20．（10分）△ABC中，DF垂直平分線段AB，交AB于點D，EF垂直平分線段BC，交BC于點E，D與EF的交點F恰好在△ABC的一邊AC上．（1）求證：F是AC的中點；（2）求證：EF∥AB．21．（10分）某工作室制作工藝品并出售，當該工藝品的數(shù)量在60個以內(nèi)時，該工作室制作的這種工藝品都能全部售完．圖中的線段AB，OC分別表示該工作室每天的成本y1（單位：元），收入y2（單位：元）與銷售量x（單位；）個）之間的函數(shù)關系．求該工作室一天制作工藝品超過多少個時開始盈利？22．（10分）如圖，是由邊長為1個單位的正方形組成的小方格平面，線段AB的兩個端點在小方格的格點上（小正方形的頂點），請你在該方格平面內(nèi)僅用直尺畫出一條線段BC，使AB＝BC且AB⊥BC，垂足為點B，并證明作圖合理的原因．23．（12分）近年來，電動自行車成為人們短距離出行的重要交通工具，但也存在較大安全隱患，騎行時合理佩戴頭盔可有效降低安全隱患．某商店購進甲種頭盔30個，乙種頭盔20個共花費2700元、已知3個甲種頭盔的總錢數(shù)與4個乙種頭盔的總錢數(shù)相等．（1）求甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？（2）商店第一次進貨很快售完，決定再次購進兩種型號的頭盔80個，且所購甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的2倍，求商店第二次購進頭盔最少花費多少錢？24．（14分）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上的一動點（點D不與點B、C重合），以AD為邊作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，連接CE．問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當點D在邊BC上時，（1）請寫出BD和CE之間的位置關系為，并猜想BC和CE、CD之間的數(shù)量關系：．嘗試探究：（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，（1）中BD和CE之間的位置關系、BC和CE、CD之間的數(shù)量關系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的數(shù)量關系，說明理由；拓展延伸：（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，BC＝7，BD＝5，求線段ED的長．

2023-2024學年山東省泰安市岱岳區(qū)七年級（下）期末數(shù)學試卷（五四學制）參考答案與試題解析一、選擇題（本小題共10個小題，每小題4分，共40分）1．（4分）下列說法不正確的是（）A．買一張電影票，座位號為奇數(shù)是不確定事件 B．連續(xù)拋5次硬幣，至少有一次國徽面朝上 C．從一個裝有2個紅球，2個白球的密閉盒子里任取一個球，取出的球的顏色是紅球或白球是等可能事件 D．擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)是2的倍數(shù)的可能性大于擲出的點數(shù)是3的倍數(shù)的可能性．【解答】解：A、“買一張電影票，座位號為奇數(shù)”是隨機事件，屬于不確定事件，不符合題意；B、“連續(xù)拋5次硬幣，至少有一次國徽面朝上”是隨機事件，符合題意；C、“從一個裝有2個紅球，2個白球的密閉盒子里任取一個球，取出的球的顏色是紅球或白球”是等可能事件，不符合題意；D、擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)是2的倍數(shù)的可能性為，擲出的點數(shù)是3的倍數(shù)的可能性為，故原說法正確，不符合題意；故選：B．2．（4分）若a＞b，則下列不等式中成立的是（）A．a(chǎn)﹣5＞b﹣5 B． C．a(chǎn)+5＜b+5 D．﹣a＞﹣b【解答】解：∵不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變，∴a﹣5＞b﹣5，a+5＞b+5，故A正確，C錯誤；∵不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，∴，故B錯誤；∵不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向變，∴﹣a＜﹣b，故D錯誤；故選：A．3．（4分）某商場為吸引顧客設計了如圖所示的自由轉(zhuǎn)盤，當指針指向陰影部分時，該顧客可獲獎品一份，那么該顧客獲獎的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：∵陰影部分占36°，∴陰影部分占整個圓面積的：，該顧客獲獎的概率為：，故選：D．4．（4分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：，解不等式①，得x＜﹣3，解不等式②，得x≤1，所以不等式組的解集是x＜﹣3，在數(shù)軸上表示出不等式組的解集為：，故選：A．5．（4分）如圖，直線l∥m，等邊△ABC的兩個頂點A，B分別在直線l和m上，若∠CAD＝27°，則∠CBE的度數(shù)是（）A．27° B．33° C．63° D．73°【解答】解：∵l∥m，∴∠DAB+∠ABE＝180°，即∠CAD+∠CAB+∠ABC+∠CBE＝180°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝60°，又∵∠CAD＝27°，∴∠CBE＝180°﹣27°﹣60°﹣60°＝33°，故選：B．6．（4分）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學著作，成書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行．問人與車各多少？設有x人，y輛車，可列方程組為（）A． B． C． D．【解答】解：依題意，得：．故選：B．7．（4分）如圖所示，一次函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）與正比例函數(shù)y＝mx（m是常數(shù)，m≠0）的圖象相交于點M（1，2），下列判斷錯誤的是（）A．關于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1 B．關于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＞1 C．當x＜0時，函數(shù)y＝kx+b的值比函數(shù)y＝mx的值大 D．關于x，y的方程組的解是【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）與正比例函數(shù)y＝mx（m是常數(shù)，m≠0）的圖象相交于點M（1，2），∴關于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1，選項A判斷正確，不符合題意；關于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＜1，選項B判斷錯誤，符合題意；當x＜0時，函數(shù)y＝kx+b的值比函數(shù)y＝mx的值大，選項C判斷正確，不符合題意；關于x，y的方程組的解是，選項D判斷正確，不符合題意；故選：B．8．（4分）如圖，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A，C到直線l的距離分別是1和2，則正方形ABCD的面積是（）A．5 B．2 C． D．3【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABE+∠CBF＝90°，又∵∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，又∠AEB＝∠CFB，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE＝CF＝2，∴AB2＝AE2+BE2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面積是5，故選：A．9．（4分）某商場促銷，小魚將促銷信息告訴了媽媽，小魚媽媽假設某一商品的定價為x，并列出不等式為0.7×（2x﹣100）＜1000，那么小魚告訴媽媽的信息是（）A．買兩件等值的商品可減100元，再打3折，最后不到1000元 B．買兩件等值的商品可打3折，再減100元，最后不到1000元 C．買兩件等值的商品可減100元，再打7折，最后不到1000元 D．買兩件等值的商品可打7折，再減100元，最后不到1000元【解答】解：由關系式可知：0.7（2x﹣100）＜1000，由2x﹣100，得出兩件商品減100元，以及由0.7（2x﹣100）得出買兩件打7折，故可以理解為：買兩件等值的商品可減100元，再打7折，最后不到1000元．故選：C．10．（4分）如圖，在△ABC中，以點A為圓心，AC的長為半徑作弧，與BC交于點E，分別以點E和點C為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線AP交BC于點D．若∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，則∠BAE的度數(shù)為（）A．15° B．25° C．30° D．35°【解答】解：由題意可知，AP是EC的垂直平分線，∴AD⊥BC，DE＝CD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠EAD＝∠CAD，∠C＝∠AED，∴∠EAC＝2∠CAD，∵∠C＝2∠CAD，∴∠C＝∠EAC＝∠AED，∴△AEC是等邊三角形，∴∠C＝∠EAC＝∠AED＝60°，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠BAE＝75°﹣60°＝15°．故選：A．二、填空題（本小題共6個小題，每小題4分，共24分）11．（4分）一個口袋中有紅球、白球共20個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻，從中任意摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了400次球，發(fā)現(xiàn)180次摸到紅球，則這個口袋中紅球的個數(shù)約為9個．【解答】解：這個口袋中紅球的個數(shù)約為20×＝9（個），故答案為：9．12．（4分）如圖，直線a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，則∠2的度數(shù)為108°．【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠DCB＝63°，∴∠2＝∠B+∠DCB＝45°+63°＝108°，故答案為：108°．13．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，點D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，BC＝6．【解答】解：∵AB⊥AD，∴∠ABD是直角三角形，∵∠C＝30°，AD＝2，∴BD＝2AD＝4，∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°，∴AD＝CD＝2，∴BC＝BD+CD＝6，故答案為：6．14．（4分）《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木根部8尺處時繩索用盡．問繩索長是多少？設繩索長為x尺，可列方程為（x﹣3）2+64＝x2．【解答】解：設繩索長為x尺，可列方程為（x﹣3）2+64＝x2，故答案為：（x﹣3）2+64＝x215．（4分）若關于x的不等式組有且僅有兩個整數(shù)解，則a的取值范圍為﹣1≤a＜0．【解答】解：解不等式組得：a＜x≤1，∵關于x的不等式組有2個整數(shù)解，為1，0，∴﹣1≤a＜0．故答案為：﹣1≤a＜0．16．（4分）如圖所示，點A1，A2，A3，…在x軸上，點B1，B2，B3，…在直線上．已知B1O＝B1A2，B1A1⊥x軸，A2B1∥A3B2∥A4B3，…，A1B1∥A2B2∥A3B3，OA1＝1，則B6的坐標為（16，8）．【解答】解：當x＝1時，y＝，∴點B1的坐標為（1，），∴A1B1＝，∵B1O＝B1A2，∴△A1B1A2是等腰三角形，∵B1A1⊥x軸，∴A1A2＝OA1＝1，∴OA2＝2OA1＝2，由題意可得出：△OB2A3，△OB3A4，△OB4A5，△OB5A6是等腰三角形，則OA6＝2OA5＝4OA4＝6OA3＝8OA2＝16OA1＝16，把x＝16代入，得y＝8，∴B6（16，8）．故答案為：（16，8）．三、解答題（本大題共8個小題，共86分）17．（12分）（1）解不等式：；（2）解不等式組：．【解答】解：（1）去分母，得：2（x+5）﹣6＞9x+12，去括號，得：2x+10﹣6＞9x+12，移項，得：2x﹣9x＞12﹣10+6，合并同類項，得：﹣7x＞8，系數(shù)化為1，得：x；（2）解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞，解不等式，得：x≥6，∴不等式組的解集為x≥6．18．（12分）解方程組：（1）．（2）．【解答】解：（1），①×3+②，得16x＝10，解得x＝，把x＝代入①，得y＝﹣，故方程組的解為；（2），①×2﹣②×3，得﹣11x＝33，解得x＝﹣3，把x＝﹣3代入①，得﹣15﹣6y＝9，解得y＝﹣4，故方程組的解為．19．（6分）在一個不透明的袋子中裝有5個紅球和10個黃球，這些球除顏色外都相同，將袋子中的球充分搖勻后，隨機摸出一球．（1）求出摸出的球是黃球的概率；（2）為了使摸出兩種球的概率相同，再放進去9個同樣的紅球或黃球，那么這9個球中，紅球和黃球的數(shù)量分別應是多少？【解答】解：（1）∵袋子中裝有5個紅球和10個黃球，∴將袋子中的球充分搖勻后，隨機摸出一球，摸出的球是黃球的概率為．（2）設這9個球中紅球有x個，則黃球為（9﹣x）個，根據(jù)題意得：，解得：x＝7，黃球個數(shù)為：9﹣7＝2（個），答：這9個球中紅球有7個，則黃球為2個．20．（10分）△ABC中，DF垂直平分線段AB，交AB于點D，EF垂直平分線段BC，交BC于點E，D與EF的交點F恰好在△ABC的一邊AC上．（1）求證：F是AC的中點；（2）求證：EF∥AB．【解答】證明：（1）如圖，連接BF，∵DF垂直平分線段AB，交AB于點D，EF垂直平分線段BC，交BC于點E，∴AF＝BF，BF＝CF，∴AF＝BF＝CF，∴F是AC的中點；（2）由（1）知，F(xiàn)是AC的中點，∵EF垂直平分線段BC，∴點E是BC的中點，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AB．21．（10分）某工作室制作工藝品并出售，當該工藝品的數(shù)量在60個以內(nèi)時，該工作室制作的這種工藝品都能全部售完．圖中的線段AB，OC分別表示該工作室每天的成本y1（單位：元），收入y2（單位：元）與銷售量x（單位；）個）之間的函數(shù)關系．求該工作室一天制作工藝品超過多少個時開始盈利？【解答】解：設成本y1與銷售量x之間的函數(shù)關系為y1＝kx1+b1，將點（0，240），（60，480）代入，得，解得：，∴y1＝4x+240，設收入y2與銷售量x之間的函數(shù)關系為y2＝k2x，將點（60，720）代入得，60k2＝720，解得：k2＝12，∴y2＝12x，當該工作室某一天既不盈利也不虧損時，即y1＝y(tǒng)2，∴4x+240＝12x，解得：x＝30，∴若該工作室某一天既不盈利也不虧損，則這天生產(chǎn)工藝品的個數(shù)是30．22．（10分）如圖，是由邊長為1個單位的正方形組成的小方格平面，線段AB的兩個端點在小方格的格點上（小正方形的頂點），請你在該方格平面內(nèi)僅用直尺畫出一條線段BC，使AB＝BC且AB⊥BC，垂足為點B，并證明作圖合理的原因．【解答】解：方法一：如圖，線段BC即為所求．證明：由勾股定理得，AB＝，BC＝，AC＝，∴AB＝BC，AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB＝BC且AB⊥BC．方法二：如圖，將AB繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CB，線段BC即為所求，理由如下：由網(wǎng)格可知：AD＝BE，BD＝CE，AB＝BC，∴△ABD≌△BCE（SSS），∴∠BAD＝∠CBE，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CBE+∠ABD＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．23．（12分）近年來，電動自行車成為人們短距離出行的重要交通工具，但也存在較大安全隱患，騎行時合理佩戴頭盔可有效降低安全隱患．某商店購進甲種頭盔30個，乙種頭盔20個共花費2700元、已知3個甲種頭盔的總錢數(shù)與4個乙種頭盔的總錢數(shù)相等．（1）求甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？（2）商店第一次進貨很快售完，決定再次購進兩種型號的頭盔80個，且所購甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的2倍，求商店第二次購進頭盔最少花費多少錢？【解答】解：（1）設甲種頭盔的單價是x元，乙種頭盔的單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲種頭盔的單價是60元，乙種頭盔的單價是45元；（2）設商店第二次購進m個甲種頭盔，則購進（80﹣m）個乙種頭盔，根據(jù)題意得：m≥2（80﹣m），解得：m≥．∵60＞45，∴甲種頭盔的單價大于乙種頭盔的單價，∴購買甲種頭盔越少，商店第二次購進頭盔的費用越少，又∵m≥，且m為正整數(shù)，∴當m＝54時，商店第二次購進頭盔的費用越少，最少費用為60×54+45×（80﹣54）＝4410．答：商店第二次購進頭盔最少花費4410元．24．（14分）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上的一動點（點D不與點B、C重合），以AD為邊作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，連接CE．問題發(fā)