高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

第八節(jié)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

■他知溟工打牢

1強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識(shí)能否憶起］

1.實(shí)際問題中的有關(guān)概念

⑴仰角和俯角：

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖1）.

⑵方位角：

從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如方點(diǎn)的方位角為。（如圖2）.

（3）方向角：

相對(duì)于某一正方向的水平角（如圖3）

①北偏東?！慵从芍副狈较蝽槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)?！愕竭_(dá)目標(biāo)方向.

②北偏西?！慵从芍副狈较蚰鏁r(shí)針旋轉(zhuǎn)?！愕竭_(dá)目標(biāo)方向.

③南偏西等其他方向角類似.

圖3圖4

⑷坡度：

①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖4,角，為坡角）.

②坡比：坡面的鉛直高度與水平長(zhǎng)度之比（如圖4,，為坡比）.

2.解三角形應(yīng)用題的一般步驟

（1）審題，理解問題的實(shí)際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關(guān)系；

⑵根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題抽象成解三角形模型；

（3）選擇正弦定理或余弦定理求解；

（4）將三角形的解還原為實(shí)際問題，注意實(shí)際問題中的單位、近似計(jì)算要求.

［小題能否全?。?/p>

1.從/處望夕處的仰角為。，從夕處望/處的俯角為￡,貝1J。，￡之間的關(guān)系是（）

A.。＞￡B.。二￡

C.。+￡=90°D.。+￡=180°

答案：B

2.若點(diǎn)/在點(diǎn)C的北偏東30。，點(diǎn)8在點(diǎn)。的南偏東60°,且北=明則點(diǎn)/在點(diǎn)8的（）

A.北偏東15°B.北偏西15°

C.北偏東10°D.北偏西10°

解析：選B如圖所示，

4/3=90°,

又AC=BC、

■.ACBA=45°,

而￡=30°,

a=90°-45°-30°=15°.

，點(diǎn)/在點(diǎn)6的北偏西15°.

3.（教材習(xí)題改編）如圖，設(shè)/、8兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在4/B的同側(cè)，選定

一點(diǎn)C,測(cè)出〃的距離為50m,乙43=45°,乙。6=105。，則/、方一，二LT兩點(diǎn)的距離為

（）-7^^

C4-------A!

A.50\^2mB.5（h/3m

C.25y［2m.25^/^小

解析：選A由正弦定理得

A/2

Af)Xa—

AC*sinAACB2

-----：—3---=-；—=5OJ2r(m)

sinB-------------v

2

4.（?上海高考）在相距2千米的/、夕兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C若乙。與二75°,乙煙二60°,則/、C

兩點(diǎn)之間的距離為千米.

解析：如圖所示，由題意知乙。=45°

W2

由正弦定理得sin60°=sin45°'

2

答案:.

5.（-泰州模擬）一船向正北航行，看見正東方向有相距8海里的兩個(gè)燈塔恰好在一條直線上.繼續(xù)

航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏東60°,另一燈塔在船的南偏東75°,則這艘船每小時(shí)航行

海里.

解析：如圖，由題意知在△466'中，2ACB=15°-60°=15°,B=：.AC=

AB=8.

在入△/%中，OC=AC-sin30°=4.

4

二這艘船每小時(shí)航行=8海里.

2

答案：8

解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形

（D實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定

理求解.

（2）實(shí)際,問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些

三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程

（組）,解方程（組）得出所要求的解.

昌高頻考點(diǎn)耍通關(guān)抓考點(diǎn)|學(xué)技法|得拔高分|掌握程度

測(cè)量距離問題

典題導(dǎo)入

［例1］鄭州市某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地

上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分另U為△

ABC、&ABD,經(jīng)測(cè)量皿=劭=7米，6c=5米，AC=8米，乙C=乙D.

（1）求力8的長(zhǎng)度；

（2）若不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用最低（請(qǐng)說明理由）

［自主解答］(1)在中，由余弦定理得

,Ad+Bd-A百82+52-AS

cosC=_2AJBC=2X8X5'①

在△/劭中，由余弦定理得

Alf+BI^-AB72+72-AB"

cosD=_2AD?BD=2X7X71②

由乙。二乙〃得cosC-cosD.

解得四二7,所以股的長(zhǎng)度為7米.

⑵小李的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用最低.

理由如下：

入11

易知S△板二萬/〃。jS/feinD,S^ABC-~AC*BCsinC,

因?yàn)锳D?BD>AC?BC,且乙。二乙〃，

所以S?AB?SRABC.

故選擇△/回的形狀建造環(huán)境標(biāo)志費(fèi)用較低.

?>一題多變

若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價(jià)為5000元，試求最低造價(jià)為多少？

解：因?yàn)槎醵佣?,所以△/必是等邊三角形，

乙D=60°,ZC=60°.

故S△胞二，。?6小inC-10^/3,

所以所求的最低造價(jià)為5000X10-73=50000福786600元.

由題悟法

求距離問題要注意：

(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則

把未知量放在另一確定三角形中求解.

(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.

以題試法

L如圖所示，某河段的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，—----------在河段的一岸

邊選取兩點(diǎn)人及觀察對(duì)岸的點(diǎn)C測(cè)得乙。6=105°,乙的=45°,且/6=100m.

(1)求sin乙。8的值；<

AB

(2)求該河段的寬度.

解：(l)sin乙CAB=sin105

=sin(60°+45°)

=sin60°cos450+cos60°sin45°

癥

1捶

V23

-X+-乖十木

222一_4-'

⑵因?yàn)橐?8=105°,乙的=45°,

所以4/四=180°-2CAB-乙CBA=30°.

-h,ABBC

由正弦7E理，信sin乙4C8=sin乙CAB

AB.sin105°

=50(^6+72)(m).

貝1JBC=-sin30°

如圖所示，過點(diǎn)C作垂足為〃則切的長(zhǎng)就是該河段的寬度.在

BDC中、

CD^BC.'sin45°=50(m+鏡)X坐=50(/+1)(m).

所以該河段的寬度為50(m+l)m.

3測(cè)量高度問題

典題導(dǎo)入

［例2］(?九江模擬)如圖，在坡度一定的山坡月處測(cè)得山頂上/C一建筑物

&D頂前進(jìn)/米到

。(切所在.的直線與地平面垂直)對(duì)于山坡的斜度為a,從4處向山

達(dá)6后，又測(cè)得切對(duì)于山坡的斜度為￡,山坡對(duì)于地平面的坡角為產(chǎn)1--------%0-

⑴求8c的長(zhǎng)；

⑵若1=24,ff=15°,￡=45°,6=30°,求建筑物切的高度.

［自主解答］(1)在中，乙ACB=8-a,

根據(jù)正弦定理得sin乙BAC=sinLACB

7sinQ

所以.二市

B-a

7sinQ24Xsin15°廠…

⑵由⑴知藥sin…sin30°=12z(r#-p米.

,兀2兀\3

在△比7?中，ABDC=—+—IT=—r~,sin乙BDC=g\

根據(jù)正弦定理得sin乙BDC=sin乙CBD

所以0=24-84米.

由題悟法

求解高度問題應(yīng)注意：

(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾

角；

(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；

(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用.

以題試法

2.(?西寧模擬)要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔47的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂/的仰角是45。，在。點(diǎn)

測(cè)得塔頂/的仰角是30°,并測(cè)得水平面上的485=120。，67)=40m,求電視塔的高度.

解：如圖，設(shè)電視塔居高為xm,14

則在中，由乙/四=45°得在Rt△/龐中，乙ADB=30°,

則切=@B

c

在△劭C中，由余弦定理得，

初=初+5一2宛?Wcos120°,

即（小4=/+402-2??40?cos120

解得x=40,所以電視塔高為40米.

測(cè)量角度問題

典題導(dǎo)入

[例3](?太原模擬)在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12

nmile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10nmile的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若偵察艇以每

小時(shí)14nmile的速度，沿北偏東45。+a方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方

偵察艇所需的時(shí)間和角。的正弦值.

A

［自主解答］如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過X小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇,

則〃=14x,BC=10^,4W=120°.

根據(jù)余弦定理得（Mx）。=12°+（IO*）?-240xcos120°,

解得x=2.

故4C=28,BC=20.

根據(jù)正弦定理得小丁=示瑞=,

〃-20sin120°5餡

解傳sina=-詆一二步

所以紅方偵察艇所需要的時(shí)間為2小時(shí)，角。的正弦值為乎.

由題悟法

1,測(cè)量角度，首先應(yīng)明確方位角，方向角的含義.

2.在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際

問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的特點(diǎn).

以題試法

3.（?無錫模擬）如圖，兩座相距60m的建筑物AB、切的高度分別為20m、

50m,初為水平面，則從建筑物加的頂端/看建筑物。的張角乙CAD的大小是

解析：■.-JZ!2=602+202=4000,=602+302=4500.

在中，由余弦定理得

取+〃-5J2

cos乙CAD=—=4-,ACAD=45

乙aufltz乙

答案：45

晶解遇訓(xùn)練要高效抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

A級(jí)全員必做題

1.在同一平面內(nèi)中，在/處測(cè)得的6點(diǎn)的仰角是50°,且到/的距離為2,C點(diǎn)的俯角為70。，且

到/的距離為3,則&。間的距離為（

A.四B.y/17

C.y[18D.y[19

解析：選DABAC^120°,AB=2,AC^3.

B（^--2AB,ACcosABAC

=4+9-2X2X3Xcos120°=19.

2.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正

西方向的點(diǎn)力測(cè)得水柱頂端的仰角為45。，沿點(diǎn)/向北偏東300前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)瓦在夕點(diǎn)測(cè)得水柱頂

端的仰角為30°,則水柱的高度是（）.

A..50mB.100m

C.120mD.150m

解析：選A設(shè)水柱高度是水柱底端為C,則在△/況'中，4=60°,AC=/i.AB^lOO,BC=/h,

根據(jù)余弦定理得，2=A2+1002-2?A?100?cos60°,即-+50力-5000=0,即--50）Q+

100）=0,即為=50,故水柱的高度是50m.

3.（?天津高考）在△/歐中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知86=5c,C=2B,則cos

C=（）

sinCc

解析：選A由28得sin。=sin28=2sin反os6,由正弦定理及86=5。得cos———-=—

乙sinL）乙。

4（4、7

=~,所以cosC-cos2B-2cos2B-1=2X~2-1=—

uJZu

4.（?廈門模擬）在不等邊三角形/a1中，角從反。所對(duì)的邊分別為/b、G,其中a為最大邊，如

果sin2（6+0<sin28+sin2c則角/的取值范圍為（）

jiji

JIJIJIJI

解析：選D由題意得sin2^<sin2^+sin2^

再由正弦定理得我4+c,即百+c-才>0.

B+c-a

貝IJcosA=———>0,

it

???0〈水兀，/.0<A<—

JI

又田為最大邊，「/>/■?

O

（JIJIA

因此得角A的取值范圍是值，y}

5.一艘海輪從4處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)8處,

在。處有一座燈塔，海輪在/處觀察燈塔，其方向是東偏南20。,在夕處觀察燈塔，其方向是北偏東65°,

那么從。兩點(diǎn)間的距離是（）

A.10^/2海里B.10^3海里

C.20^/2海里D.2Q小海里

解析：選A如圖所示，由已知條件可得，AG4^3O°,AABC=105°,

-8。=45°.

^20°

又46=40義；=20（海里），5久了-

20BC5年

一由正弦7H理可得sin45。-sin300-

1

20X-

飛號(hào)=10A/^（海里）.

2

6.如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的工B、,高度為海拔

18km,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°,經(jīng)過］min后

又看到山頂?shù)母┙菫?5。，則山頂?shù)暮０胃叨葹椋ň_到0.1km）（）

A.11.4B,6.6

C.6.5D.5.6

,150000

解A析：選B-：AB=1000X1000X-=---m,

AB50000

:.BC=—.—/匚。?sin30=---m.

sin453y/2

二航線離.山頂］=5；**°Xsin75°"11.4km.

山高為18-11.4=6.6km.

7.（?南通調(diào)研）“溫馨花園”為了美化小區(qū)，給居民提供更好的生活環(huán)境，在小

12夕益75

區(qū)內(nèi)的一塊三角形空地上（如圖，單位：m）種植草皮，已知這種草皮的價(jià)格是120元/nA則購買這種草皮

需要元.

解析：三角形空地的面積S=[xi2，5><25><sin120°=225,故共需225義120=27.000元.

答案：27000

8.（?濰坊模擬）如圖，一艘船上午9：30在4處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方

向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)6處，此時(shí)又測(cè)得燈^7S塔S在它的北

V

偏東75°的方向，且與它相距隊(duì)作nmile.此船的航速是nmile/h.

30/

y

解析：設(shè)航速為vnmile/h,

在△/函中28=；匕BS=8y[2,ABSA=45°

1

-y

2

由正弦定理得/n則v=32.

答案:32

9.江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面.上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分

別為45。和60。，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩條船相距m.

解析：如圖，0=4aan45°=30(m),

Waan30。=^X30=10^3(m),

o

在△欣W中，由余弦定理得,N

^900+300-2X30X1073

MN=

=、300=10^3（m）.

答案：10^3

10.如圖，在△/阿中，已知48=45°,〃是笈邊上的一點(diǎn)，AD=10,AC=14,DC

=6,求48的長(zhǎng).

解：在中，AD=IQ,AC=14,〃。二6,

A八DG-A6

由余弦定理得COS乙49。二-2AD?DC

1

100+36-196-

220

2X10X6

ZW=60°.

在△/初中，42=10,46=45°,AADB=60°

,、q,ABAD

由正弦7E理得sin乙ADB二sinB

AD,sin乙ADB

：.AB=

sinB

lOsin600

「5季.

sin45°

11.某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直

彈射高度：4B、C三地位于同一水平面上，在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射，觀

測(cè)點(diǎn)4、8兩地相距100米，2BAC=60°,在/地聽到彈射聲音的時(shí)間比8地晚

作秒.在4地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)〃時(shí)的仰.角為30。，求該儀器的垂

直彈射高度

CH.（聲音的傳播速度為340米/秒）

2

解：由題意，設(shè)貝8C=x-jy><340=x-40,

在中，由余弦定理得

BCt=B/+C^-2BA-CA-cosABAC,

即（x-40）2=/+10000-100x,解得x=420.

在△/口中，AC=420,ACAH=30°,AACH=90°,

所以CH=AC?tan乙CAH=14073.

答：該儀器的垂直彈射高度CH為14附米.

12.（?蘭州模擬）某單位在抗雪救災(zāi)中，需要在48兩地之間架設(shè)高壓電線，測(cè)

量人員在相距6km的C。兩地測(cè)得心力切=45°,乙ADC=75°,乙BDC=15°,乙

頗=30°（如圖，其中4B,C,〃在同一平面上），假如考慮到電線的自然下垂和

施工損耗等原因，實(shí)際所需電線長(zhǎng)度大約應(yīng)該是48之間距離的1.2倍，問施工單位

至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長(zhǎng)的電線？

解：在切中，44繆=45°,CD=&,AADC=75°,

所以乙。。=60°.

___CD_________AD

因?yàn)閟in乙CAD=sinLACD

亞

a\z-2t—

CDXsinAACD2

所以所=sin乙而=12一=

2

在△靦中，乙BCD=30°,CD=&,ABDC=15°

所以乙儂=135°.

___CD_________BD

因?yàn)閟in乙CBD=sin/BCD'

①Xsin乙BCD

所以如二

sinZ.CBD

又因?yàn)樵诔踔?，ABDA=^BDC+AADC=90°,

所以△力如是直角三角形.

所以出3力+初=yl2762+3^22=^42

所以電線長(zhǎng)度至少為/=1.2義相=呼^（單位：km）

0

?6^42

答：施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備長(zhǎng)度力km的電線.

5

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.某城市的電視發(fā)射塔切建在市郊的小山上，小山的高亢為35m,在地面上有一

D

點(diǎn)4測(cè)得4C間的距離為91m,從/觀測(cè)電視發(fā)射塔切的視角（乙Q0為45°,

則這座電視發(fā)射塔的高度"為米,

解析：”二7912—352=84,

5c

1+—

BC355CD+3b12

CAB----由———=tan(45+LCAB)=-----A3,'B-y,得CD-169.

ADO41Zo40

答案：169

2.年10月29日，超級(jí)風(fēng)暴“桑迪”襲擊美國(guó)東部，如圖，在災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng),

105°

n

一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)xm到達(dá)8處發(fā)現(xiàn)一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)

135°

105°,行進(jìn)10m到達(dá)。處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到

出發(fā)點(diǎn)，那么x=A

解析：...由題知，乙的二75。，乙夕。=45°,

.\ABAC=180°-75°-45°=60°,

x1010A/6

X-一T-m.

?'sin45°-sin60°,o

答案:呼m

3.(?泉州模擬)如圖，當(dāng)甲船位于2處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B

處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救.甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西

30°,相距10海里的。處的乙船.

(1)求處于，處的乙船和遇險(xiǎn)漁船間的距離；

⑵設(shè)乙船沿直線"方向前往6處救援，其方向與。一成9角，求f(x)=sii??sinx+坐cos?6cos

x(xER)的值域.

解：(D連接6c由余弦定理得

B(^=202+102-2X20XlOcos120°=700.

.??^=10^7,即所求距離為1隊(duì)斤海里.

sin。sin120°

20.10巾

f{x)=sin2Osinx+^-cos29cosjr=ysinx+^-cosx

2#.

7S1

?."(x)的值域?yàn)?半，平]

|.師各選題|

L如圖，甲船以每小時(shí)304海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線

航行.當(dāng)甲船位于4處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105。方向的笈處，此時(shí)兩船相距20

海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)4處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120。方向的5處,

此時(shí)兩船相距海里?問：乙船每小時(shí)航行多少海里？

解：如圖，連接45由已知44