折疊存在性及最值大全(填空壓軸)-2024年中考數(shù)學(xué)拉分壓軸重難點(diǎn)突破

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專項(xiàng)03折疊存在性及最值大全（填空壓軸）

特姝圖形問題

倒平分線+孝行線澳型

行營(yíng)2后:…r『

方程翎8

分類討論患想

最值問題

1.如圖，在菱形ABCD中，AB=n,NA=60。，點(diǎn)E為邊4。的中點(diǎn)，尸為射線AB上一

動(dòng)點(diǎn)，連接EF,把43沿E尸折疊，得到當(dāng)AN與菱形的邊垂直時(shí)，線段AF

的長(zhǎng)為.

【答案】3+36或12+6代

【分析】存在兩種情況①當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，由題意得出AE的長(zhǎng)，在皿ZXAGE中可求

出AG的長(zhǎng)，由AF1AB,根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知ZAFE=ZAFE=45°,

在RfEGF中,可求出GF的長(zhǎng)，即可得出AF的長(zhǎng).②當(dāng)點(diǎn)尸在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，由

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AEF=AERNA=60°,得出NA=60°,AE=AE=6,AF=AF,

由AH_LAB,RrA'￡77中，求出=3,由5AgF=gAE./YF=：x6（A/-3）=3（AF-3）,

SAEF==得出乎AF=3（AF-3）,即可得出結(jié)果?

【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，過點(diǎn)￡作EGLA8于G,

4

\\一7

G/

、

珍----------------------xc

圖1

一.一四邊形ABCD是菱形，AB=n

AB=BC=CD=DA=12,

???點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

AE=-AD=-xU=6,

22

EG±AB,ZA=60°

AG=3,EG=3瓜

AF±AB,

ZAFA=90°,

ZAFE=ZAFE

:.ZAFE=AAFE=45°,

GF=EG=373,

AF=AG+GF=3+3^/3,

如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)尸在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)后作雨，4民A’H交A。于點(diǎn)”,

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四邊形ABCD是菱形，AB=12

/.AB=BC=CD=DA=12,

二?點(diǎn)E是A0的中點(diǎn)，

...AE=-AD=-xl2=6,

22

,AEF=AEF,ZA=60°,

/.ZA'=60°,AE=AE=6,AF=AF,

vAHLAD,EMAB,

ZAEM=ZAEM=30°,

AH=3,EM=3瓜

1x6（AF-3）=3（AF-3）,

SAEF=^AE?HF=

sAEF=^AF?EM=^x3y/3AF=^AF,

.-.^AF=3（AF-3）,

.\AF=12+673.

故答案為：3+3月或12+63

【我思故我在】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的知識(shí)，區(qū)分點(diǎn)尸

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的位置在線段AB上和在線段AB的延長(zhǎng)線上是解本題的關(guān)鍵.

2.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)=16,ZD=60°,M是8邊上一點(diǎn)，DM=6,N是AB邊

上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形沿直線"N折疊，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'.當(dāng)AC的長(zhǎng)度最小時(shí)，AN的長(zhǎng)為

【答案】14

【分析】作河，8于0如圖,根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得人a=也">=86，。"=8=8,

2

在RtAAHM中，利用勾股定理計(jì)算出AM=14,再根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)C'在AM上

時(shí)，AC'的值最小，然后證明=即可.

【詳解】解：作A"，CD于如圖，

1?菱形ABCD的邊AB=16,Zr>=60°,

ZZMH=30°,AD=AB=CD^16,

DH=^AD=8,AH=yjAEr-DH1=873-

VDM=6,

HM=2,MC=CD—ZW=16-6=10,

在RtAAHM中，AM=^AH"+HM-=J192+4=14，

?.?梯形CM/VB沿直線MN折疊，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)C',

MC'^MC=10,

-：AC'+MC>AM,

：.AC>AM-MC,

J.當(dāng)點(diǎn)C'在AM上時(shí)，AC'的值最小,

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由折疊的性質(zhì)得aM=NCMN,而CE>〃AB,

ZANM=ZCMN,

：.ZAMN=ZANM,

AN=AM^14.

故答案為：14.

【我思故我在】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是

確定點(diǎn)C'在AM上時(shí)，AC'的值最小.

3.如圖，在四邊形紙片ABC。中，AD//BC,48=10,N8=60。，將紙片折疊，使點(diǎn)B落

在AD邊上的點(diǎn)G處，折痕為EE若NBFE=45°,則3P的長(zhǎng)為.

【答案】5^/3

【分析】由折疊的性質(zhì)知=ZBFE^ZGFE,再由N2FE=45。得到NBFG=90。,

過點(diǎn)A作于點(diǎn)”，在RtAAB”中求出AH的長(zhǎng)度，再證明四邊形AHFG是矩形,

從而得出AH=G廠，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)〃，

由折疊的性質(zhì)知所=GP,ZBFE^ZGFE,

NBFE=45°,

ZBFG=ZBFE+ZGFE=90°,

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在RtAABfiT中，AH=AB-sinZ.B=10x—=5^/3,

2

AD/IBC,

:.ZGAH=ZAHB=90°,

:.Z.GAH=ZAHF=ZHFG=90°,

四邊形AHFG是矩形，

:.FG=AH=5《,

：.BF=FG=S5

故答案為：5A/3.

【我思故我在】本題考查折疊的性質(zhì)、解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知角度和

折疊的性質(zhì)得出上班G=90。是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在RAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)歹在邊AC上，并且CF=2,點(diǎn)E

為邊3C上的動(dòng)點(diǎn)，將ACER沿直線EP翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)尸到邊AB距離的最小

值是.

【答案】1.2

【分析】過點(diǎn)/作垂足為G,過點(diǎn)尸作垂足為。，根據(jù)垂線段最短,

得當(dāng)尸。與FG重合時(shí)PD最小,利用相似求解即可.

【詳解】NC=90°,AC=6,BC=8,

AB=10,

CF=2,將ACEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，

CF=PF=2,AF=AC-CF=6-2=4,

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過點(diǎn)尸作尸G_LA8,垂足為G,過點(diǎn)尸作尸DJ_A8,垂足為0,

根據(jù)垂線段最短，得當(dāng)尸。與尸G重合時(shí)尸。最小，

/ZA=ZA,ZAGF=ZACB,

/.AAG8AACB,

.AFGF

.4一GF

??一，

108

FG=3.2,

/.PD=FG-PF=3.2-2=1.2f

故答案為：1.2.

【我思故我在】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，三角形相似，垂線段最短，準(zhǔn)確找到最

短位置，并利用相似求解是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=5,點(diǎn)E是線段CD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)O,C重合），

將△3CE沿8E折疊，使得點(diǎn)C落在。處，當(dāng)△CC。為等腰三角形時(shí)，CE的長(zhǎng)為

【答案】］5或午20

【分析】根據(jù)題意分C'D=C'C，CC=CD,OC'=OC三種情況討論，構(gòu)造直角三角形,

利用勾股定理解決問題.

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【詳解】解：四邊形ABCD是矩形

ZC=90°,CD=AB=8,BC=AD=5

?.?將△BCE沿BE折疊，使得點(diǎn)C落在。處，

.BCE%BCE

C'E=CE,ZBC'E=NBCE=90°,BC=BC,

設(shè)CE=x,則DE=CD_x=8_x

①當(dāng)C'D=C'C時(shí)，如圖

過點(diǎn)C作C'F±CD,C'G±BC,則四邊形C'GCF為矩形

CD=C'C

；.C'G=DF=FC=-CD=4,EF=\-x

2

在而BC'G中

BG=yjBC'--C'G2=752-42=3

.-.C'F=CG=5-3=2

在RtC'尸E中

C'E2=C'F2+EF2

即x2=22+（4-X）2

解得x=g

:.CE=-

2

②當(dāng)CC'=C。時(shí)，如圖，設(shè)交于點(diǎn)。，

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設(shè)OE=y

BC=BC,EC=EC

垂直平分CC

OC=OC'=-CC'=-CD=4

22

OB=NBC2-OC。=3

在RtOCE中OE2+OC2=CE2

即y2+42=x2

在RtABCE中，BE1=BC2+CE2

gp（3+y）2=52+X2

22

/+4=X

聯(lián)立,、222,解得,

［（3+?"+尤2

③當(dāng)OC'=DC時(shí)，如圖,

又*BC=BC

.〔DB垂直平分CC'

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BC=BC：EC=EC'

：.BE垂直平分CC'

此時(shí)2E重合，不符合題意

綜上所述，EC=,或;

故答案為：］5或與20

【我思故我在】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線

的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在矩形ABCD中，CD=3,對(duì)角線AC=5,點(diǎn)G,H分別是線段A。，AC上的

點(diǎn)，將AACD沿直線GH折疊，點(diǎn)C,。分別落在點(diǎn)E,尸處.當(dāng)點(diǎn)E落在折線。⑦上，

且AE=1時(shí)，CH的長(zhǎng)為.

【答案】2或，

【分析】分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求解.

【詳解】解：AC=5,CD=3,

AD=\lAC2-CD2=《25-9=4，

當(dāng)點(diǎn)E落在AC上時(shí)，

圖1

?.?將AACD沿直線GH折疊,

CH=EH,

AE=1,

:.EC=4,

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CH=2；

當(dāng)點(diǎn)E落在A￡?上時(shí)，如圖2,連接EC,過點(diǎn)E作ENLAC于N,

:.AN=y/AE2-EN2=J1--=-,

X255

「將AACD沿直線G”折疊,

CH=EH,

EN2+NH2=EH2,

Q71

-WC)2=wc2,

255

HC吟

綜上所述：CH的長(zhǎng)為2或/.

【我思故我在】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理列出

方程是解題的關(guān)鍵.

7.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小美將矩形紙片先對(duì)折，展開后折痕是ER點(diǎn)M為BC邊

上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM,過點(diǎn)M作MVLA加交C。于點(diǎn)N.將△MQV沿翻折，點(diǎn)C恰

好落在線段斯上，已知矩形ABC。中AB=4,BC=6,那么的長(zhǎng)為

4D

C'\

E

N

BC

M

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【答案】4或14

x

【分析】設(shè)2M=x,則CM=2C-BM=6-x,根據(jù)三角函數(shù)可得tanNCMN=tanN-,

tanzCMN=—二-,FN=CF-CN=七^,由折疊可知：C''N=CN=2^~,tanNFCC'

CM444

xvxx

=tanZCMN=—,由tanZFCC=----=—,可求。戶=—CF=——,在RtAC,FN中，由勾股定理,

4CF442

CF2+FN2^C'N2，代入相關(guān)數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】解：矩形A2C。中，AB=DC=4,BC=6,NB=NBCD=90°

ZBAM+ZAMB=90°,

-：MN±AM,

ZAMN=90°,

/.ZCMN+ZAMB=90°,

ZCMN=NBAM,

?.?小美將矩形ABCD紙片先對(duì)折，展開后折痕是ER

CF=；DC2

設(shè)BM=x,則CM=BC-BM=6-x,

在中，tanNR4A/=0^二土

AB4

x

tanZCMN=tanNBAM=—

4

在RtACMN中,

/.tanZCMN=^~=—

CM4

xx、Qx-x'

CN=—CM-—(6—幻二-------

444

&x~x2

由折疊可知：C"N=CN=

4

連接CC,如圖：

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由折疊知：MN垂直平分CC,

/.NW+NCW=90°,

而/胭t'+/依'=90°,

/.AFCC=ZCMN,

,x

tanAFCC=tanZCMN=—

4

在RtaCFV中，

tanZFrr^—=-

CF4

/.CF二-CF=-

42

在中，由勾股定理，得

CF2+FN2=CN2,即

/X、)//-6才\,八CX2-6X,6X-X2

；.(->+(-----y+2x2x(/------)X+2?=(-----￥

2444

整理，得5/一24x+16=0，

4

解得玉=可，4=4

4

二〃0的長(zhǎng)為4或y

4

故答案為：4或

【我思故我在】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解一元二

次方程等知識(shí)，運(yùn)用三角函數(shù)將邊長(zhǎng)表示出來，借助勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，矩形ABC。中，48=4,4)=6,點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段A8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接￡尸，將aAPE沿尸￡折疊得到△EPE,連接CE,DF,當(dāng)線段。尸被CE垂直平分時(shí)，AF

則線的長(zhǎng)為.

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【分析】連接A歹交尸E于。連接。七先由矩形的性質(zhì)可得BC=AO=6、CD=AB=4,再由折

疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)可得A尸=204AE=ED=EF=3；設(shè)AP=x,則PF=AP=x,BP=4-x,

PC=PF+FC=x+4,運(yùn)用勾股定理可求得x,然后再運(yùn)用勾股定理求得PE的長(zhǎng)，再運(yùn)用等面

積法求得A。的長(zhǎng)，最后根據(jù)A氏2A。解答即可.

【詳解】解：連接AF交PE于O,連接OF,

矩形ABCD,

BC=AD=6,CD=AB=^,

?「線段。尸被CE垂直平分時(shí)，

「?CF=CD=4,ED=EF,

??,將△APE沿尸石折疊得到△尸尸

/.尸E是線段A/的垂直平分線，

/.AE=EF,AF=20A,

/.AE=ED=EF,

,/AD=AE+ED=6,

/.AE=ED=EF=3,

設(shè)A尸三x,則PJ三A尸三x,BP=4-x,PC=PF+FC=x+^,

,/PC2=BP2+BC2^(X+4)2=(4-x)2+62

/.-PEAO=-PAAE,

22

BP-x—A0--x-x3,

2424

9

解得：AO=g,

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18

：.AF=2AO=—.

5

1Q

故答案為

【我思故我在】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定

理等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

9.如圖，在矩形ABC。中，AB=2,AD=1,E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸是AO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)

尸不與點(diǎn)。重合），連接所，把△AEF沿所折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4總落在DC邊上.若

△AEC是以4E為腰的等腰三角形，則A'D的長(zhǎng)為.

【分析】分兩種情形分別畫出圖形，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可.

【詳解】解：如圖1中，當(dāng)上T=CE時(shí)，過點(diǎn)E作EHLCD于H.

圖1

四邊形ABCD是矩形，

：.AD^BC=1,NB=90°,

設(shè)AE=EA'=EC=x,則BE=2-x,

在刈△EBC中，則有/=停+（2-尤）2,

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解得X=。，

4

3

EB=2-x=—,

4

ZB=4BCH=4CHE=90°f

四邊形CBEH是矩形，

CH=BE=-,

4

EC=EA1EH±CA^

HA,=CH=-

49

3i

DA'=CD-CA'=2--=：.

22

如圖2中，當(dāng)時(shí)，設(shè)AE=E4，=C4=y.

圖2

貝I」C”=E8=2-y,A'H^CA'-CH=y-(2-y)=2y-2,

在中，則有產(chǎn)=12+(2y-2)2,

解得y=|■或1(舍棄)，

D4'為］或1，

故答案為J或1.

乙5

【我思故我在】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

10.如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AD=3,AB=5,點(diǎn)E為射線CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與。重合），將

V4DE沿AE折疊得到D'AE,連接若為直角三角形，則4E=

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【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，民。，石三點(diǎn)共線，根據(jù)

SABE=；AB-AD=g2E-AZy可求得郎=5,再由勾股定理可得的，=辦〃-4分=4,進(jìn)

而可計(jì)算OE=0E=1,在H△位史中，由勾股定理計(jì)算AE的值；②當(dāng)點(diǎn)E在射線CD上

時(shí)，設(shè)比=尤，則DE拓1+5,BE=x+l,由勾股定理可解得x=4,進(jìn)而可計(jì)算￡>E=9,

在RfAADE中,由勾股定理計(jì)算AE的值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，四邊形ABC。為長(zhǎng)方形，AD=3,AB=5,將VAOE沿AE折疊得

到D'AE,則NO=N￡D'4=90。，AD=3C=AD'=3,AB=CD=5,

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，

圖1

???ZEDfA=ZDZADB=90°,

三點(diǎn)共線,

S=-ABAD=-BEAD',

ABREF22

BE=AB=5,

BD'=y/AB2-AD'2=752-32=4-

DE=D'E=BE—BD'=5—4=1；

.,.在HAADE中，AE=ylAD2+DE2=A/32+12=710；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在射線CD上時(shí)，

高考材料

ZAIyB=ZBCE=90o,AD=BC=AD'=3,AB=CD=5,

BD'=YIAB2-AD'2=4，

設(shè)CE=x,則D'E=￡)E=x+5,

BE=D'E-Biy=x+1,

CE2+BC2=BE2,即爐+32=(x+l)2,

解得x=4,

DE=CD+CE=5+4=9,

.?.在HAADE中，AE^Ab2+DE。=，3?+92=3屈.

綜上所述，AE的值為JI萬或3JHL

故答案為：J證或31訪.

【我思故我在】本題主要考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想分析

問題是解題關(guān)鍵.

11.如圖，已知中，/3=90。，^A=60°,AC=10,點(diǎn)/、N分別在線段AC、

AB上，將4VM沿直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上，當(dāng)△OCN為直

角三角形時(shí)，折痕的長(zhǎng)為.

高考材料

【答案】1或

【分析】由△DC"為直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：①/COM=90。；②/CM。=90。.

分別依據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到折痕MN的長(zhǎng).

【詳解】解：分兩種情況：

①如圖，

當(dāng)NCDM=90°時(shí),YCDM是直角三角形，

?.?在RtABC中，4=90。，NA=60。，AC=10,

.?./C=30。，AB=-AC=5,

2

由折疊可得，ZMDN=ZA=6Q0,

:.NBDN=3b。,

:.BN=-DN=-AN,

22

:.BN=-AB=-

33f

.\AN=2BN=—

3f

NDNB=60。,

:.NANM=NDNM=6^P,

^AMN^60°f

：.MN=AN=—；

3

②如圖,

高考材料

當(dāng)/CMD=90。時(shí)，VCDM是直角三角形，

由題可得，=60。，NA=NMDN=耶,

：.^BDN=60°,NBND=30。,

:.BD=-DN=-AN,BN=6BD,

22

又?.AB=5,

."./W=20-1073,BN=104-15,

過N作NH_LAAf于H,則N7WH=30。，

AH=-AN=10-5y/3,fflV=10V3-15,

2

由折疊可得，ZAMN=ZDMN=45°,

MNH是等腰直角三角形，

：.HM=HN=10y/3-15,

:.MN=1。任一15也.

故答案為：與*或10A/^-15^^.

【我思故我在】本題考查了翻折變換-折疊問題，勾股定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，

等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)

稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

12.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=12,BC=16,點(diǎn)。、E分別是邊BC、AC上的

點(diǎn)，且NEDC=ZA,將AABC沿對(duì)折，若點(diǎn)C恰好落到了AABC的外部，則折痕。E的

長(zhǎng)度范圍是.

高考材料

【答案】—<￡>￡<15

【分析】把AABC沿。E對(duì)折，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在4B的尸點(diǎn)處，CF與。E相交于。點(diǎn)，根據(jù)

折疊的性質(zhì)得到DELCF,OC=OF,證明FC=FA,同理可得戶C=EB,于是可得OC的

長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算A8的長(zhǎng)，由正切的定義可得OE和0D的長(zhǎng)，計(jì)算DE的長(zhǎng)，再

計(jì)算當(dāng)E與A重合時(shí)DE的長(zhǎng)，從而得結(jié)論.

【詳解】解：把AABC沿。E對(duì)折，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在48的尸點(diǎn)處，CF與。E相交于。點(diǎn)，

如圖1,

圖1

:.DE±CF,OC=OF,

乙EDC+ZOCD=90°,Z1+ZOCD=90°,

Z1=ZEDC,

而ZEDC=ZA,

.'.Z1=ZA,

FC=FA,

同理可得PC=FB,

:.CF=-AB,

2

OC=-AB,

4

在RtAABC中，ZC=90°,AC=12,BC=16,

AB=VAC2+BC1=7i22+i62=20>

高考材料

OC=5,

在RtAOEC中，tanZ1=tanZA=,即半二殍

CzCACJ12

?'O￡=T

在RtAODC中，tanZODC=tanZA=,gp,

ODACOD12

??OD=7

:.DE=OD+OE=—+—=125

4312，

如圖2,當(dāng)E與A重合時(shí)，tan/EDC=tanZBAC=柒=41,即共=白

OJLXCX-AX12

.?.8=9,

圖2

.-.DE=A/122+92=15，

折痕OE的長(zhǎng)度范圍是：得<。瓦,15.

125

故答案為：—<DE?15.

【我思故我在】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖

形的形狀和大小不變，位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.也考查了勾股定理和銳角三角函數(shù).

13.如圖，在“1BC。中，點(diǎn)E,歹分別在邊AB、A。上，將A4EF沿EF折疊，點(diǎn)A恰好落

在2C邊上的點(diǎn)G處.若NA=45。，AB=6亞,5BE=AE.則AF長(zhǎng)度為

BGC

高考材料

【答案】y

【分析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)M,過點(diǎn)尸作尸H_LBC于點(diǎn)”，過點(diǎn)E作EN_LCB延長(zhǎng)線

于點(diǎn)N,得矩形即《四，可得42硒和是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解

決問題.

［詳解］解：如圖，過點(diǎn)2作BMA.AD于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作FHLBC于點(diǎn)、H,過點(diǎn)E作ENA.CB

延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

得矩形BHFM,

：.ZMBC=90°fMB=FH,FM=BH,

AB=6y/2，5BE=AEf

AE=572，BE二y/2，

由折疊的性質(zhì)可知：GE=AE=5垃,GF二AF,

?/四邊形ABC。是平行四邊形，

ZABN=AA=45°,

△3硒和是等腰直角三角形，

EN=BN=顯BE=1,AM=BM=顯AB=6,

22

FH=BM=6,

在RfAGEN中,根據(jù)勾股定理，得

EN-+GN2=GE2,

12+G^2=(572)2,

解得GN=±7(負(fù)值舍去)，

GN=7,

設(shè)MF=BH=x,^]GH=GN-BN-BH=7-l-x=6-x,GF=AF=AM+FM=6+x,

在RfaGM中，根據(jù)勾股定理，得

高考材料

GH2+FH2=GF2,

(6-X)2+62=(6+X)2,

3

解得

315

AF=AM+FM=6+—=—.

22

..?人廠長(zhǎng)度為11.

故答案為：—.

【我思故我在】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì).

14.如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是3c邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將ABE沿AE折

疊，得到△AFE,則當(dāng)CF最小時(shí)，折痕AE長(zhǎng)為.

4^-----------------。

【答案】36

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出：當(dāng)CP最小時(shí)的圖形，利用勾股定理列出方程，求出

8E的長(zhǎng)度，進(jìn)行解答即可.

【詳解】連接AC,依題意可知：CF>AC-AF,

如圖，當(dāng)A、C、尸三點(diǎn)共線時(shí)，B取得最小值,

高考材料

在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,?B90?,

AC=yjAB2+BC2=V62+82=10-

由折疊可知：AF=AB=6,ZAFE=NB=90。,設(shè)BE=EF=x,

：.FC=AC-AF=10-6^4,EC^BC-BE^8-x,

在RfEFC中,EF2+FC2=EC2,

X2+42=（8-X）2,

x=3,

BE=3,

AE=JAB?+BE，=后+32=36?

故答案為：3A/5.

【我思故我在】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，二次根式的運(yùn)算，掌握勾股定理進(jìn)行求

線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在正方形ABCD中，AB=8,E是CZ）上一點(diǎn)，且DE=2,P是上一動(dòng)點(diǎn)，

連接EF,若將△DEF沿EF翻折后,點(diǎn)D落在點(diǎn)辦處,則點(diǎn)辦到點(diǎn)B的最短距離為.

【答案】8

【分析】連接BE、BD',當(dāng)B、DC、E三點(diǎn)共線的時(shí)候點(diǎn)W到2點(diǎn)的距離最短，根據(jù)DE

求出CE,再利用勾股定理求出BE,即可求解.

高考材料

【詳解】如圖，連接BE、BD',

當(dāng)B、DkE三點(diǎn)共線的時(shí)候點(diǎn)皿到2點(diǎn)的距離最短，

在正方形ABCD中，AB=8,E是CQ上一點(diǎn)，且。E=2,

CE=CD-DE=8-2=6,BC=AB=8y

BE=VCE2+BC2=762+82=10>

根據(jù)折疊的性質(zhì)有DE=DE=2,

.8、DkE三點(diǎn)共線

BD'=BE—D'E=10—2=8,

即點(diǎn)W到3點(diǎn)的距離最短為8,

故答案為：8.

【我思故我在】本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理以及兩點(diǎn)之間線段最短的

知識(shí)，找到夙DME三點(diǎn)共線的時(shí)候點(diǎn)皿到B點(diǎn)的距離最短是解答本題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知在矩形紙片ABCD中，AB=2,BC=2拒,點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△?!￡尸沿EF所在直線翻折，得到△4EF,連接4c,40,則當(dāng)△AOC

是以4。為腰的等腰三角形時(shí)，AF的長(zhǎng)是.

【答案】1或也

2

【分析】存在三種情況：當(dāng)A'O=DC時(shí)，連接EO,利用勾股定理可以求得ED的長(zhǎng)，可判

斷E,A',。三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理即可求解；當(dāng)A￡>=AC時(shí)，可以證得四邊形AEA尸是

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正方形，即可求解；當(dāng)AC=OC時(shí)，連接EC,FC,證明E,4,。三點(diǎn)共線，再用勾股定

理，即可求解.

【詳解】解：①當(dāng)AO=OC時(shí)，連接EO,如圖，

?.?點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB=2,BC=2sf2,四邊形ABCD是矩形,

AE=1,AD=BC=2叵,ZA=90°>

由勾股定理可得，DE=VAE2+AD2=3-

,將4AEF沿EF所在直線翻折，得到△,

A'E=AE=1,

-：A'D=DC=AB=2,

：.DE=3=AE+AO,

E,A,。三點(diǎn)共線，

ZA=90°,

ZFA'E=ZFA'D=90°,

設(shè)AF=x,貝!]A'F=x,FD=2C-x，

在RtAFAD中，A'D2+AF-=DF2，

22+X2=（2A/2-X）2,

解得尤=交',

2

.A口―6

??AF----；

2

②當(dāng)AO=AC時(shí)，如圖，

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點(diǎn)A在線段CD的垂直平分線上，

???點(diǎn)4在線段AB的垂直平分線上，

點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

.￡4'是的垂直平分線，

ZAEA'=90°,

?將AAEF沿EF所在直線翻折，得到△AEP,

ZA=ZEA1F=90°,AF=FA!,

?四邊形AE4P是正方形，

AF=AE=-AB=l-

2

綜上所述，AF的長(zhǎng)為1或比.

2

故答案為：1或包.

2

【我思故我在】本題考查矩形中的翻折問題，涉及矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、正方形

的判定和性質(zhì)、勾股定理，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在ABC中，ZACB=90°,AC=2,3c=4,E為邊A8的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC邊

上的動(dòng)點(diǎn)，把ACD沿AD翻折，點(diǎn)C落在。處，若ACE是直角三角形，則8的長(zhǎng)為

高考材料

【分析】在圖1中構(gòu)造正方形ACMN,在氏中即可解決問題，在圖2中也要證明四邊

形ACDC是正方形解決問題.

【詳解】解：如圖1,

當(dāng)NAC￡=90。時(shí)，作￡M_L5c垂足為M,作AN_LME1于N.

?/ZC=ZEMB=90°,

:.EMIIAC,

AE=EB,

:.MB=MC=-BC=2,

2

：.EM=-AC=l,

2

/C=NCMN=ZN=90。,

?