2024年高考數(shù)學(xué)二輪熱點題型歸納與變式演練：向量小題歸類（教師版全國）

專題5向量小題歸類

起逸熱點典型歸的

【題型一】向量基礎(chǔ)：“繞三角形”（基底拆分）

【典例分析】

我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱

其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如

圖所示.在“趙爽弦圖"中，若最=工康=3石帝，則說=（)

25252525

4-3f

C.-a+-bD.—u~\—b

5555

【答案】B

【分析】

利用平面對量的加法法則和數(shù)乘向量求解.

【詳解】

—>—>fT3ff3(T—>、—>3(3TT

由題得BF=BC+CF=BC+~EA=SC+-1EB+BAI=BC+---BF+BA

即BF=BC+|l—|BF+BA-16t12—f16t12—

解得BF=——BC+—BA,即——a+—b,

25252525

故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

基礎(chǔ)拆分的倆個公式，與位置無關(guān)。

（1）OA-OB=BA.

（2）BA-CA=BC

【變式演練】

1.如圖，在ABC中，。為3c中點，E在線段AD上，S.AE=2ED,則BE=（）

A

A.--AC+-ABB.-AC--AB

3333

C.-AC--ABD.-AC+-AB

3333

【答案】B

【分析】

求得A力關(guān)于A3、AC的表達(dá)式，利用平面對量的減法法則可得出BE關(guān)于A3、4。的

表達(dá)式.

【詳解】

Q。為3c的中點，則

AD=AB+BD=AB+^BC=AB+^AC-AB^=^AB+ACy

.2

AE=2ED,：.AE=-AD,

3

:.BE=AE-AB=-AD-AB=-(AB+AC)-AB=-AC--AB.

33、,33

故選：B.

2.如圖，在直角梯形ABC。中，AB^2AD=2DC,E為3c邊上一點，BC=3EC，F(xiàn)

B.-AB--AD

33

C.--AB+-ADD.--AB+-AD

3333

【答案】C

【分析】

依據(jù)平面對量的三角形法則和共線定理即可得答案.

【詳解】

解：

BF=BA+AF=BA+-AE^-AB+-\AD+-AB+CE

22(2

=-AB+-\AD+-AB+-CB\

2\23

=-AB+-AD+-AB+-CB^-AB+-AD+-AB+-(CD+DA+AB

246246、

=-AB+-AD+-AB+-\--AB-AD+AB\=-AB+-AD+-AB+—AB--AD

246(2)24126

=—274g+A。故選：c.

33

3.D,E，F(xiàn)為,ABC所在平面內(nèi)三點，且AE=2EC-AF=FD，則EF=

().

A.-AB--ACB.-AB--AC

2623

1—1-1一5—

C.-AB——ACD.-AB-—AC

43412

【答案】D

【分析】

畫出圖形，依據(jù)向量線性運算求解即可.

解：由題知，。為3c中點，E為AC三等分點且靠近。點，P為AD中點，如圖，

1r\[/r\[?

所以所=A戶—A￡=—AD——AC=-(AB+AC\——AC=-AB——AC.故選：D.

234、>3412

【題型二】系數(shù)未知型“繞三角形”

【典例分析】

P是3N上的一點，若AP=|機(jī)+|)A3+|23C,

如圖，在，ABC中,AN=-NC,

39

則實數(shù)小的值為()

A.-B.-C.1D.3

93

【答案】A

【解析】

2、2222

因為AP=m+-AB+-BC=mAB+-AC,設(shè)BP=tBN，而

979999

.————---3——1

AP=AB+BP=AB+t(BC+CN)^AB+t(BC--AC)=(l-t)AB+-tAC,所以

44

f221

加=1一。且一=一，故加=1一%=1=一,應(yīng)選答案A.

4999

【提分秘籍】

基本規(guī)律

平面對量基本定理（平面內(nèi)三個向量之間關(guān)系）：若G、02是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，

則對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)4、4，使。=40+402.

（1）選定基底，則4、4,是唯一的

（2）處理技巧：可“繞三角形”，可待定系數(shù)，可建系。

【變式演練】

1.如圖，正方形ABC。中，M.N分別是5C、CD的中點，若=+則

【答案】D

【解析】

試題分析：取向量作為一組基底，則有

AM=AB+BM=AB+-BC,BN=BC+CN=BC--AB,所以

22

AC=AAM+juBN=2(AB+|BC)+以BC-1-AB)=

[1628

又AC=AB-\-BC，所以^—54=1,4+54=1,即％=不，4=（,％+//=1.

2.在平行四邊形46切中，點￡,尸分別滿足DF=-DC.若

23

B￡）=/IAE+/，則實數(shù)丸十〃的值為（）

1177

A.一一B.-C.一一D.-

5555

【答案】B

【分析】

--.——1--1一_1------.1_-

設(shè)A5=〃,AD=Z?，由呂石二萬呂。，DF=—DC,得到==+,結(jié)

合平面對量的基本定理，化簡得到—+++即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)A8=a,AD=b，則在平行四邊形46（/中，

—1---1--

因為BE=—3C,￡>廠=一OC,所以點￡為理的中點，點尸在線段加上，且CF=2DF,

23

所以AE=a+Lb,A^=La+Z>,

23

又因為3。=幾4石+〃4/，且&)=AD—AB=Z?—a，

所以一a-\~b—JIAE+juAF—A1ciH—b]+〃(一a+b]=(丸~1—[—4+,

2,H—1//=—I1A,=-8

所以｛3,解得<

9，所以X+〃=M。故選：B.

—2+〃=1/=5'

3.如圖，AABC中，AD=DB,AE=EC,CD與BE交于F,設(shè)人5=〃，AC=b'

AF=xa+yb

2￡

A.D.

3?2

【答案】A

【分析】延長AF交3C于點M，由于Ar>=DB,A￡=EC,CD與班交于P，可知：點

廠是AA3C的重心，利用三角形重心的性質(zhì)和向量的平行四邊形法則即可得到答案.

【詳解】延長AF交3c于點M；

t2f

4￡>=。8,4石=石。,8與仍交于/，,?點/是AA3C的重心，=—AM,

3

f1f->

AM=-(AB+AC)f

f2f21f-1——1.1--

AF=^-AM=-x-(AB+AC)=-(AB+AC)=-a+-b乂AF=xa+yb

DD乙JDD

1

x二一3

1,貝1J(%,y)為；故答案選A

y=i

【題型三】求最值型“繞三角形”

【典例分析】

ULIVuuur

在AABC中，點尸滿足8尸=3PC，過點尸的直線與AB、AC所在的直線分別交于點M、

N,AM=2ABAN=^AC（2>0,^>0）,則X+〃的最小值為（）

A.￡1八35

Bc.一D.-

2*22

【答案】B

uuniuun3UUD

【分析】由題意得出AP=-AB+—AC,再由AN=^AC,可得出

44

uun1uuir3uum1313

AP=—AM+—AN,由三點共線得出丁丁+丁=1,將代數(shù)式丸+〃與二+;;—相

424〃424〃424〃

乘，綻開后利用基本不等式可求出4+〃的最小值.

【詳解】如下圖所示：

/----

.....uimuuu,uumuun、uun1um3uum

QBP=3PC，即AP—A3=3（AC—AP）,AP=~AB+^AC,

......uuuuuuuun1uuiruum]uuur

QAM=AAB-AN=juAC[A>Q,ju>Q）,:.AB=—AM,AC=—AN,

A〃

uun1uur3uun一13,

AP=——AM+——AN,M、P、N二點共線，則言+丁=1

424〃424〃

當(dāng)且僅當(dāng)〃=加時，等號成立，因此，2+〃的最小值為停+1,故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.基底拆分，可得系數(shù)和定值（實質(zhì)是“等和線”）

2.也可用均值不等式，或者建系設(shè)點三角換元

【變式演練】

1.已知。是AA3C內(nèi)一點，且。4+05+00=0，點"在A03C內(nèi)（不含邊界），若

AM=XA3+〃AC,則4+2〃的取值范圍是（）

【答案】B

【分析】

依據(jù)04+06+0。=?？芍?。為AABC的重心；依據(jù)點M在A05C內(nèi)，推斷出當(dāng)M與。

重合時，彳+2〃最??；當(dāng)M與C重合時，2+2〃的值最大，因不含邊界，所以取開區(qū)間即

可.

【詳解】因為。是AA3C內(nèi)一點，且Q4+OB+OC=0所以。為AA3C的重心

M在A03C內(nèi)（不含邊界），且當(dāng)M與0重合時，X+2”最小，此時

AM=AAB+jiiAC='jx+AC）］=gA3+；AC所以2=g,〃=g，即

A+2〃=1

當(dāng)M與C重合時，4+2〃最大，止匕時AM=AC所以4=0,〃=1,即4+2〃=2

因為M在AOBC內(nèi)且不含邊界所以取開區(qū)間，即X+2〃e（1,2）所以選B

2.在AABC中，|Aq=2,|AB|=2,/BAC=120,AE=/LAB,AF=/MC,M為線段EF

的中點，若=則x+〃的最大值為（）

A.叵B,^2-C.2D.叵

333

【答案】C

［分析］化簡得到AM=gAB+gAC,依據(jù)|=1得至U儲+儲_加=1,得至ij2+〃

的最大值.

【詳解】

1Q

AM=-（AE+AF}=-AB+^-AC,

2、>22

故即［=（,AB+?0=22+）+與x4cosl20。=22+//2-2/z=1

故］=丸2+〃2_;1〃=（;1+〃）2_3切2（2+〃）2_：（;1+〃）2,故丸+〃<2.

當(dāng)；1=4=1時等號成立.故選：c.

3.AABC中，。為A6的中點，點/在線段CD（不含端點）上，且滿足

AF=xAB+yAC（九,yeR）,則一+一的最小值為（）

A.3+272B.2+2&C.6D.8

【答案】D

【解析】AF=xAB+yAC=2xAD+yAC,因為GE。三點共線，所以2x+y=l且

V4YIv_4X

x>0,j>0,則±+*=-+-（2x+y）=4+?+”24+2」］?竺二,當(dāng)且僅當(dāng)

xyyJxyxy

"v4T1112

,即1=上，丁=上時，上式取等號，故一+—有最小值8,故選D.

1y421V

【題型四】數(shù)量積

【典例分析】

71

已知菱形46切邊長為2,N6=點〃滿足A尸=4AB,4WR,若BD?CP=-3,

則入的值為（）

AA.—1B.1-C.-D.—1—

2233

【答案】A

【分析】依據(jù)向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積的運算公式，建立方程即可得到結(jié)論.

71

【詳解】法一：由題意可得B4*BC=2X2cosy=2,

BD-CP=^BA+BC）?（BP-BC）=（BA+BC）?C（AP-AB）-BC］=（BA+

BC）?C—1）-AB-BC1

=（1-l）BA2-BA'BC+（1-l）-BA'BC-BC2

=（1—4）?4—2+2（1—2）—4=—6，1=-3,/.A=—,故選A.

2

法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則6(2,0),C(l,Jj),〃(一1,73).

令尸(x,0),由BO?CP=(-3,若)?(x—l,一退)=—3x+3—3=—3x=—3得x=

1.

AP=aAB，,A=￡?故選A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.求解數(shù)量積，可以選擇有長度或者角度關(guān)系的向量作為基底求解。

2..已知向量a,b的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式求解.

設(shè)a=(al,a2),b=(bl,b2),則a?b=albl+a2b2.

通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)形式計算.

【變式演練】

1.如圖，在等腰直角.A30中，OA=OB=1,C為靠近點力的線段45的四等分點，過C

作的垂線/,尸為垂線/上隨意一點，則。(04—的值是()

11

A.——B.-C.-2D.2

22一

【答案】B

【分析】

依據(jù)題意，干脆利用向量共線和向量的線性運算及夾角公式求出結(jié)果.

【詳解】

在等腰直角一A30中，OA=OB=1,。為靠近點力的線段46的四等分點，

過。作48的垂線尸為垂線/上隨意一點，

則：OP^OA+AC+CP=OA+^AB+CP,

所以：OP(OA-OB^^[oA+^AB+CP^BA,OA-BA+^AB-BA+CP-BA,

--\/2-cos45——?V2-V2+0,=—.故選民

42

2.在AABC中，AB=AC,點V在BC上，4BM=BC，N是AM的中點,

sinABAM=1,AC=2,則AM.CN二

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

1131

【解析】AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

4444

113137

CN=CA+AN=CA+-AM=CA+-(-AB+-AC)=-AB--AC

224488

在AABN和AAMC中，由正弦定理可得

BMCM

=^>sinACAM=1,

sinNBAMsinZCAM

1

...cosABAC=cos(ZBAM+ZCAM)=cos(ZBAM+—)=-sinZBAM=一

3

——?一31-3-7—9791

:.AMCN=(-AB+-ACy(-AB--AC)=—x4——x4-—x2x2x(——)=1.

44883232163

3.已知<ABC是邊長為3的正三角形，點M是A3的中點，點N在AC邊上，且

AN=2NC,則5MCM=().

【答案】D

【分析】

用A4,分別表示出3N和CM，然后依據(jù)向量的數(shù)量積計算公式求解出BNCM的結(jié)

果.

【詳解】如下圖所示:

因為"是A5的中點，所以

CM=-(CB+CA\=-CB+-CA=--BC+-(BA-BC\=-BA-BC,

2、72222、>2

-1-11Q

又因為BN=3C+CN=BC+—G4=3C+——3C)=—BA+—BC,

33、'33

所以BN.CM—+=|卜0]=；x9—gx9=—T，

故選：D.

【題型五】數(shù)量積最值型

【典例分析】

在AABC中，BCCA^CAAB^\BA+BC\=2,且則545。的取值范

圍是()

A.[-2,1)B,-,1|C.-2,-|D.-2,-

L3)L3j13」

【答案】D

【分析】

由BC-C4=CA-AB，可以得到CA-(BC+8A)=0，利用平面對量加法的幾何意義，可

以構(gòu)造平行四邊形8aM,依據(jù)CA-(3C+34)=0,可知平行四邊形8CDA是菱形，這

yr27r

樣在用ABOA中，可以求出菱形的邊長，求出胡力。的表達(dá)式，利用9<3<3-,構(gòu)

造函數(shù)，最終求出R4.BC的取值范圍.

【詳解】

BCCA=CA-ABCA(BC-AB)=0^CA(BC+BA)=0,以5c,5A為鄰邊作平

行四邊形8aM,如下圖：

所以8。+癡=8￡>，因此C4m=0nC4，&)，所以平行四邊形8aM是菱形，設(shè)

uiruurn?.

CAoBD=0,BA+BC=2,所以30=2=50=1,在用ASQ4中，

RO1

cosZABO=---=>AB=

ABZABC

cos

2

12cosZABC

y=BABC=^^ABC^9?cos/ABC=

1+cosZABC，

cos---------

2

設(shè)％=(：05/?18。-<ZABC所以當(dāng)時，

332222

2x，2八2x2

y=;-----=>^=-------3〉0,y=------是增函數(shù)，故ye[—2,-),因此本題選D.

1+x(1+x)-1+x'3

【變式演練】

1.已知四邊形ABCD中，AC±BD,AB=BC=笠=2,AC=CD=2石，點E在四

邊形ABCD上運動，則EB.EZ)的最小值是()

A.3B.-1C.-3D.-4

【答案】C

【分析】由題意分析可知四線性A3CD關(guān)于直線5。對稱，且5C_LCD,只需考慮點E在

邊3C,CD上的運動狀況即可，然后分類探討求出EB-ED的最小值.

【詳解】

,D

如圖所示，因為AC，3D,且A5=3C,所以5。垂直且平分AC,則△ACD為等腰

三角形，又AC=CD=26,所以△ACD為等邊三角形.

則四邊形A3CD關(guān)于直線8。對稱，故點E在四邊形A3CD上運動時，只需考慮點后在

邊BC,CD上的運動狀況即可，

因為AB=8C=(=2,易知8C2+cr>2=8。2,即5CLCD,則。3.0)=0，

①當(dāng)點E在邊上運動時，設(shè)EB=/LCB(OV；L<1),則EC=(/l—l)CB,

；.EB.ED=2CB.(%-1)CB=4旗2-1),當(dāng)4=g時，的.ED的最小值為—1；

②當(dāng)點E在邊C。上運動時，設(shè)ED=kCD(OWkWl)，則后。=(左一l)CD，

AEBED=(EC+CB^ED=(k-i)CDkCD=nk(k-\),當(dāng)左=；時，EB-ED的

最小值為-3；

綜上，EB-EZ)的最小值為-3;故選：C.

2.如圖，在平行四邊形/8切中，〃是8c的中點，且/y掰N是線段加上的動點，過點N

作/〃的垂線，垂足為〃，當(dāng)AM."N最小時，HC=()

1-3

A.-AB+-AD-AB+-AD

1-331

C.-AB+-AD-AB+-AD

【答案】C

【分析】先分析得出點N與點。重合時，的模最大，即AM.腦V最小，進(jìn)而得解.

【詳解】AM-MN=\AM\\MN\cos<AM,MN>,由圖易知，向量AM,AN所成的角為鈍

角，

所以cos<AM,4V><0，NHLAM,：.AM.MN=-1AM|||,當(dāng)AM.胸最小時，MH

的模最大，

數(shù)形結(jié)合易知點N與點。重合時，的模最大，即AM.MN最小，AD=DM,

DH±AM，

.?.H是40的中點，貝U

HC=HM+MC=-AM+-BC=-(AB+-BC)+-BC=-AB+-BC=-AB+-AD.

故選：c.

rr

3.在AABC中，A=w，AC:5C=2:3,點。為線段AB上一動點，若。A.Z)C最小值為

3

-一，則AABC的面積為___________.

4

［答案］3百+9行

2

【分析】

由題，設(shè)AC=2%8。=3加，由余弦定理可求得AB的長，再設(shè)=利用向量基

3

本定理表示出DA,DC,求得其數(shù)量積整理是關(guān)于n的二次函數(shù)，再求其最小值等于-一，

4

可求得m的值，可求得面積.

【詳解】

由題，設(shè)AC=2m,5C=3根，在三角形ABC中，由余弦定理變形可得：

AC"+AB--BC2

cosA=AB=(^6+l)m

2ACAB

因為點。為線段AB上一動點，再設(shè)OA="54，此時。C=D4+AC="8A+AC

2

即ZM.=nBA(nBA+AQ=n2BA+nBA-AC

因為胡2=(7+276)m2,AC-BA=|AC||BA|COS(TI-A)=-(瓜+l)m2

所以。4?DC=(7+2瓜)m2xn2——函+l)m2xn

令/(")=(7+2^6)m2x”2——(娓+l)m2xn關(guān)于n的二次函數(shù)

所以其最小值為："%”一^^=3解得*6

所以AC=2A3=30+班

三角形ABC的面積：S=-AC-ABsinA=--273(3V2+V3)-—=3a^+9a^故答案

2222

.3A/3+9A/2

79----------------

2

【題型六】向量模

【典例分析】

若向量￡=(X,2),b=(-3,y'),c=(-l,-2),且(a-c)_L(b+c),則|a-b|的最小值為

【答案】2垃

【分析】應(yīng)用向量的坐標(biāo)運算及垂直的坐標(biāo)表示可得彳->+1=。，再由向量模的坐標(biāo)表示

可得|a-61=J(x+3)，+(2-y)2將問題轉(zhuǎn)化為求定點(一3,2)至I］直線x—y+1=0的距離即可.

【詳解】由題設(shè)，a—c=(x+l,4),b+c=(-4,y-2),又(〃一c)_L(b+c),

J(a—c)?(b+c)=—4(x+l)+4(y—2)=0,貝!J%_y+l=O,

又a-6=(x+3,2-y),則|a—昨J(x+3)2+(2-?,

要求|a-6|的最小值，即求定點(-3,2)到直線彳-〉+1=。的距離，

二|q一1|min=l3￡+"=2反故答案為:2五

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.向量的模是線段的長度

2.可以借助幾何意義，也可以建系設(shè)點

【變式演練】

1.己知a力是平面上的單位向量，則卜-力|+卜+。|的最大值是.

【答案】巫

2

【分析】

先設(shè)a=(l,0),6=(x,y),且―+土用,再依據(jù)向量?；?/p>

|a-2Z)|+|a+&|=狂2x『+(_2y)2+Jl+xf+y,,最終化簡整理結(jié)合柯西不等式即可求出

結(jié)果.

【詳解】設(shè)a=(l,o)力=(x,y),且f+y2=i,a-2b=(l-2x,-2y),a+b=(l+x,y),

所以_________________________

,一2囚+k+4+(-2y(+J(l+x)2+,2_-4x+l+4y2+^l+2x+x2+y2

二45-4%+j2+2x=2-x+\/2?y/1+xv

當(dāng)且僅當(dāng)廬Jl+X'即X時，等號成立，所以卜-20+|a+q的最大值為平,

故答案為：巫.

2

2.已知向量〃、/?滿足忖=1,8=(2,1),且/la+b=0(X<0),則m〃+囚=.

【答案】26

【分析】設(shè))二(%,'),由已知條件求出b=所以2々++網(wǎng)，可干脆求出.

【詳解】設(shè)a=(%,y)，;向量〃、Z?滿足什=1/=(2,1),且Xa+b=O(X<0),

7%2+y2=1

Xa+b=X（x,y）+（2,l）=（/lx+2，Zy+l）=0<Ax+2=0解得:

Ay+1=0

風(fēng)=收

又2<0,2=-6；/a+b=0,即一百a+6=0所以|石“+.=[20=2慟=2722+12=2^故

答案為：2小

3.設(shè)a，?為單位向量，則卜+4+卜-30的最大值是

【答案】述

3

【分析】

用坐標(biāo)表示a，b，化簡卜+目+卜-30,利用柯西不等式求得最大值.

【詳解】

依題意4,b為單位向量，設(shè)a=(cosa,sina),b=(cos￡,sin0,-l<cos(tz-/?)<l

貝ij卜+q+卜_3々

=^(coscz+cosy^)2+(sincr+sin/?)2+^(cos<z-3cos/?)2+(sincr-3sin(3^

=j2+2cos(a-/)+J10-6cos(a-/)

\/2?Jl+cos(a-0)+A/6?《—cos(a-0)

<^(2+6)-l+cos(a-^)+|-cos(tz-7?)=^8x|=-^-,

當(dāng)且僅當(dāng)J|"-cos(a-￡)=&.Ql+cos(a_0),即cos(?-￡)=-；時等號成立.

故答案為：更

3

【題型七】投影向量

【典例分析】

己知平面對量q和e；滿足Re「e；卜同=2,則6在e；方向上的投影的最小值為

【答案】框

3

【分析】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法，結(jié)合題設(shè)作出G=Q4,3q=0C,39-62=8(5且

|BC|=|OA|=||OC|,進(jìn)而推斷e?終點8的軌跡，即可求《在方向上的投影的最小值.

【詳解】如下圖，若耳=。4,3e；=OC,3q—62=8。且18cl=|Q4|=g|0C|，

e2=OB,即B點在以C為圓心，2為半徑的圓上,

.??要使q在02方向上的投影的最小，即/3OC最大，止匕時8CLOB,貝UCOSZBOC=2^

q在e2方向上的投影的最小值為|q|?cosZBOC=半.

故答案為：逑.

3

【提分秘籍】

基本規(guī)律

L向量辦在a方向上的投影：設(shè)。為a、6的夾角，則網(wǎng)〈os。為方在°方向上的投影.

2.投影也是一個數(shù)量，不是向量.當(dāng)。為銳角時投影為正值；當(dāng)。為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)。

為直角時投影為0;當(dāng)9=0時投影為|6|；當(dāng)0=180時投影為-忖.

3.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a/等于a的長度與b在a方向上投影的乘積.

【變式演練】

1.己知點4-1,1)、3(1,2)、C(-2,-1)、2(3,4),則向量AB在CD方向上的投影為()

,372R3A/15「3應(yīng)八3岳

2222

【答案】A

本題考查向量的投影以及數(shù)量的坐標(biāo)運算。因為AB=(2,1),CD=(5,5),所以

22

AB-CD=(2,1).(5,5)=15,|CD|=75+5=572o向量說在而方向上的投影為

|4D|“「八_ABCD_15_372匹.

Ai?cos<AB,CD>——i----；———產(chǎn)—---,選A.

11CD5722

2.已知向量a,〃滿足M=2,1)V2則匕在口上的投影的取值范圍是()

A-[p2]B-(r2)，.加D.

rr

a-2b<2所以/一4。力+4『<4,又R—沖—1,所以

【答案】C因為，

Aa-b1

cos8=?-?2—

7a。,欣2—<cos0<\—<\t\cos0<1

設(shè)》在。的夾角為生則1111，即2，所以2□，故選

C.

3.已知向量〃，方的夾角為120°,且口=2,W=3,則向量2a+3Z?在向量2a+b方向上

的投影為()

87367135A/619713

A.-----B.-------C.------D.-

1313613

【答案】D向量Q,b的夾隹為120°,且k=2,卜=3,所以

2a+3b=4〃+12a-b+9b=61,2a+3b=461.又

-?—2―?2—?—?—2

2a+b=4a+4a?b+b=13,所以元+E=屈,則

cos(2a+液la+硝=Q.+3啊+3@

=」所以向量2a+36在向量24+入方

'/2。+3b2a+3bV61-V13

1919VH

向上的投影為2a+3bco^2a+3b,2a+b^=V61，故選：D.

艾國.瓦13

【題型八】向量技巧1：極化恒等式

【典例分析】

如圖，在中，，是a'的中點，E,6是上的兩個三等分點，54C4=4,

BFCF=-1，則BECE的值是.

7

【答案】一【解析】解法一：基底法

8

令DF=a,DB=b,則DC=—b,DE=2a,DA=3a,則BA=3a—b,CA=3a+b,

BE=2a-b,CE=2a+b,BF=a-b,CF=a+b,

貝3/04=9。-b,BFCF=a-b,BECE^4a-b

2222'25?213

由3C-CA=4，BFCF=-1^9a-b=4,a-b=-1?因此。=飛，b=—,

oo

2.24x5137

因此=-b=-----------=—.

888

解法二：極化恒等式

-2.2

BACA=ABAC=AD-BD=4，

-2-21-2-2

BF,CF=FBFC=FD-BD=-AD-BD=-l

9

___.245-213-_______________.2--24-2-27

解得：ALT=——，BD=一所以BE?CE=EB?EC=ED--BD-=—AD一一BD=-.

8898

【提分秘籍】

基本規(guī)律

基礎(chǔ)學(xué)問：

/\2.2,-2

(a+Z?)=a+2ab+b

/\2.2-2

a-b]=a-2ab+b

在△ABC中，。是邊3C的中點，則

AB.AC=|AD|2-|DB|2

【變式演練】

1.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，尸為平面A3C內(nèi)一點，則P4?（P3+PC）的最

小值是（）

A-2cD.-l

2-4

解析：取3C的中點。，連接AD,PD,取AD的中點E,連接PE,

由△A3C是邊長為2的等邊三角形，E為中線AO的中點=AE=LAD="，

22

則

3

PA.（PB+PC）=PA.2PD=2PA.PD=2（|PE|2

2

所以PA-IPB+PC］=——.

LV/Jmin2

2.已知圓C的方程為(x—l)2+(y—1)2=2,點p在直線y=x+3上，線段AB為圓C的

直徑，則PA.的最小值為

57

A.2B.—C.3D.一

22

【答案】B

【詳解】

P