江蘇省南通、揚(yáng)州、泰州七市2024屆高三第三次調(diào)研測(cè)試《數(shù)學(xué)》試題（解析版）

第第頁(yè)揚(yáng)州市2024屆高三第三次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2、回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無(wú)效.3．本卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通分，根據(jù)數(shù)字特征即可判斷兩集合之間關(guān)系.【詳解】，，因?yàn)楸硎舅械钠鏀?shù)，而表示所有的整數(shù)，則，故選：A.2.已知三個(gè)單位向量滿足，則向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)等式兩邊同時(shí)平方即可得到，再利用向量數(shù)量積定義和向量夾角的范圍即可得到答案.【詳解】，即，，即，則，因?yàn)?，的夾角為，故選：C.3.某同學(xué)測(cè)得連續(xù)7天的最低氣溫分別為（單位：），若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)的2倍，則（）A.2 B.3 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知：平均數(shù)為，中位數(shù)為2，列式求解即可.【詳解】由題意可知：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，除外，將數(shù)據(jù)按升序排列可得，結(jié)合的任意性可知中位數(shù)為2，則，解得.故選：D.4.已知為復(fù)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】A【解析】【分析】正向可得，則正向成立，反向利用待定系數(shù)法計(jì)算即可得或，則必要性不成立.【詳解】若，則，則，故充分性成立；若，設(shè)，則，，則，或與不一定相等，則必要性不成立，則“”是“”的充分非必要條件，故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】展開并同時(shí)平方，結(jié)合二倍角的正弦公式即可得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】展開得，兩邊同時(shí)平方有，即，解得，故選：B.6.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.65 B.127 C.129 D.255【答案】B【解析】【分析】降次作差得，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案.【詳解】時(shí)，，則.時(shí)，，，是2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，故選：B.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且為偶函?shù)，為奇函數(shù)．若，則（）A.23 B.24 C.25 D.26【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性推出函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則得到其周期，再計(jì)算其一個(gè)周期內(nèi)的和，最后代入計(jì)算即可.【詳解】為偶函數(shù)，則則關(guān)于對(duì)稱，奇函數(shù)，則，即，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則由其關(guān)于對(duì)稱有，則，則，作差有，為周期函數(shù)，且周期為4，因?yàn)?，，則，因，，則，，則，，，故選：C.8.已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出正四棱臺(tái)的高，再分析出最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，再根據(jù)三角函數(shù)得到其半徑大小，最后利用球的表面積公式即可.【詳解】作出如圖所示正四棱臺(tái)，其中為正四棱臺(tái)的高，為其斜高，因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2，8，側(cè)棱長(zhǎng)為，則，，，因?yàn)?，故半徑最大的球不與上下底面同時(shí)相切，，則，則，過(guò)作正四棱臺(tái)的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則，則，則更確定最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，即該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球半徑，球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是得到正四棱臺(tái)內(nèi)半徑的最大的球是與側(cè)面和底面同時(shí)相切的，再求出其高，得到側(cè)棱與底面夾角，作出軸截面圖形，再求出最大球半徑.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期即可判斷A；根據(jù)其對(duì)稱性即可判斷B，利用整體法求出函數(shù)值域即可判斷C；求導(dǎo)并舉出反例即可判斷D.【詳解】對(duì)A，周期為，故A對(duì)；對(duì)B，令，，則，若成立，則關(guān)于對(duì)稱，令，解得，因?yàn)?，則B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，當(dāng)時(shí)，則，則D錯(cuò)誤，故選：AC.10.在正方體中，為的中點(diǎn)，是底面上一點(diǎn)，則（）A.為中點(diǎn)時(shí)，B.為中點(diǎn)時(shí)，平面C.滿足的點(diǎn)在圓上D.滿足直線與直線成角的點(diǎn)在雙曲線上【答案】BCD【解析】【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)向量，對(duì)A計(jì)算即可判斷；對(duì)B利用線面平行的判定定理即可判斷；對(duì)C，計(jì)算得，則得到其軌跡；對(duì)D，根據(jù)線線夾角公式得到關(guān)于的方程，化簡(jiǎn)即可.【詳解】不失一般性，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，如圖建系，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，對(duì)A，為中點(diǎn)，則，與不垂直，故A錯(cuò)誤.對(duì)B，為中點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)?，則四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，故B正確；對(duì)C，令，在以為圓心，為半徑的圓上，故C正確；對(duì)D，，，化簡(jiǎn)得，其為雙曲線方程，故D正確，故選：BCD.11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合圖象和指、對(duì)函數(shù)之間的關(guān)系即可判斷AB；利用切線不等式即可判斷C；利用不等式即可判斷D.【詳解】對(duì)A，由圖可知：與交點(diǎn)，與的交點(diǎn)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一對(duì)反函數(shù)知：，關(guān)于對(duì)稱，故，，故A正確；對(duì)B，由A知，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由知，則，設(shè)，，則，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；則，則恒成立，即，當(dāng)時(shí)取等；令，則有，因?yàn)?，則，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)，，則，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；則，即在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)取等，令，則，即，因?yàn)?，則，則，故，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題AB選項(xiàng)的關(guān)鍵是充分利用圖象并結(jié)合指、函數(shù)的關(guān)系，而CD選項(xiàng)的關(guān)鍵在于兩個(gè)不等式和的運(yùn)用.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)a為實(shí)數(shù)，若函數(shù)在處取得極大值，則a值為______．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出的值即可．【詳解】解：，令，解得；或，若函數(shù)在處取得極大值，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.滿足題意.故答案為：．13.已知隨機(jī)變量．若，則__________，若，則的方差為__________．【答案】①.0.4##②.64【解析】【分析】由題意可知：，根據(jù)方差的性質(zhì)可得；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得.【詳解】由題意可知：，即，所以；因?yàn)?，且，所?故答案為：0.4；64.14.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線．若的交點(diǎn)在上（均在軸上方，且，則的離心率為__________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，可得的方程，聯(lián)立方程求得，結(jié)合對(duì)稱性可知，進(jìn)而列式求，即可得離心率.【詳解】設(shè)，，由題意可知：，則直線的斜率，可知的方程為，同理可得：的方程為，聯(lián)立方程，解得，即，因?yàn)樵谏?，可知關(guān)于x軸對(duì)稱，且，則，可得，又因?yàn)?，即，由題意可得：，整理得，解得或（舍去），則，所以的離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角的對(duì)邊分別為．（1）求；（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等變換得，則得到的大??；（2）利用三角形面積公式得，再結(jié)合余弦定理得的值，則得到其周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理，得，即，?因?yàn)樵谥?，，所?又因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，得.由，即，所以.由余弦定理，得，即，化簡(jiǎn)得，所以，即，所以的周長(zhǎng)為.16.如圖，在直三棱柱中，，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：平面；（2）設(shè)二面角的大小為，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，得出相關(guān)向量，求出，再結(jié)合線面垂直的判定即可；（2）求出相關(guān)法向量，得到，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.【小問(wèn)1詳解】以為基底建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，.當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以.又平面平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，不妨取.因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為.所以，所以.又因?yàn)?，易知在上單調(diào)遞減，所以.17.已知函數(shù)．（1）若，求的最小值；（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和，若，求證：．【答案】（1）0（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得的最小值；（2）當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)，結(jié)合（1）可得，進(jìn)而可得，利用裂項(xiàng)相消法分析證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，則，且，當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，若，則，滿足；若，由（1）可知：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，可得，且，可得，所以；綜上所述：.18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)交于兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)的中點(diǎn)為，且交于點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求；（3）設(shè)在點(diǎn)處的切線與分別交于點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【答案】（1）（2）（3）3【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，再聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，最后根據(jù)焦點(diǎn)弦公式得到，則得到拋物線方程；（2）首先得到，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到兩條切線方程，再計(jì)算出的坐標(biāo)，求出值則得到相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出；（3）首先證明出，再計(jì)算出的表達(dá)式，從而得到其最小值.【小問(wèn)1詳解】由題意，直線的斜率必存在.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，即.所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，則，代入直線得，則中點(diǎn).因?yàn)?，所以，則直線方程為，即，同理，直線方程為，所以，，所以.因?yàn)?，即，此時(shí)，所以直線的方程為，代入，得，所以，所以.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，所以直線方程為，代入，得，所以，所以為的中點(diǎn).因?yàn)樵谔幍那芯€斜率，所以在處的切線平行于，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.由(1)中式得，所以，因?yàn)橹本€方程為，所以.又到直線的距離，所以，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)所以，所以四邊形面積的最小值為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)的關(guān)鍵是找到，再結(jié)合焦點(diǎn)弦和點(diǎn)到直線距離公式得到的表達(dá)式，從而得到其最小值.19.“熵”常用來(lái)判斷系統(tǒng)中信息含量的多少，也用來(lái)判斷概率分布中隨機(jī)變量的不確定性大小，一般熵越大表示隨機(jī)變量的不確定性越明顯．定義：隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)取值的概率為，其單位為bit的熵為，且．（當(dāng)，規(guī)定．）（1）若拋擲一枚硬幣1次，正面向上的概率為，正面向上的次數(shù)為，分別比較與時(shí)對(duì)應(yīng)的大小，并根據(jù)你的理解說(shuō)明結(jié)論的實(shí)際含義；（2）若拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，設(shè)表示正面向上的總次數(shù)，表示第次反面向上的次數(shù)（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如時(shí)，．對(duì)于兩個(gè)離散的隨機(jī)變量，其單位為bit的聯(lián)合熵記為，且．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值；（ⅱ）求證：．【答案】（1）答案見解析（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)定義代入計(jì)算，再比較大小