第06講 圓的面積（二）-2023年六年級上冊數(shù)學(xué)暑假銜接課（北師大版）

第06講

圓的面積（二）【知識梳理】1、圓的面積計(jì)算公式的應(yīng)用已知半徑求面積，直接用公式S=πr2計(jì)算；已知周長求面積，用公式S=π（）2計(jì)算。2、圓的面積計(jì)算公式的有趣推導(dǎo)由三角形的面積公式推導(dǎo)圓的面積公式的方法：圓的面積=三角形的面積===πr2【典型例題】例1大圓的周長是小圓周長的2倍，如果小圓的面積是，那么大圓的面積是（

）。A． B． C． D．【分析】圓的周長＝π×2×半徑，大圓的周長是小圓的2倍，即大圓半徑是小圓半徑的2倍，由此可知，大圓的面積是小圓面積的4倍，由此求出大圓的面積?！驹斀狻?.28×4＝25.12（dm2）故答案為：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的周長公式、面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵熟記公式。例2把半徑1分米的圓沿半徑平均分成32份，然后拼成一個近似的長方形，這個長方形的長是()分米，面積是()分米2?！痉治觥窟@個長方形的長相當(dāng)于圓周長的一半，長方形的寬就是圓的半徑，長方形的面積等于長×寬，據(jù)此解答?！驹斀狻?.14×（1×2）÷2＝3.14×2÷2＝3.14（分米）3.14×1＝3.14（分米2）【點(diǎn)睛】考查了圓的面積的公式的推導(dǎo)，學(xué)生應(yīng)理解掌握。例3某學(xué)校有一個周長為24m的正方形花園，在它的中央有一個直徑為4m的圓形花圃，園藝工王師傅想。在花圃周圍修建一個盡可能寬的環(huán)形走道，剩下的四個角再種上各種各樣的花。（1）請?jiān)趫D中畫出環(huán)形走道。（2）如果環(huán)形走道每平方米的造價是250元，那么修建這個環(huán)形走道一共要花費(fèi)多少元？【分析】（1）根據(jù)題意，在正方形中畫出最大的圓即是盡可能寬的環(huán)形走道。測量出圖上正方形的邊長，以圓形花圃的圓心為圓心，以正方形邊長的一半為半徑畫圓即可。（2）需要先求出環(huán)形走道的面積。正方形的周長是24米，則它的邊長是24÷4＝6（米），即環(huán)形走道的外圓直徑是6米，已知內(nèi)圓的直徑是4米，根據(jù)“環(huán)形面積＝π（R2－r2）”即可求出環(huán)形面積。再用環(huán)形面積乘每平方米的造價即可求出修建這個環(huán)形走道一共要花費(fèi)多少元?！驹斀狻浚?）（2）24÷4÷2＝3（米）4÷2＝2（米）3.14×（32－22）＝3.14×5＝15.7（平方米）15.7×250＝3925（元）答：修建這個環(huán)形走道一共要花費(fèi)3925元。【點(diǎn)睛】本題主要考查圓環(huán)的面積。明確外圓和內(nèi)圓的半徑后，根據(jù)環(huán)形的面積公式即可解答?！具^關(guān)檢測】一、選擇題1．一個圓環(huán)紙墊的外圓直徑是4厘米，內(nèi)圓直徑是2厘米，那么這個紙墊的面積是（

）平方厘米。A．37.68 B．9.42 C．6.28 D．3.142．下面是推導(dǎo)圓的面積的方法，哪種推導(dǎo)過程中有錯誤信息（

）。A．B．C．D．3．在一個直徑是20米的圓形花壇里栽花苗，如果每平方米可栽4株花苗，那么栽滿這個花壇需花苗（

）株。A．2512 B．5024 C．628 D．12564．一個環(huán)形，內(nèi)圓半徑是3分米，外圓半徑是5分米，這個環(huán)形的面積是多少平方分米？列式正確的有：（

）。A．3.14×（5×2－3×2） B．3.14×52－3.14×32C．3.14×52－32 D．3.14×5×2－3×25．小琛是這樣推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式的。他把一個用草繩編成的圓形茶杯墊片沿著半徑剪開，然后把草繩拼成一個近似的等腰三角形，那么這個三角形的底就是原來茶杯墊片的（

）。A．半徑 B．周長 C．直徑 D．周長的一半二、填空題6．如圖，圓的直徑是()厘米，一個圓的面積是()平方厘米。7．一張正方形紙片的周長是4厘米，它的面積是()平方厘米；如果將它剪成一個最大的圓，圓的面積是()平方厘米。8．如圖，把圓分成若干等份，剪拼成一個近似的長方形。已知長方形的寬是6厘米，則長是()厘米，這個圓的面積是()平方厘米。

9．一個直徑6厘米的杯墊，如圖剪開，得到的三角形的底是()厘米，高是()厘米。10．惠城區(qū)某村一個圓形池塘的周長251.2米，池塘外周圍（陰影）是一條2米寬的水泥路，水泥路的面積是_____。三、計(jì)算題11．計(jì)算下圖陰影部分的面積。（單位：厘米）12．求下面圖形陰影部分面積。（單位：厘米）四、解答題13．公園里有一塊半徑為10米的圓形草地。（1）如果在草地的外圍鋪一條寬2米的環(huán)形路方便游客行走，這條環(huán)形路的面積是多少平方米？（2）準(zhǔn)備給這塊草地安裝自動旋轉(zhuǎn)噴灌裝置。現(xiàn)在有射程為20米、10米、12米的三種裝置，你認(rèn)為選哪種射程的裝置比較合適？安裝在什么位置？14．某小學(xué)為提升校園環(huán)境，新建了一個半徑為3米的圓形花壇，在這個花壇周圍鋪上一條1米寬的鵝卵石路，如果鋪每平方米鵝卵石路需要50元，鋪完這條鵝卵石路共需要多少元？15．小狐貍有兩個4寸的圓形蛋糕（直徑約為10厘米），小豬有一個8寸同款圓形蛋糕（直徑約為20厘米），小狐貍想用自己的兩個4寸蛋糕換小豬的一個8寸蛋糕，如果你是小豬，你愿意換嗎？為什么？（畫一畫或算一算來說明理由。）16．一個圓形蓄水池，它的周長是62.8米，蓄水池的占地面積是多少平方米？沿著圓形蓄水池的一周建一條寬2米的小路，小路的面積是多少平方米？參考答案1．B【分析】圓環(huán)面積＝外圓面積－內(nèi)圓面積，圓面積＝πr2，據(jù)此列式求出這個紙墊的面積?！驹斀狻?.14×（4÷2）2－3.14×（2÷2）2＝3.14×4－3.14×1＝12.56－3.14＝9.42（平方厘米）所以，這個紙墊的面積是9.42平方厘米。故答案為：B【點(diǎn)睛】本題考查了圓環(huán)的面積，掌握圓環(huán)和圓的面積計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。2．C【分析】由于四個選項(xiàng)是把圓拼成近似的長方形，平行四邊形，三角形；則這些圖形和圓的面積相同，根據(jù)長方形的面積公式：長×寬；三角形的面積公式：底×高÷2，平行四邊形的面積公式：底×高，據(jù)此逐項(xiàng)分析即可?！驹斀狻緼．長方形的底是πr，寬是r，它的面積：πr2，即圓的面積是πr2；B．平行四邊形的底是πr，高是r，它的面積是：πr2，即圓的面積是πr2；C．三角形的底是πr，高是r，則它的面積：πr2÷2，不是圓的面積；D．平行四邊形的底是πr，高是r，它的面積是：πr2，即圓的面積是πr2；由此可知，推導(dǎo)過程中有錯誤信息的是第三個圖形。故答案為：C【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握圓面積公式的推導(dǎo)過程，以及圓面積公式的應(yīng)用。3．D【分析】根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，代入數(shù)據(jù)，求出這個圓形花壇的面積，再用圓形花壇的面積×4，即可求出這個花壇需花的株數(shù)?！驹斀狻?.14×（20÷2）2×4＝3.14×100×4＝314×4＝1256（株）在一個直徑是20米的圓形花壇里栽花苗，如果每平方米可栽4株花苗，那么栽滿這個花壇需花苗1256株。故答案為：D【點(diǎn)睛】熟練掌握圓的面積公式是解答本題的關(guān)鍵。4．B【分析】圓環(huán)的面積＝π×（R2－r2），由此代入數(shù)據(jù)，然后選擇即可?！驹斀狻?.14×（52－32）＝3.14×16＝50.24（平方分米）3.14×（52－32）＝3.14×52－3.14×32故答案為：B【點(diǎn)睛】此題考查了圓環(huán)的面積公式的計(jì)算應(yīng)用。5．B【分析】由圖可知三角形的高等于圓的半徑r，設(shè)三角形的底是a，根據(jù)三角形與圓的面積相等列出方程，求出三角形的底與原來茶杯墊片的關(guān)系?！驹斀狻拷猓涸O(shè)圓形的半徑為r，三角形的底是a，根據(jù)題意得：ar÷2＝πr2ar＝2πr2a＝2πr即三角形底等于原來茶杯墊片的周長。故答案為：B【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是理解三角形的面積等于圓面積。6．850.24【分析】根據(jù)直徑與半徑的關(guān)系：直徑＝半徑×2，代入數(shù)據(jù)，求出直徑；根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，代入數(shù)據(jù)，求出一個圓的面積。【詳解】4×2＝8（厘米）3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米）如圖，圓的直徑是8厘米，一個圓的面積是50.24平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查在同一個圓內(nèi)，直徑與半徑的關(guān)系，以及圓的面積公式的應(yīng)用。7．10.785【分析】根據(jù)正方形周長公式：周長＝邊長×4，邊長＝周長÷4，代入數(shù)據(jù)，求出正方形邊長；再根據(jù)正方形面積公式：面積＝邊長×邊長，代入數(shù)據(jù)，求出正方形面積；正方形內(nèi)剪最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長；再根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，代入數(shù)據(jù)，即可解答?！驹斀狻?÷4＝1（厘米）1×1＝1（平方厘米）3.14×（1÷2）2＝3.14×0.52＝3.14×0.25＝0.785（平方厘米）一張正方形紙片的周長是4厘米，它的面積是1平方厘米；如果將它剪成一個最大的圓，圓的面積是0.785平方厘米?！军c(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是明確正方形內(nèi)剪最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。8．18.84113.04【分析】觀察圖形可知，這個近似的長方形的長等于圓周長的一半，寬等于圓的半徑。從圖中可知，這個圓的半徑是6厘米。圓的周長＝2πr，據(jù)此代入數(shù)據(jù)求出圓的周長，再除以2即可求出長方形的長；圓的面積＝πr2，據(jù)此代入數(shù)據(jù)計(jì)算?！驹斀狻?×2×3.14÷2＝37.68÷2＝18.84（厘米）3.14×62＝3.14×36＝113.04（平方厘米）則長是18.84厘米，這個圓的面積是113.04平方厘米。【點(diǎn)睛】明確長方形的長、寬與圓的周長、半徑的關(guān)系，再熟練運(yùn)用圓的周長和面積公式即可解答。9．18.843【分析】將一個直徑6厘米的杯墊，如圖剪開得到的三角形，三角形的底是圓的周長，高是圓的半徑。根據(jù)圓的周長計(jì)算公式、半徑計(jì)算公式將數(shù)值代入可求得三角形的底與高。據(jù)此解答?！驹斀狻?.14×6＝18.84（厘米）6÷2＝3（厘米）得到的三角形的底是（18.84）厘米，高是（3）厘米?！军c(diǎn)睛】此題考查了圓的面積和三角形面積的關(guān)系，明確圓的周長是三角形的底是解答本題的關(guān)鍵。10．514.96平方米/514.96m2【分析】將數(shù)據(jù)代入圓的周長公式：C＝2πr，求出池塘的半徑，進(jìn)而得出外圓的半徑，代入圓環(huán)的面積公式計(jì)算即可?！驹斀狻?51.2÷3.14÷2＝40（米）40＋2＝42（米）3.14×（422－402）＝3.14×（1764－1600）＝3.14×164＝514.96（平方米）【點(diǎn)睛】本題考查圓的周長公式及圓環(huán)的面積公式。11．10.75平方厘米【分析】觀察圖形可知，用長方形的面積減去半圓的面積即可求出陰影部分的面積。長方形的面積＝長×寬，半圓的面積＝πr2÷2，據(jù)此解答?！驹斀狻?0÷2＝5（厘米）10×5－3.14×52÷2＝50－78.5÷2＝50－39.25＝10.75（平方厘米）陰影部分的面積是10.75平方厘米。12．37.68平方厘米【分析】根據(jù)圓環(huán)的面積公式：面積＝π×（大圓半徑2－小圓半徑2），代入數(shù)據(jù)，即可解答。【詳解】3.14×（42－22）＝3.14×（16－4）＝3.14×12＝37.68（平方厘米）13．（1）138.16平方米（2）選擇射程為10米的比較合適，安裝在圓心。【分析】（1）求這條環(huán)形路的面積，就是求圓環(huán)的面積；根據(jù)圓環(huán)的面積公式：面積＝π×（大圓半徑2－小圓半徑2），代入數(shù)據(jù)，即可求出這條環(huán)路的面積。（2）應(yīng)選射程和半徑相等的噴灌裝置，并且安裝在圓心的位置，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）3.14×[（10＋2）2－102]＝3.14×[122－100]＝3.14×[144－100]＝3.14×44＝138.16（平方米）答：這條環(huán)形路的面積是138.16平方米。（2）因?yàn)閳A形草地的半徑為10米，所以選用射程為10米的裝置比較合適，安裝在圓形草坪的圓心?！军c(diǎn)睛】熟練掌握圓環(huán)的面積公式是解答本題的關(guān)鍵。14．1099元【分析】根據(jù)題意可知鵝卵石路的面積是環(huán)形面積，根據(jù)環(huán)形面積公式：S＝π（R2－r2），把數(shù)據(jù)代入可求出鵝卵石路的面積，然后用所求面積乘每平方米鵝卵石路需要的價錢，即可解答。【詳解】3.14×（3＋1）2－3.14×32＝3.14×16－3.14×9＝50.24－28.26＝21.98（平方米）21.98×50＝1099（元）答：鋪完這條鵝卵石路共需要1099元。【點(diǎn)睛】此題主要考查環(huán)形面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式。15．不愿意換；因?yàn)樾『偟牡案鉀]有小豬蛋糕的面積大【分析】圓的面積＝πr2，據(jù)此代入數(shù)據(jù)分別計(jì)算兩個4寸蛋糕的面積之和、一個8寸蛋糕的面積，再進(jìn)行比較即可解答?！驹斀狻績蓚€4寸的面積：3.14×（10÷2）2×2＝3.14×25×2＝157（平方厘米）一個8寸的面積：3.14×（20÷2）2＝3.14×100＝314（平方厘米）157＜314答：不愿意換，因?yàn)樾『偟牡案鉀]有小豬蛋糕的面積大?！军c(diǎn)睛】本題考查圓的面積的應(yīng)用。熟練運(yùn)用圓的面積公式是解題的關(guān)鍵。16．蓄水池面積：314平方米；小路面積：138.16平方米【分析】根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×2×半徑，半徑＝周長÷π÷2，求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，求出圓形蓄水池的面積；沿著圓形蓄水池的一周建一條2