2024年浙教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

八年級(jí)下冊(cè)學(xué)問(wèn)點(diǎn)及典型例題

第一章二次根式

1.二次根式：一般地，式子正，(a20)叫做二次根式.留意：(1)若aNO這個(gè)條件不成立,

則77不是二次根式；(2)V7是一個(gè)重要的非負(fù)數(shù)，即；品20.

2.重要公式：(1)(Va)2=a(a>0),(2)=IaI=(a留意運(yùn)用a=Q^)2(a>0).

11[-a(a<0)

3.積的算術(shù)平方根：疝(a>0,b>0),積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)

平方根的積；留意：本章中的公式，對(duì)字母的取值范圍一般都有栗求.

4.二次根式的乘法法則：Va-Vb=Vab(a>0,b>0).

5.二次根式比較大小的方法:

(1)利用近似值比大?。?/p>

(2)把二次根式的系數(shù)移入二次根號(hào)內(nèi)，然后比大小;

(3)分別平方，然后比大小.

￡=彳(a>0,b>0),商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除

6.商的算術(shù)平方根:

以除式的算術(shù)平方根.

7.二次根式的除法法則:

Va

(1)^■(a>0,b>0);(2)Va4-7b=Ja+b(a>0,b>0);

而

(3)分母有理化：化去分母中的根號(hào)叫做分母有理化；詳細(xì)方法是：分式的分子與分母同乘

分母的有理化因式，使分母變?yōu)檎?

8.常用分母有理化因式：Va與Va,Va-Vb與Va+Vb,mVa+nVb與mVa-nVb,

它們也叫互為有理化因式.

9.最簡(jiǎn)二次根式：

(1)滿意下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式，①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式

是整式，②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)的盡的因數(shù)或因式；

(2)最簡(jiǎn)二次根式中，被開(kāi)方數(shù)不能含有小數(shù)、分?jǐn)?shù)，字母因式次數(shù)低于2,且不含分母；

(3)化簡(jiǎn)二次根式時(shí)，往往須栗把被開(kāi)方數(shù)先分解因數(shù)或分解因式；

(4)二次根式計(jì)算的最終結(jié)果必需化為最簡(jiǎn)二次根式.

10.同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，假如被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次

根式叫做同類(lèi)二次根式.

11.二次根式的混合運(yùn)算：

(1)二次根式的混合運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方六種代數(shù)運(yùn)算，以前學(xué)過(guò)的，在

有理數(shù)范圍內(nèi)的一切公式和運(yùn)算律在二次根式的混合運(yùn)算中都適用；

(2)二次根式的運(yùn)算一般要先把二次根式進(jìn)行適當(dāng)化簡(jiǎn)，例如：化為同類(lèi)二次根式才能合并；

除法運(yùn)算有時(shí)轉(zhuǎn)化為分母有理化或約分更為簡(jiǎn)便；運(yùn)用乘法公式等.

其次章一元二次方程

1、相識(shí)一元二次方程：

概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且可以化為依2+云+c=o(a,仇c為常數(shù)，a#0)的整式

方程叫一元二次方程。

構(gòu)成一元二次方程的三個(gè)重要條件：

①、方程必需是整式方程(分母不含未知數(shù)的方程)。

如：x2----3=0是分式方程，所以必----3=0不是一■元二次方程。

xx

②、只含有一個(gè)未知數(shù)。

③、未知數(shù)的最高次數(shù)是2次。

2、一元二次方程的一般形式：

一■般形式：ax2+bx+c=O(aH0),系數(shù)。，仇c中，a肯定不能為0,b、c則可以為0,

所以以下幾種情形都是一元二次方程：

①、彳段如Z?=0,cH0,則得t?2+c=0,例如：3x2-2=0；

②、彳度如Z?H0,c=0,則得雙2+公=0,例如：3%2+4%=0;

③、彳度如b=0,c=0,則得以2=0,例如：3x2=0；

④、彳度如人H0,C/0,則得以2+近+0=0,例如：3x2+4x-2=0o

其中，ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)

項(xiàng)。任何一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理(去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)…)都可以化為一般形式。

例題：將方程(x-3)(3x+1)=爐化成一元二次方程的一般形式.

解：(x—3)(3X+1)=%2

去括號(hào)，得：3x2-8x-3=x2

移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得：2d-8x-3=0(一般形式的等號(hào)右邊肯定等于0)

3、一元二次方程的解法:

(1)、干脆開(kāi)方法：(利用平方根的定義干脆開(kāi)平方求一元二次方程的解)形式：(x+a)2=A

(2)、配方法：(理論依據(jù)：依據(jù)完全平方公式：a1±2ab+b2=(4z±Z?)2,將原方程配成

(x+a)2=b的形式，再用干脆開(kāi)方法求解.)

(3)、公式法：(求根公式：—皿)

2a

(4)、分解因式法：(理論依據(jù)：a?b=U,貝Ua=O或人=0;利用提公因式、運(yùn)用

公式、十字相乘等分解因式方法將原方程化成兩個(gè)因式相乘等于0的形

4、一元二次方程的應(yīng)用

例1:商場(chǎng)某種新商品每件進(jìn)價(jià)是120元，在試銷(xiāo)期間發(fā)覺(jué)，當(dāng)每件商品售價(jià)為130

元時(shí)，每天可銷(xiāo)售70件，當(dāng)每件商品售價(jià)高于130元時(shí)，每漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量就削減1件.據(jù)

此規(guī)律，請(qǐng)回答：

(1)當(dāng)每件商品售價(jià)定為170元時(shí)，每天可銷(xiāo)售多少件商品？商場(chǎng)獲得的日盈利是多少？

(2)在上述條件不變、商品銷(xiāo)售正常的狀況下，每件商品的銷(xiāo)售價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈

利可達(dá)到1600元？(提示：盈利=售價(jià)一進(jìn)價(jià))

分析：這是一個(gè)一元二次方程應(yīng)用題，關(guān)鍵在于理清數(shù)量關(guān)系，列出方程。

(1)解：銷(xiāo)售件數(shù)：70-(170-130)x1=30(件)日獲利：30x(170—120)=1500(元)

(2)解：設(shè)每件商品的銷(xiāo)售價(jià)定為％元

由題意得：(九—120)[70—(x—130)x1]=1600

整理得：%2-320%+25600=0

即：(%-160)2=0

二.％=160

答：每件商品的銷(xiāo)售價(jià)定為160元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)1600元。

例2如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)長(zhǎng)方形地面，請(qǐng)視察下列圖形，并解答有

關(guān)問(wèn)題：

(1)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為(用含近謝代數(shù)式表示，n表示第n個(gè)圖

形)

（2）上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的長(zhǎng)方形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí)n的值；

（3）是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明。

分析：這是一個(gè)圖形數(shù)列題，解題關(guān)鍵在于理清數(shù)量關(guān)系。黑瓷磚由四部分組成，比較難求。

所以先考慮白瓷磚數(shù)，視察白瓷磚數(shù)量改變，不難發(fā)覺(jué)，第〃個(gè)圖形中白瓷磚數(shù)為“?（”+1）。

同時(shí)再視察整個(gè)圖形瓷磚數(shù)量改變，易得，第〃個(gè)圖形中總瓷磚數(shù)為5+2>5+3）塊。

解：（1）"+5”+6

（2）由題意得：H2+5?+6=5O6,即H2+5?-500=0

，（"-20）5+25）=0

=20,n2=—25（不合題意，舍去）。

（3）白瓷磚：/+〃（塊）

黑瓷磚：4/t+6（塊）

由題意得：n2+n=4n+6

n2—3n—6=0

解得：x=3±*（不合題意，舍去）

2

不存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等的情形。

第三章數(shù)據(jù)分析初步

1、平均數(shù)

平均數(shù)是衡量樣本（求一組數(shù)據(jù)）和總體平均水平的特征數(shù)，通常用樣本的平均數(shù)去估

計(jì)總體的平均數(shù)。

平均數(shù)：把一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商。平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平

均水平，平均數(shù)分為算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)。

%+々+七+…+X“）,

一般的，有n個(gè)數(shù)玉,%2，%3???，%〃，我們把〃叫做這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平

均數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)平均數(shù)，記做x（讀作“x拔”）

（定義法）

當(dāng)所給一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)多次出現(xiàn)的數(shù)據(jù)，常選用加權(quán)平均數(shù)公式。

--Xl-ffz?......Xkfk

n且千1+千2+...+fk=n（加權(quán)法），其中亦力,力???力表

示各相同數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為權(quán)，“權(quán)”越大，對(duì)平均數(shù)的影響就越大，加權(quán)平均數(shù)的分母恰

好為各權(quán)的和。

當(dāng)給出的一組數(shù)據(jù)，都在某一常數(shù)a上下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡(jiǎn)化平均數(shù)公式？=.Y+U,

其中a是取接近于這組數(shù)據(jù)平均數(shù)中比較“整”的數(shù)；□

2、眾數(shù)與中位數(shù)

平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是用來(lái)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量。平均數(shù)的大小與每一個(gè)數(shù)據(jù)都

有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)的波動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的波動(dòng)，

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個(gè)數(shù)據(jù)太高或太低，用平均數(shù)來(lái)描述整體趨勢(shì)則不合適，用中位數(shù)或眾

數(shù)則較合適。中位數(shù)與數(shù)據(jù)排列有關(guān)，個(gè)別數(shù)據(jù)的波動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)影響；

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，可用眾數(shù)來(lái)描述。

眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)（有時(shí)不止一個(gè)），叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）叫

做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

例1、求下面一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。

10,20,80,40,30,90,50,40,50,40o

3、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

用“先平均，再求差，然后平方，最終再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的

1

2222

狀況，這個(gè)結(jié)果叫方差，計(jì)算公式是s=n［（X,-A）+（x2-A）+???+（xn-A）］；

一般的，一組數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根

222

S=^-[(X1-x)+(x2-x)+...+(xn-x)]稱(chēng)為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

標(biāo)準(zhǔn)差=5/方差

方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的一個(gè)量，其值越大，波動(dòng)越大，也越不穩(wěn)

定或不整齊?；蛘哒f(shuō)，離散程度小就越穩(wěn)定，離散程度大就不穩(wěn)定。

第四章平行四邊形

1、多邊形

四邊形的內(nèi)角和等于

n邊形的內(nèi)角和為(n23)o

n邊形的對(duì)角線的總條數(shù)(n23)。

2、平行四邊形的性質(zhì)

1、叫做平行四邊形。平行四邊形用符號(hào)“”表示。

2、平行四邊形的角有什么關(guān)系：,o

3、平行四邊形的邊有什么關(guān)系：,o

4、平行四邊形的對(duì)角線有什么關(guān)系：o

3、中心對(duì)稱(chēng)

1、假如一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，所得到的圖形能夠和原來(lái)的圖形相互重合，那么這個(gè)圖形叫做中

心對(duì)稱(chēng)(pointsymmetry)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫對(duì)稱(chēng)中心。

2、對(duì)稱(chēng)中心平分連結(jié)兩個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的線段

4、平行四邊形的判定

1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

3、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

4、對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形

5、三角形的中位線

1、叫做三角形的中位線。

2、三角形的中位線的定理是o

6、反證法

定義：在證明數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，先假設(shè)命題結(jié)論的反面成立，在這個(gè)前提下，若推出的結(jié)果

與定義、定理、公理相沖突，或與命題中的已知條件相沖突，或與假設(shè)相沖突，從而說(shuō)明命

題結(jié)論的反面不行能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立，這種證明方法叫做反證法。

反證法的步驟：1、假設(shè)命題反面成立；2、從假設(shè)動(dòng)身，經(jīng)過(guò)推理得出和反面命題沖突，或

者與定義、公理、定理沖突；3、得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的，即所求證命題成立.簡(jiǎn)而言之

就是“反設(shè)、歸謬、結(jié)論”

沖突的來(lái)源：1、與原命題的條件沖突；2、導(dǎo)出與假設(shè)相沖突的命題；3、導(dǎo)出一個(gè)恒假命

題.

適用與待證命題的結(jié)論涉及“不行能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼

時(shí).

苑圖，直線卬/〃在同一平面內(nèi)，且，〃//八1,

條證：,

證明：12------------導(dǎo)

假設(shè)，3次G,即，3與G相交，記交點(diǎn)為川3-----------

而，〃/〃/〃，工

這與“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線:

平行”相矛盾，

所以假設(shè)不成立，

即，3〃，2

第五章特殊平行四邊形

矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形，也說(shuō)是長(zhǎng)方形

性質(zhì)：

矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線相等

矩形的對(duì)角線相等且相互平分。

特殊提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)

判定方法：

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（菱形是平行四邊形：一組鄰邊相等）

性質(zhì)：

菱形的四條邊都相等

菱形的兩條對(duì)角線相互垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

判定方法：

一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

對(duì)角線相互垂直平分的平行四邊形是菱形

對(duì)角線相互垂直平分的四邊形是菱形

四條邊都相等的四邊形是菱形

正方形：

定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形。

性質(zhì)：正方形既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì)。

正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸為對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線或?qū)蔷€所在的直線，也是中心對(duì)稱(chēng)

圖形，對(duì)稱(chēng)中心為對(duì)角線的交點(diǎn)。

判定：有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；

平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì):

平行四邊形矩形菱形正方形

圖形A

//

Gh____八■

aa

c

1.對(duì)邊_______1.對(duì)邊________1.對(duì)邊______且四1.對(duì)邊_____且四

且_______;且________;條邊都_____;條邊都____;

2.對(duì)角_______;2.對(duì)角________2.對(duì)角________;2.對(duì)角____且四個(gè)

性質(zhì)鄰角_______;且四個(gè)角都是3.對(duì)角線_______角都是____;

3.對(duì)角線___________,_____________且每3.對(duì)角線_______

___________________93.對(duì)角線_______條對(duì)角線______________且每條對(duì)角

____________________9__________,線__________;

面積

第六章反比例函數(shù)

（―）反比例函數(shù)的概念

_k

1.y~l（上工。）可以寫(xiě)成y=h"（七wO）的形式，留意自變量x的指數(shù)為-1,在解

決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特殊留意系數(shù)七H。這一限制條件；

k

y=-

2.X（上H0）也可以寫(xiě)成xy=k的形式，用它可以快速地求出反比例函數(shù)解析式中

的k,從而得到反比例函數(shù)的解析式；

k

V=-

3.反比例函數(shù)X的自變量XH。，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無(wú)交點(diǎn).

（二）反比例函數(shù)的圖象

k

y——

在用描點(diǎn)法畫(huà)反比例函數(shù)X的圖象時(shí)，應(yīng)留意自變量x的取值不能為0,且x應(yīng)對(duì)稱(chēng)

取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）.

（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)

k>0k<0

圖像雙曲線

象限第一、三象限其次、四象限

增減性y隨x的增大而減小y隨x的增大而增大

改變趨勢(shì)雙曲線無(wú)限接近于x、y軸，但恒久不會(huì)與坐標(biāo)軸相交

對(duì)稱(chēng)性雙曲線既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱(chēng)，即若（a,b）在雙曲線的一支上，則