4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具．在實(shí)際情景中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類型來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律．2.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情景中的具體問(wèn)題，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義．3.培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法分析問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．活動(dòng)方案我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)．面臨一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫(huà)它呢？活動(dòng)一利用已知函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題例

1人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題．認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù)．早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型y＝y(tǒng)0ert，其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0表示t＝0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率．(1)根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國(guó)1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬(wàn)和67207萬(wàn)．根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在1950～1959年期間的具體人口增長(zhǎng)模型；(2)利用(1)中的模型計(jì)算1951～1958年各年末的人口總數(shù)．查閱國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布的我國(guó)在1951～1958年間各年末的實(shí)際人口總數(shù)，檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；(3)以(1)中的模型作預(yù)測(cè)，大約在什么時(shí)候我國(guó)人口總數(shù)達(dá)到13億？【解析】(1)由題意知y0＝55196，設(shè)1950～1959年期間我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為r，則根據(jù)馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型，有67207＝55196e9r，由計(jì)算工具得r≈0.021876.因此我國(guó)在1950～1959年期間的人口增長(zhǎng)模型為y＝55196e0.021876

t,t∈[0,9]．(2)分別取t＝1,2，…，8，由y＝55196e0.021876

t可得我國(guó)在1951～1958年間的各年末人口總數(shù)；查閱國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站，得到我國(guó)1951～1958年各年末的實(shí)際人口總數(shù)，如下表所示.年份1951195219531954計(jì)算所得人口總數(shù)/萬(wàn)56417576655894060243實(shí)際人口總數(shù)/萬(wàn)56300574825879660266年份1955195619571958計(jì)算所得人口總數(shù)/萬(wàn)61576629386433065753實(shí)際人口總數(shù)/萬(wàn)61465628286456365994根據(jù)1950～1959年我國(guó)人口總數(shù)的實(shí)際數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并畫(huà)出函數(shù)y＝55196e0.021876

t(t∈[0,9])的圖象．由圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合．(3)將y＝130000代入y＝55196e0.021876

t，由計(jì)算工具得t≈39.16，所以如果人口按照(1)中的模型增長(zhǎng)，那么大約在1950年后的第40年(即1990年)，我國(guó)的人口就已達(dá)到13億．思考???事實(shí)上，我國(guó)1990年的人口數(shù)為11.43億，直到2005年才突破13億．對(duì)由函數(shù)模型所得的結(jié)果與實(shí)際情況不符，你有何看法？【解析】

因?yàn)槿丝诨鶖?shù)較大，人口增長(zhǎng)過(guò)快，與我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)生了較大矛盾，所以我國(guó)從20世紀(jì)70年代逐步實(shí)施了計(jì)劃生育政策，因此這一階段的人口增長(zhǎng)條件并不符合馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型的條件，自然就出現(xiàn)了依模型得到的結(jié)果與實(shí)際不符的情況．在用已知的函數(shù)模型刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意模型的適用條件．例

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2010年，考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料(草裹泥)上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？活動(dòng)二自建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意的問(wèn)題用函數(shù)有關(guān)的知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，難點(diǎn)是理解題意，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型一定要過(guò)好三關(guān)：(1)事理關(guān)：通過(guò)閱讀、理解，明白問(wèn)題講的是什么，熟悉實(shí)際背景，為解題打開(kāi)突破口．(2)文理關(guān)：將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)文字關(guān)系．(3)數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，對(duì)已知數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢索，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．例

3假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？活動(dòng)三函數(shù)模型的選擇問(wèn)題【解析】

設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進(jìn)行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進(jìn)行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.4×2x－1(x∈N*)進(jìn)行描述．三個(gè)模型中，第一個(gè)是常數(shù)函數(shù)，后兩個(gè)都是增函數(shù)．要對(duì)三個(gè)方案作出選擇，就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析．我們先用信息技術(shù)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況.x方案一方案二方案三y增加量/元y增加量/元y增加量/元140

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0.4

240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.2x方案一方案二方案三y增加量/元y增加量/元y增加量/元6400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4再畫(huà)出三個(gè)函數(shù)的圖象如下：由表和圖可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長(zhǎng)量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長(zhǎng)”，其“增長(zhǎng)量”是成倍增加的，從第7天開(kāi)始，方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多，這種增長(zhǎng)速度是方案一、方案二所無(wú)法企及的．從每天所得回報(bào)看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天開(kāi)始，方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多，到第30天，所得回報(bào)已超過(guò)2億元．下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù)．通過(guò)信息技術(shù)列表如下：

因此，投資1～6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天(含11天)以上，應(yīng)選擇方案三．方案天數(shù)1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8上述例子只是一種假想情況，但從中可以看到，不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型，增長(zhǎng)變化存在很大差異．某公司預(yù)投資100萬(wàn)元，有兩種投資可供選擇：甲方案年利率10%，按單利計(jì)算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年復(fù)利一次計(jì)算，5年后收回本金和利息．哪種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少萬(wàn)元？(結(jié)果精確到0.01萬(wàn)元)【解析】

按甲方案，每年利息100×10%＝10(萬(wàn)元)，5年后本息合計(jì)150萬(wàn)元；按乙方案，第一年本息合計(jì)100×1.09，第二年本息合計(jì)100×1.092，…，5年后本息合計(jì)100×1.095≈153.86(萬(wàn)元)．故乙方案投資更有利，按乙方案投資5年可多得利息3.86萬(wàn)元．上市時(shí)間x(天)41036市場(chǎng)價(jià)y(元)905190不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)：(1)線性函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度不變的變化規(guī)律．(2)指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度急劇的變化規(guī)律．(3)對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律．(4)冪函數(shù)增長(zhǎng)模型適合于描述增長(zhǎng)速度一般的變化規(guī)律．因此，需抓住題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，恰當(dāng)、準(zhǔn)確地建立相應(yīng)變化規(guī)律的函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．某學(xué)校為了實(shí)現(xiàn)60萬(wàn)元的生源利潤(rùn)目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)招生人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在生源利潤(rùn)達(dá)到5萬(wàn)元時(shí)，按生源利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨生源利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)3萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的20%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個(gè)模型符合該校的要求？【解析】

借助工具作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)，觀察圖象可知，在區(qū)間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說(shuō)明只有按模型y＝log5x進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才符合學(xué)校的要求．檢測(cè)反饋245131.(2023·臨沂高一期末)某學(xué)生從家出發(fā)去學(xué)校，為了保證不遲到，他先跑了一段路，然后一直走到學(xué)校．下列圖中，縱軸表示該生離學(xué)校的距離d，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間t，較符合該生走法的圖象是(

)【解析】

隨著時(shí)間的增加，距學(xué)校的距離在減小，即函數(shù)圖象應(yīng)為減函數(shù)，排除A，C；曲線的斜率反映行進(jìn)的速度，斜率的絕對(duì)值越大速度越大，步行后速度變小，故排除B，所以較符合該生走法的圖象是選項(xiàng)D所給的圖形．【答案】D24513【答案】A24533.(多選)(2022·濰坊高一期中)圖1是某大型游樂(lè)場(chǎng)的游客人數(shù)x(萬(wàn)人)與收支差額y(萬(wàn)元)(門(mén)票銷售額減去投入的成本費(fèi)用)的函數(shù)圖象，銷售初期該游樂(lè)場(chǎng)為虧損狀態(tài)，為了實(shí)現(xiàn)扭虧為盈，游樂(lè)場(chǎng)采取了兩種措施，圖2和圖3中的虛線為采取了兩種措施后的圖象，則下列說(shuō)法中正確的是(

)12453A.圖1中點(diǎn)A的實(shí)際意義表示該游樂(lè)場(chǎng)的投入的成本費(fèi)用為1萬(wàn)元B.圖1中點(diǎn)B的實(shí)際意義表示當(dāng)游客人數(shù)為1.5萬(wàn)人時(shí)，該游樂(lè)場(chǎng)的收支恰好平衡C.圖2游樂(lè)場(chǎng)實(shí)行的措施是降低門(mén)票的售價(jià)D.圖3游樂(lè)場(chǎng)實(shí)行的措施是減少投入的成本費(fèi)用1【解析】

對(duì)于A，圖1中A的實(shí)際意義表示游樂(lè)場(chǎng)的投入成本為1萬(wàn)元，故A正確；對(duì)于B，圖1中B的實(shí)際意義表示當(dāng)游客人數(shù)為1.5萬(wàn)人時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的收支恰好平衡，故B正確；對(duì)于C，圖2游樂(lè)場(chǎng)實(shí)行的措施是提高門(mén)票的售價(jià)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圖3游樂(lè)場(chǎng)實(shí)行的措施是減少投入的成本費(fèi)用，故D正確．故選ABD.【答案】ABD24534.(2022·安徽石室中學(xué)高三練習(xí))假設(shè)某地2022年年初的物價(jià)為1，每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，則2030年年底物價(jià)的數(shù)值為_(kāi)_______.1【解析】

因?yàn)槊磕暌?%的增長(zhǎng)率遞增，所以經(jīng)過(guò)x年后的物價(jià)為(1＋5%)x＝1.05x，從2022年年初到2030年年底經(jīng)過(guò)了9年，所以2030年年底的物價(jià)為1.059.【答案】