4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標活動方案檢測反饋學(xué)習(xí)目標1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具．在實際情景中，會選擇合適的函數(shù)類型來刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律．2.結(jié)合現(xiàn)實情景中的具體問題，比較對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義．3.培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法分析問題、探索問題、解決問題的能力．活動方案我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來刻畫．面臨一個實際問題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？活動一利用已知函數(shù)模型求解實際問題例

1人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題．認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù)．早在1798年，英國經(jīng)濟學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型y＝y(tǒng)0ert，其中t表示經(jīng)過的時間，y0表示t＝0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率．(1)根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的數(shù)據(jù)，我國1950年末、1959年末的人口總數(shù)分別為55196萬和67207萬．根據(jù)這些數(shù)據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950～1959年期間的具體人口增長模型；(2)利用(1)中的模型計算1951～1958年各年末的人口總數(shù)．查閱國家統(tǒng)計局網(wǎng)站公布的我國在1951～1958年間各年末的實際人口總數(shù)，檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；(3)以(1)中的模型作預(yù)測，大約在什么時候我國人口總數(shù)達到13億？【解析】(1)由題意知y0＝55196，設(shè)1950～1959年期間我國人口的年平均增長率為r，則根據(jù)馬爾薩斯人口增長模型，有67207＝55196e9r，由計算工具得r≈0.021876.因此我國在1950～1959年期間的人口增長模型為y＝55196e0.021876

t,t∈[0,9]．(2)分別取t＝1,2，…，8，由y＝55196e0.021876

t可得我國在1951～1958年間的各年末人口總數(shù)；查閱國家統(tǒng)計局網(wǎng)站，得到我國1951～1958年各年末的實際人口總數(shù)，如下表所示.年份1951195219531954計算所得人口總數(shù)/萬56417576655894060243實際人口總數(shù)/萬56300574825879660266年份1955195619571958計算所得人口總數(shù)/萬61576629386433065753實際人口總數(shù)/萬61465628286456365994根據(jù)1950～1959年我國人口總數(shù)的實際數(shù)據(jù)畫出散點圖，并畫出函數(shù)y＝55196e0.021876

t(t∈[0,9])的圖象．由圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合．(3)將y＝130000代入y＝55196e0.021876

t，由計算工具得t≈39.16，所以如果人口按照(1)中的模型增長，那么大約在1950年后的第40年(即1990年)，我國的人口就已達到13億．思考???事實上，我國1990年的人口數(shù)為11.43億，直到2005年才突破13億．對由函數(shù)模型所得的結(jié)果與實際情況不符，你有何看法？【解析】

因為人口基數(shù)較大，人口增長過快，與我國經(jīng)濟發(fā)展水平產(chǎn)生了較大矛盾，所以我國從20世紀70年代逐步實施了計劃生育政策，因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了依模型得到的結(jié)果與實際不符的情況．在用已知的函數(shù)模型刻畫實際問題時，應(yīng)注意模型的適用條件．例

2

2010年，考古學(xué)家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料(草裹泥)上提取的草莖遺存進行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？活動二自建函數(shù)模型解決實際問題建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意的問題用函數(shù)有關(guān)的知識建立數(shù)學(xué)模型，難點是理解題意，將實際問題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型一定要過好三關(guān)：(1)事理關(guān)：通過閱讀、理解，明白問題講的是什么，熟悉實際背景，為解題打開突破口．(2)文理關(guān)：將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達文字關(guān)系．(3)數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，對已知數(shù)學(xué)知識進行檢索，從而認定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．例

3假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．請問，你會選擇哪種投資方案？活動三函數(shù)模型的選擇問題【解析】

設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.4×2x－1(x∈N*)進行描述．三個模型中，第一個是常數(shù)函數(shù)，后兩個都是增函數(shù)．要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情況進行分析．我們先用信息技術(shù)計算一下三種方案所得回報的增長情況.x方案一方案二方案三y增加量/元y增加量/元y增加量/元140

10

0.4

240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.2x方案一方案二方案三y增加量/元y增加量/元y增加量/元6400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4再畫出三個函數(shù)的圖象如下：由表和圖可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的．從每天所得回報看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元．下面再看累計的回報數(shù)．通過信息技術(shù)列表如下：

因此，投資1～6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資8～10天，應(yīng)選擇方案二；投資11天(含11天)以上，應(yīng)選擇方案三．方案天數(shù)1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8上述例子只是一種假想情況，但從中可以看到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異．某公司預(yù)投資100萬元，有兩種投資可供選擇：甲方案年利率10%，按單利計算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年復(fù)利一次計算，5年后收回本金和利息．哪種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少萬元？(結(jié)果精確到0.01萬元)【解析】

按甲方案，每年利息100×10%＝10(萬元)，5年后本息合計150萬元；按乙方案，第一年本息合計100×1.09，第二年本息合計100×1.092，…，5年后本息合計100×1.095≈153.86(萬元)．故乙方案投資更有利，按乙方案投資5年可多得利息3.86萬元．上市時間x(天)41036市場價y(元)905190不同函數(shù)模型的選取標準：(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律．(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律．(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律．(4)冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律．因此，需抓住題中蘊含的數(shù)學(xué)信息，恰當(dāng)、準確地建立相應(yīng)變化規(guī)律的函數(shù)模型來解決實際問題．某學(xué)校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？【解析】

借助工具作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)，觀察圖象可知，在區(qū)間[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合學(xué)校的要求．檢測反饋245131.(2023·臨沂高一期末)某學(xué)生從家出發(fā)去學(xué)校，為了保證不遲到，他先跑了一段路，然后一直走到學(xué)校．下列圖中，縱軸表示該生離學(xué)校的距離d，橫軸表示出發(fā)后的時間t，較符合該生走法的圖象是(

)【解析】

隨著時間的增加，距學(xué)校的距離在減小，即函數(shù)圖象應(yīng)為減函數(shù)，排除A，C；曲線的斜率反映行進的速度，斜率的絕對值越大速度越大，步行后速度變小，故排除B，所以較符合該生走法的圖象是選項D所給的圖形．【答案】D24513【答案】A24533.(多選)(2022·濰坊高一期中)圖1是某大型游樂場的游客人數(shù)x(萬人)與收支差額y(萬元)(門票銷售額減去投入的成本費用)的函數(shù)圖象，銷售初期該游樂場為虧損狀態(tài)，為了實現(xiàn)扭虧為盈，游樂場采取了兩種措施，圖2和圖3中的虛線為采取了兩種措施后的圖象，則下列說法中正確的是(

)12453A.圖1中點A的實際意義表示該游樂場的投入的成本費用為1萬元B.圖1中點B的實際意義表示當(dāng)游客人數(shù)為1.5萬人時，該游樂場的收支恰好平衡C.圖2游樂場實行的措施是降低門票的售價D.圖3游樂場實行的措施是減少投入的成本費用1【解析】

對于A，圖1中A的實際意義表示游樂場的投入成本為1萬元，故A正確；對于B，圖1中B的實際意義表示當(dāng)游客人數(shù)為1.5萬人時，游樂場的收支恰好平衡，故B正確；對于C，圖2游樂場實行的措施是提高門票的售價，故C錯誤；對于D，圖3游樂場實行的措施是減少投入的成本費用，故D正確．故選ABD.【答案】ABD24534.(2022·安徽石室中學(xué)高三練習(xí))假設(shè)某地2022年年初的物價為1，每年以5%的增長率遞增，則2030年年底物價的數(shù)值為________.1【解析】

因為每年以5%的增長率遞增，所以經(jīng)過x年后的物價為(1＋5%)x＝1.05x，從2022年年初到2030年年底經(jīng)過了9年，所以2030年年底的物價為1.059.【答案】