橢圓-2023年高考高頻考點題型精講+精練（新高考）解析版

【藝體生專供一選擇填空搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考高頻考點題型精講+精練（新高考通用）

橢圓

一、考向解讀

考向：高考中橢圓的考查主要是它的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率等?；A(chǔ)知識點是橢圓的方程與

性質(zhì)，其中對稱性的考查一般體現(xiàn)在小壓軸中。標(biāo)準(zhǔn)方程的考查主要是解答題第一問，

一般結(jié)合直線或者圓，要重點掌握好！

考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)。

導(dǎo)師建議：重視橢圓的定義，在較難選擇填空中往往作為隱含條件！

二、知識點匯總

1.橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個定點耳弱的距離之和等于常數(shù)2a（2?>|^|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩

個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距，記作2c,定義用集合語言表示

為：｛尸||尸耳|+1巡|=2a（2a>|耳名|=2c>0）｝

注意：當(dāng)2a=2c時，點的軌跡是線段；當(dāng)為<2c時，點的軌跡不存在.

2.橢圓的方程與性質(zhì)

（2”>|耳刃）

范圍-a<x<a^-b<y<b—。<尤且一

A](—0)、A?(〃,0)A/。,-”)、A2(O,?)

頂點

B1(O,-/?).B2(O,Z7)B](-40)、B2(b,0)

軸長長軸長=2a,短軸長=2Z?長軸長=2a,短軸長=2〃

對稱性關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

隹占

八、、八'、片（一c,0）、鳥（c,0）耳（0,-。）、&（0,c）

焦距國圖=2c(c2=a2-b2)

離心率e,羋=尸=F(0<e<D

【常用結(jié)論】

1.過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為

2b2

三、題型專項訓(xùn)練

目錄一覽

①橢圓的定義

②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

③橢圓的性質(zhì)

④多選題與填空題

高考題及模擬題精選

題型精練，鞏固基礎(chǔ)

①橢圓的定義

一、單選題

1.點尸在橢圓E：4/+y2=i6上，小鳥是E的兩個焦點，割母;|=3,則|尸用=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】首先得出橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程，計算出。，再由由橢圓定義可知：\PF^+\PF^=2a,代入周=3即可

求得|「閶.

22

【詳解】橢圓氏4/+y2=16,即土+2_=1,|尸團(tuán)=3,其中〃2=16,=＞。=4

由橢圓定義可知：|尸詞+|尸周=2a=8.得|正回=8-歸同=5,

故選：A.

22

2.已知耳，工是橢圓0工+匕=1的兩個焦點，P是C上一點（端點除外），則△尸久鳥的周長為（）

916

A.14B.16C.8+2近D.6+2近

【答案】C

【分析】根據(jù)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程求得正確答案.

【詳解】由題可知。=4,="△尸片心的周長為24+2c=8+2，\

故選：c

22

3.已知點尸為橢圓?+5=1上的一點，月，F(xiàn)?為該橢圓的兩個焦點，若歸我=3|尸耳則|「￡|=()

A.!B.注C.1D.3

22

【答案】C

【分析】利用橢圓的定義進(jìn)行求解.

22

【詳解】因為點P為橢圓亍+《=1上的一點，所以圈+|%=4,因為熙|=3|*，所以圈=1.

故選：C.

22

4.設(shè)P為橢圓]+3=1上的一點，耳、B分別為橢圓的左、右焦點，且立平迅=60。，則戶7訃歸國等于

()

A.§B.3C.逑D.隨

3333

【答案】B

【分析】利用橢圓的定義以及余弦定理求得|「耳卜|尸鳥|.

22

【詳解】橢圓匕+號=1，貝！Ja=3,6=2,c=&,|耳耳|=2c=26,|PK|+|P&|=2a=6,

兩邊平方得「百『+|母」+2|尸耳卜歸國=36①，

在△尸7例中，由余弦定理得忸閶匕|尸耳「+|因「一2|巴訃|77訃cos60。，

^\PF^+\PF2^-\PFt\-\PF2\=20@,由①②得閥HP月|=g.故選：B

22

5.已知橢圓C:^+]=l,月,且分別是橢圓C的焦點，過點耳的直線交橢圓C于A,B兩點，若|AB|=4,

則|鉆|+忸?=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的定義可求|4耳|+恒局，忸耳|+|叫|,結(jié)合條件可求卜圖+|時|.

22

【詳解】設(shè)橢圓上+上=1的長半軸為。，則。=3,

95

由橢圓定義可得|州|+|世|=6,忸耳|+忸閶=6,

又|明|+怛耳|=|AB|=4,所以1M|+忸叫=8.

故選：D.

22

6.已知月是橢圓+1=1的左焦點，尸為橢圓上任一點，點。的坐標(biāo)為（-1，4）,則|尸0+|尸團(tuán)的最大值

為（）

A.V17B.5C.10D.11

【答案】D

【分析】運用橢圓定義轉(zhuǎn)化及當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時II尸。1-1尸乙II取得最值可得結(jié)果.

【詳解】由橢圓的方程知，?=3,c=V7=7=囪三=2,則/（-2,0）、尸2（2，。）

由橢圓的定義知，|「片|+|尸乙|=20=6,

所以1尸月1+1尸。1=6-|「工|+|尸。區(qū)6+|。巴|,

又；|QF2\=J（-l-2『+（4-01=5

：.\PF1\+\PQ\<11,當(dāng)且僅當(dāng)F2在線段PQ上時等號成立，即：1尸片1+1尸。1的最大值為11.

m

A.2B.1C.-D.4

4

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的方程，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，列式求解.

12

【詳解】由條件可知，a=m9b=19且2A/^?=2X2,解得：m=4.

故選：D

22

8.已知橢圓工+匕=1的一個焦點為（1,0）,則實數(shù)機(jī)的值為（）

3mm

A.1B.2C.@D.正

224

【答案】A

【分析】根據(jù)方程是橢圓方程，得機(jī)＞0,然后由。力，。關(guān)系得出優(yōu)值.

【詳解】由題意加＞0,片=3m—m/.3m—MI=,m=3,

故選：A.

9.已知橢圓C的焦點為片（。,-2）,居（0,2）.過點F2的直線與C交于A,2兩點.若小洱的周長為12,則

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22

Axy1R11

A.——+—=1D.-----1-----=1D+=1

9595-%t^

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件求得db,由此求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

c=2

【詳解】依題意卜。=12,解得，=3力=有，由于橢圓的焦點在y軸上，

a2=/?2+c2

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+上=1.

95

故選：B

10.若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點、焦點在〉軸上；順次連接C的兩個焦點、一個短軸頂點構(gòu)成等邊三角形，順

次連接C的四個頂點構(gòu)成四邊形的面積為4/，則C的方程為（）

.y2X1y2y2,?y2x2,?y2x2.

A.—+—=1B.—+—=1C.—+——=1D.—+——=1

43628486

【答案】A

a-2c

【分析】由題可知，;-2小2b=4/，解之即可得a和b的值，從而求得橢圓的方程；

a2=b2+c2

22

【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為與+1=1（。＞6＞0）,

ab

a=2c

122

由題可知，廿2^26=4石，解得a=2,b=3,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+二=1.

243

a2=b2+c2

故選：A.

?v2

11.已知橢圓C：三一+工=1的焦點在y軸上，則實數(shù)上的取值范圍為（）

3+左5-k

A.（-3,1）B.（1,5）C.（-3,5）D.（1,3）

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓C的焦點位置可得出關(guān)于％的不等式組，即可解得實數(shù)上的取值范圍.

[3+人＞0

22

【詳解】因為橢圓C:工+上=1的焦點在y軸上，則5-左＞0,解得-3＜左＜1.

3+45-k.,

故選：A.

12.河南一國家級濕地，以其獨特的地理環(huán)境和良好的生態(tài)環(huán)境，吸引了全國近三分之一的鳥種在此繁衍

生息，成了鳥類自然保護(hù)區(qū).天鵝戲水、白鷺覓食，形成了一幅群鳥嬉戲的生態(tài)美景.該保護(hù)區(qū)新建一個橢球

形狀的觀鳥臺，橢球的一部分豎直埋于地下，其外觀的三視圖（單位：米）如下，正視圖中橢圓（部分）

的長軸長為16米，則該橢球形狀觀鳥臺的最高處到地面的垂直高度為（）

俯視圖

A.8米B.10米C.12米D.16米

【答案】C

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，

【詳解】如圖，以長軸中點為坐標(biāo)原點，長軸為y軸，垂直長軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

V2丫20=8

設(shè)正視圖的橢圓（部分）對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為上白叱…），結(jié)合題意及三視圖可得:?

22、

所以橢圓（部分）對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為作與、將點,為代入,可得％=±4.

7

故該橢球形狀觀鳥臺的最高處到地面的垂直高度為8+4=12（米）.

故選：C.

③橢圓的性質(zhì)

22

13.已知橢圓上-+匕=1的一個焦點坐標(biāo)為（0,2）,則上的值為（）

%+29

A.1B.3C.7D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)焦點坐標(biāo)確定“I,然后計算.

【詳解】由題意1=9,b2=*4k+2,：.9-（k+2）=22,k=3,

故選：B.

22

14.已知橢圓。:，+冬=1（°＞人＞0）的長軸長、短軸長、焦距成等比數(shù)列，則C的離心率等于（）

ab

A/5—1口A/5—10y[5+1nA/5+1

AA.-------15.--------C.--------D.--------

4242

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即等比數(shù)列概念即可得出。，仇。的關(guān)系式，解方程即可得離心率.

【詳解】由題意可得，長軸長2〃、短軸長2。、焦距2c成等比數(shù)列，

所以（26『=2ax2c,b2=ac=a2-c2,得/+6—1=0,解得e=或e=（舍）

故選：B

15.有關(guān)橢圓V+4/=16敘述錯誤的是（）

A.長軸長等于4B.短軸長等于4

C.離心率為走D.x的取值范圍是[-4,4]

2

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求出。力,c,進(jìn)而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得答案.

22

【詳解】橢圓方程化為：±+^=1，則。=4力=2,c==7=26，則長軸長為8,短軸長為4,離心

164

率e=#,x的取值范圍是[T,4].即A錯誤，B,C,D正確.

故選：A.

22

16.點（1,1）與橢圓土+匕=1的位置關(guān)系為（）

32

A.在橢圓上B.在橢圓內(nèi)C.在橢圓外D.不能確定

【答案】B

【解析】將點的坐標(biāo)代入橢圓方程，根據(jù)不等關(guān)系可判斷出點與橢圓的位置關(guān)系.

【詳解】1+=可知點（U）在橢圓內(nèi).

326

【分析】故選：B.

17.已知橢圓C：W+工=1的離心率為3,則C的長軸長為（）

mm+62

A.872B.472C.25/2D.4

【答案】B

【分析】直接利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)和離心率的定義即可求解.

【詳解】依題意，因為橢圓C的離心率為也，所以，二得m=2,故長軸長為2而工？=40.

2y/m+62

故選：B.

18.在天文學(xué)上，航天器繞地球運行的橢圓軌道上距離地心最遠(yuǎn)的一點，稱為遠(yuǎn)地點：距離地心最近的一

點，稱為近地點.遠(yuǎn)地點與地球表面的最短距離稱為遠(yuǎn)地點高度；近地點與地球表面的最短距離稱為近地

點高度.已知某航天器的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，地球（視為一個球體）的半徑為R.若該航

天器的遠(yuǎn)地點高度為5R,所在橢圓軌道的離心率為:，則該航天器的近地點高度為（）

A.RB.2RC.3RD.4R

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，列方程組求出橢圓的長半軸長和半焦距，再計算該航天器的近地點高度即可.

【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為a,短半軸長為b,半焦距為c,

C_1

則由題意，可知,解得a=5R,c=R，所以該航天器的近地點高度為a-c-R=3R.

a+c=5R+R

故選：C.

19.“木桶效應(yīng)”是一個有名的心理效應(yīng)，是指木桶盛水量的多少，取決于構(gòu)成木桶的最短木板的長度，而不

取決于構(gòu)成木桶的長木板的長度，常被用來寓意一個短處對于一個團(tuán)隊或者一個人的影響程度.某同學(xué)認(rèn)

為，如果將該木桶斜放，發(fā)揮長板的作用，在短板存在的情況下，也能盛較多的水.根據(jù)該同學(xué)的說法，

若有一個如圖①所示圓柱形木桶，其中一塊木板有缺口，缺口最低處與桶口的距離為2,若按圖②的方式盛

水，木桶傾斜到與水平面成60時，水面剛好與左邊缺口最低處M和右側(cè)桶口N齊平，并形成一個橢圓水

【答案】C

【分析】由面面平行的性質(zhì)得水平面與水桶上底面所成角，進(jìn)而求得橢圓的長軸長、短軸長，進(jìn)而求得離

心率.

【詳解】圖②中，因為木桶傾斜到與水平面成60。，所以水桶的下底面與水平面成30。，

又因為水桶的下底面與水桶的上底面平行，圖②方式盛水后的水面與地面平行，

所以水桶的上底面與盛水后的水面成30°,

又因為缺口最低處與桶口距離為2,水桶的母線垂直于水桶的上底面，

所以MN=2。=4,2b=2A/3,

所以a=2,b=#),

故選：C.

20.已知橢圓C：A+E=l(a>b>0)的左右焦點分別為耳耳，離心率為且，過點月的直線/交橢圓于A、

/b22

5兩點，若的周長為8,則C的方程為()

A.—+^=1B.—+^=1C.—+^=1D.—+/=1

1641612434-

【答案】D

【分析】由橢圓的定義知AF/的周長為4a,結(jié)合已知條件求出“，再由離心率求出c,進(jìn)而求出6,從

而得出答案.

【詳解】由橢圓定義可得|明|+|例|=2%忸￡|+|愿|=2a,

又WJ+I班;H明，

所以的周長|AB|+|A%|+|B&|=4a,

所以4a=8,故a=2,

Xe=—=f所以c=6，

a2

所以3=y/a*2*49-c2=1

所以橢圓C的方程為￡+y2=l.

4

故選：D.

④多選題與填空題

二、多選題

21.已知橢圓C的對稱中心為坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，若橢圓的長軸長為6,短軸長為4,則橢圓C的

標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）

22

xy0彳2]

AA.——+—=1B.—+—=1

4995

C.—+^=1D.—+^=1

9459

【答案】AC

【分析】利用橢圓長軸，短軸的長結(jié)合焦點位置可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

2222

【詳解】由題意有“=3,b=2,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為土+匕=1或L+2L=I.

9449

故選：AC.

22.已知片,月是橢圓C:t+上=1的左、右焦點，點P在橢圓C上，則下列結(jié)論正確的有（）

5025

A.橢圓C的離心率為乎B.|也|+|尸8|=5上

C.50-5旦期區(qū)50+5D.瑞的最大值為

【答案】ACD

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a、b、c,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可逐項求解判斷.

【詳解】易得〃=5&，b=5,c=5,

貝力明|+|Pg|=2a=lO0,橢圓C的離心率為￡=1,故A正確，B錯誤；

a2

'：a-c^PF^a+c,二5也一5gp耳區(qū)50+5,C正確；

當(dāng)點P位于短軸的端點時，/KP鳥取得最大值，此時|尸￡|=）尸耳|=。=50,寓q=2o=10,故尸片，尸區(qū),

即/耳尸工的最大值為曰，D正確.

故選：ACD.

23.已知M是橢圓C:￡+：=l上一點，耳，F(xiàn)2是其左右焦點，則下列選項中正確的是（）

A.橢圓的焦距為2B.橢圓的離心率e

2

C.橢圓的短軸長為4D.△〃久居的面積的最大值是4

【答案】BCD

【分析】由題意可得〃=2應(yīng),b=2,c=2,即可判斷A,B,C；當(dāng)M為橢圓短軸的一個頂點時，△哂巴以

斗鳥為底時的高最大，面積最大，求出面積的最大值即可判斷.

22

【詳解】解：因橢圓方程為二+二=1,

84

所以a=2^2,b=2,c=2,

所以橢圓的焦距為2c=4,離心率e=￡=1,短軸長為2b=4,

a2

故A錯誤，B,C正確；

對于D,當(dāng)M為橢圓短軸的一個頂點時，△孫耳以百耳為底時的高最大，為2,

此時△町月的面積取最大為gx2c*6=（*2*2><2=4,故正確.

故選：BCD.

22

24.已知方程上-+-J=1表示橢圓，下列說法正確的是（）

12-mm-4

A.根的取值范圍為（4,12）B.若該橢圓的焦點在y軸上，則能?8,12）

C.若祖=6,則該橢圓的焦距為4D.若機(jī)=10,則該橢圓經(jīng)過點（1,后）

【答案】BC

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)依次判斷選項即可.

22

【詳解】A：因為方程——+二二=1表示橢圓，

12-mm-4

12-m>0

所以,m-4>0,解得4vznvl2,且機(jī)W8,故A錯誤；

12-mm-4

22

B:因為橢圓」—+二~=1的焦點在y軸上，

12-mm-4

所以利一4>12-機(jī)>0,解得8<機(jī)<12,故B正確;

22

C：若m=6,則橢圓方程為L+工=1,

62

所以02=6-2=4,從而2c=4,故C正確；

22

D：若加=10,則橢圓方程為土+工=1,

26

點（1,0）的坐標(biāo)不滿足方程，即該橢圓不經(jīng)過點（1,虛），故D錯誤.

故選：BC.

25.若",m,9"成等比數(shù)列，則圓錐曲線￡+且=1的離心率可以是（）

mn

A.好B.也C.在D.2

323

【答案】ACD

【分析】根據(jù)等比數(shù)列列方程，對私”的符號進(jìn)行分類討論，結(jié)合圓錐曲線的知識求得離心率.

【詳解】由于〃，加,9〃成等比數(shù)列，所以■=9/,

1

當(dāng)幾>0,相>0時,m=3n>09一=一,

m3

曲線工+￡=1表示焦點在X軸上的橢圓，

mn

當(dāng)〃〉0,根<0時,m=-3n<0,----=3,

n

曲線反+亡=1即￡一工=1,表示焦點在y軸上的雙曲線,

mnn-m

_幾]

當(dāng)“<0,機(jī)>0時，m=-3n>0,—=—,

m3

所以《+廿=1即鵬一亡=1,表示焦點在X軸上的雙曲線,

當(dāng)〃<0,〃2<0時，方程看+片=1不成立.

mn

故選：ACD

26.加斯帕爾?蒙日（圖1）是18?19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)寸陶圓的任意兩條

互相垂直的切線的交點都在同一個圓上,其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）.已知長方形R

22

的四邊均與橢圓C:二+乙=1相切,則下列說法正確的是()

C.橢圓C的蒙日圓方程為Y+y2=9D.長方形R的面積最大值為18

【答案】ACD

【分析】根據(jù)橢圓方程，求出離心率即可得選項A正誤;根據(jù)蒙日圓的定義可判斷，該圓過點(a,6),根據(jù)圓心坐

標(biāo)，即可求得半徑的值，進(jìn)而求得圓的方程;設(shè)出長方形的長和寬，根據(jù)長方形是蒙日圓的內(nèi)接四邊形,可得對

角線為直徑，求得長和寬的等量關(guān)系，再利用基本不等式即可判斷選項D正誤.

22

【詳解】解:由題知橢圓方程為:—+號=1,

63

故選項A正確；

22

因為長方形R的四邊均與橢圓C:，+4=1相切,所以點(a,6),即在蒙日圓上,

故半徑為/=(指了+(/了=9,可得橢圓C的蒙日圓方程為x2+y2=9;

故選項B錯誤，選項C正確;設(shè)長方形R的邊長為01,11,則有〃+*=(2rf=(6)2=36,

所以長方形R的面積等于S=mn4；(/+叫=18,當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=30時取等，

故選項D正確.

故選:ACD

27.已知耳月是雙曲線C:]-*=l(a>0,"0)的左、右焦點，A[坐是C上一點，若C的離心率為友,

ab123

連結(jié)AB交。于點'則()

A.C的方程為三一V=iB.N耳AF,=90°

3

C.耳4區(qū)的周長為26+2D.ABG的內(nèi)切圓半徑為斯-君

【答案】ABD

【分析】根據(jù)點A的坐標(biāo)和離心率求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)逐項分析.

【詳解】對A,將點A的坐標(biāo)代入雙曲線方程，并由6=￡"2=片+62得下列方程組：

a

15J_

X-J=l

2

/ba=6

c2J32

—==,解得。=1，，雙曲線r土—產(chǎn)T，人正確；

a33

222

c=a+bK=2

『21(姮9n

對B,E(-2,0),工(2,0),大A=%A=

12_，，2八j,

Rl=78-2^5=75-73，閨閶=2c=4,周長=26+4,C錯誤;

對D,令忸聞=w,則忸耳12石+加，|明=|你|+忸閶=/-代+徵,在RtABF.中，

\BFf=\AFf+\ABf,."=3弋近,設(shè)吊耳的周長為1,內(nèi)切圓半徑為r,貝!）/=|秋|+|明+怛司,

由三角形面積公式知：=||Af；|-|AB|=1/r,

._2s小

"‘=—+|43+忸耳廣G+6+6一K+〃z+26+〃?-V"'D止確；

故選：ABD.

2222

28.已知%苞分別為橢圓C$+斗?=l（a>l>0）和雙曲線E:3H與=1（%>0也>0）的公共左'右焦點,

aba。用

P（在第一象限）為它們的一個交點，且N耳尸招=60,直線P耳與雙曲線交于另一點Q,若戶閶=2隹Q|,

則下列說法正確的是（）

A.△P4。的周長為跑B.雙曲線E的離心率為巫

53

C.橢圓c的離心率為孚D.|P娟=4|尸閶

【答案】BCD

【分析】設(shè)|QE|=t,則I尸閶=2/,由雙曲線定義得|正制=2/+2%,|Q4|=力+2%,再由余弦定理得旬=3乙

然后由橢圓定義得。=53利用余弦定理求得c=714，再求三角形周長，求出橢圓、雙曲線的離心率，從

而判斷各選項.

【詳解】設(shè)|。q=7,則|尸閶=2/,|母;|=2/+2%,|Q娟=f+2%,

2

△MQ中由余弦定理=|尸周2+|p(2|-2|PEMQ|COS/￡P(guān)Q,得

(1+2〃O)2=(2?+2〃O)2+9/—2(24+2t),3t,cos60°9化簡得%=3%,

\PF[\=2t+2a0=8r=4|P2^|,D正確；

又2a=|尸耳|+|尸閭=10g所以a=5，，又|Q耳|=￡+2%=7匕

1Q

△尸耳。的周長為8/+3/+7U18”?。，A錯誤；

△尸耳工中，歸劇=2c,由余弦定理得4/=(8/)2+(2Z)2—2X8/X2/XCOS60。，所以c=Vl務(wù)，

因此雙曲線的離心率為6=￡=羋=翌，B正確；橢圓的離心率為2=￡=叵=巫，C正確，

為3t3aSt5

22

29.已知橢圓土+工=1的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過耳的直線交橢圓于A,8兩點，若體用+忸用=14,

369

則|AB|=.

【答案】10

【分析】根據(jù)橢圓的定義可得|A片|+|典1+1至1=4%結(jié)合題意即可求解.

【詳解】因為a=6,|A耳|+|A閶=2a,忸制+忸閭=2”，

兩式相加得|你|+忸閶+|AB|=4a=24.又|4閭+忸周=14,所以|期|=10.

故答案為：10.

30.經(jīng)過卜|,3和("用兩點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

V2r2

【答案】匕+'=1

106

【分析】設(shè)橢圓的方程為如將兩點坐標(biāo)代入橢圓方程，列出方程組，解之即

可.

【詳解】設(shè)橢圓的方程為e?+ny2=l(m>0,n>0,m^n),

W(—|)2+zz(|-)2=1H7=6

則，22,解得，］,

m(有丫+n(后2=1^i=—

所以該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為^+-=1.

106

故答案為：￡+工=1.

106

4

31.中心在坐標(biāo)原點，焦點在工軸上且焦距是8,離心率等于彳的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

【答案】土+匕=1

259

【分析】先求出c,再根據(jù)離心率求出a,最后利用。，"c的關(guān)系求出b2,即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由焦點在x軸上且焦距是8,可得c=4,

由離心率等于:可得上=M，解得。=5,所以"=片-。2=25—16=9,

5a5

2222

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1.故答案為：工+匕=1.

259259

22

32.以耳(-L0)為焦點的橢圓點+q=l(a>0)上有一動點則|町|的最大值為.

【答案】3

【分析】利用焦點坐標(biāo)即橢圓中出瓦c的關(guān)系求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后分析橢圓上的動點M在何處時可|

最大.

22

【詳解】因為片(-1,0)為橢圓1r+q=l(a>0)的焦點，

所以后>3,c=l,b=也,所以由。2,2=。2=。2=。2+/=12+(0/=4,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

因為片(TO)為橢圓的左焦點，M為橢圓上的動點，故當(dāng)M處于右頂點A時|5|最大，

且最大值為|八闔=a+c=2+l=3,

故答案為：3.

33.設(shè)%F?是橢圓E+y2=1的兩個焦點，點尸在橢圓上，且耳尸，桃，則△叩鳥的面積為.

4'

【答案】1

【分析】在△甲里中，由FFLPF”得到閨呼+|尸乙「=閨司2,再由橢圓的定義得到忸制+|尸國=2。求

解.

【詳解】解：在△久尸耳中，因為F}PYPF2,

所以國用+|「引2=1月居『=12,

由橢圓的定義得：|「耳|+|正閶=2。=4,兩式求得|尸耳］.仍可=2,所以54班=-3|歸耳|=1,

故答案為：1

22

34.已知橢圓E:餐+斗=l(〃〉b〉O)的上、下頂點分別為AS左頂點為C,若NACB=60。，則橢圓E的

ab

離心率為.

【答案】逅

3

【分析】由ZAC3=6O得。/關(guān)系，變形后可求得離心率.

【詳解】根據(jù)題意2=tan3(F=3，所以離心率e=JTX=9l.

a3Va3

故答案為：逅.

3

22

35.已知橢圓L+匕=1的左、右焦點分別為點耳、工，若橢圓上頂點為點B,且一為等腰直角三角

16m

形，則“1=.

【答案】8

【分析】根據(jù)刀8區(qū)為等腰直角三角形得到/=2/,代入計算得到答案.

22

【詳解】橢圓土+匕=1,故。2=16萬=〃7,.甲珥為等腰直角三角形，故6=c,

16m

故。2=2/,即16=2m，m=8.

故答案為：8

22

36.已知點尸是橢圓工+匕=1上的一點，且位于第一象限內(nèi)，以點尸及焦點￡、F?為頂點的三角形的面積

54

等于1,則點尸的坐標(biāo)為.

【答案】(半,1)

【分析】求出橢圓的焦距，利用給定的面積求出點P的縱坐標(biāo)即可作答.

22

【詳解】橢圓土+匕=1的焦點￡(-1,0),耳(1,0),I4月1=2,設(shè)點尸(%,%)(%>0,%>0),

54

依題意，S,pq6=21片B1%=%=1，又寸"+^"=1，于是%=，

所以點尸的坐標(biāo)為(半,1).

故答案為：(半,1)

22

37.設(shè)橢圓C：0+2=13>6>0)的左、右焦點分別為席B，P是C上的點，P耳，月工，/尸乙片=45,

則C的離心率為.

【答案】0

【分析】根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)及勾股定理，得出PE、PF］、KB，根據(jù)橢圓的定義以及離心率公式求

解即可.

【詳解】在用尸入久中，設(shè)片招=2c,

因為NPEB=45°,所以尸E=2C,PE,=2y/2c,所以2°=尸片+盟=2c+2缶

2c_2c

=志-1.故答案為:y/2-1.

2a2c+2y/2c

22

38.已知橢圓C:,+/=l(a>b>0)的左、右焦點分別為月，F(xiàn)2,過F?作x軸的垂線，交橢圓于點尸，若

3

直線尸耳的斜率為則橢圓C的離心率為----------

【答案】I

【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率計算公式求解即可.

【詳解】由題意可得耳(-C,O),《(GO),

（A2___0

因為「居，X軸，且即￡>0,所以尸G一,則上=」—=上?_=3①,

<a）年'-（-c）-2ac-4

又片=62+°2②，①②聯(lián)立得2c2+3℃-2/=0,

所以2e?+3e-2=0,解得e=；或-2（舍去），故答案為：!

四、高考真題及模擬題精選

一、單選題

fV2

1.（2023?四川南充?四川省南部中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知焦點在>軸上的橢圓二+匕=1的焦距等于2,則

m4

實數(shù)加的值為（）

A.3或5B.±括或±逐C.3D.±y/3

【答案】D

【分析】由橢圓的焦點在y軸上確定/<4,再根據(jù)“2=廿+°2即可求.

【詳解】因為橢圓的焦點在y軸上，所以毋<4,根據(jù)題意可得4-加=1,解得機(jī)=±6.

故選：D.

2.（2023?山西大同?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點A,B,C為橢圓。的三個頂點，若ABC是正三角形，則。

的離心率是（）

A.1B.-C.揖~D.3

【答案】C

【分析】首先由題得到26=777^，結(jié)合/=從+°2,即可求得e.

【詳解】無論橢圓焦點位于X軸或y軸，根據(jù)點A,B,C為橢圓。的三個頂點，

若ABC是正三角形，則》=77/，即1=3〃，即/=3（/_02）,

即有21=302,則e2=g,解得e=g.

故選：C.

3.（2023?云南昆明?昆明一中?？寄M預(yù)測）畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交

點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日

22

圓.若橢圓上+與=1的蒙日圓為/+/=10,則該橢圓的離心率為（）

6b2

A.BB.-C.-D.逅

3333

【答案】A

【分析】由題可得6+"=10,然后利用離心率公式即得.

【詳解】由題可得6+9=10,

b2=4,即橢圓為$+J=e=——.11-^-=.11——=?

64a\a2\63

故選：A.

22

4.（2022?安徽?蕪湖一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知用耳分別為橢圓工+工=1的左右焦點，點尸為橢圓上一

42

點，以F?為圓心的圓與直線尸月恰好相切于點P,則NP月工是（）

A.45°B.30°C.60°D.75°

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓的定義，設(shè)|尸局=乙得|尸耳|=4一，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)列方程，從而求得乙然后求得

NPF?

【詳解】依題意a=2,6=c=0,^\PF2\=t,由橢圓定義得|正耳|=4T,

由于以F?為圓心的圓與直線尸耳恰好相切于點P,

所以『十|巡『=|耳閱2,即（4r）2+/=（2應(yīng)）2=8,

整理得產(chǎn)-4+4=0,得7=2,得附卜附所以/尸￡?=45。.

故選：A

（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C：W+1=l（a>6>0）的離心率為！，4，4分別為C的左、右頂

5.

ab3

點,5為。的上頂點.若％?%=-!，則。的方程為（）

22