福建省龍海市程溪中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGE12-福建省龍海市程溪中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一．選擇題（共8小題）1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B＝30°，C＝45°，b＝2，則c＝（）A．2 B．3 C．4 D．2．已知數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn＝n2﹣15n，則Sn的最小值是（）A．﹣14 B． C．﹣56 D．﹣1123．在區(qū)間[﹣1，5]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，則使log2a∈[0，2]的概率為（）A． B． C． D．4．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝1，a5＝2，則首項(xiàng)a1＝（）A． B． C． D．05．在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，4，m，n出現(xiàn)的頻率分別為0.1，0.1，0.4，0.4，且樣本平均值為2.5，則m+n＝（）A．5 B．6 C．7 D．86．如圖是一個(gè)邊長為2的正方形區(qū)域，為了測(cè)算圖中陰影區(qū)域的面積，向正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投入質(zhì)點(diǎn)600次，其中恰有225次落在該區(qū)域內(nèi)，據(jù)此估計(jì)陰影區(qū)域的面積為（）A．1.2 B．1.5 C．1.6 D．1.87．設(shè)回來直線方程為，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)（）A．y大約增加3個(gè)單位 B．y大約增加個(gè)單位 C．y大約削減3個(gè)單位 D．y大約削減個(gè)單位8．袋中共有完全相同的4只小球，編號(hào)為1，2，3，4，現(xiàn)從中任取2只小球，則取出的2只球編號(hào)之和是奇數(shù)的概率為（）A． B． C． D．二．多選題（共4小題）9．設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿意a+b＝1，則（）A．有最小值4 B．有最小值 C．最大值1 D．a(chǎn)2+b2有最小值10．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)各邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，則B＝（）A．30° B．45° C．135° D．150°11．下列命題的否定中，是全稱量詞且為真命題的有（）A．?x∈R， B．全部的正方形都是矩形 C．?x∈R，x2+2x+2≤0 D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3+1＝012．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)小球，則下列結(jié)論正確的是（）A．“至少一個(gè)紅球”和“都是紅球”是互斥事務(wù) B．“恰有一個(gè)黑球”和“都是黑球”是互斥事務(wù) C．“至少一個(gè)黑球”和“都是紅球”是對(duì)立事務(wù) D．“恰有一個(gè)紅球”和“都是紅球”是對(duì)立事務(wù)三．填空題（共4小題）13．命題“?x∈[1，2]，x2﹣a＜0”的否定為．14．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如表，已求得關(guān)于y與x的線性回來方程＝1.2x+a，則a的值為．x0246y235715．已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，若a3，a4，a6成等比數(shù)列，則a2＝．16．已知p：實(shí)數(shù)x滿意x2﹣2x﹣8＞0；q：x＜m．若p是q的必要不充分條件，則m的最大值為．四．解答題（共6小題）17．已知A＝{x|5x﹣1＞a}，B＝{x|x＞1}．（1）若A，B互為充要條件，求實(shí)數(shù)a的值．（3）已知全集為R，C＝{x|x≤2m+1}，若C?（?RB），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．某校為于了解2024年新冠肺炎疫情“停課不停學(xué)”期間高三學(xué)生平均每天學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)），從本校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，依據(jù)收集的數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的頻率分布直方圖，如圖所示，若每天學(xué)習(xí)時(shí)間不超過10小時(shí)的有45人．（1）求a，b的值：（2）依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)和平均數(shù)（同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）．19．為了加強(qiáng)對(duì)國產(chǎn)核動(dòng)力航母動(dòng)力系統(tǒng)的研發(fā)力氣，用分層抽樣方法從A，B，C三所動(dòng)力探討所的相關(guān)人員中，抽取若干人組成探討小組、有關(guān)數(shù)據(jù)見表（單位：人）：探討所相關(guān)人數(shù)抽取人數(shù)A18xB362C54y（1）求x，y；（2）若從B，C探討所抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這二人都來自C探討所的概率．20．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a8＝S3，a4＝2a2﹣2．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，其前n項(xiàng)和為Tn，證明：．21．在①a＝，②（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并解答．已知△ABC的角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，c＝而且_______．（1）求∠C；（2）求△ABC周長的最大值．22．已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，右焦點(diǎn)為F，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y﹣＝0相切．（Ⅰ）求橢圓C的方程．（Ⅱ）如圖，過定點(diǎn)P（2，0）的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A，B，連接AF并延長交橢圓C于點(diǎn)M，設(shè)直線AF，BF的斜率分別為k1，k2，求證：k1+k2為定值．

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共11小題）1．【分析】由已知利用正弦定理即可求解．【解答】解：因?yàn)锽＝30°，C＝45°，b＝2，所以由正弦定理，可得c＝＝＝4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果即可．【解答】解：∵Sn＝n2﹣15n的對(duì)稱軸為n＝，且開口向上，∴當(dāng)n＝7或8時(shí)Sn取最小值﹣56，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列前n項(xiàng)和的最小值的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】解不等式求出a的范圍，依據(jù)幾何概型概率公式計(jì)算概率．【解答】解：若0≤log2a≤2，則1≤a≤4，故所求概率為，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果即可．【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：a1a5＝a32，∵a3＝1，a5＝2，∴a1＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由題意知0.1×1+0.1×4+0.4m+0.4n＝2.5，解得即可．【解答】解：由題意知0.1×1+0.1×4+0.4m+0.4n＝2.5，可得m+n＝5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由幾何概型中的面積型概率運(yùn)算公式，求出陰影部分的面積即可得解．【解答】解：由幾何概型中的面積型可得：＝，又S正＝22＝4，即S黑＝1.5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何概型中的面積型，屬基礎(chǔ)題．7．【分析】干脆依據(jù)回來直線方程中回來系數(shù)的意義得答案．【解答】解：由回來方程可知，變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y大約削減個(gè)單位．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回來方程系數(shù)的意義，是基礎(chǔ)題．8．【分析】在編號(hào)為1，2，3，4的小球中任取2只小球，利用列舉法求出共有6種取法，取出的2只球編號(hào)之和是奇數(shù)的有4種取法，由此能求出取出的2只球編號(hào)之和是奇數(shù)的概率．【解答】解：在編號(hào)為1，2，3，4的小球中任取2只小球，共有6種取法，分別為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，則取出的2只球編號(hào)之和是奇數(shù)的有4種取法，分別為：{1，2}，{1，4}，{2，3}，{3，4}，所以取出的2只球編號(hào)之和是奇數(shù)的概率為P＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）9．【分析】由條件運(yùn)用基本不等式可得0＜ab≤，運(yùn)用變形和化簡(jiǎn)，即可推斷正確結(jié)論．【解答】解：正實(shí)數(shù)a，b滿意a+b＝1，即有a+b≥2可得0＜ab≤，即有+＝≥4，即有a＝b時(shí)，+取得最小值4，故A正確；由0＜≤，可得有最大值，故B錯(cuò)誤；由+＝＝≤＝，可得a＝b時(shí)，+取得最大值，故C錯(cuò)誤，由a2+b2≥2ab可得2（a2+b2）≥（a+b）2＝1，則a2+b2≥，當(dāng)a＝b＝時(shí)，a2+b2取得最小值，故D正確．綜上可得AD正確，CB均錯(cuò)．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的運(yùn)用，留意變形和等號(hào)成立的條件，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】依據(jù)正弦定理＝，代入已知數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝，∴，∴sinB＝，∵B∈（0，180°），∴B＝45°或135°．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．11．【分析】由存在性命題和全稱命題的定義，以及常用結(jié)論的應(yīng)用，即可推斷．【解答】解：∵B是全稱命題，其否定為特稱命題，故解除，A是特稱命題，其否定為：?x∈R，≥0，即（x﹣）2≥0為真命題，C是特稱命題，其否定為：?x∈R，x2+2x+2＞0，即（x﹣1）2+1＞0為真命題，D是特稱命題，其否定為：隨意實(shí)數(shù)x，都有x3+1≠0，﹣1代入不成立，為假命題，故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查存在性命題和全稱命題，以及真假推斷，考查推斷實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】利用對(duì)立事務(wù)、互斥事務(wù)的定義干脆求解．【解答】解：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)小球，對(duì)于A，“至少一個(gè)紅球”和“都是紅球”能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事務(wù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，“恰有一個(gè)黑球”和“都是黑球”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事務(wù)，故B正確；對(duì)于C，“至少一個(gè)黑球”和“都是紅球”既不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生，是對(duì)立事務(wù)，故C正確；對(duì)于D，“恰有一個(gè)紅球”和“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立事務(wù)，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)立事務(wù)、互斥事務(wù)的推斷，考查對(duì)立事務(wù)、互斥事務(wù)的定義等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．【分析】依據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，寫出即可．【解答】解：命題“?x∈[1，2]，x2﹣a＜0”的否定為“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．故答案為：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了依據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．14．【分析】求出樣本中心坐標(biāo)，代入回來直線方程求解即可．【解答】解：由題意可知＝（0+2+4+6）＝3，＝（2+3+5+7）＝，因?yàn)榛貋碇本€結(jié)果樣本中心，所以：，解得a＝0.65．故答案為：0.65．【點(diǎn)評(píng)】本題考查回來直線方程的應(yīng)用，是基本學(xué)問的考查．15．【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得a2＝0．【解答】解：等差數(shù)列{an}公差d不為零，若a3，a4，a6成等比數(shù)列，可得a3a6＝a42，即（a2+d）（a2+4d）＝（a2+2d）2，整理可得a2d＝0，所以a2＝0，故答案為：0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】化簡(jiǎn)p，依據(jù)p是q的必要不充分條件，即可得出m的最大值．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0，解得x＞4，或x＜﹣2．∴p：實(shí)數(shù)x滿意x＞4，或x＜﹣2；q：x＜m．由p是q的必要不充分條件，則m≤﹣2．∴m的最大值為﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共8小題）17．【分析】將A解出后，依據(jù)A、B、C之間的關(guān)系，確定參數(shù)的取值范圍即可．【解答】答案：（1）．即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，0]【點(diǎn)評(píng)】本題屬于集合與命題的綜合題，結(jié)合數(shù)軸即可解決，屬于簡(jiǎn)潔題．18．【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列出方程組，能求出a，b．（2）[4，10）的頻率為0.45，[10，12）的頻率為0.25，由此能估計(jì)該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)和平均數(shù)．【解答】解：（1）由題意得：，解得a＝0.05，b＝0.15．（2）[4，10）的頻率為：（0.025+0.05+0.15）×2＝0.45，[10，12）的頻率為0.125×2＝0.25，∴中位數(shù)為：10+×2＝10.4，平均數(shù)為：5×0.05+7×0.1+9×0.3+11×0.25+13×0.2+15×0.1＝10.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率、中位數(shù)、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．19．【分析】（1）利用分層抽樣的性質(zhì)列出方程組能求出x，y．（2）記從探討所B抽取的2人為b1，b2，從探討所C抽取的3人為c1，c2，c3，利用列舉法求出從探討所B，C抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的基本領(lǐng)件有10種，選中的2人都來自探討所C包含的基本領(lǐng)件有3種，由此能求出這二人都來自C探討所的概率．【解答】解：（1）由題意可得：，解得x＝1，y＝3．（2）記從探討所B抽取的2人為b1，b2，從探討所C抽取的3人為c1，c2，c3，則從探討所B，C抽取的5人中選2人作專題發(fā)言的基本領(lǐng)件有10種，分別為：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3），共10種，選中的2人都來自探討所C包含的基本領(lǐng)件有3種，分別為：（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3），∴這二人都來自C探討所的概率為p＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)、概率的求法，考查分層抽樣、列舉法等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．20．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意列出d與a1的方程組，求解出d與a1，即可求得an；（2）由（1）求得Sn與bn，再利用裂項(xiàng)相消法求得Tn，證明結(jié)論．【解答】解：（1）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意得，解得：，∴an＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）證明：由（1）得：Sn＝＝n2+3n，∴bn＝＝＝＝﹣，∴Tn＝（）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣＜．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算及裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．21．【分析】（1）選①，先利用正弦定理化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而得到，結(jié)合C的范圍即可求得；選②，先利用正弦定理可得（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，再利用余弦定理可得，結(jié)合C的范圍即可求得；（2）由余弦定理可得a2+b2﹣ab＝3，再利