數(shù)學(xué)（全國(guó)卷理科2）-2024年高考押題預(yù)測(cè)卷

絕密★啟用前

2024年高考押題預(yù)測(cè)卷【全國(guó)卷02】

理科數(shù)學(xué)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知集合/=[4會(huì)2()],5={x|log2(x-l)<3},貝IJ(m4)cB=()

A.[3,9]B.(1,9]C.(1,3]D.(1,3)

z1.\2025

2.已知復(fù)數(shù)z二言，則I的虛部為()

A.-1B.-iC.1D.i

3.設(shè)/,那是兩條不同的直線(xiàn)，a,〃是兩個(gè)不同的平面，若lua,a//p,貝曠加_L/”是“加的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)/(')的圖象如圖所示，則函數(shù)/(%)的解析式可能為()

A.f(x)=cos2x-(e%-e-x

—XI——x

C.〃X)=---------

XX

5.已知平面向量瓦石滿(mǎn)足萬(wàn)+5+0=可可=間=1，忖=6,則不與豆的夾角為（）

71n23

A.—B.—C.-7TD.—n

4334

i2

6.己知/（x）+l在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實(shí)數(shù)a,6滿(mǎn)足/（。-4）+/。）=-2,則上+工的最小值

ab

為（）

C.3+20

7.2024年3月16日下午3點(diǎn)，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場(chǎng)，伴隨平地村足球隊(duì)

在對(duì)陣口寨村足球隊(duì)中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開(kāi)帷幕.某校足

球社的五位同學(xué)準(zhǔn)備前往村超球隊(duì)所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠(chéng)村，已知每個(gè)村

至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個(gè)村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須

選同一個(gè)村，則不同的選法種數(shù)是（）

A.18B.36C.54D.72

8.己知$10。+8$尸=^',85（?-$1114=-；,則cos（2a-2/7）=（）

A.AB.4C.返D一返

32323232

9.已知4=5狂10.5力=3°5,。=108（）30.5,則。，仇。的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

22

10.己知橢圓E：,+a=1（。>方>（））的左焦點(diǎn)為尸，如圖，過(guò)點(diǎn)尸作傾斜角為60。的直線(xiàn)與橢圓E交于

A,B兩點(diǎn)，”為線(xiàn)段國(guó)的中點(diǎn)，若53Ml=|。司（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓E的離心率為（）

11.在棱長(zhǎng)為1的正方體“BCD-451GA中，分別為1G的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),

且滿(mǎn)足MPLCN,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.點(diǎn)尸可以是棱AB】的中點(diǎn)

C.點(diǎn)尸的軌跡是正方形D.點(diǎn)尸軌跡的長(zhǎng)度為2+逐

12.若函數(shù)/(x)=alnx+gx2-2x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)再多，且(再)+/</(、2)-芮恒成立，則實(shí)數(shù)f

的取值范圍為()

A.(-oo,-5)B.C.(f,2-21n2)D.(-a),2-21n2]

第二部分(非選擇題共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13.若數(shù)列｛。"｝滿(mǎn)足［=1,an+l-an-l=2",貝IJQ=—.

14.已知函數(shù)/(X)=2COS(0XT，其中。為常數(shù)，且。40,6),將函數(shù)/(x)的圖象向左平移;個(gè)單位所

得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)在x=0取得極大值，則0的值為.

15.已知函數(shù)/(x)=-?2+2&_2戶(hù)+f的最大值為M,若函數(shù)g(f)=M+產(chǎn)-加有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的

取值范圍是.

16.已知四棱錐尸-/BCD的高為2,底面/BCD為菱形，AB=AC=6E,尸分別為尸4尸C的中點(diǎn)，貝ij

四面體EF5D的體積為；三棱錐尸-ZBC的外接球的表面積的最小值為.

三'解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.己知的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a也c,X=f4.

c4b-a

(1)求sinC的值：

⑵若。C的面積為半'且°+年平c'求"BC的周長(zhǎng).

18.某校高三年級(jí)進(jìn)行班級(jí)數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，每班選三人組成代表隊(duì)，其中1班和2班進(jìn)入最終的決

賽.決賽第一輪要求兩個(gè)班級(jí)的代表隊(duì)隊(duì)員每人回答一道必答題，答對(duì)則為本班得1分，答錯(cuò)或不答都得0

分.己知1班的三名隊(duì)員答對(duì)的概率分別為3:、弓2、k12班的三名隊(duì)員答對(duì)的概率都是弓2，每名隊(duì)員回答

正確與否相互之間沒(méi)有影響.用《、〃分別表示1班和2班的總得分.

。)求隨機(jī)變量人〃的數(shù)學(xué)期望￡(-1(〃)；

(2)若4+?=2,求2班比1班得分高的概率.

19.如圖，在圓柱OQ中，一平面沿豎直方向截圓柱得到截面矩形48片4,其中物，8片為圓柱oq的母

線(xiàn)，點(diǎn)C在底面圓周上，且8c過(guò)底面圓心。，點(diǎn)。，E分別滿(mǎn)足還=2萬(wàn)N率=2的，過(guò)DE的平面與381

交于點(diǎn)尸，且乖=2初(4>0).

(1)當(dāng)；1=2時(shí)，證明:平面DE尸//平面4BC；

⑵若《2郎2/。4與平面語(yǔ)所成角的正弦值為嚕，求，的值.

20.已知?jiǎng)訄AE經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。(L0),且與直線(xiàn)x=-1相切，設(shè)動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線(xiàn)C.

(1)求曲線(xiàn)C的方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)尸(1,2)的直線(xiàn)/一4分別與曲線(xiàn)C交于A,8兩點(diǎn)，直線(xiàn)小4的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，求誣

直線(xiàn)N3的傾斜角為定值.

21.已知函數(shù)/'(x)=xe，-2ax(a>0).

(1)若函數(shù)/(x)在x=l處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為求。的值;

⑵若函數(shù)/(x)的最小值為-e,求a的值.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

22.已知在平面直角坐標(biāo)系xQv中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)G

x=7〃+cosa

的極坐標(biāo)方程為夕=2sin。；在平面直角坐標(biāo)系xQv中，曲線(xiàn)G的參數(shù)方程為廠(chǎng).為參

y=sina

數(shù))，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(后且點(diǎn)A在曲線(xiàn)G上.

(1)求曲線(xiàn)G的普通方程以及曲線(xiàn)G的極坐標(biāo)方程；

(2)已知直線(xiàn)，:x-by=0與曲線(xiàn)G，G分別交于尸，。兩點(diǎn)，其中尸，。異于原點(diǎn)o,求人小。的面積.

選修4-5：不等式選講

23.己知函數(shù)/(*)=忖+卜-2|+|戈-4

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求不等式/(x)414的解集;

(2)若“X)WJi+8國(guó)+16恒成立,求。的取值范圍.

2024年高考押題預(yù)測(cè)卷【全國(guó)卷02】

理科數(shù)學(xué)?全解全析

第一部分(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.已知集合/=[三5={x|log2(x-l)<3},貝i]&4)cB=()

A.[3,9]B.(1,9]C.(1,3]D.(1,3)

Y-L1

【詳解】由解得X>3或尤4一1,

x-3

所以言NO（-8,-1]。（3,+㈤）,則Q/=（-l,3],

^log2（x-l）<3,即log2（x-l）Vlog223,所以0<x-148,解得l<x<9,

所以3={x|log2（龍一l）W3}={x|l<xW9},

所以(Q/)c8=(l,3].

故選：C

z.\2025

2.已知復(fù)數(shù)z=1巖，貝丘的虛部為()

A.-1B.-iC.1D.i

【詳解】因?yàn)槎?/W.、=i，又i2=-l，『=?廠(chǎng)=],

1-1+

所以z=-i，所以2的虛部為-1.

故選：A

3.設(shè)/,加是兩條不同的直線(xiàn)，a,，是兩個(gè)不同的平面，若/ua,a//P,貝『加_L/”是“加_L/?”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【詳解】若加，/,/ua,a〃尸，則加與尸的位置關(guān)系不能確定;

若初_1_4，因?yàn)閍〃/7,所以陽(yáng)_La,又Iua,所以陽(yáng)_L/成立.

所以“JJ"是"?"L夕”的必要不充分條件.

故選：B

4.己知函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)/(%)的解析式可能為()

12

A./(x)=cos2x(ex-e-x)B./(x)=-hi—r—

XX+1

x-x

e+eY2i

C./(x)=D./(x)=sin2.rln^4?^

xx

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/(x)=cos2x.(e、-e-x)的定義域?yàn)镽,而題設(shè)函數(shù)的圖象中在自變量為0時(shí)無(wú)意義,

不符合題意，排除：

對(duì)于B,當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=—?hi=—j^lnx2-ln(x2+<0,不符合圖象，排除.

對(duì)于C,當(dāng)x>0時(shí)，/(x);e'+ex>0,不符合圖象，排除；

x

故選：D

5.己知平面向量瓦R云滿(mǎn)足"區(qū)+^=6洞率1=1同=6，則后與否的夾角為()

【詳解】由題意知平面向量I萬(wàn)E滿(mǎn)足，+b+干=可可=1司=1,忖=0,

故5+6=」，所以m+方=52,

所以/+2萬(wàn)萬(wàn)+丁=3，所以號(hào)B=g，

-rab1-兀

則8'"'"=雨=3，萬(wàn)力近0,可，故76=j,

故選：B.

12

6.已知〃x)+l在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).若正實(shí)數(shù)a,6滿(mǎn)足/(。-4)+/0)=-2,則一+工的最小值

ab

為()

A.-+—B.-+V2C.3+2及D

424-*

【詳解】由于/(x)+l為奇函數(shù)，所以/(x)+l+〃T)+l=On/(x)+〃—x)=-2,

由〃4-4）+/（6）=-2得〃-4=-6=>4+>=4,

由于"0力>0,所以為冷（$部。+。）山3+9￡|4（3+2&）=：+去

當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號(hào)，故工+^的最小值為之+走，

ab42

故選：A

7.2024年3月16日下午3點(diǎn)，在貴州省黔東南苗族侗族自治州榕江縣“村超”足球場(chǎng)，伴隨平地村足球隊(duì)

在對(duì)陣口寨村足球隊(duì)中踢出的第一腳球，2024年第二屆貴州“村超”總決賽階段的比賽正式拉開(kāi)帷幕.某校足

球社的五位同學(xué)準(zhǔn)備前往村超球隊(duì)所在村寨調(diào)研，將在第一天前往平地村、口寨村、忠誠(chéng)村，已知每個(gè)村

至少有一位同學(xué)前往，五位同學(xué)都會(huì)進(jìn)行選擇并且每位同學(xué)只能選擇其中一個(gè)村，若學(xué)生甲和學(xué)生乙必須

選同一個(gè)村，則不同的選法種數(shù)是（）

A.18B.36C.54D.72

【詳解】若五位同學(xué)最終選擇為3』』，先選擇一位同學(xué)和學(xué)生甲和學(xué)生乙組成3人小組，

剩余兩人各去一個(gè)村，進(jìn)行全排列，此時(shí)有C；A；=18種選擇，

若五位同學(xué)最終選擇為2,2,1,將除了甲乙外的三位同學(xué)分為兩組，再進(jìn)行全排列，

此時(shí)有C；C；A；=18種選擇,

綜上，共有18+18=36種選擇.

故選：B

1

8.已知sina+cos夕=-^-,cosa—sin夕=一萬(wàn)，貝iJcos(2a—20=()

「55/39「5回

3232

【詳解】解：因?yàn)閟ina+cos4=cosa—sin/7=-L,

22

所以sin2a+2sinacos夕+COS?夕=—,cos2a-2cosasiii/7+sin2/7=—,

24

3、3

兩式相加得:2+2(siiiacos^-cosasin/?)=—,即2+2sin(a—4)=—.

4

化簡(jiǎn)得sin(a_,)=_J,

o

7

所以cos(2a_20=l-2sin2(a-/7)=—,

故選：A

9.m^a=sin0.5,b=305,c=logo3().5,則。，dc的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【詳解】對(duì)xe〔0，m，因?yàn)閥=sinx-x,貝ijy'=cosx-lvO,即函數(shù)y=sinx-x在［o,>|■，單調(diào)遞減,

且x=0時(shí)，y=0,貝ijsinx—x<0,即sinxvx,所以〃=sin0.5<0.5,

因?yàn)?10go3。-5=logo30.25>log030.3=1且log030.5<log030.3=1,所以0.5vc=log030.5<1,

又b=3">3°=l,所以"cvb.

故選：C

22

10.己知橢圓E：r+方=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)為尸，如圖，過(guò)點(diǎn)尸作傾斜角為60。的直線(xiàn)與橢圓E交于

A,B兩點(diǎn),“為線(xiàn)段須的中點(diǎn)，若1尸"|=|。尸|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓E的離心率為（）

【詳解】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)為尸（-c,0）.忸M="|。司=+,

過(guò)“作MM軸，垂足為M',由NMEM'=60。，

=tan60°=G演+、=9,.+%=有一

設(shè)Z（Xi，yJ￡（*2，%），則有

2105210

由事耳=道+￥=1,兩式相減得（菁+0）（演72）1（”+%）（.片72）

=0，

ababa1b1

V3

則有（）（）——C

Q=.M+"Mf5Xy/3=—,

。2（』+工2）（玉一》2）—9c3

5

所以"/后=門(mén)=當(dāng)

故選：B.

11.在棱長(zhǎng)為1的正方體48CD-44GA中，M.N分別為BDr4G的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),

且滿(mǎn)足MPLCN,則下列說(shuō)法正確的是（）

B.線(xiàn)段MP的最大值為立

A.點(diǎn)尸可以是棱AB】的中點(diǎn)

2

C.點(diǎn)尸的軌跡是正方形D.點(diǎn)尸軌跡的長(zhǎng)度為2+石

在正方體4BCZ>-44Goi中，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以以、DC、方向?yàn)閄軸、y軸、Z軸正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為1,分別為BRWG的中點(diǎn),

則0(0,0,0),C(0,l,0),

所以函=仁,0,“，設(shè)尸(x,y,二)，則聲=z_；J,

因?yàn)镸P_LCN,

z=

所以：[丫_：]+2_：=0,2x+4z-3=0,當(dāng)x=l時(shí)，z=—;當(dāng)x=0時(shí)，~:

2V2)244

取蹌詞,心；),G(O,0),《。詞,

連接EF,FG,GH,HE,則市=麗=(0,1,0),麗=怒=11,0,；),

所以四邊形HFG"為矩形，

則而.西=0，EHCN=0,即E尸J_CW,EHVCN,

又EFCEH=E,且￡尸匚平面E尸G",EHu平面EFGH,

所以CN_L平面EFGH,

又瓦7=[-；,；,t),布=(-；?,所以M■為EG中點(diǎn)，則從'e平面EFGH,

所以，為使MPLCN,必有點(diǎn)Pe平面EFGH,又點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，

所以點(diǎn)尸的軌跡為四邊形E尸GH,

因此點(diǎn)尸不可能是棱B片的中點(diǎn)，即A錯(cuò)：

又快耳=快圖=1,|麗卜產(chǎn)后卜孚，所以廬斤卜廬司，則點(diǎn)尸的軌跡不是正方形：

且矩形￡尸GH的周長(zhǎng)為2+2X亞=2+6,故C錯(cuò)，D正確；

2

因?yàn)辄c(diǎn)M為EG中點(diǎn)，則點(diǎn)M為矩形E尸GH的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，所以點(diǎn)“到點(diǎn)E和點(diǎn)G的距離相等，且最大,

所以線(xiàn)段MP的最大值為正，故B錯(cuò).

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法，由

MP1CN,求出動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形，即可求解.

12.若函數(shù)/(x)=alnx+gx2-2x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)不多，且，-/(玉)+*2</(*2)-正1恒成立，則實(shí)數(shù)，

的取值范圍為()

A.(-<=o,-5)B.(-8,-5]C.(f,2-21n2)D.(f,2-21112]

【詳解】依題意得/，(x)=g+.―2=不二空土，x>0),

若函數(shù)/（X）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)占,三,

則方程--2x+a=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根X”三,

A=4-4?>0

可得<石+工2=2>0,解得0<6Z<1,

x{x2=a>0

因?yàn)椋ァ?（再）+X2</（x2）-西，

xxx=

可得/</(否)+f^i)~\~2。1皿]+—2項(xiàng)+tzlnx2+—xf-2X2-X1-X2

\12xx

+X；)-3(再+%2)=Qin+—(%1+x2)_i2_3(石+%2)

12

=a\na+—x2-a-3x2=QIIIQ一。一4.

2

設(shè)/z(a)=QlnQ-Q—4(0<a<l),貝I]/(a)=Ina<0,

則力（a）單調(diào)遞減,A（a）>/z（l）=-5,可知M-5.

所以實(shí)數(shù)》的取值范圍是（-叫-5].

故選：B.

第二部分（非選擇題共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

n

13.若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足％=1,an+l-an-l=2,貝lja〃=.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝滿(mǎn)足6=1,。用一4—1=2〃，

所以〃2-=1+2】,

—電=]+22,

。4—43=]+2?,

%—i=1+2〃T,

以上各式相加得%%—1+⑵+2?+2。+...+2〃|),

所以%=2"+幾一2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，熟記累加法即可，屬于?？碱}型.

14.已知函數(shù)/(X)=2COS(0X-3,其中。為常數(shù)，且。e(O,6),將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位所

得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)g(x)在X=0取得極大值,則3的值為.

【詳解】由題意可知g(x)=2cos小+1-三=2cos,x+詈

因?yàn)間(x)在x=0取得極大值，所以g(x)在x=0取得最大值，

所以處一二=2E,keZ,即0=2+12左，

63

又因?yàn)?。e(O,6),所以，當(dāng)且僅當(dāng)上=0時(shí)，。=2滿(mǎn)足條件，所以。=2,

故答案為：2.

15.己知函數(shù)/(招=-蘇+24-2/+/的最大值為“，若函數(shù)g(4="+〃-%有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的

取值范圍是.

【詳解】解：因?yàn)?(x)=-4+2〃x-2/+/=v(x-f)2一/+，，

所以的最大值為M=d+f,

易知函數(shù)g(0=M+__〃2=_「+〃+/一加有三個(gè)零點(diǎn)，

等價(jià)于函數(shù)〃&)=-#+尸+f的圖象與直線(xiàn)y=m有三個(gè)交點(diǎn)，

因?yàn)椤?。=-3〃+2/+1=-(3/+1)?-1),

所以當(dāng)/<一；或"1時(shí)，當(dāng)一(</<1時(shí)，/⑺>0,所以人⑺在(1,+8)上單調(diào)遞減，

在d上單調(diào)遞增，

所以力⑺極小值=力[_；)=_(_[]+(_￡]+]一:]=一3W)極大值=人(1)=-1+1+1=1，

又當(dāng)1-時(shí)，/7(f)f+cO;當(dāng)時(shí)，；?(/)-?-00,函數(shù)〃⑺=-r+?+/的圖象如下所示：

〃，有三個(gè)交點(diǎn),則加€7)?

故答案為:

16.已知四棱錐P-/BCD的高為2,底面/BCD為菱形，AB=AC=6瓦尸分別為尸4PC的中點(diǎn)，則

四面體￡/咕。的體積為:三棱錐尸-NBC的外接球的表面積的最小值為

【詳解】如圖，設(shè)4CcBD=G,連接尸G,￡G,

?,^EFBD='B-EFG+^D-EFG>

易知E/,G分別為P4PC盤(pán)中點(diǎn)“./.1打〃，

所以&-EFG=~7^B-PAC'%-EFG=~7^D-PAC'

44

=

^EFBD=~7^B-PAC+T^D-PAC=T(^B-PAC+^D-PAC)T^P-ABCD，

4444

???四邊形"CD是菱形，AB=4C=C，

:.^ABC^ACD為全等的正三角形,

S皿=2x；N5.8Csin6°°=3x0x*=￥，

“1136-6

皿4324

因?yàn)椤癇C是邊長(zhǎng)為6的正三角形，記其中心為Q，

則“BC的外接圓的半徑為r=Ylx6x2=l,

23

設(shè)三棱錐尸-4BC的外接球的半徑為￡,球心為。，則OQ_L底面4BC

過(guò)尸作底面4BC交于H,則OQ〃尸

結(jié)合圖象可知尸o+oqwPH,其中五=PO,oo；=RZ_產(chǎn)=/_T,

因?yàn)槭狡矫鏀?shù)c的距離為2,即W=2,所以五+，R2一122,

易知關(guān)于J?的函數(shù)y=尺+在［1,+s)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)且僅當(dāng)尺+y7二1=2時(shí)，火取得最小值,

此時(shí)，P.o,q三點(diǎn)共線(xiàn)，由R+J92_I=2,解得五=(,

所以棱錐尸-公。的外接球的表面積的最小值為4成2=手

4

故答案為：且：岑.

44

三'解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.已知"BC的內(nèi)角4夙0的對(duì)邊分別為a.bc藝￡=兼］

(1)求sinC的值;

(2)若"BC的面積為姮，且a+6=2四c,求UBC的周長(zhǎng).

23

【詳解】(1)解：因?yàn)槔韈osJcosC_cosA

,由正弦定理得...................1分

4b-asinC4sinB-siiiJ

可得4sin5cosC-sin/cosC=cos4sinC,

即4sinBcosC=sinZcosC+cosNsinC=sin(N+C)=sin5,3分

因?yàn)?W(0,TT),可得sin5>0,所以4cosc=1,BPcosC=—,

所以sinC=Vl-cos2C=..............................................................................................................................6分

4

（2）解：由（1）知sinC=巫，

4

因?yàn)槿簟?C的面積為巫，可得，HsinC=巫，即4就乂巫=姮，解得而=4,...................8分

222242

又因?yàn)?+力=城0,

3

2

由余弦定理得U=/+〃-2必cosC=(〃+bp-2ab一2曲x[=g+4乃=(外1c)-10,

整理得。2=6,解得c=指，..............................................................10分

所以4+b=2^^x=4?

3

所以AASC的周長(zhǎng)為q+b+c=4+6..............................................................................................................12分

18.某校高三年級(jí)進(jìn)行班級(jí)數(shù)學(xué)文化知識(shí)競(jìng)賽，每班選三人組成代表隊(duì)，其中1班和2班進(jìn)入最終的決

賽.決賽第一輪要求兩個(gè)班級(jí)的代表隊(duì)隊(duì)員每人回答一道必答題，答對(duì)則為本班得1分，答錯(cuò)或不答都得0

分.己知1班的三名隊(duì)員答對(duì)的概率分別為彳3、g2、：1，2班的三名隊(duì)員答對(duì)的概率都是微2，每名隊(duì)員回答

正確與否相互之間沒(méi)有影響.用5、〃分別表示1班和2班的總得分.

⑴求隨機(jī)變量久〃的數(shù)學(xué)期望E（3,E（〃）：

（2）若4+7=2,求2班比1班得分高的概率.

【詳解】（1）依題意可得J的可能取值為0、1、2、3,

所以隨機(jī)變量9的分布列為

40123

111

P

244244

.....................................................................................................................................................................................3分

所以E⑶=0x'+l/+2xU+3xL空

4分

v'24424412

又2班的總得分〃滿(mǎn)足乙~8（3,|2

則E（〃）=3x§=2.6分

（2）設(shè)“4+〃=2”為事件A,“2班比1班得分高”為事件3,,7分

則尸（4）=（xC；

59

...............................................................................9分

24x27

P（AB）=—xC^

243

所以加辦三卷

11分

12

所以2班比1班得分高的概率為II.12分

19.如圖，在圓柱oq中，一平面沿豎直方向截圓柱得到截面矩形4844,其中8片為圓柱oq的母

線(xiàn)，點(diǎn)C在底面圓周上，且BC過(guò)底面圓心。，點(diǎn)。，E分別滿(mǎn)足淳=2應(yīng).庭=2麗，過(guò)DE的平面與期

交于點(diǎn)尸，且率=2麗。＞0）.

⑴當(dāng)2=2時(shí)，證明:平面。E尸〃平面4BC；

（2）若A^=2AB=2AC,AF與平面44c所成角的正弦值為嚕，求彳的值.

UIAAIUMMVLMVMM

【詳解】（1）當(dāng)2=2時(shí)，得&F=2FB,又4。=2￡）4,BXE=2EC,

所以Z）尸〃月B.EF//BC,................................................................2分

：Z）77cz平面4BC,4Bu平面48C,二。尸//平面4BC,

同理得昉〃平面/3C,..................................................................4分

因?yàn)镺E是平面。所內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，

所以平面DE尸〃平面ZBC..................................................................................................................................5分

(2)因?yàn)?4],B片為圓柱OQ的母線(xiàn)，所以總垂直平面JBC,又點(diǎn)。在底面圓周上，且BC過(guò)底面圓心

O,

所以N342C,所以4瓦/C44,兩兩互相垂直?以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48,40』4分別為xj,二軸，建立如圖

空間直角坐標(biāo)系...........................................................................6分

設(shè)ZC=1,則4(0,0,0),5(1,0,0),C(0,l,0),4(0,0,2),5,(1.0,2),

所以"=(1,0,0),即=(0,0,2),4區(qū)=(1,0,0)，4C=(O,l-2),7分

--------*]--?0,0,2

因?yàn)槟惺?義用(；1>0),所以5尸=不瓦,則

A+1A+1

萬(wàn)=在+訪(fǎng)=(LO,O)+[o.O.」y

8分

設(shè)平面4BC的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(x,y,z),

77-44=0[x=0

則〈一，即〈、八，令z=l,解得x=0,y=2,

方.4C=0[y-2z=0

所以萬(wàn)=(0,2.1),..................................................................................................................................................10分

所以作與平面4sle所成角的正弦值為|cosAF,n\=

11分

12分

X

20.已知?jiǎng)訄AE經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。(1,0),且與直線(xiàn)x=-1相切，設(shè)動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線(xiàn)C.

⑴求曲線(xiàn)C的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)尸(1,2)的直線(xiàn)34分別與曲線(xiàn)C交于A,3兩點(diǎn)，直線(xiàn)4，的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，求i正

直線(xiàn)48的傾斜角為定值.

【詳解】(1)因?yàn)閯?dòng)圓E經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。(1,0),且與直線(xiàn)尤=-1相切，

即動(dòng)圓圓心E到點(diǎn)。(1,0)的距離與到直線(xiàn)x=T的距離相等，.................................1分

又點(diǎn)。(1,0)不在直線(xiàn)x=-l上，

由拋物線(xiàn)的定義可知?jiǎng)訄A圓心E是以。(1,0)為焦點(diǎn)，直線(xiàn)x=-l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，...............3分

所以動(dòng)圓圓心E的軌跡為/=4x...............................................................4分

(2)依題意設(shè)直線(xiàn)4方程為y=左。-1)+2優(yōu)*0),

；直線(xiàn)4，4的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ),

的方程為k-《(xT)+2.

[y=k(x-\)+1—,,

聯(lián)立方程組2，，消元得心2-(2左2一4左+4)X+("2)2=0,

[y=4x

A=[2k--44+4『_442(左一2『=16(左一1)2>0,................................................6分

因?yàn)榇朔匠痰囊粋€(gè)根為1,設(shè)電M，3，%),

則再二七三二后2一｝+4,同理可得%="2+\+4,..................................................................................8分

kkk

12k2_i_2Q

y-y=[k(x-l)+2]-[-k(x-1)+2]=k(x+x)-2k=-------2k=-.

l212x2kk

■,?^=ZLZA=-I,...........................................................................10分

xx-x2

37r

設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為凡則tan?=T,又。?0,無(wú))，所以。=彳，...........................11分

???直線(xiàn)的斜率為定值-1,傾斜角為定值3兀?..............................................12分

4

21.已知函數(shù)/(x)=xe"-2ax(a>0).

(1)若函數(shù)/(X)在x=l處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為藍(lán)，求。的值；

⑵若函數(shù)/(x)的最小值為-e,求。的值.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=xe”一2"(〃>0),所以廣(x)=(x+l)e“一2Q,

貝ij/'(l)=2e—2〃，又/⑴=e—2〃，

所以函數(shù)/(')在x=l處的切線(xiàn)方程為歹-e+2a=(2e-2a)(x-1)...............................2分

由題意，顯然QWe,令x=0得>=—e,令歹=0得％=e,

2e-2a

所以函數(shù)/(X)在x=l處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為S=:4；1=

22e-2a2

所以|2e-2a|=e,解得或。=手........................................................4分

(2)由(1)知/<x)=(x+l)e，-2a,令g(x)=/(%)=(x+l)e*-2a(a>0),

所以g'(x)=(x+2)e=當(dāng)x<-2時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(一叫一2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)》>-2時(shí)，g'(x)>0,8(外在(-2,+8)上單調(diào)遞增..........................................6分

因?yàn)閍>0,所以當(dāng)xW-2時(shí)，g(x)=(x+l)e*-2a<0,

又g(2a)=(2q+l)e"-2a>2a+l-2a=1>0,

所以g(x)在(-2,+oo)上必存在唯一零點(diǎn)%,使得g(Xo)=O.....................................8分

當(dāng)x<x。時(shí)，g(x)<0,即/'(x)<0,/(x)在(-叫/)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x>/時(shí)，g(x)>0,即/'(x)>0,f(x)在(x(),+oo)上單調(diào)遞增.

所以/(x)在x=x。處取得最小值,

即/（X）111m=/（工0）=X00與-2。%,且/'（Xo）=o,即2a=（Xo+l）e%,

x

所以/(x)11dli=%十-2a%=x()e"-(.r0+l)e°..r0=-x；e"=-e..................................10分

設(shè)力(x)=-x%%x>-2),所以力'(x)=-x(x+2)e”,

_4_3

當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，/?'(x)>0"(x)單調(diào)遞增，A(x)>A(-2)=^>—p=-e,

當(dāng)xe[0,+oo)時(shí)，h'(x)<0,6(x)單調(diào)遞減，/?(x)</?(0)=0,

又//(l)=-e,所以函數(shù)6(x)在上存在唯一的x=l,使得-YeJ-e成立，

所以5=1,所以2a=(x0+l)ex。=2e,即。=e...............................................12分

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、2