2025高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊-6.1.2分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理【課件】

6.1.2

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用分類加法計(jì)數(shù)原理與分布乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題;2.理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征,正確選擇“分類”或“分步”.3.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算。1.分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.一、回顧舊知推廣：如果完成一件事有n類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事的方法總數(shù)為N＝m1＋m2＋…＋mn.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.推廣：如果完成一件事需要n個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事的方法總數(shù)為N＝m1×m2×…×mn1.例4.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左右兩邊墻上的指定位置,問共有多少種不同的掛法？二、鞏固新知分析:要完成的一件事情是“3幅不同的畫中選出2幅,并分別掛在左右兩邊墻上”,可以分步完成.解:從3幅畫中選出2幅，分別掛在左右兩邊墻上,可以分兩個(gè)步驟完成:第1步,從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法:第2步,從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同掛法的種數(shù)N=3×2=6.

6種掛法如圖6.1-2所示

左邊右邊得到的掛法甲乙丙圖6.1-2左甲右乙左甲右丙左乙右甲左乙右丙左丙右甲左丙右乙乙丙甲丙甲乙1).要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上白班和晚班，有多少種不同的選法？第一步:選1人上白班；第二步:選1人上晚班.有3種方法有2種方法N＝3×2＝6（種）2.變式練習(xí)2).從5人中選4人參加數(shù)、理、化學(xué)科競賽,其中數(shù)學(xué)2人，理、化各1人,求共有多少種不同的選法？數(shù)學(xué)2人化學(xué)1人物理1人5種4種3種N＝5×4×3＝60（種）

3例5.給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后兩個(gè)要求用數(shù)字1～9，問最多可以給多少個(gè)程序命名？分析:要完成的一件事情是“給一個(gè)程序模塊命名”,可以分三個(gè)步驟完成:第1步，選首字符：第2步，選中間字符:第3步，選最后一個(gè)字符.而首字符又可以分為兩類.解:由分類加法計(jì)數(shù)原理,首字符不同選法的種數(shù)為7+6=13.后兩個(gè)字符從1~9中選,因數(shù)字可以重復(fù),所以不同選法的種數(shù)都為9由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同名稱的個(gè)數(shù)是N=13×9×9=1053即最多可以給1053個(gè)程序模塊命名.

在解題時(shí)有時(shí)既要分類又要分步

4例6.

電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.問：（1）一個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國際碼（GB碼）包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？=256個(gè)

(2).2個(gè)字節(jié)(65536個(gè)）

分析:要完成的一件事情是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”,由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制，每一位上的值有0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.如圖6.1-3.第1位第2位第3位第8位

···

2種2種2種2種圖6.1-3

5例7.

計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行測試，程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測試數(shù)據(jù).一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成.如圖所示是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊.（1）這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑；（2）為了減少測試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑結(jié)束A91×81=7371條172+6=178次圖6.1-46例8.

通常，我國民用汽車牌的編號由兩部分組成:第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號，第二部分由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(如圖6.1-5).最多能給7060000輛汽車上牌照.冀A·JR005圖6.1-5其中，序號的編碼規(guī)則為:(1)由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和O,I之外24個(gè)英文字母組成;(2)最多只能有2個(gè)英文字母.如果某地級市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號牌?分析:由號牌編號的組成可知，序號的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的號牌數(shù)，按序號編碼規(guī)則可知，每個(gè)序號中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號分為三類:沒有字母、有一個(gè)字母、有兩個(gè)字母.以字母所在的位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個(gè)字母的序號分為五個(gè)子類，將有兩個(gè)字母的序號分為十個(gè)子類.

(1).某班有5人會(huì)唱歌，另有4人會(huì)跳舞，還有2人能歌善舞,從中任選1人表演一個(gè)節(jié)目，共可表演多少個(gè)節(jié)目？N＝5＋4＋2×2＝13（種）第1類：從會(huì)唱歌者中選1人唱歌；第2類：從會(huì)跳舞者中選1人跳舞；第3類：從能歌善舞者中選1人唱歌或跳舞；7.變式練習(xí)

(2).有架樓梯共6級,每次只允許上一級或兩級，求上完這架樓梯共有多少種不同的走法？第1類：走3步第2類：走4步第3類：走5步第4類：走6步1種走法6種走法5種走法1種走法N＝1＋6＋5＋1＝13（種）

(3).在1，2，3，…，200這些自然數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上都不含數(shù)字8的自然數(shù)共有多少個(gè)？不含8的一位數(shù)不含8的二位數(shù)不含8的三位數(shù)8個(gè)8×9=72個(gè)9×9+1=82個(gè)N＝8＋72＋82＝162（個(gè)）

(4).從－3,－2,－1，0，1，2，3中任取三個(gè)不同的數(shù)作為拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的系數(shù)，如果拋物線過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一象限，問這樣的拋物線共有多少條？c取值a取值b取值1種3種3種N＝3×3×1＝9（種）c＝0a＜0b＞0三、課堂小結(jié)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在