行列式的計(jì)算

照定義進(jìn)行計(jì)算，但是直接按照定義計(jì)算而不借助于計(jì)算機(jī)有時(shí)是不可能的．本文在總結(jié)已有常規(guī)行列式計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，對(duì)行列式的“特征值法”等十幾種計(jì)算技巧和途徑.紹幾種常見(jiàn)的,也是行之有效的計(jì)算方法.用此方法.2.定義法1j12j23j34j4慮j=3，j=2，j=1這些列指標(biāo)的項(xiàng)．這1就3.化為三角形計(jì)算法000100200430000010=00001329585=700=0100026770078外,還有其它的作用.yynnnx(yx(y111之所以等于零，是因?yàn)橛袃闪谐杀壤?x(yx(yx)(y1111數(shù)有關(guān)時(shí),還需進(jìn)行討論說(shuō)明.b0b0n13.3逐行(或列)相加減n+2=D=000n+211123 2 再將最后一行乘以（-2加到倒數(shù)第二行，其余行都不變，得：=D=n+2100001011000012000111000011000Dn+21000000001000000010000000010001010101011203行列式化為三角形行列式，從而求出行列式的值.1aa4.特殊行列式a0c1c2cnb2a2nanbnanb2a2b1a1a0c1c2cncnc2ca0a22annancna2a1c1bn2b1a0iaiiiiai002niΣ)iij0aiD=2222-y可以化為爪型行列式，利用例6結(jié)論計(jì)算其值.解D2+x22200y(y)a1b2a2cn2b3cn1an1bn證明.D=na+b1a+b11a+b1n2變形D2n1nn1n11111111解按第n行展開(kāi)得Dn11111D1有na0b1c2a1a222bncnanancnbna2c2b2a1c1b1a0cnanc2a2bnc1a1b2a0b1b2a1c010a2c2bnnnn三條直線外,其余元素全為零的三線型行列式，稱為型行列式．這一階.D=nn+1nxxan11xa1xa211xn+1(+an1232…n1121232n(n+1)n(n+1)21212a10D=n0bnb1a2002nDn1a2002nn+1nb1a202n+1bb…ba100bna100b2b1a2000a2000b200…………,,1n1nnn200a000ab12bn00ana100bn等的“兩線形的行列式”可以直接展開(kāi)降階.然后再利用公式計(jì)算出結(jié)果.n.用線性方程組的理論證明，若是f(x)有n+1個(gè)不同的根，那么f(x)為零多項(xiàng)式.2n2n2EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up35(2),c)n111a1a2annnij所以f(x)為零多項(xiàng)式.38713387132=BA3012516003201093328700015312|nnnEnnn0BnABBnABBnnEnE0E=a0abb.b00b22公式2設(shè)A，B，C均為n階方陣，則B0B0CAB122aaa0aaaab0aaa0ab00000b0a0003素所組成的一切k級(jí)子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.ii是D中一項(xiàng)而且符號(hào)相同，而且MA和MA(i子j)無(wú)公共項(xiàng)．因此為了iijjk=.ii項(xiàng)．定理得證.M=1M=425123,M6=10.101.20131+14.010113從例子來(lái)看，用拉普拉斯定理來(lái)計(jì)算行列式一般是不個(gè)定理主要是理論方面的應(yīng)用.6.析因子法看作一個(gè)多項(xiàng)式f(x)，然后利用多項(xiàng)式理論，求出f(x)的互素的一次11221332211335x的4次多項(xiàng)式及33f(x)．由22113355f(x)有因式x士1、x士2，且f(x)關(guān)于x的最高次數(shù)為4，故2123n1n12nf(x)關(guān)于x的最高次7.加邊法加邊法是把原行列式添加一行一列,且其值不變,所得的新行列D=n解:11…1112…11n111…1nD=n11…11012…110n111…1n011111i10001…10001an1111112n1000an11111i1000a11…10001an00…iiD=nx2x2…x2xn21xn1易見(jiàn)D1x1x21xn-21xn-11xn11x2x22…xn-22xn-12xn21xnx2n…xn-2nxn-1nxnn1yy2yn-2yn-1yn8.拆分法分法”D=解按第一列之和分解為1111bbbn11111b1b2bna2a2a2nnnnnnbbba0bba0bbnna0bbn00000nnn1(n1)(n1)D=nna0bbb000a0bbnn1n3n2)n2n2n2)n1n9.遞推與歸納干個(gè)具有相同形狀但階數(shù)較低的行列式的關(guān)系式,再利用關(guān)系式推出這個(gè)n階行列式的值.一般情況下,主要方法有:元素相同的題型.更低階）行列式之間遞推關(guān)系式，利用此關(guān)系式求行列式的值．降階DnDD_CDn__2(D_CD)nn_1D=xax11a2a2a2a2a3a3nnn解:Dxa1a1a1xa1a1a1aaa212axa2aaa323aaa323a212x2a323a323nnn)xa1a1a1a1xa2a2aaaan000nnnn200+a2a2xa1a1a133a1xa2a2a2a2a3a3n)Dnn1210n00 n即n1001000000n-1nn-1n-22c3-β3c-βD=3c4-β4c-βc4-β4c3-β3c5-β5c4-β4c3-β3c5-β510.作輔助行列式例28設(shè)f(x),f(x),…,f(x)為次數(shù)不超過(guò)n-2的函數(shù)，設(shè)c,c,…,c為任f1(c1)f(c)f(c)f(c)…f(c)…f1(cn)f(c)f(c)f(c)f(c)f(c)f(c)…f(c)…f(c)…f(x)=axn-2+axn-3+…+ax+a1i1i2in-2in-1f(c)f(c)f(c)aa=21a馬上得證.aaan22n2nn2a2n1ann1cn一21cn一31c110cn一22cn一32c210cn一2ncn一3ncn10根cc…cnf1(x)f(x)2f(x)2f(c)…f(c)…f1(cn)f(c)f(c)nf1(c1)f(c)f(c)證畢.f(c)…f(c)…f1(cn)f(c)f(c)=011.滾動(dòng)消去法法來(lái)做.21 21 nn0n212.特征值法僅當(dāng)它的特征值全部為零.13.微積分法f(x)f(x)i1ff(x)f(x)i1f(x)0n02