河南省通許縣麗星高級中學(xué)2025屆全國高三模擬考試(四)數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

河南省通許縣麗星高級中學(xué)2025屆全國高三模擬考試(四)數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,則“”是“是偶函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點到達點的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.3.拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,,是拋物線上的兩個動點,且滿足,設(shè)線段的中點在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.4.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點,M為棱AD的中點,設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個動點,滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.5.已知是虛數(shù)單位,若,,則實數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.6.已知,則不等式的解集是()A. B. C. D.7.若直線與圓相交所得弦長為,則()A.1 B.2 C. D.38.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點,是它們的-一個公共點,且,設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為,則的關(guān)系為()A. B.C. D.9.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.10.為了貫徹落實黨中央精準(zhǔn)扶貧決策,某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計繪制如圖,其中各項統(tǒng)計不重復(fù).若該市老年低收入家庭共有900戶,則下列說法錯誤的是()A.該市總有15000戶低收入家庭B.在該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有1800戶C.在該市無業(yè)人員中,低收入家庭有4350戶D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中,低收入家庭有800戶11.已知橢圓的左、右焦點分別為、,過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切,與相切于點,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.12.若實數(shù)、滿足,則的最小值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.正四棱柱中,,.若是側(cè)面內(nèi)的動點,且,則與平面所成角的正切值的最大值為___________.14.已知半徑為4的球面上有兩點A,B,AB=42,球心為O,若球面上的動點C滿足二面角C-AB-O的大小為60°15.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為,現(xiàn)按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人,若抽取的高三年級為12人,則抽取的樣本容量為________人.16.已知等比數(shù)列滿足公比,為其前項和,,,構(gòu)成等差數(shù)列,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式,其中M,N.18.(12分)在中,,,.求邊上的高.①,②,③,這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.19.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線C的方程為(),直線l的方程為.設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點,且,求r的值.20.(12分)已知橢圓的左、右頂點分別為、,上、下頂點分別為,,為其右焦點,,且該橢圓的離心率為;(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過點作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點,交直線于點,直線與橢圓的另一個交點為,直線與直線交于點.若,求取值范圍.21.(12分)橢圓:的左、右焦點分別是,,離心率為,左、右頂點分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、(不與點、重合),直線與直線相交于點,求證:、、三點共線.22.(10分)在中,角、、所對的邊分別為、、,且.(1)求角的大??;(2)若,的面積為,求及的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

求出函數(shù)的解析式,由函數(shù)為偶函數(shù)得出的表達式,然后利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度,得到的圖象對應(yīng)函數(shù)的解析式為,若函數(shù)為偶函數(shù),則,解得,當(dāng)時,.因此,“”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件.故選:A.本題考查充分不必要條件的判斷,同時也考查了利用圖象變換求三角函數(shù)解析式以及利用三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù),考查運算求解能力與推理能力,屬于中等題.2.C【解析】

過作于,連接,易知,,從而可證平面,進而可知,當(dāng)最大時,取得最大值,取的中點,可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因為,所以平面,所以,當(dāng)最大時,取得最大值,取的中點,則,所以,因為,所以點在以為焦點的橢圓上(不在左右頂點),其中長軸長為10,焦距長為8,所以的最大值為橢圓的短軸長的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.本題考查三棱錐體積的最大值,考查學(xué)生的空間想象能力與計算求解能力,屬于中檔題.3.B【解析】

試題分析:設(shè)在直線上的投影分別是,則,,又是中點,所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點:拋物線的性質(zhì).【名師點晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中,涉及到拋物線上的點到焦點的距離,焦點弦長,拋物線上的點到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線平行的直線)的距離時,常常考慮用拋物線的定義進行問題的轉(zhuǎn)化.象本題弦的中點到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為兩點到焦點的距離,從而與弦長之間可通過余弦定理建立關(guān)系.4.C【解析】

把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點,連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對稱點為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號,∴所求最小值為.故選:C.本題考查空間距離的最小值問題,解題時作出正方體的完整截面求出點軌跡是第一個難點,第二個難點是求出點軌跡,第三個難點是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.5.B【解析】

由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.本題考查復(fù)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題6.A【解析】

構(gòu)造函數(shù),通過分析的單調(diào)性和對稱性,求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),是單調(diào)遞增函數(shù),且向左移動一個單位得到,的定義域為,且,所以為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,所以圖像關(guān)于對稱.不等式等價于,等價于,注意到,結(jié)合圖像關(guān)于對稱和單調(diào)遞增可知.所以不等式的解集是.故選:A本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式,屬于中檔題.7.A【解析】

將圓的方程化簡成標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選:A本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】

設(shè)橢圓的半長軸長為,雙曲線的半長軸長為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化簡求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的長半軸長為,由橢圓和雙曲線的定義得:,解得,設(shè),在中,由余弦定理得:,化簡得,即.故選:A本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.9.A【解析】

先化簡求出,即可求得答案.【詳解】因為,所以所以故選:A此題考查復(fù)數(shù)的基本運算,注意計算的準(zhǔn)確度,屬于簡單題目.10.D【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計圖表,對選項進行逐一判斷,即可得到正確答案.【詳解】解:由題意知,該市老年低收入家庭共有900戶,所占比例為6%,則該市總有低收入家庭900÷6%=15000(戶),A正確,該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有15000×12%=1800(戶),B正確,該市無業(yè)人員中,低收入家庭有15000×29%%=4350(戶),C正確,該市大于18歲在讀學(xué)生中,低收入家庭有15000×4%=600(戶),D錯誤.故選:D.本題主要考查對統(tǒng)計圖表的認(rèn)識和分析,這類題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容,讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,設(shè),,可得,由切線的性質(zhì):切線長相等推得,解得、,并設(shè),求得的值,推得為等邊三角形,由焦距為三角形的高,結(jié)合離心率公式可得所求值.【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為,為切點,且為中點,,設(shè),,則,且有,解得,,設(shè),,設(shè)圓切于點,則,,由,解得,,,所以為等邊三角形,所以,,解得.因此,該橢圓的離心率為.故選:D.本題考查橢圓的定義和性質(zhì),注意運用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì),切線的性質(zhì),考查化簡運算能力,屬于中檔題.12.D【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,得,可得點,由得,平移直線,當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點時,該直線在軸上的截距最小,此時取最小值,即.故選:D.本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.2.【解析】

如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點,由得,證明為與平面所成角,令,用三角函數(shù)表示出,求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點,則,,又,得即;又平面,為與平面所成角,令,當(dāng)時,最大,即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為:2本題主要考查了立體幾何中的動點問題,考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題,一般是建立空間直角坐標(biāo),在動點坐標(biāo)內(nèi)引入?yún)?shù),將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解,考查了學(xué)生的運算求解能力和直觀想象能力.14.4【解析】

設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1,AB中點為D,連接OD,易知∠ODO1即為二面角C-AB-O的平面角,可求出OD,?O1D及OO1,然后可判斷出四面體OABC外接球的球心E在直線OO1上,在【詳解】設(shè)△ABC所在截面圓的圓心為O1,AB中點為D,連接OD,OA=OB,所以,OD⊥AB,同理O1D⊥AB,所以,∠ODO1即為二面角∠ODO因為OA=OB=4,?AB=42,所以△OAB在Rt△ODO1中,由cos60o=O1D因為O1到A、B、C三的距離相等,所以,四面體OABC外接球的球心E在直線OO設(shè)四面體OABC外接球半徑為R,在Rt△O1由勾股定理可得:O1B2+O本題考查了三棱錐的外接球問題,考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力,屬于中檔題.15.【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)抽取的樣本為,則由題意得,解得.故答案為:本題考查了分層抽樣的知識,算出抽樣比是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16.0【解析】

利用等差中項以及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由,,是等差數(shù)列可知因為,所以,故答案為:0本題考查了等差中項的應(yīng)用、等比數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.y=2sin2x.【解析】

計算MN,計算得到函數(shù)表達式.【詳解】∵M,N,∴MN,∴在矩陣MN變換下,→∴曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y=2sin2x.本題考查了矩陣變換,意在考查學(xué)生的計算能力.18.詳見解析【解析】

選擇①,利用正弦定理求得,利用余弦定理求得,再計算邊上的高.選擇②,利用正弦定理得出,由余弦定理求出,再求邊上的高.選擇③,利用余弦定理列方程求出,再計算邊上的高.【詳解】選擇①,在中,由正弦定理得,即,解得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇②,在中,由正弦定理得,又因為,所以,即;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇③,在中,由,得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形,屬于中檔題.19.【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,可得圓心到直線的距離,再由勾股定理,計算即得.【詳解】以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,可得曲線C:()的直角坐標(biāo)方程為,表示以原點為圓心,半徑為r的圓.由直線l的方程,化簡得,則直線l的直角坐標(biāo)方程方程為.記圓心到直線l的距離為d,則,又,即,所以.本題考查曲線和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,是基礎(chǔ)題.20.(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】

(Ⅰ)由題意可得,的坐標(biāo),結(jié)合橢圓離心率,及隱含條件列式求得,的值,則橢圓方程可求;(Ⅱ)設(shè)直線,求得的坐標(biāo),再設(shè)直線,求出點的坐標(biāo),寫出的方程,聯(lián)立與,可求出的坐標(biāo),由,可得關(guān)于的函數(shù)式,由單調(diào)性可得取值范圍.【詳解】(Ⅰ),,,,,由,得,又,,解得:,,.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(Ⅱ)設(shè)直線,則與直線的交點,又,設(shè)直線,聯(lián)立,消可得.解得,,聯(lián)立,得,,直線,聯(lián)立,解得,,,,,,,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,.本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運算求解能力,意在考查學(xué)生對這些

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