北京市順義2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)4月月考數(shù)學(xué)模擬試題(含答案)

北京市順義2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)

模擬試題

第一部分（選擇題共24分）

一、選擇題共6小題，每小題4分，共24分，在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中.選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.sin585。的值為（）

2233

A.2B."2C.2D.-2

的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)J4，?），貝ijsina,cosa分別為（

2.在平面直角坐標(biāo)系中，若角a

_433_4

A.一4,3B.3,-4C.5,5D.5,一5

3.設(shè)0,A,B,C為平面四個(gè)不同點(diǎn)，它們滿足3O8+OC=404,則（）

A.A,B,C三點(diǎn)共線

B.°,B,C三點(diǎn)共線

C.A,0,C三點(diǎn)共線

D.A,B,°三點(diǎn)共線

4.下列條件滿足-5。為直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

①sin（，-8）=sin（"+8）；②sinCsin8=cosCeos8；③sin?C+sin?8=1

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

5.已知tana>tanp,那么下列命題成立的是（）

A.若a,B是第一象限角，則cosa>cosp

B.若a,P是第二象限角，則sina>sinP

C.若a,B是第三象限角，貝ijcosa<cosp

D.若a,B是第四象限角，則sina>sinp

71

6.函數(shù)八°=$也（2尤+9）。>0）圖像上存在兩點(diǎn)尸（5，°a,M>0）滿足一S-6,則下

列結(jié)論成立的是（）

d1dL

兀

±?！?/p>

/ate+=/aSe+-

s--2-K--N/23

Dx60BD60

d1d

兀

兀-±

/a^e±-/aeS732

X----K--

cD602DD60

第二部分(非選擇題共126分)

二、填空題共9道小題，其中7-10題，每小題4分，共16分，11-15題，每小題5分，共

25分.把答案填寫(xiě)在答題卡上.

7,兩個(gè)非零向量"=&尤一1),6=(2x-l,0)共線,則》=.

8.設(shè)A，x2為方程x2-2x-m=°的兩個(gè)根，且2\+乜=0,則機(jī)的值為.

9.函數(shù)/G)=c°sx在[m”上的值域?yàn)?

10.已知點(diǎn)2)則，與6的夾角為一.

y=sin(2x+0P[~A(n)

11.函數(shù)I3J圖像上的點(diǎn)(41向右平移個(gè)單位后得到p,若P落在

函數(shù)N=sin2x上,則$的最小值為

R_兀

12若P-至貝qtana+tanP+JJtanatanP的值

13.如圖，函數(shù)/（x）=/cos（3x+（p）（/>0,3>0,04中<2兀），貝產(chǎn)=；9=

n

/（x）=asin[x+:]+6sin[無(wú)(abw0)(

14.若4是奇函數(shù)，則有序?qū)崝?shù)#可以是

.(寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一組數(shù)即可).

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，'”)，“。，2)

M=^P\OP=WA+\xOB,0<kr<1,0<\x<]^

集合?,下列結(jié)論正確的是

①點(diǎn)C(3,l)叱

九二2

②若4OP=45。，則日.

③若°”1,則。尸。N的最小值為一22_

三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

16.函數(shù)/G)=c°s2cox-sin2Ms>0)的最小正周期為7t.

⑴求3；

(2)求/G)的單調(diào)遞增區(qū)間，

17.在小8C中，角A,B,C對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,其中。=4,6=2,A=60°,

⑴求c；

(2)求sin8.

18.在“8C中，角A,B,C對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)分別為a,b,c.

--?__.

(1)設(shè)NO,BE,C戶是448c的三條中線，用々，NC表示BE,

⑵設(shè)4=90°,ADVBC求證./?=如的。(用向量方法證明)

[x=x5

\_0+產(chǎn)=1

19.設(shè)^=玉是方程4"的一組解，計(jì)算：

yy

00

(l)Xo+2x-2

o

八

2+x01+2

⑵求八一1x0-2的值.

20.已知函數(shù)［G)=smx+cosx,xeR

/空f(shuō)ix)

(1)求16九I3J的值并直接寫(xiě)出J'XI的最小正周期；

(2)求/Q)的最大值并寫(xiě)出取得最大值時(shí)X的集合；

(3)定義gQ"m*G3,會(huì)求函數(shù)g(。)的最小值.

21.已知集合S「LX=(R，…叱)—｛。,1匕=1,2,「贏22),對(duì)于/=

B=b)eS",定義人與B的差為彳，。?-%A與B之間的

d（A,B）=Za-b

距離為臼''

⑴直接寫(xiě)出中元素的個(gè)數(shù)，并證明：任意48eS“，有"-8eS”；

（2）證明：任意42,CeS.，有八48）+4-（?）+?（8-。）是偶數(shù)；

（3）證明.PA，B，CwS有-d（8,C）4d（48）-d（4C）4dgC）

1.B

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，將所求的角轉(zhuǎn)化為特殊銳角，即可求解.

sin585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=-sin45°=-

【詳解】2.

故選：B.

本題考查誘導(dǎo)公式求值，熟記公式是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算可得.

(-43)

【詳解】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)

33-44

sina==cosa==-

Mi(-41+325J>+325

所以，.

故選：D

3.A

【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則得到3/8=。，即可判斷.

【詳解】因?yàn)?。8+。。=4。/,

^\^3OB-3OA=OA-OCy^^-OA)=OA-OC

所以3/8=G4,所以/8//C/,所以A,B,C三點(diǎn)共線.

故選：A

4.C

【分析】利用和差角公式判斷①?，利用特殊值判斷③.

①.sin（A-^）=sin（A+B）

【詳解】對(duì)于

所以sin4cosB-cosAsinB=sinAcosB+cosZsin6,

所以cos/sin8=0,又兀乙sin5>0)

所以cos'i°,又/式0,兀)，所以2,則“3C為直角三角形，故①正確;

對(duì)于②：sinCsinB=cosCcosB,貝ijcosCcosB-sinCsinB=O

日口cos(8+C)=05+CG(07T)8+C=：A="

即，又’，所以2,貝ij2,即春5c為直角三角形，故

②正確；

sinC=@

B=—C=—sin5=—

對(duì)于③：當(dāng)6,3,則2,2,滿足sm2C+sin28=l,

但是“BC為鈍角三角形，故③錯(cuò)誤.

故選：C

5.D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)線，以及三角函數(shù)的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，若a,P是第一象限角，且tana>tanp,作出三角函數(shù)線，如圖i所

不，

cosa=McosP=pl-刀

則3陷，因?yàn)?°尸1>陷，所以cosavcos%所以人錯(cuò)誤;

對(duì)于B中，若a,0是第二象限角，且tana>tanP,作出三角函數(shù)線，如圖2所示,

=MM.n

所以smavsmP,所以B錯(cuò)誤;

對(duì)于C中，若a,0是第三象限角，且tana>tan「，作出三角函數(shù)線，如圖3所示,

cosa==OM,cosP==ON

則OM「ONI所以c°sa>cosRP,所以c錯(cuò)誤;

圖3

對(duì)于D中，若a,0是第四象限角，且tana>tanp,作出三角函數(shù)線，如圖4所示,

?MM____nNN

sina=----1-=MM,cosp=---卜=NN

則OMiONi,所以sina>siQnP,所以D正確.

圖4

6.B

【分析】先求出周期，其次根據(jù)尸的)，。的兒〉。在函數(shù)/Q)圖象上，根據(jù)正弦函數(shù)的

71

..7r一S=_■

對(duì)稱性可得力F+2s+J=n+2kit,k\Z再聯(lián)立’6得到2s+J值根據(jù)/>°縮小

O:

兀

.兀o

aCe+./a<e-±

S-XS-*

2s可的取值范圍，最后代入DM60和D6,0

F2兀

1=----=兀

【詳解】周期2,

因?yàn)楹瘮?shù)4)=sin(2尤+(P)(<P>0)圖像上存在兩點(diǎn)尸(sj),°(小)(/>0),

R71Tc、cT

r-s=—<—=—0<2r-2s<—

因?yàn)?44,所以2,

故由正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可得"可+2s+j=n+2kn,k\Z

2r+2s=兀+2kn-2（p

r-s=n2s=kn+K-\2s+}=hr+71

聯(lián)立〔6,解得3,則3,

2,s+=

wsin（2s+j）=sin（2r+j）=t>0gfi_,j^kn+Z

X,n\以'9

de“O0d

兀

兀

兀

±0?±

/aCe+-n?aCe++.+

S--S.,力-

X60si3M60+J030

所以DD

3

電

3eH+兀+271

=督

兀n3-

sinlsi-2

3兀2

故

30B正;

ae6，

r-

ded.'d

力

J±±U兀±

/=-=

-sm-Usin--

60e230030

d

?！?/p>

71-

=sin兀+30smO=O

3，故C、D錯(cuò)誤.

故選：B.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性得到"可+2s+j=Tt+2kK,k\Z

7.1

【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)形式可求X的值.

【詳解】因?yàn)?"1）,6=區(qū)-1,0）共線，故1XO=G-D（2X-1）

11

1x=%=7-

故x=l或2,而當(dāng)2時(shí)，b=o,與題意不合，舍,

故x=l,

故答案為.1

8.8

【分析】利用韋達(dá)定理計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閄?為方程x2-2x-機(jī)=°的兩個(gè)根,

x+x=2

12

xx=-m

所以A=4+4加之0即加2—1,且-12

卜=一2

又2x+x=0,所以［%=4,所以一加=-2x4,解得加=8.

故8

9.[-U]

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解

【詳解】由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得/0）=。。5"在13'°」上單調(diào)遞增，在[°，力上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)x=°時(shí)，

兀1

又因?yàn)?3）一2'/5）一一1,所以函數(shù)/Q）的值域?yàn)閇T」L

故答案為.[一11]

2兀

10.3

【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

rrrr

a-b=—6+2=—4,a=2,b=4

【詳解】由題意可知:9

1

cosa,b=rr

2a,bG[o,7r]

,且，

271

所以￡與b的夾角為3.

2兀

故答案為.3

兀1

71

11.6##6

尸（兀/j=sinf2x+7l>|/J。譽(yù)+s,t±

【分析】先把點(diǎn)EJ代入I3J求出2,再把640代入y=sin2x,求

出s值，結(jié)合S〉°求出其最小值即可.

尸（\力戶sin（2x+R

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)EJ在函數(shù)I3J圖像上，

d1

兀

?！?

naeS+-

siM43-2

所

以D0

d

±

-

+s,0

由題意可知

又尸'落在函數(shù)J=sin2x上,

.幺，畸dua^rdi

sin§2￡+5±u=sing+2s±=cos2s=

所以e切00§202

2s=2kn+712kn-11,k\Zs=后兀+兀kn?"，k\Z

解得3或3，即6或6

『兀兀

又s>°,所以6,即S的最小值為6.

71

故答案為.6

12.3

【分析】利用兩角和的正切公式計(jì)算可得.

a+P=71tan(a+B)=tan71=3

【詳解】因?yàn)?,則3

tana+tanP

tan(a+p)==3

即1-tanatanP

所以tana+tanP=3(1-tanatanP)

所以tana+tanP+3tanatanP=3

故3

兀7

71

13.44

兀/、7

CO=（2八）（p=71

【分析】由周期的定義結(jié)合圖象可得4,代入點(diǎn)后再結(jié)合余弦函數(shù)值可得4

【詳解】由圖象可知，函數(shù)的周期或=7-（-"=8,

2兀71

CD==

所以T4；

71_…711r

,x3+(p=2E+,keZ

根據(jù)五點(diǎn)法，當(dāng)x=3時(shí)，42

71

(p=2左兀-，左￡Z

所以4,

_7

因?yàn)?4<p<2兀，所以「4”

兀7

71

故4；4.

14.&D（答案不唯一）

【分析】首先根據(jù)正弦函數(shù)和差角公式將原式化簡(jiǎn)整理，然后根據(jù)奇函數(shù)的定義得到參數(shù)

°應(yīng)該滿足的條件，按等式關(guān)系選取答案即可.

【詳解】已知

/(x)=asin+鬲盧X"M償…

I4J[22J(22

=—&G+Z))sinx+--Q-Z>)cosx

22

若/（x）是奇函數(shù)，則a-b=°即可,

可以取0=1,6=1.

故"］）（答案不唯一）

15.②③

【分析】首先求出點(diǎn)尸所在的平面區(qū)域，再數(shù)形結(jié)合即可判斷.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椤埃∕8（°，2）,

所以CM=（1,O）05=（0,2）

,,OP=XOA+\iOB=九（1,0）+日（0,2）=G,2日）

因?yàn)?4九V2,0<g<l

所以點(diǎn)尸在邊長(zhǎng)為2的正方形°8E尸區(qū)域內(nèi)（包括邊界上的點(diǎn)），如下圖所示:

顯然C（3,l）任故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，若〃。尸=45。，即尸在?！晟希瑒t防、加（°<Y1）,又耘=2豆+防

所以O(shè)P=2tOA+tOB,

->---?—.—?

/PCOA+ROB,OA08不共線

產(chǎn)=入i

所以卜=口，所以=日2，故②正確；

對(duì)于③，因?yàn)镻M=1,則N在以圓點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，

由圖可知當(dāng)P在E點(diǎn)且N在E°的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)。尸-ON取得最小值,

(9P0N)=lx2x/2x(-l)=-2^_

且min,故③正確.

故②③

VA

24乎)

【分析】⑴由三角恒等變換化簡(jiǎn)/（J=cos2Wr,再由周期的定義求出3=1；

（2）由余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間解出即可.

=coszWv-sin2Wv=cos2Wr

【詳解】（1）因?yàn)?/p>

——=兀Dw=l

所以2W,

(2)由(1)可知，/G)=cos2x,

2kit-JT￡2x￡2kn,k\ZDkit--￡.x￡kn,k\Z

所以2

GjrU

所以J""的單調(diào)遞增區(qū)間為?20

17.(1)1+>/13

(2萬(wàn)

【分析】（1）利用余弦定理求解即可

（2）利用正弦定理求解即可

【詳解】（1）由余弦定理得a2=c2+62-26ccos4,

即16=4+C2-2C,解得c=l+、行’(負(fù)值舍去).

故。值為1+何.

.c6sin/2xsin60°企

sinB=-------=------------=—

(2)由正弦定理得?44

正

故sinB值為丁.

18.(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)、運(yùn)算，即可求解；

(2)根據(jù)題意，得到8。=/。-=結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式和數(shù)量積

的幾何意義，即可得證.

【詳解】(1)解：由BE,CF是人4BC的三條中線，

AD=AB+BD=AB+-BC^AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

可得2222,

―?—?—?1—?—?—?1—?uunmmuuuiiummm

BE=AE-AB=-AC-AB=-AB+-ACCF=AF-AC=-AB-AC

2292?

(2)證明：在。3c中，因?yàn)橐?=90。，AD-LBCt所以48/C=0,

可得應(yīng)＞=4D-4B,DC=/C—M

、BDDC=ABlAD-AC-AD1-AB-AC+AD-AB

則

^AD-AC+AD-AB-AD2

因?yàn)镹D?NC=卜4,0卜05/。/0=\AD^,AD-AB=卜耳cos/B/D=\AD^

BDDC=Ui)2+\AD^-\ADV=\ADY

所以即AD2=BDDC

(2)4

【分析】（1）依題意可得人才~+2一]，即常+4若=4,再將所求式子化簡(jiǎn)，最后整體代入即

可；

（2）由回回引叫將所求式子展開(kāi)，再代入號(hào)+4*=4計(jì)算可得.

I———+產(chǎn)=1

【詳解】（1）因?yàn)槠呤欠匠?■的一組解,

所以才+'；一，即髭+4若=4,即x廠4=一4憶

yy產(chǎn)產(chǎn)1

-------9—--0-=—e—=—e-=--

則、。+2x-2%2-4-4y24

000

nX2y

2+—o1H...-0—

(2)因?yàn)榘?1xo-2

2y-2+x\\2y+x-2

00■Q---9-

ytx—2

00

(2y-2+x?

G12)

oo

+%2+4+4xy-Sy-4x

-Q--Q—o----o----

2+xy-2y-X

ooo0

8+4xy—8〉-4x

-----0—0----0----=4

2+xy—2y-x

所以原式oooo

cX,,2V

2+—o-1H----9—=4

V-1x—2

即00

712兀3+1兀

/

20.(1)32,最小正周期為2.

(2)見(jiàn)解析.

g(a)=2-1

(3)min2

兀(2兀］

3七七f(x)=1+sin2x

【分析】(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可求I$/的值，而,故

可求/(x)=l+sin2x的最小正周期.

(2)先求出°<sm2xVI,結(jié)合m的化簡(jiǎn)結(jié)果可得/Q)何時(shí)取何最值.

(3)利用(2)的結(jié)合可求g(")的解析式，故可求其最小值.

7iA.7i7i3+1,「2冗\(yùn).2兀2兀3+1

/=sm+cos=,/=sin+cos=

【詳解】⑴16)662J332

又/(x)=l+sin2x,而了=sin2x的最小正周期為2,

故/(x)=l+sin2x的最小正周期為2.

(2)因?yàn)椤鉜sin2xWl,故14/(x)42,

7171

f(x)-2.r,2x=+forx=+^,keZ

故八,一，此時(shí)sm2x=±l即2即42

1m

/■(/\)-x=,?eZ7

Jvmin，此時(shí)Sin2x=0即2x="兀即2

itkit

/G)=2x\x=+e4

對(duì)應(yīng)的x的集合為42

n

/("J，對(duì)應(yīng)的X的集合為x\x=^,neZ

(3)當(dāng)E時(shí)，由⑵可得gQ”2-。

當(dāng)心2時(shí),?…"氏),由⑵可得g(a)=。1

?1+2

2—Q,1<QW

2

gG）=max2-a,a-1

J+2c

a-1,<a<2

當(dāng)2時(shí),2

1+2

2—Q,W

g(a)=2

1+22-1

U—1,CL>g（Q）

min2

綜上,2,故

21.⑴,,中元素的個(gè)數(shù)為2";證明見(jiàn)詳解

(2)證明見(jiàn)詳解

(3)證明見(jiàn)詳解

［分析］(1)根據(jù)題意分析可知,“中元素的個(gè)數(shù)為2“，結(jié)合定義可得",一qe{。1},

即可證

明結(jié)論；

(2)根據(jù)題意先證d(N-C,B-C)=d(a8),設(shè)d(48)=4,d(4C)=/,d(8,C)=A,

a=Qi)eS」是使6,”=「,=1成立的j的個(gè)數(shù)，可知〃=(/_)+(j)

即可分

析證明；

(3)根據(jù)題意分析可浮?一［46-C,,進(jìn)而可得結(jié)果

【詳解】⑴因?yàn)閤「{。也=1，2,「〃,"22,可知》,均為2個(gè)值可取，

所以5中元素的個(gè)數(shù)理"，

對(duì)于任意"=(彳巴，…%)道=(夕,

可知a,，2c{o,l},i=l,2,…,〃，心2

則arbi的結(jié)果如下表所示：

abo1

zi

001

110

可得"，心e{0,l},所以4-

(2)設(shè)/=(%,a，…,a),B=(b,b,■■■,b),C=(c,c)eS

2n12n12nn

由題意知：W，C”{0，M=L2,一〃）

當(dāng)c,=°時(shí)，％”心””a

當(dāng)，=i時(shí)，a-crbr\=d”）-（na

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