2024年高考數(shù)學(xué)模擬試題十五（含解析）

2024年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷

一、單項(xiàng)選擇題:

1.已知集合4={》|/—2x—3>0},集合3={xeZ|x2V4x},貝。(aA)c6=()

A.{x|O<%<3}B.{-1,0,1,2,3}C.{0,1,2,3}D.{1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式，依據(jù)代表元所滿意的條件，求得集合A和集合B,之后利用補(bǔ)集和交集的定義求得

結(jié)果.

【詳解】集合人={H三-2*-3>0}={尤|%>3或1<-1},

B={xeZ|x2<4%}={4,3,2,1,0}

^A={x|-l<x<3},故隔A)c5={0,L2,3}

故選：C.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的學(xué)問(wèn)點(diǎn)有解一元二次不等式求集合，集合的補(bǔ)集和交集

的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題目.

37r

2.設(shè)a=2°$,Z?=log3,c=cos一，貝U()

44

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及特別角的余弦函數(shù)值即可推斷.

5

【詳解】a=2°->2°=b

由0=log41<log43<log44=1,即O</?<1，

C-cos-,所以。>%>￡■?

42

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較式子的大小，屬于基礎(chǔ)題.

3.在，ABC中，角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c.若acosA-bcos5=0,則.ABC肯定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)正弦定理得到sin2A=sin28,計(jì)算得到答案.

【詳解】acosA-bcosB-O,則sinAcosA-sin3cosB=0,即sin2A=sin23.

71

故A=5或2A+25=?,即A+3=—.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)正弦定理推斷三角形形態(tài)，意在考查學(xué)生的應(yīng)用實(shí)力.

12

4.如圖，在A45C中，AN=-NC,尸是BN上的一點(diǎn)，若AP=mA3+—AC,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

311

【答案】C

【解析】

【分析】

平面內(nèi)三點(diǎn)A,5c共線的充要條件為：存在實(shí)數(shù)尢〃，使0C=/lO4+〃03,且九+〃=1.求得

Q

AP=mAB+—AN,從而可得結(jié)果.

11

【詳解】由AN=；NC,可得AC=4AN，

2Q

所以AP=772AB+—AC=7〃AB+-⑷V,

1111

Q

又&P,N三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線定理，可得：m+—=1,

3

m=—,

11

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量共線定理的應(yīng)用，意在考查敏捷應(yīng)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解答問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)

題.

jr

5.將函數(shù)/(x)=sin4x+cos4x的圖像向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到g(x)的圖像,若函數(shù)y=g{(ox)在

8

[—二，上單調(diào)遞減，則正數(shù)0的最大值為

124

.1八32

A.—B.1C.一D.-

223

【答案】A

【解析】

【分析】

先化簡(jiǎn)/(%)的表達(dá)式，平移后得到g(x)的解析式，再求出g(s)的解析式，然后利用g(°x)的單調(diào)減

區(qū)間列不等式組，求得。的取值范圍，進(jìn)而求得正數(shù)。的最大值.

甬*。/\(1-cos2xY(1+COS2XY1+cos22x3+cos4%―“世3兀人品

【詳解】依題意，/(%)=1——-——I+1——-——I=---------=——-——，向左平移§個(gè)單位長(zhǎng)

度得到j(luò)+；cos4[x+])]=；+；cos(4x+]]=：—；sin4x.故g(6yx)=:―：sin(4ox),下面求

itkunku

函數(shù)的減區(qū)間：由一百+2E<40xV至+2E,由于。>0故上式可化為8+2--8+2，由于函

22————<x<-———

(0(D

兀kn

---1---Cc

—§一2_<--a)<--6k

數(shù)g(6yx)在一'，?上單調(diào)遞減，故<712,解得］，所以當(dāng)左=0時(shí)，0=，為

兀E,1~2

34

正數(shù)0的最大值.故選A.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)降次公式，考查三角函數(shù)圖像改變的學(xué)問(wèn)，考查三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的

求法，綜合性較強(qiáng)，須要較強(qiáng)的運(yùn)算實(shí)力.sir?x+cos,％是不能夠干脆合并起來(lái)的，須要通過(guò)運(yùn)用降次公

式兩次，才能化簡(jiǎn)為45泣(。％+0)+5的形式.求解三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，要留意A是正數(shù)還是負(fù)數(shù).

6.函數(shù)/■⑴=二，在[-應(yīng)4]上的圖象大致為()

e+e

y

【答案】A

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=x—sinx,證明當(dāng)xe[0,%]時(shí)，g(x)?g(O),即x—sinx2O,從而當(dāng)xe[0,句時(shí),

/(%)>0,解除B,C,D,即可得解.

【詳解】記g(x)=x-sinx,xe7i\,

=l-cosx>0,

g(x)在［一巴布上單調(diào)遞增,

又g(O)=O,

.,.當(dāng)xe[O,句時(shí)，g(%)>g(O),即x—sinxNO,

又ex+e~x>0，

二當(dāng)xe[O,〃]時(shí)，/(x)>0,

故解除B,C,D.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的推斷以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了轉(zhuǎn)化實(shí)力，屬于中檔題.

7.已知。，b為正實(shí)數(shù)，直線V=x—a與曲線y=ln(x+b)相切，則工+工的最小值是()

ab

A.2B.472C.4D.272

【答案】C

【解析】

【分析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知切線的方程，可得切線的斜率，求得切線的坐標(biāo)，可得。+)=1,再由乘1法和基

本不等式，即可得到所求最小值.

【詳解】解：y=/〃(x+b)的導(dǎo)數(shù)為y'='r，

由切線的方程V=x—?？傻们芯€的斜率為1,

可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1-A,所以切點(diǎn)為(1-40),

代入V=x—。，得a+b=L

b為正實(shí)數(shù)，

n,,11/7、/I1、-bacba，

貝!J—I—=(Q+b)(—I—)=2-1----1—..2+2J—?—=4.

ababab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=工時(shí)，!+工取得最小值4.

2ab

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及基本不等式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

8.已知“X)是可導(dǎo)的函數(shù)，且/'(X)</(x),對(duì)于xeR恒成立，則下列不等關(guān)系正確的是()

2020儀/⑴〉

A./(l)>ef(O),/(2020)<e/(0)B.〃1)>0),e?”-1)

C.41)〈歹⑼，/(l)<e2/(-l)D./(l)>ef(O),/(2020)>e2020/(0)

【答案】C

【解析】

【分析】

構(gòu)造新函數(shù)g(x)=整，求導(dǎo)后易證得g(x)在R上單調(diào)遞減，從而有g(shù)⑴<g(0),g(2020)<g(0),

e

g(l)<g(—1),故而得解.

【詳解】設(shè)g(x)=』半，

e

則g(1)J3H%)，

e

-f'(x)</(x),

g'(x)<0,

即g(x)在R上單調(diào)遞減，

g⑴<g(0)，

即d華，

即/(l)<e/(O),故選項(xiàng)A不正確；

g(2020)<g(0),

"(2020)7(0)

即一而L<'

ee

即/(2020)<e2°2°/(0),故選項(xiàng)D不正確；

g⑴<g(T)，

即幽即/(l)<e2/(—1).

ee

故選項(xiàng)B不正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分析實(shí)力、邏

輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求

的.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題中，是真命題的是()

A.已知非零向量a,若卜+同=,一可，則a_L6

B,若w(0,—1Win%

C.在AABC中，"sinA+cosA=sinB+cosB"是"A=6"的充要條件

D.若定義在7?上的函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，則y=/(/(x))也是奇函數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】

對(duì)A,對(duì)等式兩邊平方；對(duì)B,全稱命題的否定是特稱命題；對(duì)C,sinA+cosA=sin5+cos6兩邊平方

可推得A+B='或A=6；對(duì)D,由奇函數(shù)的定義可得、=/(/(%))也為奇函數(shù).

【詳解】對(duì)A,Q+Z?=〃一4=>a+b+2a-b=a+b一2a=a，b=0,所以故A正確；

對(duì)B,全稱命題的否定是特稱命題，量詞隨意改成存在，結(jié)論進(jìn)行否定，故B正確；

對(duì)C,sinA+cosA=sin5+cos5n2sinA?cosA=2sin6?cosB=sin2A=sin2B,

TT

所以A+3=—或A=5,明顯不是充要條件，故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)D,設(shè)函數(shù)E(x)=/(/(%)),其定義域?yàn)镠關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

F(-x)=/(/(-%))=f(-/(x))=-/(/(x))=-F(x),所以尸(x)為奇函數(shù)，故D正確;

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的推斷，考查向量的數(shù)量積與模的關(guān)系、全稱命題的否定、解三角形與三角恒

等變換、奇函數(shù)的定義等學(xué)問(wèn)，考查邏輯推理實(shí)力，留意對(duì)C選項(xiàng)中sin2A=sin23得到的是A3的兩種

狀況.

10.已知/(%)是定義域?yàn)楣暮瘮?shù)，滿意/(x)=/(x—4),/(%+2)=/(2-x),當(dāng)0WxW2時(shí)，

=x,則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)/(x)是偶函數(shù)

B.函數(shù)“X)的最小正周期為4

C.當(dāng)OW九W4時(shí)，函數(shù)/(%)的最小值為一g

D.方程/(x)=log3國(guó)有10個(gè)根

【答案】ABD

【解析】

【分析】

利用偶函數(shù)的定義推斷A；利用函數(shù)周期的定義推斷B；依據(jù)對(duì)稱性以及二次函數(shù)的性質(zhì)可推斷C；利用數(shù)

形結(jié)合的推斷D.

【詳解】/(九)是定義域?yàn)楣暮瘮?shù)，

由/(%+2)=/(2—%),則/(x)=〃4—%),即〃x)=/(4—x),

又/(x)=/(x—4),所以/(4—x)=/(x—4),即/[—(x—4)]=/(%-4),

所以/(—x)=/(x),所以函數(shù)/(九)是偶函數(shù)，故A正確；

由/(尤)=/(尤—4),依據(jù)周期的定義可知函數(shù)的最小正周期為4,故B正確；

當(dāng)0WxW2時(shí)，f(x)=x2-x,函數(shù)的最小值為

由/(x+2)=/(2—%),所以％=2為對(duì)稱軸,

所以當(dāng)0<x<4時(shí)，函數(shù)/(%)的最小值為-；，故C不正確；

作出了>0時(shí)y=/(x)與y=log3》的圖像，由圖像可知％>0時(shí)，函數(shù)有5個(gè)交點(diǎn),

又y=/(%)與y=1。83國(guó)為偶函數(shù)，由對(duì)稱性可知方程〃x)=iog3國(guó)有1。個(gè)根，

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、求方程的根的個(gè)數(shù)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.

11.已知向量a=(1,-2)，b=(-1,m),則()

A.若［與］垂直，則m=—1B.若］〃［，則;/的值為-5

C.若加=1,則a—力=厲D.若相=—2,則:與了的夾角為60°

【答案】BC

【解析】

【分析】

利用向量數(shù)量積、向量垂直、平行、模、夾角的坐標(biāo)表示分析每一個(gè)選項(xiàng)即可.

詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由可得1x(—1)+(—2)?機(jī)=0,解得m=—g,故月錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)B：由可得lxm—(―2)x(—l)=0,解得加=2,...力=(一1,2),

a,Z?=1x(-1)+(-2)x2=-5,故6正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若m=1,則a—/?=(2,—3),則a—故C正確：

若加二—2,對(duì)于選項(xiàng)D：b=(-l,-2)：設(shè)〃與b的夾角為氏

a,b—1+43

則儂'=麗=詬1=二'故'錯(cuò)誤.

故選:紀(jì)

【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算及其性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

12.a,b,C分別為-.ABC內(nèi)角A,B,C對(duì)邊.已知6sinA=（3b-c）sinB,且cosA=；,則（）

A.a+c—3bB.tanA=2^2

C.ABC的周長(zhǎng)為4cD.ABC的面積為迪,2

9

【答案】ABD

【解析】

【分析】

依據(jù)6sinA=（3b-c）sin3,利用正弦定理化簡(jiǎn)得到a=3b—C.然后利用余弦定理化簡(jiǎn)得到6=gc,再結(jié)合

cosA=」逐項(xiàng)推斷.

3

【詳解】vZ?sinA=（3/?-c）sinB,

ab=（3b-c^b,

??ci—3Z?—c.

由余弦定理得（3Z?-C）2=〃+02-2Z?CCOSA,

21

整理得Z?=—c,又cosA=-,

33

.2&r-

??sinA-------，tanA—2A/2?

3

周長(zhǎng)為〃+/?+c=4/7.

故，ABC的面積為L(zhǎng)友5也4=偵02.

29

故選：ABD

【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若函數(shù)/（%）=日—lux在區(qū)間（1,+8）內(nèi)不單調(diào)，則4的取值范圍是.

【答案】（0,1）

【解析】

【分析】

求解出了'(%),采納分類探討的方法分析了(%)的單調(diào)性，從而求解出滿意題意要求的左的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?''(力=左—,，且工e(O,l),

當(dāng)上31時(shí)，恒成立，所以/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，不符合；

當(dāng)左＜0時(shí)，/'(x)＜0恒成立，所以〃龍)在(1,+8)上單調(diào)遞減，不符合；

，貝若xe|g,+co),則/'(X)>0,

當(dāng)0〈左＜1時(shí)，若xe

上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增,

所以/(%)在，+8符合題意,

綜上可知：Ze(0,1).

故答案為：(0」).

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，其中涉及到依據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.本例中的

“不單調(diào)”問(wèn)題也可以先轉(zhuǎn)化為“單調(diào)”問(wèn)題，求出結(jié)果后再取其補(bǔ)集也能得到對(duì)應(yīng)結(jié)果.

14.在數(shù)列｛?！埃校?=1,“2=2,且。“+2-%=l+(T)”("eN*),則”1+“2+-.+%i=.

【答案】676

【解析】

【分析】

對(duì)“分奇偶探討，由此得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的規(guī)律，按規(guī)律即可求解出％+出++%1的值?

【詳解】當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，a,.-。,=2,所以偶數(shù)項(xiàng)成首項(xiàng)為2,公差為2等差數(shù)列，所以

4=2+21_1]=〃；

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，an+2-an=0,所以奇數(shù)項(xiàng)為常數(shù)列，所以所以％,=1；

.1+51、(2+50)x25

所以％+出+…+%1=-^-xl+(z2+4+6+...+50)=26+^————=676,

故答案為：676.

【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的計(jì)算，其中涉及到遞推公式中分奇偶項(xiàng)探討的問(wèn)題，難度一般.對(duì)須

要分奇偶項(xiàng)探討的數(shù)列進(jìn)行求和時(shí)，可以先分別求解稀奇偶性對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用對(duì)應(yīng)求和方法進(jìn)

行求和.

1+cos20

15.-sin10x----------tan5

2sin20Itan5

【答案】亞

2

【解析】

【分析】

依據(jù)切化弦，由兩角差的正弦公式，即可化簡(jiǎn)出結(jié)果.

cos5sin5、cos10cs

【詳解】原式-------------2cos10