2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-9.3-成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

第九章統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第3節(jié)成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識(shí)診斷基礎(chǔ)夯實(shí)1(1)相關(guān)關(guān)系兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).(3)線性相關(guān)一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在__________附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).1.變量的相關(guān)關(guān)系一條直線(1)相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：2.樣本相關(guān)系數(shù)(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)____相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)____相關(guān)；當(dāng)r＝0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系.②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為______________.當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越____；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越____.正負(fù)[－1，1]強(qiáng)弱3.一元線性回歸模型(1)2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)xy合計(jì)y＝y(tǒng)1y＝y(tǒng)2x＝x1aba＋bx＝x2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立

，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828√1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)√√√BCD相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表示相關(guān)程度越強(qiáng)，越接近于0，相關(guān)程度越弱，故D正確.解析相關(guān)系數(shù)的取值范圍是|r|≤1，故A錯(cuò)誤；解析∵χ2＝7.069>6.635＝x0.01，∴認(rèn)為“學(xué)生性別與支持某項(xiàng)活動(dòng)有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%.3.某校為了研究“學(xué)生的性別”和“對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度”是否有關(guān)，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2＝7.069，則認(rèn)為“學(xué)生性別與支持某項(xiàng)活動(dòng)有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)(

) A.0.1%

B.1% C.99% D.99.9%B由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型的是(

)A.y＝a＋bx

B.y＝a＋bx2 C.y＝a＋bex

D.y＝a＋blnx4.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：D解析由散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象附近.5.(易錯(cuò)題)隨著國(guó)家二孩政策的全面放開，為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機(jī)構(gòu)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女，結(jié)果如下表.二孩生育意愿城市級(jí)別合計(jì)非一線一線愿生452065不愿生132235合計(jì)5842100根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以得到的結(jié)論是_______________________________.α0.10.050.010.001xα2.7063.8416.63510.828生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)6.若某商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬(wàn)元)與銷售額y(單位：萬(wàn)元)之間有如下表所示的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：106.5x24568y2040607080∴樣本中心為(5，54)，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是(

)A.利潤(rùn)率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系B.利潤(rùn)率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系C.利潤(rùn)率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系D.利潤(rùn)率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系1.某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤(rùn)率統(tǒng)計(jì)表如下：A月份123456人均銷售額658347利潤(rùn)率(%)12.610.418.53.08.116.3解析由統(tǒng)計(jì)表可得利潤(rùn)率與人均銷售額不是正比例關(guān)系，也不是反比例關(guān)系，排除C和D；其屬于正相關(guān)關(guān)系，A正確，B錯(cuò)誤.解析觀察散點(diǎn)圖可知，只有D選項(xiàng)的散點(diǎn)圖表示的是變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系.2.下列四個(gè)散點(diǎn)圖中，變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系的是(

)DA解析在兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，它們的決定系數(shù)R2越接近1，模型擬合效果越好，在四個(gè)選項(xiàng)中A的決定系數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1.4.兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的決定系數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是(

) A.模型1的決定系數(shù)R2為0.98 B.模型2的決定系數(shù)R2為0.80 C.模型3的決定系數(shù)R2為0.50 D.模型4的決定系數(shù)R2為0.25A(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說(shuō)明(若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)；例1

(2021·廣州模擬)根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示：角度1線性回歸分析∴可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少.附：相關(guān)系數(shù)∴預(yù)測(cè)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為9.9百千克.例2

某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.角度2非線性回歸分析(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值解

①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.訓(xùn)練1

下圖是某地區(qū)2005年至2021年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖.利用模型②，該地區(qū)2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2023年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；(ⅰ)從折線圖可以看出，2005年至2021年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說(shuō)明利用2005年至2021年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由.解

利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.理由如下：(ⅱ)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2021年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠.例3

某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：

鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200](200，400](400，600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720解由所給數(shù)據(jù)，得該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率的估計(jì)值如下表：(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；空氣質(zhì)量等級(jí)1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09解一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

零假設(shè)為H0：一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量無(wú)關(guān).根據(jù)列聯(lián)表得解根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：

人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)小概率值α＝0.050的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷H0不成立，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，可認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？訓(xùn)練2

甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400解需假設(shè)H0為：甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量無(wú)差異.根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)可得α0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓(xùn)練鞏固提升3A.人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%B.人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%C.人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%D.人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%1.在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡的關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的人體脂肪含量與年齡的關(guān)系的散點(diǎn)圖，下列結(jié)論中正確的是(

)B解析觀察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%.則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩個(gè)變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性？（）A.甲 B.乙

C.丙 D.丁2.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩個(gè)變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得樣本相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m，如下表：D

甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103解析r越大，m越小，線性相關(guān)性越強(qiáng).A.4.2億元

B.4.4億元C.5.2億元

D.5.4億元3.某公司在2015～2019年的收入與支出情況如下表所示：C收入x(億元)2.22.64.05.35.9支出y(億元)0.21.52.02.53.8

DABDx681012y6m32解析由－0.7＜0，得變量x，y之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系，故A正確；6.(多選)某大學(xué)為了解學(xué)生對(duì)學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對(duì)食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到如下所示的列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算χ2≈4.762，則可以推斷出(

)AC

滿意不滿意男3020女4010α0.1000.0500.010xα2.7063.8416.635因?yàn)棣?≈4.762＞3.841＝x0.05，認(rèn)為男、女生對(duì)該食堂服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05，故C正確，D錯(cuò)誤.8.某市物價(jià)部門對(duì)本市的5家商場(chǎng)的某商品一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)x(元/件)和銷售量y(件)的數(shù)據(jù)如下表所示：10售價(jià)x99.5m10.511銷售量y11n865又m＋n＝20，所以m＝10，n＝10.解析χ2≈3.918≥3.841＝x0.05，所以認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.要注意我們檢驗(yàn)的是假設(shè)是否成立和該血清預(yù)防感冒的有效率是沒有關(guān)系的，不是同一個(gè)問(wèn)題，不要混淆.9.某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得χ2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知x0.05＝3.841.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是________. ①認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；④這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.①10.某城市地鐵將于2023年6月開始運(yùn)營(yíng)，為此召開了一個(gè)價(jià)格聽證會(huì)，擬定價(jià)格后又進(jìn)行了一次調(diào)查，隨機(jī)抽查了50人，他們的收入與態(tài)度如下：月收入(單位：百元)[15，25)[25，35)[35，45)[45，55)[55，65)[65，75]贊成定價(jià)者人數(shù)123534認(rèn)為價(jià)格偏高者人數(shù)4812521解

“贊成定價(jià)者”的月平均收入為(1)若以區(qū)間的中點(diǎn)值為該區(qū)間內(nèi)的人均月收入，求參與調(diào)查的人員中“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是多少(結(jié)果保留2位小數(shù))；“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入為∴“贊成定價(jià)者”與“認(rèn)為價(jià)格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元).(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可否認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度有差異”.對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度人均月收入

合計(jì)不低于55百元的人數(shù)低于55百元的人數(shù)認(rèn)為價(jià)格偏高者

贊成定價(jià)者

合計(jì)

解根據(jù)條件可得2×2列聯(lián)表如下：參考數(shù)據(jù)：α0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度人均月收入合計(jì)不低于55百元的人數(shù)低于55百元的人數(shù)認(rèn)為價(jià)格偏高者32932贊成定價(jià)者71118合計(jì)104050∴根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為“月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度沒有差異”.零假設(shè)為H0：月收入以55百元為分界點(diǎn)對(duì)地鐵定價(jià)的態(tài)度無(wú)差異.(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；解

樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；解

分層隨機(jī)抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣.理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層隨機(jī)抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).12.在吸煙與患肺癌這兩個(gè)