2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.2.4-第1課時(shí)-超幾何分布【課件】

第1課時(shí)超幾何分布

第8章8.2.4超幾何分布1.理解超幾何分布的概念及特征.2.會(huì)用超幾何分布解決一些簡單的實(shí)際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)為促進(jìn)各學(xué)校的共同發(fā)展，學(xué)校之間派部分老師相互交流.已知一學(xué)校派出16名一級(jí)教師，4名高級(jí)教師組成一隊(duì)伍去相互交流學(xué)習(xí)，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去甲學(xué)校，設(shè)X表示其中高級(jí)教師的人數(shù).則X的可能取值有哪些，你能求出當(dāng)X＝2時(shí)對(duì)應(yīng)的概率嗎？這里的X的概率分布有怎樣的規(guī)律？導(dǎo)語隨堂練習(xí)對(duì)點(diǎn)練習(xí)一、超幾何分布二、超幾何分布的概率三、超幾何分布的分布列內(nèi)容索引一、超幾何分布問題

已知在10件產(chǎn)品中有4件次品，分別采取有放回和不放回的方式隨機(jī)抽取3件，設(shè)抽取的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，試寫出X的分布列.知識(shí)梳理超幾何分布(2)記法：X服從超幾何分布，記為

，并將P(X＝r)＝_________記為H(r；n，M，N).(3)含義：在H(r；n，M，N)中，r，n，M，N的含義：X～H(n，M，N)注意點(diǎn)：(1)在超幾何分布的模型中，“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取n件”.(2)超幾何分布的特點(diǎn)：①不放回抽樣；②考察對(duì)象分兩類；③實(shí)質(zhì)是古典概型.例1

下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由.(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；解

(1)(2)中樣本沒有分類，不是超幾何分布問題，是重復(fù)試驗(yàn)問題.(3)盒子中有紅球3只，黃球4只，藍(lán)球5只，任取3只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列；(4)某班級(jí)有男生25人，女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的分布列；解

(3)(4)符合超幾何分布的特征，樣本都分為兩類，隨機(jī)變量X表示抽取n件樣本某類樣本被抽取的件數(shù)，是超幾何分布.(5)現(xiàn)有100臺(tái)平板電腦未經(jīng)檢測，抽取10臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的平板電腦的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列.解

沒有給出不合格產(chǎn)品數(shù)，無法計(jì)算X的分布列，所以不屬于超幾何分布問題.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(多選)下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量X不服從超幾何分布的是A.將一枚硬幣連拋3次，正面向上的次數(shù)XB.從7名男生與3名女生共10名學(xué)生干部中選出5名優(yōu)秀學(xué)生干部，選出

女生的人數(shù)為XC.某射手的命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為XD.盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1球且不放回，X是首次摸

出黑球時(shí)的總次數(shù)解析

由超幾何分布的定義可知僅B是超幾何分布，故選ACD.√√√(2)一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號(hào)碼；②X表示取出的最小號(hào)碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；④X表示取出的黑球個(gè)數(shù).這四種變量中服從超幾何分布的是A.①② B.③④C.①②④

D.①②③④解析

由超幾何分布的概念知③④符合，故選B.√二、超幾何分布的概率例2

現(xiàn)有來自甲、乙兩班學(xué)生共7名，從中任選2名都是甲班的概率為

.(1)求7名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)；解

設(shè)甲班的學(xué)生人數(shù)為M，即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去).∴7名學(xué)生中甲班的學(xué)生共有3人.(2)設(shè)所選2名學(xué)生中甲班的學(xué)生數(shù)為ξ，求ξ≥1的概率.解

由題意可知，ξ服從超幾何分布.∴P(ξ

≥1)＝P(ξ＝1)＋p(ξ＝2)跟蹤訓(xùn)練2

某校高三年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽考試，用X表示其中的男生人數(shù).求至少有2名男生參加數(shù)學(xué)競賽的概率.解

依題意，得隨機(jī)變量X服從超幾何分布，且N＝10，M＝6，n＝4，方法一

(直接法)：P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)方法二(間接法)：由分布列的性質(zhì)，得P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－[P(X＝0)＋P(X＝1)]三、超幾何分布的分布列例3

袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從袋中隨機(jī)抽取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球.(1)求得分X的概率分布；解

從袋中任取4個(gè)球的情況為1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅，共四種情況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5,6,7,8.故所求概率分布為(2)求得分大于6分的概率.跟蹤訓(xùn)練3

在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；解

設(shè)“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”為事件M，(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的概率分布.解

由題意知，X的可能取值為0,1,2,3,4，則因此X的概率分布為隨堂練習(xí)12341.(多選)下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有A.在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取

到的次品數(shù)為XB.從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取2臺(tái)，記X表示所取的2臺(tái)彩電中

甲型彩電的臺(tái)數(shù)C.一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個(gè)交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的個(gè)

數(shù)為隨機(jī)變量XD.從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動(dòng)，其中男生人數(shù)記為X√√√解析

依據(jù)超幾何分布模型定義可知，ABD中隨機(jī)變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個(gè)不放回抽樣問題，故隨機(jī)變量X不服從超幾何分布.12342.盒中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則恰好取出2個(gè)紅球的概率是解析

設(shè)取出紅球的個(gè)數(shù)為X，易知X服從超幾何分布.√12343.從一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有3張是A的概率為√12344.某導(dǎo)游團(tuán)有外語導(dǎo)游10人，其中6人會(huì)說日語，現(xiàn)要選出4人去完成一項(xiàng)任務(wù)，則有2人會(huì)說日語的概率為_____.對(duì)點(diǎn)練習(xí)基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.(多選)關(guān)于超幾何分布，下列說法正確的是A.超幾何分布的模型是不放回抽樣B.超幾何分布的總體里可以有兩類或三類C.超幾何分布中的參數(shù)是N，M，nD.超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成√√√解析

由超幾何分布的定義易知A，C，D均正確，因?yàn)槌瑤缀畏植嫉目傮w里只有兩類物品，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.2.在100張獎(jiǎng)券中，有4張能中獎(jiǎng)，從中任取2張，則2張都能中獎(jiǎng)的概率是12345678910111213141516√123456789101112131415163.設(shè)袋中有8個(gè)紅球，4個(gè)白球，若從袋中任取4個(gè)球，則其中至多3個(gè)紅球的概率為√12345678910111213141516A.P(0<X≤2) B.P(X≤1)C.P(X＝1) D.P(X＝2)√解析

本題相當(dāng)于求至多取出1個(gè)白球的概率，即取到1個(gè)白球或沒有取到白球的概率.12345678910111213141516A.恰有1個(gè)是壞的 B.4個(gè)全是好的C.恰有2個(gè)是好的 D.至多有2個(gè)是壞的√解析

設(shè)“X＝k”表示“取出的螺絲釘恰有k個(gè)是好的”，123456789101112131415166.現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)課本共7本(其中語文課本不少于2本)，從中任取2本，至多有1本語文課本的概率是

，則語文課本有A.2本

B.3本C.4本

D.5本√所以n2－n－12＝0，所以n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.123456789101112131415167.某手機(jī)經(jīng)銷商從已購買某品牌手機(jī)的市民中抽取20人參加宣傳活動(dòng)，這20人中年齡低于30歲的有5人.現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部手機(jī)，記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X＝1)＝______.123456789101112131415168.有同一型號(hào)的電視機(jī)100臺(tái)，其中一級(jí)品97臺(tái)，二級(jí)品3臺(tái)，從中任取4臺(tái)，則二級(jí)品不多于1臺(tái)的概率為____________(用式子表示).解析

二級(jí)品不多于1臺(tái)，即一級(jí)品有3臺(tái)或4臺(tái)，123456789101112131415169.老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格.某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量的概率分布；解

設(shè)抽到他能背誦的課文的數(shù)量為X，X的可能取值為0,1,2,3，且服從超幾何分布，所以X的概率分布為1234567891011121314151612345678910111213141516(2)他能及格的概率.1234567891011121314151610.某高中為更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活情況，以便給學(xué)生提供必要的幫助，在高一、高二、高三這三個(gè)年級(jí)分別邀請(qǐng)了10,15,25名學(xué)生代表進(jìn)行調(diào)研.(1)從參加調(diào)研的學(xué)生代表中，隨機(jī)抽取2名，求這2名學(xué)生代表來自不同年級(jí)的概率；12345678910111213141516記“2名學(xué)生代表來自不同年級(jí)”為事件M，12345678910111213141516(2)從參加調(diào)研的高一、高二年級(jí)學(xué)生代表中隨機(jī)抽取2名，且X表示抽到的高一年級(jí)學(xué)生代表人數(shù)，求X的概率分布.12345678910111213141516解

高一、高二年級(jí)分別有10,15名學(xué)生代表參加調(diào)研，從中抽取2名，抽到的高一年級(jí)的學(xué)生代表人數(shù)X的所有可能取值為0,1,2.所以X的概率分布為綜合運(yùn)用1234567891011121314151611.在某次學(xué)校的春游活動(dòng)中，高二(2)班設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)游戲：一個(gè)紙箱里放了5個(gè)紅球和5個(gè)白球，這些球除顏色外其余完全相同，若一次性從中摸出5個(gè)球，摸到4個(gè)或4個(gè)以上紅球即中獎(jiǎng)，則中獎(jiǎng)的概率是(精確到0.001)A.0.114 B.0.112

C.0.103 D.0.121√12.在10個(gè)排球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品，從中抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為√1234567891011121314151612345678910111213141516√√整理，得a2－10a＋16＝0，解得a＝2或8.1234567891011121314151614.袋中裝有5個(gè)紅球和4個(gè)黑球，從袋中任取4個(gè)球，取到1個(gè)紅