新教材人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)全冊(cè)教案

第六章平面向量及其應(yīng)用

6.1平面向量的概念

一、教學(xué)目標(biāo)

1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向

量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會(huì)區(qū)分平行向量、相等向量和

共線向量.

2.通過(guò)對(duì)向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)

學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概

念，會(huì)表示I可量.

2.教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.

難點(diǎn)突破：借助原有的位移、力等物理概念來(lái)學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實(shí)物區(qū)分平

行向量、相等向量、共線向量等概念.

三、課前準(zhǔn)備

1.了解物理學(xué)中的矢量和標(biāo)量；

2.了解有向線段的定義

四、教學(xué)過(guò)程

1、情景引入

一輛摩托車在公路向東向東快速行駛了一段距離,產(chǎn)生了一段位移,距離和位移一樣嗎？

【答案】摩托車行駛的路線實(shí)際上是有方向、有長(zhǎng)短的量，距離和位移不一定一樣.m

2、探索新知

（1）向量的實(shí)際背景與概念

問(wèn)題1：位移與距離這兩個(gè)量有什么區(qū)別？

【答案】距離只有大小，是標(biāo)量；位移既有大小，又有方向，是矢量，。

向量與數(shù)量的定義：

只有大小，沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量（在物理學(xué)中稱為標(biāo)量）.既有大小，又有方向的量叫

做向量（在物理學(xué)中稱為矢量）；

注意：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、能比較大??；而向量既有大

小又有方向，向量是不能比較大小的.

練習(xí)：判斷下列量不是向量的選項(xiàng)是（）

A.距離B.速度C.力D.密度

【答案】選AD

（2）向量的表示

問(wèn)題：由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，數(shù)量可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)進(jìn)行表示，那么向

量是如何表示呢？

有向線段的定義

以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，則線段AB具有方向，把這樣具有方向的線段AB叫做有向線段.

如圖，以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作AB.B

線段AB的長(zhǎng)度也叫做有向線段而的長(zhǎng)度，記作|通|.A施點(diǎn)）

問(wèn)題:一條有向線段由哪些要素所確定？

【答案】起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

向量的幾何表示

（1）幾何表示法：用有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭

所指的方向表示向量的方向。

（2）用字母等表示；A（起點(diǎn)）

①用有向線段字母表示：AB（A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)）；

②用小寫(xiě)字母表示：a、b>c；（印刷用a,書(shū)寫(xiě)用a）

注意：

用有向線段表示向量時(shí).，起點(diǎn)的位置可以是任意的，所以向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，規(guī)定數(shù)學(xué)中

的向量具有自由性.

4.向量的模

向量麗的大小稱為向量屈的長(zhǎng)度（或模），記作|瓦|或記作|1|。

思考：向量的模的取值范圍？

【答案】非負(fù)數(shù)。

5.零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作6.

思考：6與0的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū)別.

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量.

思考：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點(diǎn)在原點(diǎn)的單位向量，它們的終點(diǎn)的軌跡是什么圖形？

【答案】以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓

注意：（1）零向量的方向是任意的，單位向量的方向具體而定.

（2）向量是不能比較大小的，但向量的模（是非負(fù)數(shù)）是可以進(jìn)行大小比較的.

（三）.相等向量與共線向量

1.平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定。與任一向量平行.

思考：若a//B,bHe,則a〃c?

【答案】若3=6時(shí)，則舒幾不成立

2.相等向量定義:

長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.

說(shuō).明：（1）零向量與零向量相等，但是兩個(gè)單位向量不一定相等；（3）向量是否相等

只與大小和方向有關(guān)，與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

3.共線向量與平行向量關(guān)系：

如圖所示,因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（向量具有自由性，與有向線段的

起點(diǎn)無(wú)關(guān)），所以平行向量就是共線向量.

bcb

------------?.1■■一

OAB

鞏固訓(xùn)練：填空：（對(duì)下列選項(xiàng)對(duì)的打4錯(cuò)的x）

（1）平行向量一定方.向相同（）

（2）不相等的向量一定不平行（）

（3）與零向量相等的向量必定是零向量？（）

（4）與任意向量都平行的向量是零向量？（）

（5）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是平行向量？（）

（6）兩個(gè)非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)長(zhǎng)度相等且方向相同（）

（7）共線向量一定在同一直線上（）

【答案】（1）x（2）x（3）（（4）7（5）4（6）7（7）x

例1.如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心，

（1）寫(xiě)出圖中的共線向量；

解：⑴無(wú)無(wú)，麗，應(yīng)是共線向量;而，沅，的才是共線向量；

OC,AB,訪,而是共線向量；

（2）與=赤=而麗=皮=麗;無(wú)=初=訪=而

例2.如圖所示，4x3的矩形（每個(gè)小方格都是單位正方形），在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)

處的向量中，試問(wèn)：

（1）與通相等的向量共有幾個(gè)；

（2）與凝方向相同且模為3亞的向量共有幾個(gè)；

分析:根據(jù)共線向量和相等向量的定義、以及模的計(jì)算和對(duì)正方形的對(duì)角線即可.

解油題意可知，因?yàn)槊總€(gè)小方格都是單位正方形，

所以每個(gè)小正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度為、反且都與備平行，則AB=A/22+22=272,

（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個(gè)向量，

則與A%相等的向量共有5個(gè)，如圖1；

（2）與4%方向相同且模為3a的向量共有2個(gè)，如圖2.

點(diǎn)睛:本題考查共線向量和相等向量的定義，以及向量的模的計(jì)算，考查分析問(wèn)題的能力和

數(shù)形結(jié)合思想.

五、課堂小結(jié)

1.向量的概念；

2.向量的表示：代數(shù)表示、幾何表示；

3.研究向量的兩個(gè)方面：

大小：零向量、單位向量；

方向：共線向量、平行向量；

大小與方向：相等向量、相反向量

4.數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、分類討論（注意對(duì)。的討論）。

六、課后作業(yè)

習(xí)題6.12,3題

六、課后反思

本節(jié)課是“平面向量及其應(yīng)用”的起始課，依據(jù)數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)關(guān)注知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展

過(guò)程的理念，因此在向量概念的引入過(guò)程中，從物理的角度創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，使學(xué)生明白研

究向量不僅是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的必然，更是研究客觀世界的需要，從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲

望。最后又通過(guò)物理問(wèn)題如何用數(shù)學(xué)的方式加以解決，為學(xué)生理解向量的數(shù)量積以及向量

在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用埋下伏筆。教學(xué)中還需注意以下三個(gè)方面：

(1)通過(guò)平面向量的概念形成,讓學(xué)生體會(huì)“平面向量具有集形與數(shù)于一身的特征；

(2)引導(dǎo)學(xué)生抓住大小與方向兩個(gè)方面，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再由學(xué)生或師生共同完善

概念。使學(xué)生感受知識(shí)自然形成的過(guò)程，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

第六章平面向量及其應(yīng)用

6.2.1向量的加法

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；

2.熟練掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，會(huì)作已知兩向量的和向量;

3.理解向量加法運(yùn)算律，并能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行向量計(jì)算。

4.通過(guò)對(duì)向量加法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.兩個(gè)向量的和的概念及其幾何意義；

2.向量加法的運(yùn)算律。

三、教學(xué)過(guò)程：

1、情景引入

在大型生產(chǎn)車間里，一重物被天車從A處搬運(yùn)到B處，如圖所示.它的

衣與豎直運(yùn)動(dòng)的分位移標(biāo)的合位

實(shí)際位移血,可以看作水平運(yùn)動(dòng)的分位移

問(wèn)題1：根據(jù)物理中位移的合成與分解，你認(rèn)為方豆，AD,AC之間有什么關(guān)系？

【答案】1AB=AC+AD.

問(wèn)題2：向量AB,AC,CB之間有什么關(guān)系？

【答案】AB=AC+CB.

2、探索新知

（1）向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。表示：AB+BC^AC.

規(guī)定：零向量與任一向量a,都有a+O=O+a=a.

說(shuō)明：①共線向量的加法：%>b>a+b.7

②不共線向量的加法：如圖（1）,已知向量Z,b,求作向量

作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。（如圖（2））,作礪=￡,~AB=B,則麗=￡+B.

（1）（2）

（2）.向量加法的法則：

三角形法則：根據(jù)向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。

表示：（M+AB=05.【口訣】尾首相接苜尾相連.

平行四邊形法則：以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量￡,B為鄰邊作ZZ7A38,則

則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線衣就是￡與坂的和，這種求向量和的方法稱為向量加法的平行

四邊形法則。

【口訣】共起點(diǎn)，和為對(duì)角線。

小組合作探究：

問(wèn)題1：若向量［和B共線，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？你能否做出向量Z+B

嗎？

【答案】（1）當(dāng)盂和2同向時(shí)，a+b=AB+~BC=AC.

（2）當(dāng)。和「反向時(shí)，a+b=AB+BC=AC

問(wèn)題2：\a+b\,\a\,\h\之間具有什么樣的關(guān)系。

【答案】當(dāng)々和B反向或不共線時(shí)，\a+b\^a\+\b\；當(dāng)〉和行同向時(shí)，

\a+b\=\a\+\b\o綜上,\a+b\^a\+\b\<>

問(wèn)題3：向量的加法能否像數(shù)的加法也滿足交換律和結(jié)合律呢？

【答案】如圖所示：在平行四邊形488中，AC^AB+~BC=a+b,

AC=AD+DC=b+a,所以a+B=B+a。

在圖(2)中，AD=AB+BC+CD^AC+CD=(a+h)+c,

R=Q+而+而=Q+訪=Z+(3+K，所以，

(a+3)+c=a+(3+c)。

運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a.結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).

4.例題分析：

例1.化簡(jiǎn)下列各式：

(D1PB+OP+BO.

(2)(AB+MB)+^d+OM；

d)AB+BC+CD+DE.

解：⑴而+而+而=礪+而)+而=而+麗=0；

(2)(AB+MB)+^O+OM=(AB+^d)+(OM+MB)

=AO+OB=AB；

(3)AJB+BC+CD+DE=AC+CD+DE=AD+DE

=AE.

例2.如圖，點(diǎn)。是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則下列兩個(gè)等式一定成立的是哪

個(gè)？D

@AB+AD=AC-,②而+歷=涼.---------------

解：A8+AO=AC,故①正確；

BO+OC=BC^AD,故②錯(cuò)誤0

注意：向量求和，注意“首尾順次相連”；向量加法的結(jié)果還是向點(diǎn)AD

例3.小雨滴在無(wú)風(fēng)時(shí)以4m/s的速度勻速下落.一陣風(fēng)吹來(lái)，使但小雨滴以3m/s的速

度向東移動(dòng).那么小雨滴將以多大的速度落地？方向如何？

3

（提示：tan37°=-）

解：如圖，設(shè)OA表示小雨滴無(wú)風(fēng)時(shí)下落的速度,06表示風(fēng)的速度,以O(shè)A,0B為鄰邊

作平行四邊形0ACB,則℃就是小雨滴實(shí)際飛行的速度.在RtAOAC中,麗=4

m/s,ACI=3m/s,所以|oc=5m/s.且tanZMC—~,BPZA0C^37°.

所以小雨滴實(shí)際飛行速度為5m/s,方向約為東偏南53°.

四、小結(jié)：1.理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；

2.熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則以及向量加法的運(yùn)算律。

3.|〃+歸區(qū)|〃|+|1|

五、作業(yè)：習(xí)題3.16,7,9題

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第六章平面向量及其應(yīng)用

6.2.2向量的減法運(yùn)算

課題：平面向量的減法

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握向量減法概念，理解兩個(gè)向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來(lái)進(jìn)行，

2.掌握相反向量，能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量，了

解向量方程，并會(huì)用幾何法解向量方程.

3.通過(guò)對(duì)向量減法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)：

1.向量減法的三角形法則.

2.對(duì)向量減法定義的理解.

三、教學(xué)過(guò)程：

1.復(fù)習(xí)回顧

首先一起回顧一下求解向量和的向量加法的平行四邊形法則與三角形法則，本節(jié)課我們

將學(xué)習(xí)向量的減法.

2,探索新知

(1)向量減法的定義：

向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a—b=a+(—b).

求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫向量的減法.

說(shuō)明：①與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量;

②零向量的相反向量仍是零向量；

③任--向量和它相反向量的和是零向量.

(2)作法

如圖所示，以平面內(nèi)的一點(diǎn)作為起點(diǎn)作a,b,則兩向量終點(diǎn)的連線段，并指向a終點(diǎn)

的向量表示a—b.

說(shuō)明：向量減法可以利用相反向量轉(zhuǎn)化為向量加法,

b與a—b尾首相接，首尾相連，得到a—b=麗.

例題分析:

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例1.如圖，已知向量a,b,c,d,求作向量a—b,c—d.

解：作法：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作6X=a,而=b,

0C=c,65=d.作前，DC,則疝=a-b,DC=c-d

例2.如圖，。是平行四邊形A8C￡＞的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則下列等式不正確的是

A.DA-DC=ACB.DA+DC=DO

C.OA-OB+AD=DBD.AO+OB+BC=AC

解:對(duì)于A,DA-DC=CA＜故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，DA+DC=DB＞故B錯(cuò)誤；對(duì)

TC,OA-OB+AD=BA+AD=BD'故C錯(cuò)誤。故選:ABC

例3.如圖，四邊形Q4D8是以向量麗=￡,礪=5為邊的平行四邊形，又

____1_,—,1—___

BM=-BCfCN=-CD,試用￡、B表示麗

666

OM=OB+BM=b+-(a-h]=-a+-b.

6、>66

■.?CN=-CD,CD=OC,

3

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—.—.—.2—?2——---22-

ON=OC+CN=-OD=-(OA+OB)=-a+-b.

3333

—.—-——.22-15-11-

/.MN=ON-OM=-a+-h一一a一一b=-a——h.

336626

四、小結(jié)：L理解向量減法的概念及向量減法的幾何意義；

2.熟練掌握向量減法的三角形法則以及向量減法的運(yùn)算。

五、作業(yè)：習(xí)題6.2.2.

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第六章平面向量及其應(yīng)用

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

一、教學(xué)目標(biāo)

1.讓學(xué)生理解向量數(shù)乘的含義及向量數(shù)乘的運(yùn)算律；

2.讓學(xué)生能由實(shí)數(shù)運(yùn)算律類比向量運(yùn)算律，并且驗(yàn)證強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的形成過(guò)程的認(rèn)識(shí)，正確

表示結(jié)果；

3.理解兩向量共線（平行）的充要條件，并會(huì)判斷兩個(gè)向量是否共線。

二、教學(xué)重點(diǎn)

1.實(shí)數(shù)與向量積的定義及幾何意義.

2.向量共線的充要條件及其應(yīng)用。

二、教學(xué)過(guò)程：

1、情景引入

質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)。出發(fā)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，若經(jīng)過(guò)is的位移對(duì)應(yīng)的向量用￡表示，那么在同

方向上經(jīng)過(guò)2s的位移所對(duì)應(yīng)的向量可用2a來(lái)表示。

問(wèn)題1：這里，21如何表示？-2%如何表示？

已知非零向量求作Q+Q和（一。）+（-。）.

ciaa__a一一a

AEDC

如圖：OB=a+a=2a,CE=（-a）+（-a）=-2a.

問(wèn)題2：這里，2%是何種運(yùn)算的結(jié)果？

2、探索新知

引出實(shí)數(shù)與向量的積的定義：

一般地，實(shí)數(shù)4與向量￡的積是一個(gè)向量，記作九￡,它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如

下：

（1）|Aa1=121|a|；

（2）當(dāng)x>o時(shí)，九臺(tái)的方向與￡的方向相同；當(dāng);i<o時(shí)，的方向與公的方

向相反；

當(dāng)2=0時(shí)，Aa=0.（讓學(xué)生自己解釋其幾何意義）

實(shí)數(shù)九與向量￡相乘，叫做向量的數(shù)乘

問(wèn)題：通過(guò)幾何意義，讓學(xué)生嘗試驗(yàn)證下列實(shí)數(shù)與向量的積的是否滿足下列運(yùn)算定律

2.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

（1）=（〃z）a（結(jié)合律）；①

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(2)(%+〃)￡=/i￡+〃￡(第一分配律)；②

(3)A(a+b)^Aa+Ab(第二分配律).③

例1.已知向量。和向量坂，求作向量一2.5a和向量2a-,3b。

a

解：如下圖【作法】

(1)如圖所示，向量-2.5%的長(zhǎng)度是2的長(zhǎng)度的2.5倍，方向與￡相反，BP

AB——2.5a.

(2)以。為起點(diǎn)，分別作反=22,0D=3b,連結(jié)DC,則配=2￡—3石.

例2計(jì)算：(1)4(a-b')-3(a+2b)i(2)2(2o+6^-3c)-3(-3a+4^-2c)

分析：根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的向量的線性運(yùn)算的法則去解題.

解：(1)a—10Z?；(2)13a.

問(wèn)題：向量數(shù)乘與實(shí)數(shù)乘法有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生答：(1)向量的數(shù)乘與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別：

相同點(diǎn)：這兩種運(yùn)算都滿足結(jié)合律和分配律.

不同點(diǎn)：實(shí)數(shù)的乘法的結(jié)果(積)是一個(gè)實(shí)數(shù)，而向量的數(shù)乘的結(jié)果是一個(gè)向量.

(2)向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，運(yùn)算法則與多項(xiàng)式運(yùn)算類似.

例3.判斷下列各題中的向量是否共線：

―—-2--?—|―

(1)a—4e1—Ci,h—C\---Ci；

510

(2)a=a+e2,B=2ei—262,且e2共線.

解：(I)當(dāng)￡=6時(shí)，則B=6,顯然B與￡共線.

當(dāng)QWO時(shí)，b—e\---&=—(4e,—e)——a,:.b與a共線.

10415224

(3)當(dāng)G,"2中至少有一個(gè)為零向量時(shí)，顯然加與￡共線.

當(dāng)61，02均不為零向量時(shí),設(shè)61=4丁

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/.4=(1+丸)02，b=(2Z-2)02

若之二—1時(shí)，，。=6,顯然坂與。共線.

若人—1時(shí)，心生工￡,

1+2

.?不與￡共線.

例4.設(shè)ei,e2是兩個(gè)不共線的向量，己知AB=2e\+kei,CB=e\+3e?,

CD=2ei-er,

若A,B,。三點(diǎn)共線，求左的值。

解：BD=C￡)-CB=(2ei-e2)-(ei+3e?))=ei-4e2

：A,B,O：.點(diǎn)共線，二通與南共線，即存在實(shí)數(shù)丸，使得

AB^ABD,

即是2ei+kez=A(ei-4e2).

2—A.

由向量相等的條件，得1，，攵=—8.

k=-4A

四、小結(jié)：

例4.實(shí)數(shù)與向量積的定義；

2.理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義：

3.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律.

五、作業(yè)：習(xí)題

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第六章平面向量及其應(yīng)用

6.2.4向量的數(shù)量積

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能：

通過(guò)物理中“功”的實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì).

2、過(guò)程與方法：

經(jīng)歷從物理背景的分析，抽象概況出概念的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括、類比遷移的能

力；經(jīng)歷通過(guò)不同的方式探究、發(fā)現(xiàn)平面向量數(shù)量積性質(zhì)的過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般、分

類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀：

通過(guò)師生互動(dòng)，生生互動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，形成學(xué)生的體驗(yàn)性認(rèn)識(shí)，體會(huì)各學(xué)科之間的

密切聯(lián)系，感受知識(shí)的形成過(guò)程，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，形成獨(dú)立自主的鉆研精神和合作

學(xué)習(xí)的科學(xué)態(tài)度.

二、教材分析：

重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì).

難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).

三、教學(xué)策略：

啟發(fā)式和問(wèn)題探究相結(jié)合。

四、教學(xué)過(guò)程：

（一）創(chuàng)設(shè)情境展示背景

如圖小車在力F的作用下移動(dòng)了一段位移是S,力和位移的夾角為仇從物理的角度來(lái)

看其實(shí)質(zhì)是什么？

（二）分析背景形成概念

群答：力對(duì)物體做功，力對(duì)物體做功,

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問(wèn)題1:圖中力對(duì)物體所做的功是多少？

W=FScosO

（可能學(xué)生回答卬曰耶，引導(dǎo)學(xué)生回答圖中的力對(duì)物體所做的功是多少？）

這里的e是什么？

生1：力和位移的夾角

問(wèn)題2：影響力對(duì)物體所做的功的因素有哪些？

群答：力F、位移S、力和位移的夾角。

問(wèn)題3：像力F、位移S這些量在物理上我們稱做什么量？大家回答看看

群答：矢量

問(wèn)題4：很好！類比矢量在數(shù)學(xué)上我們把既有大小又有方向的量稱為什么量？

群答：向量

問(wèn)題5：那我們用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看這是向量的一種什么運(yùn)算？我們看等式的左邊是什么

量？

群答：標(biāo)量

問(wèn)題6：在數(shù)學(xué)上我們稱為什么量？

群答：數(shù)量

從求功的運(yùn)算中，能否抽象出某種數(shù)學(xué)運(yùn)算？（課件展示）

生5：|a||^|cosO

問(wèn)題7：下面大家注意了，像這種向量運(yùn)算前面我們學(xué)習(xí)了好幾種，對(duì)不對(duì)？有向量的

加法、減法、數(shù)乘，這些運(yùn)算的結(jié)果都是什么量？

群答：向量

這種運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量，跟以往不同。我們今天這節(jié)課就是從力的做功公式出發(fā)來(lái)引進(jìn)

向量的一種新的運(yùn)算，你能否給這種運(yùn)算起個(gè)名稱？大家想想看，取什么名字好！

生6：向量的積

問(wèn)題7：太好了，這里的確是向量的積的運(yùn)算。有沒(méi)有人對(duì)這種運(yùn)算有其他名字？

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生8：向量的數(shù)量積

問(wèn)題9：太棒了!大家覺(jué)得好不好！。。。。從結(jié)果來(lái)看是一個(gè)數(shù)量。還有嗎？

生9:平面向量的數(shù)量積.

師:簡(jiǎn)直太牛了！

（由力對(duì)物體做功公式類比得出平面向量的數(shù)量積）

師:我們知道功運(yùn)算中除了力和位移，還有一個(gè)夾角仇物理上稱為力和位移的夾角，在

數(shù)學(xué)上我們稱為向量的夾角，下面我們來(lái)看書(shū)本給出的向量夾角的定義：

向量的夾角:

已知兩個(gè)非零向量［和B，作加=￡，而=石，則=6

叫做向量￡與坂的夾角.

問(wèn)題10：兩個(gè)非零向量的夾角的范圍是什么？

（課件展示）

當(dāng)且僅當(dāng)兩非零向量「、族同方向時(shí)6=—；

生10：。=0°

當(dāng)且僅4，B反方向時(shí)，0=___；

生110=180°

以上統(tǒng)稱為a"b

當(dāng)。=____,稱Z與3垂直，記作「，兀

規(guī)定：0°〈?！?80°

c

試一試：

如圖：正△A8C中,求

ABAC

（1）J

ABBC

（2）與的夾角。

AB

答案為：（1）9=60°，（2）e=120°

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向量的夾角注意點(diǎn)：1.向量要共起點(diǎn)

2.角的范圍

3.幾個(gè)特殊角

下面正式給出向量數(shù)量積的定義：

已知兩個(gè)非零向量￡和以它們的夾角為則數(shù)量知HB|?COS6叫做￡與否的數(shù)量

積（或內(nèi)積），記作7B，即a-B=|a||B|cos。.（板演a%=|a||B|cos6（"和B不

為非零向量）

問(wèn)題11：向量的數(shù)量積定義中￡和坂為何要是非零向量？

探究：零向量與其他向量有沒(méi)有數(shù)量積？應(yīng)如何定義？能否找出其物理模型？

（可以從司=0或者零向量與其他向量的交角沒(méi)有定義。）

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0,

比較探究

兩個(gè)向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量有什么區(qū)別？

cos佻甌與詡夾角）

兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的符號(hào)由的符號(hào)所決定；而數(shù)

乘向量是一個(gè)向量。

2書(shū)寫(xiě)上的區(qū)別：符號(hào)“?”在向量運(yùn)算中既不能省略，也不能用“X”代替。

辨析：。?篦0a,AO,5*0

（三）概念應(yīng)用探究性質(zhì)

例1.已知向量％與向量3的夾角為6，口=2,%=3,分別在下列條件下求

（1），=135°;（2）a//h^（3）aVb

解：（1）ab=cos6）=2x3xcosl35°=-3A/2；

例5.當(dāng)向量力、B同方向時(shí)6=0°,則Zf=6

例6.當(dāng)g反方向時(shí)，6=180°，則73=-6

當(dāng)aJ_6時(shí),6=90°,則a$=0.

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數(shù)量積的性質(zhì):

己知￡3是兩個(gè)非零向量.

(l)a_L6<=>a-A=0(2箕=|才或口=后

a?b

(4小年麗

軀

小組合作討論：

(1)如果H滿足75=0,試討論)與旗否垂直。，

生答：4=?；蛘?=6或者&_1_3

(2)如果占了滿足Z.b工o,試討論々與謝夾角情況。

生答：若73>o,則Z與3同向或者夾角為銳角；若Z5<o,則］與各反向或者夾角為

鈍角；

變式1：已知卜|=2,慟=3，ab=-3'求6

生板演：a,J)-abcosO；cos?=

0°<^<180°

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6=120°

變式2：已知忖=2,W=3,求的范圍

生板演：）g=HWc°se；

V0°<^<180°

/.cosffG[-6,6]

練習(xí)2：在nABCD中，已知|居卜4,|標(biāo)|=3,N/M3=60°,求:

（1）AD?BC;（2）AB?CD;（3）AB?DA

答案：（1）9（2）-16（3）-6

（四）歸納理解學(xué)以致用

反饋練習(xí)

1.已知"=2,々/=3，e=60°,求M

答案：降i-i麗a-不b

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2.在A43C中，若獲.為＜0,則八48。的形狀為

答案：鈍角三角形

3.已知正A46c的邊長(zhǎng)為2,BC=a^CA=b^B=c,則

a-b+b-c+c-a=

答案：-6

（五）回顧反思拓展延伸

1.本節(jié)課你學(xué)了哪些知識(shí)？在思想方法上有哪些收獲?

2.哪些問(wèn)題你最易出錯(cuò)，現(xiàn)在深有體會(huì)嗎？

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第六章平面向量及其應(yīng)用

6.3.1平面向量基本定理

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解平面向量基本定理及其意義；

2.能夠在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來(lái)表達(dá)；

3.通過(guò)學(xué)習(xí)平面向量基本定理，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推

理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.平面向量基本定理及其意義；

2.平面向量基本定理的理解。

三、教學(xué)過(guò)程：

1、情景引入

在物理中，我們學(xué)習(xí)了力的分解，即一個(gè)力可以分解為兩個(gè)不同方向的力，試想平面

內(nèi)的任一向量是否可以分解為其他兩個(gè)向量的和？

可以

如圖，以a為平行四邊形一條對(duì)角線作平行四邊形，四邊形確定嗎？

X

A不一定能確定

小組合作探究：

問(wèn)題1：如圖所示，設(shè)1是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，Z是這一平面內(nèi)與n

.?.■?，——?—???

都不共線的向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作。4=q,O3=e2,OC=a,將。按弓心2的方向

分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【答案】如圖，a=OC='OM+ON^^}+zJ2

問(wèn)題2：當(dāng)a是零向量時(shí)，。還能用=+4^2表示嗎？

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【答案】可以，取4=0，4=0,則4=o［+oW

——?—?——?—?—*

問(wèn)題3：若向量。與芻或02共線，那么“還能用a=4q+4e2這種形式表示嗎？

【答案】若向量鼠與［共線，取4=0,則1=41+0青。

若向量。與4共線時(shí)，取4=0，則。=0弓+4?2。

—*—*—?-?——?

問(wèn)題4.設(shè)44是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則力］招和^進(jìn)行表示是否唯一？

—?—??—*?>—??*?

【答案】假設(shè)=從弓，'，

QGva=Alel+4??4,+4^2=4,+〃2%

(4—4應(yīng)+(4—kh.)%=。?.4—ZA=。,且4—M—o，

??.4=〃］,且4=〃2，a用6］和^2進(jìn)行表示唯一。

2、探索新知

平面向量基本定理：

如果斗4是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任意一個(gè)向量有

且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4'4,使。=46+402。我們把不共線向量修上2叫做表示這一平面內(nèi)

所有向量的一組基底；

說(shuō)明：(1)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；

——?—

(2)由定理可將任一向量a在給出基底烏北2的條件下進(jìn)行分解；

(3)基底給定時(shí);分解形式唯一；

例1.如圖，QAOB不共線，且,用表示

解：因?yàn)?，所?/p>

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重要結(jié)論:如果三點(diǎn)共線，點(diǎn)0是平面內(nèi)任意一點(diǎn),若，則

變式訓(xùn)練:設(shè)分別是的邊上的點(diǎn),

,若(為實(shí)數(shù))，則

的值為.

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【答案】

【解析】易知

例2.如圖所示，在中，是以為中點(diǎn)的點(diǎn)

的對(duì)稱點(diǎn),和交于點(diǎn)

,設(shè)

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(1)用和表示向量

(2)若,求實(shí)數(shù)的值.

【答案】（1）(2)

【解析】（1）由題意知,是線段中點(diǎn)，且

(2)

由題可得，且

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設(shè),即，則有,解得

因此,

例7.證明：三角形的三條中線交于一點(diǎn).

四、小結(jié)

1.平面向量基本定理；

2.基底；

3.掌握平面向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用

五、作業(yè)

習(xí)題6.3.1

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第六章平面向量及其應(yīng)用

6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解向量的坐標(biāo)表示法,掌握平面向量與一對(duì)有序?qū)崝?shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；

2.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量；對(duì)起點(diǎn)不在原點(diǎn)的平面向量能利用向量相等的關(guān)系轉(zhuǎn)化來(lái)用坐

標(biāo)表示；

3.通過(guò)對(duì)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素

養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.平面向量的正交分解，平面向量的坐標(biāo)表示；

2.對(duì)平面向量的坐標(biāo)表示的理解。

三、教學(xué)過(guò)程：

1、復(fù)習(xí)回顧平面向量基本定理

如果6m2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任意一個(gè)向量有

且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4'4，使"=46+402。我們把不共線向量力上2叫做表示這一平面內(nèi)

所有向量的一組基底；

說(shuō)明：(D基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；

(2)由定理可將任一向量a在給出基底弓/2的條件下進(jìn)行分解；

(3)基底給定時(shí)，分解形式唯一；

2、探索新知

平面向量的正交分解：

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。

問(wèn)題1：在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可用一對(duì)實(shí)數(shù)(乂外表示，那么，每一個(gè)向量可

否也用一對(duì)實(shí)數(shù)來(lái)表示？

答:在直角坐標(biāo)系中，分別取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)不共線向量入_/作為基底，對(duì)于

平面內(nèi)的一個(gè)向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)X,y使得0=尤1+)力則

把有序數(shù)對(duì)(x,y),叫做向量a的坐標(biāo).記作a=(x,y),此式叫做向量的坐標(biāo)表

示.

作向量0A=a,設(shè)=+所以。=04=(用田。

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說(shuō)明：（1）對(duì)于。，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)（乂歷與之對(duì)應(yīng)；

（2）兩向量相等時(shí)，坐標(biāo)一樣；

⑶7=（1,0）,"（0,1）,6=（o,o）；

（4）從原點(diǎn)引出的向量礪的坐標(biāo)（X，＞）就是點(diǎn)A的坐標(biāo)。

例1.如圖，用基底；，1分別表示向量￡、B、2、2,并求出它們的坐標(biāo).

解：由圖知：a=2i+2/=(2,2)：

^=-27+2；=(-2,2).

c=-27-2；=(-2,-2).

5=27-2；=(2,-2)

OA=

例2.如果將繞原點(diǎn)0逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120。得到麗，則求麗的坐標(biāo).

解：由題意知A是30。角的終邊與以點(diǎn)0為圓心的單位圓的交點(diǎn),B點(diǎn)是將0A繞原點(diǎn)0逆時(shí)

針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°終邊與以點(diǎn)0為圓心的單位圓的交點(diǎn).由三角函數(shù)的定義，

26兀

設(shè)終邊0A與x軸所形成的角為a,，tana=%=:一,

733o

2

因?yàn)?|0A|=|0B|,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為

。3。

（C哼,si吟）即Q碧）.

變式訓(xùn)練：已知向量。4=（5,12）,將麗繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到麗，則

朝=（）

A（-5,13）B（-5,12）c（-12,13）D（-12,5）

解：向量礪(5,12),

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將礪繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到礪，點(diǎn)B的坐標(biāo)(-12,5),如圖:

所以畫(huà)=(—12,5).故選：D.

四、小結(jié)：1.平面向量的正交分解；

2.正確理解平面向量的坐標(biāo)意義；

五、作業(yè)：習(xí)題6.3.2

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第六章平面向量及其應(yīng)用

6.3.3平面向量的加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示；

2.會(huì)用坐標(biāo)求兩向量的和、差；

3.通過(guò)對(duì)平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及運(yùn)算學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、

數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示；

2.對(duì)平面向量的坐標(biāo)表示的理解。

三、教學(xué)過(guò)程：

1、復(fù)習(xí)回顧平面向量基本定理

―*—*—

如果。起2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任意一個(gè)向量有

且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4'%,使0=44+402。我們把不共線向量卬02叫做表示這一平面內(nèi)

所有向量的一組基底；

說(shuō)明：(1)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；

(2)由定理可將任一向量&在給出基底的條件下進(jìn)行分解；

(3)基底給定時(shí)，分解形式唯一；

問(wèn)題1：向量用坐標(biāo)表示的基本原理是什么？

設(shè)人J是與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若a=x/+yj,則a=(x,y).

2、探索新知

小組活動(dòng)探究：

問(wèn)題2：若^^牛為癌二小,必)，你可以推導(dǎo)出的坐標(biāo)嗎？

生答：a+b=(xli+yj)+(x2i+y2j)=(xl+x2)i+(yl+y2)j

即a+B=(X]+W，%+%)同理可得a--=(X1—電,yt-y2)?

重要結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。

例1.己知。=(2,1),1=(—3,4),求^+乙。一刃的坐標(biāo)。

解：￡+B=(2,l)+(-3,4)=(-1,5)；￡_石=(2』)-(-3,4)=(5,-3)；

問(wèn)題3：如圖，已知向量4分，且點(diǎn)A(M，M),8(乙，為),你能推導(dǎo)出Q的坐標(biāo)

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生答：AB=OB-OA=(x2,y2)-(xl,yl)^(x2-xi,y2-y^.

重要結(jié)論：(1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示它的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)兩個(gè)向量相等的充要條件是這二個(gè)向量的坐標(biāo)相等。

例2：如圖，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,

3)、(3,4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

解：設(shè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(*一).

..=(-1-(-2),3-1)=(1,2)DC=(3-x,4~y)

*rf

由AB-DC,得(1,2)=(3-x,4-y)

1=3-xfx=2

<<

?2=4-y?y=2

??、??

???頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,2).

變式訓(xùn)練1：己知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量正=(一4,-3),則向量語(yǔ)=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(―1,4)D.(1,4)

答案：A

變式訓(xùn)練2：已知平行四邊形ABCD中，A(0,0),B(5,0),D(2,4),對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)

M,則DM的坐標(biāo)是()

答案：A

例8.小結(jié)：

1.掌握平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示；

3.能用平面向量的坐標(biāo)及其加、減運(yùn)算解決一些實(shí)際問(wèn)題。

五、作業(yè)：習(xí)題6.3.3

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第六章平面向量及其應(yīng)用

6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示；

2.會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線；；

3.通過(guò)對(duì)平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素

養(yǎng)。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

L向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示，根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線：

2.向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示的理解及應(yīng)用向量共線的充要條件證明三點(diǎn)共線和兩直線平行的問(wèn)

題。

三、教學(xué)過(guò)程：

1、復(fù)習(xí)回顧

(1)若。=(%],凹)3=(%2，%)，則

Q+Z=(玉+9，y+%)〃一務(wù)=(不一/，-y2)°

(2)已知向量而，且點(diǎn)A(為，y),5(%,%),福=(馬一和％一兇).

2.探索新知

問(wèn)題1.己知Z=(x,y),你能推導(dǎo)出的坐標(biāo)嗎？

生答：因?yàn)閍=(x,y),所以Xa=X(xi+yj)=Axi+4yj即Xa=(/Lr,2y)。

重要結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等用這個(gè)實(shí)數(shù)乘以原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).

例9.已知a=(2,1),3=(-3,4),求3a+4區(qū)的坐標(biāo)。

變式訓(xùn)練1：己知向量a=(1,2),8=(2,3),c=(3,4),S.c=ha+A2b,則小，