2025高考數(shù)學一輪復習-7.4.2-二項式定理的應用【課件】

第2課時二項式定理的應用

第7章

7.4二項式定理一、兩個多項式乘積的特定項例1

(1)(1＋2x)3(1－x)4的展開式中，含x項的系數(shù)為A.10 B.－10C.2

D.－2√(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中，含x2的項的系數(shù)為5，則a等于A.－4B.－3

C.－2

D.－1√跟蹤訓練1

(1)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為A.12 B.16C.20

D.24√(2)(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為______.(用數(shù)字作答)－20二、系數(shù)的最值問題即n2＋n－156＝0.解得n＝－13(舍去)或n＝12.設Tr＋1項的系數(shù)最大，又∵0≤r≤n，r∈N，∴r＝10.∴展開式中系數(shù)最大的項是第11項，解

設第Tr＋1項的系數(shù)最大，∵0≤r≤10，r∈N，∴r＝7，∴展開式中系數(shù)最大的項為T8＝三、二項式定理的應用角度1求余數(shù)和整除的問題

例3

(1)試求201910除以8的余數(shù)；解

201910＝(8×252＋3)10.∵其展開式中除末項為310外，其余的各項均含有8這個因數(shù)，∴201910除以8的余數(shù)與310除以8的余數(shù)相同.又∵310＝95＝(8＋1)5，其展開式中除末項為1外，其余的各項均含有8這個因數(shù)，∴310除以8的余數(shù)為1，即201910除以8的余數(shù)也為1.(2)求證：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.證明

32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9①式中的每一項都含有82這個因數(shù)，故原式能被64整除.跟蹤訓練3

已知n∈N*，求證：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.顯然括號內的數(shù)為正整數(shù)，故原式能被31整除.角度2證明不等式或求近似值例4

(1)求1.9975精確到0.001的近似值.延伸探究求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.＝0.00006<0.001，且第3項以后(包括第3項)的項的絕對值都遠小于0.001，故0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.隨堂練習1.在(1－x3)(1＋x)10的展開式中，x5的系數(shù)是A.－297 B.－252

C.297 D.2071234√12342.(1－2x)5的展開式中系數(shù)最大的項是A.第3項 B.第4項

C.第5項

D.第6項√即r＝0,2,4，對應的系數(shù)分別為1,40,80，故r＝4時，即第5項是展開式中的系數(shù)最大的項.123423.(x＋1)4(x－1)的展開式中x3的系數(shù)是______.解析

(x＋1)4(x－1)的展開式中含x3的項由以下兩部分相加得到：②(x＋1)4中的三次項乘以(x－1)中的常數(shù)項－1，所以(x＋1)4(x－1)的展開式中x3的系數(shù)是6＋(－4)＝2.12344.230－3除以7的余數(shù)為___.5解析

230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3又∵余數(shù)不能為負數(shù)(需轉化為正數(shù))，∴230－3除以7的余數(shù)為5.對點練習基礎鞏固123456789101112131415A.－84 B.84

C.－280 D.28016√A.－3 B.－2

C.2

D.3√令10－2r＝2或10－2r＝0，解得r＝4或r＝5.12345678910111213141516123456789101112131415163.1.026的近似值(精確到0.01)為A.1.12 B.1.13C.1.14 D.1.20√123456789101112131415164.(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是A.56B.84C.112D.168√12345678910111213141516A.0B.8C.7D.2√12345678910111213141516A.x3的系數(shù)為40 B.x3的系數(shù)為32C.常數(shù)項為16 D.常數(shù)項為8√√展開式中常數(shù)項只有(2＋x)4展開式的常數(shù)項24＝16，故C正確.12345678910111213141516－3所以40a＋80＝－40，解得a＝－3.1234567891011121314151610x123456789101112131415169.用二項式定理證明1110－1能被100整除.證明

1110－1＝(10＋1)10－1顯然上式括號內的數(shù)是正整數(shù)，所以1110－1能被100整除.1234567891011121314151612345678910111213141516解

設展開式中第r＋1項的系數(shù)最大，又因為0≤r≤5，r∈N，所以r＝4，所以展開式中第5項系數(shù)最大.綜合運用12345678910111213141516A.0B.2C.7D.8√12345678910111213141516√1234567891011121314151613.(1＋x)3(1－x＋x2)2展開式中x3項的系數(shù)為A.1 B.2C.－1 D.－2√解析

∵(1＋x)3(1－x＋x2)2＝(1＋x)(1＋x3)2＝(1＋x)(1＋2x3＋x6)，∴展開式中含x3項為2x3，故x3項的系數(shù)為2.12345678910111213141516√12345678910111213141516由二項式定理可得即a除以10的余數(shù)為1，因為a≡b(mod10)，所以b的值除以10的余數(shù)也為1，觀察選項，只有2021除以10的余數(shù)為1，則b的值可以是2021.拓廣探究1234567891011121314151615.已知2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，則實數(shù)a的值為A.7B.8C.9D.10√解析

由于2×1010＋a＝2×(11－1)10＋a,2×1010＋a(0≤a<11)能被11整除，又根據(jù)二項展開式可知，2×(11－1)10被11除的余數(shù)為2，從而可知2＋a能被11整除，可知a＝