人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題（第2課時(shí)）》示范教學(xué)課件

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題第2課時(shí)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

如圖，在直線l

上求作一點(diǎn)

C，使得

CA＋CB

最短．AlBABlC

點(diǎn)A，B在直線l

異側(cè)B′C

點(diǎn)A，B在直線l

同側(cè)問(wèn)題（造橋選址問(wèn)題）如圖，A

和B

兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A

到B

的路徑AMNB

最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．）這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，想一想可以把它抽象為怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？MNabAB可以把河的兩岸看成兩條平行線a

和b（如圖），N

為直線b

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN

垂直于直線b，交直線a

于點(diǎn)M．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)

N

在直線

b

的什么位置時(shí)，AM＋MN＋NB

最??？由于河岸寬度是固定的（MN

長(zhǎng)度固定）

當(dāng)

AM＋NB

最小時(shí)，AM＋MN＋NB

最小．MNabAB問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)

N

在直線

b

的什么位置時(shí)，AM＋NB

最??？能否通過(guò)圖形的變化將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究過(guò)的問(wèn)題呢？MNabABBAN將AM

沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M

移動(dòng)到點(diǎn)N，點(diǎn)A

移動(dòng)到點(diǎn)A′，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)

N在直線

b的什么位置時(shí)，A′N(xiāo)＋NB

最??？MNabABA′則AA′＝MN，AM＋NB＝A′N(xiāo)＋NB．在連接A′，B兩點(diǎn)的線中，線段A′B

最短．線段A′B

與直線b

的交點(diǎn)N

的位置即為所求，即在點(diǎn)N

處造橋MN，所得路徑AMNB

是最短的．M′N(xiāo)′abABA′N(xiāo)MNM試著說(shuō)一下作圖過(guò)程．M（3）過(guò)N

作NM⊥a

于M，線段MN

即為橋的位置．此時(shí)從A

到B

的路徑AMNB

最短．

作法：（1）將A

沿與河岸垂直的方向平移到A′，使AA′

的長(zhǎng)度等于橋長(zhǎng)；NabABA′你能試著證明一下嗎？（2）連接A′B，交直線b

于點(diǎn)N，點(diǎn)N

即為所求；

由平移性質(zhì)可知，

AM＝A′N(xiāo)，AM′＝A′N(xiāo)′．

所以AM＋NB＝A′N(xiāo)

＋NB＝A′B，

AM′＋N′B＝A′N(xiāo)′＋N′B．

證明：在直線b

上任取一點(diǎn)N′，過(guò)點(diǎn)N′

作N′M′⊥a，連接AM′，A′N(xiāo)′，N′B，MNabAA′BM′N(xiāo)′M′N(xiāo)′MNabB由兩點(diǎn)之間，線段最短可知：A′B＜A′N(xiāo)′＋N′B，即AM＋NB＜AM′＋N′B，即AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N(xiāo)′＋N′B．AA′歸納在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱(chēng)、平移等變化把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇．lBAQP

例

已知線段

a，點(diǎn)

A，B

在直線

l

的同側(cè)，在直線

l

上求作兩點(diǎn)

P，Q

（點(diǎn)

P

在點(diǎn)

Q

的左側(cè)）且

PQ＝a，使得四邊形

APQB

的周長(zhǎng)最?。?/p>

分析：先在直線l

上取PQ＝a（如圖），連接AP，QB，AB，此時(shí)在四邊形

APQB中，線段PQ和線段AB的長(zhǎng)度是固定的，所以當(dāng)AP＋QB最小時(shí)，四邊形

APQB

的周長(zhǎng)最小

．a(chǎn)QA′

作法：（1）將點(diǎn)A

沿直線l

的方向平移到A′，使得AA′＝a；lBA

（2）作A′

關(guān)于直線l

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′′

；（3）連接A′′B，與直線l

交于一點(diǎn)Q，Q即為所求點(diǎn)．PA″（4）在點(diǎn)Q

左側(cè)取點(diǎn)P，使得PQ＝a，P即為所求點(diǎn)．連接AP，