中學(xué)數(shù)學(xué)思維主意叢書走向數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)知識(shí)資料蔣聲

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯中學(xué)數(shù)學(xué)思維主意叢書主編王梓坤張乃達(dá)編委(以姓氏筆畫為序)王梓坤過伯祥楊世明張乃達(dá)蔣聲本冊(cè)作者蔣聲序早在1995年8月,大象出版社(原河南教誨出版社)在揚(yáng)州舉辦了一個(gè)座談會(huì),邀請(qǐng)十余位教學(xué)水平很高的數(shù)學(xué)教師參加,商討出版一套“中學(xué)數(shù)學(xué)思維主意叢書”。與會(huì)同仁認(rèn)為,這是一個(gè)寬裕創(chuàng)見的倡議,因而得到大家熱烈贊許。提供一套既有較濃厚的理論基礎(chǔ),又寬裕文采和啟發(fā)性、可讀性的關(guān)于數(shù)學(xué)思維的參考書,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),無(wú)疑會(huì)是異常有益的;而更主要的,廣大的中學(xué)生們,將在形象思維、邏輯推理和嚴(yán)密計(jì)算等方面,學(xué)到無(wú)數(shù)的東西。這對(duì)未來無(wú)論做什么工作,都會(huì)受益無(wú)窮?；叵胛覀兦嗌倌陼r(shí)期學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情景,總會(huì)有幾分樂趣幾分驚奇。做出了幾道難題是樂趣,而驚奇則來自主意的長(zhǎng)進(jìn)。記得小學(xué)算雞兔同籠,必須東拼西湊,多一只兔便比雞多了兩條腿,好不容易才干做出一題。而學(xué)過代數(shù),這類問題便變得極為容易。做幾何題也一樣,必須詳細(xì)問題詳細(xì)解決,而學(xué)過解析幾何后便有了普通的程序可循。至于算圓的面積,倘若不用積分便會(huì)相當(dāng)麻煩。由此可見,主意的長(zhǎng)進(jìn)對(duì)科學(xué)的發(fā)展是何等重要。以上是對(duì)學(xué)習(xí)現(xiàn)成的東西而言。倘若要舉行科研,從事創(chuàng)新、發(fā)現(xiàn)或發(fā)現(xiàn),那就更應(yīng)重視主意,異常是思維主意。沒有新思想,沒有新主意,要超過前人是很艱難的。有鑒于此,一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家便諄諄告誡學(xué)生們,要異常重視學(xué)習(xí)主意和研究主意。美國(guó)聞名數(shù)學(xué)家G.Pólya寫過好幾種關(guān)于數(shù)學(xué)思想主意的書,如《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與預(yù)測(cè)》,后來都成為世界名著,很受歡迎。學(xué)習(xí)任何一門科學(xué),都有控制知識(shí)和培養(yǎng)能力兩方面。普通說來,前者比較容易。因?yàn)橹R(shí)已經(jīng)成熟,而且大都已經(jīng)過前人收拾,成為循序漸進(jìn)的教材。但能力則不然,那是捉摸不定、視之無(wú)形的東西,主要靠自己去思考,去探索,去總結(jié),去刻苦鍛煉。教師的培養(yǎng)固然重要,但只能起輔導(dǎo)作用。只可意會(huì),不可言傳,而偶爾甚至連意會(huì)都做不到。正如游泳,只靠言傳是絕對(duì)學(xué)不會(huì)的。這是對(duì)受業(yè)人而說的。至于教師,則應(yīng)無(wú)保留地傳授自己的經(jīng)驗(yàn)和體味,盡量縮短學(xué)生學(xué)習(xí)的時(shí)光。中國(guó)有句古詩(shī):“鴛鴦繡出憑君看,不把金針度與人。”意思是說知識(shí)可以輸出,但能力不可傳授。前一句話意思很好,后一句應(yīng)改為“急把金針度與人”。這套叢書,正是專門傳授金針的。普通的科學(xué)研究主意,可分為演繹與歸納兩大類。在數(shù)學(xué)中,演繹極為重要,而歸納則基本上用不上,除了C.F.Gauss等人偶爾通過看見數(shù)列以提出一些數(shù)論中的預(yù)測(cè)而外。不過自從計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)后,這種情況已大為改觀。混沌學(xué)主要靠計(jì)算機(jī)而發(fā)展起來,數(shù)學(xué)模擬也主要靠計(jì)算機(jī)。再者,以往數(shù)學(xué)中極少實(shí)驗(yàn),還是因?yàn)橛?jì)算機(jī)的廣泛使用,現(xiàn)在不少數(shù)學(xué)系已有了實(shí)驗(yàn)室,異常是統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)室?？梢云诖?計(jì)算機(jī)對(duì)改變數(shù)學(xué)的面貌,對(duì)改善數(shù)學(xué)的思維主意,都會(huì)起到越來越大的作用。在此之前,我國(guó)已經(jīng)出版了幾本關(guān)于數(shù)學(xué)主意的書,它們都各有特色。如就規(guī)模之大,選題之廣,論述之精而言,這套叢書大概是盛況空前、蔚為大觀的。我們希翼它在振興我國(guó)的科學(xué)事業(yè)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才中,將會(huì)起到令人鼓勵(lì)的作用。王輝坤99.7.6.引言“發(fā)現(xiàn)”,是一個(gè)美好的詞.發(fā)現(xiàn)引人注目.在長(zhǎng)篇大論里驟然看見“發(fā)現(xiàn)”二字,讀者的眼睛頓時(shí)為之一亮.電視劇的人物對(duì)話里飄過來“發(fā)現(xiàn)”二字,電視機(jī)前的觀眾趕緊安寧下來,電視機(jī)旁的過客也好奇地探過頭來.發(fā)現(xiàn)了什么呢?發(fā)現(xiàn)使人鼓勵(lì).一宗迷案發(fā)現(xiàn)偵破線索,辦案人頃刻間忘懷了疲勞,忘懷了饑渴.一道難題發(fā)現(xiàn)解法,解題者趕緊變愁容為笑容,樂滋滋地說:“這個(gè)題目真?zhèn)X筋!”眾里尋她千,“發(fā)現(xiàn)”本來在此處,多么愉快,多么歡喜!發(fā)現(xiàn)令人神往.法國(guó)聞名數(shù)學(xué)家彭加勒有一天夜晚違抗習(xí)慣,喝了黑咖啡,久久不能入眠,各種主意紛至沓來,結(jié)果在第二天早晨發(fā)現(xiàn)了一類新的高等超越函數(shù).倘若我今晚喝一杯濃濃的雀巢咖啡,會(huì)不會(huì)發(fā)生奇跡呢?在各種各樣的發(fā)現(xiàn)里,最容易臨近的是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).因?yàn)閿?shù)學(xué)就在我們身旁.生活中到處有圖形,時(shí)時(shí)講數(shù)量.生活離不開分析、判斷、推理,生活需要插上想象的翅膀.形和數(shù)是數(shù)學(xué)的研究對(duì)象,從感性到理性的思量是數(shù)學(xué)的長(zhǎng)處.數(shù)學(xué)不但是各行各業(yè)必不可少的工具,數(shù)學(xué)還有林的幽靜,霧的朦朧,山的崎嶇,曲的和睦,舞的韻律,詩(shī)的想象.各行各業(yè)的發(fā)現(xiàn),都是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的街坊,可以將數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的邏輯借來參考.瀏覽數(shù)學(xué)體面不需要門票,拈一支筆,鋪一張紙,捧一本書,就可以憑借生活經(jīng)驗(yàn),登上數(shù)學(xué)之舟揚(yáng)帆試航.數(shù)學(xué)是大眾的數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)熱烈歡迎所有賓客觀光,數(shù)學(xué)給每一位辛勤勞動(dòng)者提供豐厚的報(bào)償.現(xiàn)在這本書的目的,就是探討通往數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的道路.練字從臨事開始.打開第一章,我們就開始進(jìn)入角色,順次扮演歐幾里得、笛卡兒、牛頓和高斯歷代數(shù)學(xué)四大名家,以今天的心境,唱那古老的歌謠,走馬觀花,尋訪舊時(shí)的機(jī)遇,體味發(fā)現(xiàn)的心情.然后我們回到自己的生活,自己的學(xué)習(xí)和工作,研究怎樣從大家認(rèn)識(shí)的中學(xué)數(shù)學(xué)環(huán)境出發(fā),打開辟現(xiàn)的門戶,踏上發(fā)現(xiàn)的道路,向發(fā)現(xiàn)要潛力,向發(fā)現(xiàn)要時(shí)光.因?yàn)閷で蟀l(fā)現(xiàn)而提高素質(zhì),因?yàn)楂@得發(fā)現(xiàn)而減輕負(fù)擔(dān).排除日常的煩惱,探討身邊的問題,疏通秘訣的源泉,清掃登攀的階梯.例題有解法又有主意,問題談背景也談前景,既贊賞前臺(tái)演出效果,又參觀后臺(tái)決定過程.希翼能對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教師、中學(xué)生、師范院校數(shù)學(xué)系學(xué)生和業(yè)余興趣者有所協(xié)助.在決定本書內(nèi)容的過程中,參考了無(wú)數(shù)有關(guān)書籍和文章,借此機(jī)會(huì),謹(jǐn)向這些資料的作者和譯者表示由衷的謝謝.本書話題,說古論今,通上貫下,意義重大,難度也很大.學(xué)海無(wú)涯,作者才疏學(xué)淺,勉力為之,不過拋磚引玉而已.書中疏漏及錯(cuò)誤在所難免,誠(chéng)實(shí)期待各方面專家和朋友們的熱烈指正.森聲1997年5月目錄引言(1)一、重訪數(shù)學(xué)偉大時(shí)刻(1)1.倘若你是歐幾里得(1)2.倘若你是笛卡兒(13)3.倘若你是牛頓(20)4.倘若你是高斯(29)二、各種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)(37)1.小發(fā)現(xiàn)小改進(jìn)(37)2.重新發(fā)現(xiàn)定理(48)3.解決遺留問題(56)4.新方向新課題(63)三、好漢實(shí)用武之地(68)1.中學(xué)生(68)2.中學(xué)數(shù)學(xué)教師(84)3.大學(xué)生和研究生(96)4.業(yè)余興趣者(106)四、千里之行始于足下(118)1.磨礪智慧之劍(118)2.博覽參考文獻(xiàn)(122)3.認(rèn)定大致方向(126)4.小心探索前進(jìn)(130)主要參考書目(145)一、重訪數(shù)學(xué)偉大時(shí)刻在謀求發(fā)展時(shí),人們常說,要抓住機(jī)遇.要想在數(shù)學(xué)上有所發(fā)現(xiàn),也必須及時(shí)抓住機(jī)遇.小機(jī)遇常有,大機(jī)遇難逢.數(shù)學(xué)史上有多次重大發(fā)現(xiàn)機(jī)遇,本章將考慮其中的四次.設(shè)想我們恰好生逢其時(shí),分離充當(dāng)大數(shù)學(xué)家歐幾里得、笛卡兒、牛頓和高斯的角色,那么我們將會(huì)怎樣作出發(fā)現(xiàn),怎樣理解發(fā)現(xiàn),以及怎樣向后人推薦發(fā)現(xiàn)呢?1.倘若你是歐幾里得(1)老朋友歐幾里得在數(shù)學(xué)故事和有關(guān)數(shù)學(xué)史的書籍、文章里,常常推薦古代希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得和他的名著《幾何原本》.《幾何原本》大約完成于公元前300年左右,最初是手抄本,1482年開始有印刷版本,至圖1歐幾里得字.除去《圣經(jīng)》,世界上沒有其它書籍擁有過這樣多的讀者.《幾何原本》里有代數(shù)也有幾何,其中的幾何部分被用來作為中學(xué)幾何教材藍(lán)本長(zhǎng)達(dá)兩千多年.直到現(xiàn)在,中學(xué)《幾何》課本里仍有許多《幾何原本》的足跡.歐幾里得的偉大身影跨越時(shí)空,陪今已累計(jì)出版了1000多種不同的版本,被翻譯成各種文伴現(xiàn)代中學(xué)生成長(zhǎng).在大學(xué)數(shù)學(xué)課程里,歐幾里得的名字常與“空間”、“幾何”、“算法”等連結(jié)成數(shù)學(xué)名詞,浮上在教師和學(xué)生們的嘴邊和筆下.寫得多、說得多了,圖個(gè)方便,就來個(gè)長(zhǎng)姓短讀,把歐幾里得簡(jiǎn)稱為歐氏,盡管他并不姓歐.在群星璀璨的歷代數(shù)學(xué)家中,歐幾里得顯得異常平易近人.很多人在說起歐幾里得的時(shí)候,像是議論一位老朋友那樣認(rèn)識(shí)和親切.(2)從羽毛球談起羽毛球是不是球?有人說羽毛球固然是球,有人說羽毛球絕對(duì)不是球.這是概念的商議,邏輯的交鋒.幾何最考究概念的嚴(yán)密,邏輯的清晰.倘若幾何大師歐幾里得還在,請(qǐng)他來做裁判,誰(shuí)是誰(shuí)非,趕緊就能見分曉了.現(xiàn)在你來飾演歐幾里得.請(qǐng)你判定,“羽毛球是球”和“羽毛球不是球”這兩個(gè)命題,誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)?這個(gè)裁判不好當(dāng).倘若判定“不是球”,數(shù)學(xué)系的學(xué)生一致鼓掌,體育系的學(xué)生卻群起襲擊,說你一竅不通.倘若判定“是球”,體育系的學(xué)生把你高高舉起,數(shù)學(xué)系的學(xué)生卻惱怒譴責(zé),說你滿口胡言.穩(wěn)扎穩(wěn)打,小心為妙.首先宣布:結(jié)論分為兩點(diǎn).第一點(diǎn),兩個(gè)命題都是準(zhǔn)確的!話音未落,掌聲雷動(dòng).體育系歡度自己的勝利,因?yàn)槊}“羽毛球是球”準(zhǔn)確;數(shù)學(xué)系也歡度自己的勝利,因?yàn)槊}“羽毛球不是球”也準(zhǔn)確.可是,歡呼的人群中,會(huì)閃現(xiàn)越來越多的疑惑目光.兩個(gè)互相矛盾的命題,怎么可能同時(shí)都是準(zhǔn)確的呢?不等掌聲平息,你趕緊接著大聲說:第二點(diǎn),但是,雙方的命題講述都有關(guān)鍵性的省略.殘破地說,第一個(gè)命題應(yīng)該講述成“羽毛球運(yùn)動(dòng)是球類運(yùn)動(dòng)”.命題準(zhǔn)確,但是把關(guān)鍵詞“運(yùn)動(dòng)”省略了,容易地說成“羽毛球是球”.第二個(gè)命題,殘破的說法是:“羽毛球的形狀不是球形的.”命題準(zhǔn)確,但是省略了關(guān)鍵詞“形狀”,容易地說成“羽毛球不是球”.總之,“羽毛球運(yùn)動(dòng)是球類運(yùn)動(dòng)”,“羽毛球的形狀不是球形的”,這兩個(gè)命題,都是準(zhǔn)確命題!全場(chǎng)再次響起長(zhǎng)時(shí)光熱烈的暴風(fēng)雨般的掌聲.疑團(tuán)已經(jīng)所有解開.只因說話過分容易,造成概念含糊,互相混淆,引起棘手.多說幾個(gè)字,澄清了概念,避免了誤解,用小小的棘手消去了大大的棘手.由此可見,要能保證邏輯嚴(yán)密,首先必須概念確切.要用一絲不茍的鄭重定義,把概念解釋得清清晰楚,明明了白.倘若你生活在歐幾里得時(shí)代,你代替歐幾里得為幾何學(xué)埋下基石,那么你所要做的第一件事,就是下定義,像《幾何原本》那樣,力求把必須的概念都解釋得毫不含糊.(3)這圖不是那圖下面是一個(gè)幽默小故事.一位家長(zhǎng)希翼兒子成為美術(shù)家,要求他的兒子天天要畫三幅圖.兒子欣然愿意,當(dāng)天一會(huì)兒就交卷了.第一張紙上用圓規(guī)畫了一個(gè)圓,兒子解釋說,這是乒乓球.第二張紙上也畫了一個(gè)圓,兒子說它是玻璃球.第三張紙上畫的還是一個(gè)圓,這次兒子的解釋說是鉛球.家長(zhǎng)啟發(fā)說,三種球的質(zhì)地不同,乒乓球掉在地磚上彈起老高,玻璃球掉在地磚上跌得粉碎,鉛球掉在地磚上砸壞了地面.你的圖上能看出這些區(qū)別嗎?兒子回答說,用什么材料做球,誰(shuí)撞壞了誰(shuí),天然有人去管,我不管.我畫圖只要注重形狀、大小和位置關(guān)系.于是家長(zhǎng)笑了起來,說:看來應(yīng)該指望你成為數(shù)學(xué)家了!這個(gè)小故事說明了美術(shù)的圖與幾何的圖有什么不同.美術(shù)的圖更貼近生活,力求表現(xiàn)實(shí)物的色彩、質(zhì)感、神韻,等等.幾何的圖經(jīng)過了抽象概括,只考慮形狀、大小和相關(guān)位置這三方面的個(gè)性.因而,一幅幾何圖形的適用范圍,比一幅美術(shù)圖形的適用范圍廣泛得多.數(shù)學(xué)是研究形和數(shù)的,其中有關(guān)形的問題主要是在幾何里研究.倘若你像歐幾里得那樣生活在古代希臘的亞歷山大里亞城,幾何學(xué)理論將在你手里出生,那么你就要下功夫,把圖形概念琢磨透徹.(4)點(diǎn)無(wú)大小線無(wú)寬在歐幾里得的《幾何原本》里,最初7個(gè)定義是關(guān)于點(diǎn)、線、面的.下面是這些定義的內(nèi)容.一面看定義,一面就可以設(shè)想,倘若你是歐幾里得,你會(huì)不會(huì)這樣下定義?定義1點(diǎn)是沒有部分的那種東西.定義2線是沒有寬度的長(zhǎng)度.定義3一條線的兩端是點(diǎn).定義4直線是同其中各點(diǎn)看齊的線.定義5面是惟獨(dú)長(zhǎng)度和寬度的那種東西.定義6面的邊緣是線.定義7平面是與其上直線看齊的那種面.這些定義固然古老,卻不很陌生.首先是定義6“面的邊緣是線”和定義3“一條線的兩端是點(diǎn)”.這使我們想起現(xiàn)行初中《幾何》課本里的講法:“面與面交接的地方,形成線”,“線和線相交的地方是點(diǎn)”.文字稍有不同,意思大體相近.第二是定義1、2、5剩下的定義4和7,說法有些別扭,意思卻很容易理解.上體育課的時(shí)候,教師喊一聲“向右看齊”,一排排本來歪歪扭扭的隊(duì)伍轉(zhuǎn)眼之間都調(diào)節(jié)成為直線;瓦工在房屋磚墻上抹水泥,手拿一根比長(zhǎng)尺寬些厚些長(zhǎng)些的木板,在水泥表面刮來刮去,就把水泥層的表面刮得平平整整.歐幾里得當(dāng)初這樣講述直線定義和平面定義,或許也是從類似的生活現(xiàn)象中受到了啟發(fā).歐幾里得的這幾個(gè)定義里,最容易使人感到費(fèi)解的,是點(diǎn)無(wú)大小、線無(wú)寬.倘若你是歐幾里得,你會(huì)不會(huì)說點(diǎn)沒有大小呢?在現(xiàn)實(shí)生活里,一聽說外邊下雨,趕緊有人問:雨點(diǎn)大不大?因?yàn)檫@雨點(diǎn)的大小,對(duì)于出門的人至關(guān)重要.倘若雨點(diǎn)微不足道,上街可以冒險(xiǎn)不帶雨具.雨點(diǎn)大起來了,行人要打傘,騎車要穿雨披.驟然間電光閃閃,雷聲隆隆,下起傾盆大雨,嚇得人們一個(gè)個(gè)趕緊奔到附近寬大屋檐下面躲雨.事實(shí)上,不但雨點(diǎn)有大有小,現(xiàn)實(shí)生活中的點(diǎn)都是有一定大小的.在生活中,說到“點(diǎn)”,普通是指一塊很小的地方.但是偶爾也會(huì)比較大.例如,“考點(diǎn)設(shè)在某個(gè)小學(xué)”,這時(shí)的點(diǎn)有一個(gè)小學(xué)大.“在某個(gè)地區(qū)試點(diǎn)”,這時(shí)的點(diǎn)有一個(gè)地區(qū)大.在定義里規(guī)定點(diǎn)沒有大小,使人在感情上難以采納.另一方面,幾何命題“兩直線相交于一點(diǎn)”,既可應(yīng)用于窗紗的兩根細(xì)塑料絲互相交織,又可應(yīng)用于兩條鐵道干線在某個(gè)城市交會(huì).在幾何學(xué)里規(guī)定點(diǎn)“沒有大小”,正是為了使幾何點(diǎn)的性質(zhì)與大小無(wú)關(guān),因而能夠廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)社會(huì)各種各樣大大小小的點(diǎn).把科學(xué)性和可采納性結(jié)合起來,描繪點(diǎn)的概念,可以這樣說:點(diǎn)表示位置,不考慮大小.類似地,可以說:線不考慮寬度,面不考慮厚度.把“沒有”改成“不考慮”,一詞之差,感覺大不同.順便說說,上面這些關(guān)于點(diǎn)、線、面的講述,都僅僅是描述,而不是鄭重的定義.因?yàn)樵诔醯葞缀卫?點(diǎn)、線、面都是最基本的概念,它們排在所有幾何概念的最前列,沒有比它們更前的定義可以用來定義它們,只能靠它們?nèi)ザx后面的各種概念.(5)長(zhǎng)尺畫長(zhǎng)線“長(zhǎng)尺畫長(zhǎng)線,短尺畫短線.”上面這句話的準(zhǔn)確性毫無(wú)疑問.“長(zhǎng)直尺畫長(zhǎng)直線,短直尺畫短直線.”話里加進(jìn)了四個(gè)“直”字.倘若在日常生活里這樣說,交談雙方往往都覺得無(wú)可非議.但是倘若在幾何教師面前說出來,教師一定會(huì)說,不能這樣講,應(yīng)該說,長(zhǎng)直尺畫長(zhǎng)線段,短直尺畫短線段.因?yàn)樵凇稁缀巍氛n本里寫著:一根拉得很緊的線,給我們以直線的形象.直線是向兩方無(wú)限延伸著的.短短兩行課文,經(jīng)過了千錘百煉.“一根拉得很緊的線.”人人見過,不錯(cuò),有這么一回事,怎么樣啊?“給我們以直線的形象.”妙極了,不說“是”,而說“給我們以……的形象”.拉緊的線不是直線,但是提供了一種形象,讓你看到,直線差不多就是這個(gè)樣子.于是在心理上感到滿意,覺得已經(jīng)基本控制直線概念,只差一點(diǎn)點(diǎn)細(xì)節(jié)說明了.還差點(diǎn)兒什么呢?說說看!“直線是向兩方無(wú)限延伸著的.”哦,知道了,就這樣,不必再說,不用再問,不需再想.可是,哪里知道,這“無(wú)限延伸”厲害得很.直線既然無(wú)限延伸,就沒有長(zhǎng)短之分.無(wú)論用多長(zhǎng)的尺去量直線,無(wú)論往哪個(gè)方向量過去,無(wú)論繼續(xù)量多少年多少代,總是量呀量呀量不完.這是幾何用語(yǔ)和生活用語(yǔ)的又一個(gè)顯然不同.生活中談起直線,不言而喻,那是直的線.線有長(zhǎng)短,直的線固然也有長(zhǎng)短.但是在幾何學(xué)里,把“直”字和“線”字連在一起,組成專門術(shù)語(yǔ),賦予新的含義,規(guī)定它不但是直的線,而且理想化,認(rèn)為它向兩側(cè)無(wú)限伸展.不是普通地舒展,而是無(wú)限地舒展,永無(wú)止境.這種手法不是幾何的發(fā)現(xiàn),平時(shí)生活里司空見慣.“冰”字和“棒”字連在一起,成為“冰棒”,冰棒并不就是冰的棒;“雪”字和“糕”字連在一起,成為“雪糕”,雪糕也不等于雪的糕.直線不同于直的線,徹低可以理解.在幾何里,可以量長(zhǎng)度的是線段,它是直線在其兩點(diǎn)之間的部分.生活中所說的直線,往往相當(dāng)于幾何里的線段.去問問歐幾里得,為什么他把直線概念搞得這樣玄乎?但是歐幾里得直搖頭,他的直線概念大眾化,一點(diǎn)兒也不玄.事實(shí)上,歐幾里得《幾何原本》里的直線定義,我們?cè)谇懊嬉呀?jīng)看到了.《幾何原本》的定義3說,“一條線的兩端是點(diǎn)”,這就默認(rèn)一條線總是有兩個(gè)端點(diǎn),因而歐幾里得的線是有限長(zhǎng)的.接下來在定義4里說,“直線是同其中各點(diǎn)看齊的線”,直線既然是線的一種,在歐幾里得眼里,固然也是有限長(zhǎng)的.“直線是向兩方無(wú)限延伸著的”這句話,《幾何原本》里根本沒有,是功是過,歐幾里得概不承擔(dān).真是難以置信.這樣基本的觀點(diǎn),歐幾里得居然沒有想到?那么他怎樣定義平行線呢?一查便知.《幾何原本》里的平行線定義是這樣的:定義23平行直線是這樣的一些直線,它們?cè)谕黄矫鎯?nèi),而且往兩個(gè)方向無(wú)限延伸后在兩個(gè)方向上都不會(huì)相交.在歐幾里得的平行線定義里,要說直線往兩個(gè)方向無(wú)限延伸,還要在兩個(gè)方向上都不會(huì)相交.倘若直線本身是往兩側(cè)無(wú)限延伸的,就不需要再延伸,平行線的定義就可以說得簡(jiǎn)短些.作為對(duì)照,再看看我們現(xiàn)時(shí)所用初中《幾何》課本里的平行線定義:在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線.倘若你是歐幾里得,由你來執(zhí)筆編著《幾何原本》,你定義直線的時(shí)候,會(huì)采取哪種觀點(diǎn)?有限長(zhǎng),還是無(wú)限延伸?興許多數(shù)人贊成把直線定義成向兩側(cè)無(wú)限延伸的,這樣更方便些.例如,平行線的定義,包括標(biāo)點(diǎn)在內(nèi),《幾何原本》中的定義有46個(gè)字,而現(xiàn)在《幾何》課本里的定義惟獨(dú)21個(gè)字,字?jǐn)?shù)減少為不到一半,講述得反而更清晰了.歐幾里得已經(jīng)想到了點(diǎn)無(wú)大小線無(wú)寬,理想化、抽象化達(dá)到了很高的程度.怎么就不繼續(xù)發(fā)揮想象力,設(shè)想直線無(wú)限舒展呢?可能因?yàn)椤盁o(wú)限”是一個(gè)異常難用數(shù)學(xué)方式定量描寫的概念.在歐幾里得時(shí)代,甚至連作為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的無(wú)理數(shù)都不能接受.直到今天,固然已經(jīng)有了關(guān)于無(wú)限的鄭重?cái)?shù)學(xué)理論,在涉及無(wú)限時(shí),還必須謹(jǐn)慎從事,一不小心就會(huì)把有限運(yùn)算的性質(zhì)誤用到無(wú)限,導(dǎo)致錯(cuò)誤.(6)有錢難買歐氏尺畫直線要用直尺,古今中外,都是如此.直尺和圓規(guī)這兩樣,是歐幾里得作圖的所有工具.可是,走遍百貨公司、超級(jí)市場(chǎng)和文化用品商店,卻買不到符合歐幾里得標(biāo)準(zhǔn)的直尺.不是一時(shí)缺貨,而是根本就沒有廠家生產(chǎn).按照歐幾里得的標(biāo)準(zhǔn),直尺應(yīng)該是什么樣的呢?歐幾里得的直尺,是單邊無(wú)刻度直尺.就是說,這種尺沒有刻度,而且惟獨(dú)一邊是直的,可以用這一邊畫直線,另一邊不能用.難怪沒有廠家生產(chǎn).要是工廠做出這種尺來,哪一家商店愿意進(jìn)貨?就算有店家勉強(qiáng)愿意進(jìn)了幾根,哪一位學(xué)生哪一位家長(zhǎng)肯買?就算有學(xué)生好奇,買來一根單邊無(wú)刻度直尺,怎么好意思在教室里使用這種原始文具呢?直到20世紀(jì)中期,尺規(guī)作圖理論還是平面幾何的一個(gè)重要篇章.尺規(guī)作圖法中的畫圖工具只允許使用圓規(guī)和單邊無(wú)刻度直尺,還必須鄭重按照歐幾里得的作圖規(guī)矩.這套規(guī)矩來源于《幾何原本》中的前面三條公設(shè):公設(shè)1可從任一點(diǎn)到任一點(diǎn)作直線.公設(shè)2可將有限直線不斷沿直線延伸.公設(shè)3能以任一點(diǎn)為圓心和任一距離為半徑作圓.固然,歐幾里得還默認(rèn)了,當(dāng)兩直線相交,或向來線與一個(gè)圓相交,或兩個(gè)圓相交時(shí),交點(diǎn)可以作出.倘若你是歐幾里得,你會(huì)不會(huì)這樣限制作圖工具和作圖規(guī)矩呢?按照中國(guó)的文化傳統(tǒng),大概我們更傾向于“無(wú)規(guī)矩不能成方圓”.“規(guī)”和“矩”是中國(guó)古代的兩種畫圖工具.在一些漢代的圖畫中,畫著伏羲手里拿規(guī),女媧手里拿矩.畫中的規(guī),類似于現(xiàn)在的圓規(guī),可以畫圓;畫中的矩,是拐形角尺,有點(diǎn)像大寫字母L,可以畫直線和直角.而且,大概我們更傾向于使用帶有刻度的角尺.因?yàn)榧热豢梢杂脠A規(guī),就能在角尺的邊上刻出等距離的刻度.我們還決定把L形角尺那一橫的兩邊做成互相平行,一堅(jiān)的兩邊也做成互相平行.這樣做并不艱難,因?yàn)橛辛水嬛苯堑墓ぞ咭院?平行線是很容易畫的.有道是“工欲善其事,必先利其器”.先由發(fā)明畫圖工具的師傅精心制作,提供精巧方便的圓規(guī)和角尺,使畫圖的人省時(shí)省力省腦筋,何樂而不為?這樣一來,就不會(huì)有傷腦筋的尺規(guī)作圖法,代替它的將是更強(qiáng)大更有效更方便的“規(guī)矩作圖法”.倘若你認(rèn)為歐幾里得還應(yīng)該更開明一些,關(guān)于畫圖工具的規(guī)定最好是展開的,允許人們添加自選畫圖工具,那么三角板、量角器和繪圖模板也都合法,因而將會(huì)受到更多實(shí)際畫圖者的歡迎.這樣的作圖理論,可望永遠(yuǎn)保持青春活力.在現(xiàn)行初中《幾何》課本里,畫圖工具是直尺、圓規(guī)、量角器和三角板.這樣規(guī)定,符合目前學(xué)生的學(xué)習(xí)條件.(7)串珠成線幾十顆大大小小的珍珠,串成一串項(xiàng)鏈,彎一個(gè)小指頭就能把它輕輕提起來.倘若不小心扯斷了串珠的線,項(xiàng)鏈就不再是項(xiàng)鏈,而變成一堆到處亂滾的珍珠,不容易拿起,倒容易走失.《幾何原本》把眾多的準(zhǔn)確幾何命題編織成邏輯的鏈條,就把大大小小的幾何明珠加工組成一件輝煌奪目的無(wú)價(jià)之寶.從此幾何不再是一個(gè)平平時(shí)常的題庫(kù),而已升高為嚴(yán)密的幾何學(xué)理論.以后陸續(xù)建立的其它數(shù)學(xué)理論分支,也都有了可以效法的榜樣.編織邏輯鏈條的主意,是先規(guī)定一些基本概念,列出一些不加論證就承認(rèn)它們準(zhǔn)確的命題,就是通常所說的公理;然后用基本概念去定義后面浮上的所有概念,用公理去證實(shí)后面浮上的所有定理.《幾何原本》是對(duì)歐幾里得時(shí)代希臘已有數(shù)學(xué)知識(shí)的總結(jié),所以既包含幾何內(nèi)容,又包含代數(shù)內(nèi)容.《幾何原本》的開始,在列舉20多個(gè)定義以后,寫下了5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理.歐幾里得的5個(gè)公理是關(guān)于代數(shù)的,如“等量加等量,總量仍相等”,“整體大于部分”,等等.5個(gè)公設(shè)是關(guān)于幾何的公理.其中的前3條公設(shè)是關(guān)于作圖的,上面已經(jīng)推薦過.后面兩條公設(shè)如下:公設(shè)4所有直角彼此相等.公設(shè)5若向來線與兩直線相交,且若同側(cè)所交兩內(nèi)角之和小于兩直角,則兩直線無(wú)限延伸后必相交于該側(cè)的一點(diǎn).實(shí)際上,歐幾里得明確列出的公設(shè)太少,在他后來證實(shí)的過程中常常不自覺地利用直觀,默認(rèn)一些顯然的事實(shí),而這些顯然事實(shí)既然作為論證的基礎(chǔ),固然也應(yīng)該列為公理.倘若你是歐幾里得,有記者向你采訪,請(qǐng)教為什么定理的準(zhǔn)確性不用實(shí)驗(yàn)證實(shí),而是用推理證實(shí),你怎樣解釋呢?因?yàn)橛猛评碚撟C有一個(gè)很大的益處:只要確信作為幾何學(xué)出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)公理已被人類持久實(shí)踐反復(fù)檢驗(yàn)準(zhǔn)確無(wú)誤,就能保證在這基礎(chǔ)上通過邏輯推理得到的所有定理也都準(zhǔn)確,可以擔(dān)心大膽地應(yīng)用于實(shí)踐,而不必每個(gè)定理都去單獨(dú)做實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)若干遍,從而節(jié)約無(wú)數(shù)人力、物力、財(cái)力.研究物理、化學(xué)、生物、藥學(xué)等等,都需要大量經(jīng)費(fèi)購(gòu)買實(shí)驗(yàn)設(shè)備和器材,合用的設(shè)備和器材常常很難買到,消耗藥品要不斷補(bǔ)充,儀器設(shè)備要常常維修,各種棘手事情無(wú)數(shù).研究數(shù)學(xué)相對(duì)說來要節(jié)約得多,其中一個(gè)關(guān)鍵,就是數(shù)學(xué)可以用理論證實(shí)代替反復(fù)實(shí)驗(yàn),提供確實(shí)無(wú)疑的結(jié)果.推理論證的思想和范例,正是從歐幾里得《幾何原本》開始的.2.倘若你是笛卡兒(1)偶爾做個(gè)數(shù)學(xué)家笛卡兒是第一個(gè)出色的近代哲學(xué)家,是近代生物學(xué)的奠基人,是第一流的物理學(xué)家,但只偶爾地是個(gè)數(shù)學(xué)家.笛卡兒創(chuàng)立解析幾何,在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)劃時(shí)代的發(fā)現(xiàn).但是笛卡兒并沒有專門為解析幾何寫書.他的解析幾何工作,只是作為三個(gè)附錄之一,附在他的一本哲學(xué)書后面而發(fā)表的.解析幾何附錄名為《幾何》,另外兩個(gè)附錄分離是《折光》和《隕星》.這本哲學(xué)書的名字很長(zhǎng),通常簡(jiǎn)稱為《主意論》,全名是《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的主意論》,1637年出版.這一年被看成解析幾何學(xué)出生之年.圖2笛卡兒笛卡兒1596年生于法國(guó).父親是法官,自己上大學(xué)讀的是法律,畢業(yè)后當(dāng)了律師.在大學(xué)時(shí)代,笛卡兒博覽群書,其中包括哲學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)和數(shù)學(xué)方面的無(wú)數(shù)名著.1617年投筆從戎,過了9年時(shí)斷時(shí)續(xù)的軍旅生活,其間到過無(wú)數(shù)地方,增強(qiáng)了豐富的知識(shí),并且向來堅(jiān)持研究.1625年回到巴黎,1628年移居荷蘭.1649年應(yīng)邀擔(dān)任瑞典女王的私人教師,1650年病逝.一通百通.對(duì)一門學(xué)科鉆研透徹了,對(duì)其它學(xué)科的基本思想就比較容易了解.笛卡兒發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)研究的主意異常有效,能給其它學(xué)科的研究主意帶來無(wú)數(shù)有益啟示.所以,他在哲學(xué)書《主意論》中,把數(shù)學(xué)附錄放在重要地位.這個(gè)濃縮成106頁(yè)的數(shù)學(xué)附錄是笛卡兒惟一藏匿辟表的數(shù)學(xué)著作,卻成為世界數(shù)學(xué)發(fā)展史中的一個(gè)重大里程碑,從此變量走進(jìn)了數(shù)學(xué).笛卡兒還有另外一些數(shù)學(xué)思想,沒有藏匿辟表,是在和其他數(shù)學(xué)家的接觸和通信中表達(dá)出來的.(2)游客和導(dǎo)游有幾位久居鬧市穿梭于高樓大廈車水馬龍之間的朋友,假日同去一處體面秀媚的公園里小聚.波光粼粼,鳥語(yǔ)花香,奇石異樹,曲徑芳亭,賞心悅目,美不勝收.走到一處,忽見那邊一群游客眾星拱月,團(tuán)團(tuán)繞著一位口若懸河的導(dǎo)游,聽得津津有趣.于是也湊一番熱烈,擠過去聽上幾句.只聽到幾句也是好的.本來,在普通游客眼中,石頭就是石頭,假山就是假山.可是導(dǎo)游能告訴你,這石頭的韻味是瘦、透、漏,這片假山分成了春、夏、秋、冬四景.仔細(xì)體味下來,還真的是那么一回事.于是才明了,真正是“外行看熱烈,內(nèi)行看門道”.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),也有游客式的學(xué)法和導(dǎo)游式的學(xué)法.數(shù)學(xué)的游客注重結(jié)果,數(shù)學(xué)的導(dǎo)游著眼于主意.主意和結(jié)果互相依存.從獲得結(jié)果的過程中,可以概括總結(jié)出所用的數(shù)學(xué)思維主意;反過來,控制了若干常用的數(shù)學(xué)思維主意,就不怕題目千變?nèi)f化,能夠隨機(jī)應(yīng)變,觸景生情,拿出自己的主意來,解決新問題,發(fā)現(xiàn)新結(jié)果.笛卡兒就是一位學(xué)海導(dǎo)游.不但是數(shù)學(xué)導(dǎo)游、而且是科學(xué)導(dǎo)游,哲學(xué)導(dǎo)游.笛卡兒通過研究數(shù)學(xué)主意,總結(jié)出一些普遍原則,可以用來在任何領(lǐng)域里獲取準(zhǔn)確的知識(shí).他把這些原則寫進(jìn)了《思想的指導(dǎo)法則》書中.下面就是笛卡兒總結(jié)出來的幾條原則:不要承認(rèn)任何事物是真的,除非它在思想上明了清晰到毫無(wú)疑問的程度;要把艱難分成一些小的難點(diǎn);要由簡(jiǎn)到繁,依次舉行;要列舉并審查推理的步驟,要做得徹底,使毫無(wú)遺漏的可能.倘若你是笛卡兒,你有幸長(zhǎng)生不老,精神抖撒地向今天有志于發(fā)現(xiàn)的人們推薦獲取知識(shí)的原則,會(huì)不會(huì)依然推薦以上四條?這就需要以今天的眼光,重新考察笛卡兒的四原則.第一條原則的要點(diǎn)是確實(shí)無(wú)疑.惟獨(dú)無(wú)可挑剔不容置疑清晰到極點(diǎn)的事實(shí),才干確信它是準(zhǔn)確的.任何“大膽預(yù)測(cè)”,必須陪同著“小心求證”.說到“顯然”、“易知”、“不妨設(shè)”這類常用套話的時(shí)候,都要沉著地想一想,是否真的顯然、真的容易、真的無(wú)妨?其實(shí)這些地方倒是最容易出差錯(cuò)的.第二條原則講的是凝聚難點(diǎn).數(shù)學(xué)把復(fù)雜圖形容易地分解成點(diǎn)、線、面、體的組合,把復(fù)雜課題分解成若干子課題,把復(fù)雜函數(shù)分解成一連串容易函數(shù)的復(fù)合函數(shù),都是為了凝聚難點(diǎn).實(shí)際問題多半是錯(cuò)綜復(fù)雜的,通過凝聚難點(diǎn),可以化難為易.第三條原則的要點(diǎn)是循序漸進(jìn).由簡(jiǎn)到繁,由易到難,由淺到深,由近到遠(yuǎn).遵循這樣的天然順序,去探索新知識(shí)、發(fā)現(xiàn)新結(jié)果,才干事半功倍.欲速則不達(dá).好高騖遠(yuǎn),往往一事無(wú)成.研究數(shù)學(xué)是這樣,做其它事情也是這樣.第四條原則是“嚴(yán)”字當(dāng)頭.鄭重,嚴(yán)密,嚴(yán)謹(jǐn).因?yàn)橛羞@三嚴(yán)把關(guān),數(shù)學(xué)的產(chǎn)品才被公認(rèn)為信得過,數(shù)學(xué)才被一切需要精密計(jì)算的場(chǎng)合拿來做得力工具.做其它事情,要想做好,也都需要這三嚴(yán)把關(guān).總之,確實(shí)無(wú)疑、凝聚難點(diǎn)、循序漸進(jìn)和“嚴(yán)”字當(dāng)頭,這些都是切實(shí)有效的思維原則,值得尋求數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人參考,也值得所有尋求科學(xué)發(fā)現(xiàn)的人參考.過去這樣,現(xiàn)在這樣,未來還是這樣.無(wú)數(shù)人讀過當(dāng)代數(shù)學(xué)家波利亞寫的書《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)》和《怎樣解題》,從波利亞的思想里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維主意.數(shù)學(xué)家能發(fā)現(xiàn)普通人不能發(fā)現(xiàn)的重要結(jié)果,不僅因?yàn)樗麄児ぷ鳟惓Ｇ趭^,而且因?yàn)樗麄冇泻玫臄?shù)學(xué)思維主意.波利亞是這樣,其他數(shù)學(xué)家也是這樣.笛卡兒的四條原則,在今天看來,依然像優(yōu)秀導(dǎo)游的講解一樣,能使眾多數(shù)學(xué)游客獲得啟示.(3)讓代數(shù)協(xié)助歐幾里得倘若你是笛卡兒,你善于將不學(xué)生科不同分支融會(huì)貫通,互相為用,你發(fā)現(xiàn)17世紀(jì)的代數(shù)已經(jīng)是那樣強(qiáng)大有力,想要利用代數(shù)來協(xié)助幾何.那么,你首先考慮的協(xié)助對(duì)象是誰(shuí)?歐幾里得!因?yàn)楫?dāng)初歐幾里得開創(chuàng)幾何學(xué)時(shí),代數(shù)還停歇在經(jīng)驗(yàn)階段,自顧不暇,想幫幾何的忙也幫不上.16世紀(jì)和17世紀(jì)代數(shù)大發(fā)展,有了一整套方便而有效的普通主意,鳥槍換炮,今非昔比.這時(shí)候異常想幫幫老朋友歐幾里得,來一點(diǎn)代數(shù)法作圖、代數(shù)法證實(shí)幾何題,諸如此類,略表心意.你很有眼力.笛卡兒確實(shí)首先想到了讓代數(shù)協(xié)助歐幾里得.笛卡兒的《幾何》,是從用代數(shù)法解答古典的尺規(guī)作圖問題開始的.這些作圖題,有些來源于歐幾里得的《幾何原本》,有些來源于其他人的工作.先前,因?yàn)闅W幾里得的尺規(guī)作圖法工具容易得近于簡(jiǎn)陋,規(guī)矩鄭重到過分死板,即使一些看上去似乎應(yīng)該很容易的作圖題,用幾何主意解答起來,也時(shí)常需要走遷回路、過九曲橋,巧添輔助線,出奇制勝.現(xiàn)在,改用代數(shù)主意,就方便得多了.只要把作圖問題歸結(jié)成求一個(gè)線段長(zhǎng),設(shè)它為x,按照條件列出關(guān)于x的方程,解出x,然后按照x的計(jì)算公式設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)淖鲌D步驟.這樣一個(gè)解題模式,可以到處套用,容易控制,又省腦筋,解題過程通常也比較容易.興許因?yàn)榈芽▋旱慕馕鰩缀喂ぷ髅曁?也因?yàn)槌咭?guī)作圖理論在人們心目中的印象日漸稀薄,笛卡兒《幾何》中關(guān)于代數(shù)法解答尺規(guī)作圖問題的研究,很少成為現(xiàn)代人的話題.不過,對(duì)于有志發(fā)現(xiàn)的朋友,想要揣摩笛卡兒怎么會(huì)想到創(chuàng)立解析幾何,了解這段前奏曲,可能有些啟發(fā).(4)讓代數(shù)協(xié)助阿波羅尼倘若你是笛卡兒,你讓代數(shù)幫過歐幾里得之后,下一位協(xié)助的對(duì)象將會(huì)是誰(shuí)呢?阿波羅尼!古代希臘幾何方面最聞名的工作,除去歐幾里得的13卷《幾何原本》而外,就要算到阿波羅尼的8卷巨著《圓雉曲線》.幫過了歐幾里得,接下來固然輪到協(xié)助阿波羅尼了.這次你又說對(duì)了.笛卡兒在《幾何》里,用代數(shù)主意研究過平面幾何作圖問題以后,轉(zhuǎn)而用代數(shù)主意研究圓雉曲線.阿波羅尼大約生活在公元前262公?元前190年,出生在中亞細(xì)亞,青年時(shí)期到希臘的亞歷山大里亞城學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),后來留在那里研究數(shù)學(xué)和天文,他最主要的著作是《圓雉曲線》,也有一些其它作品.在平面幾何里,他的名字因?yàn)榘⒉_尼圓和阿波羅尼作圖問題而被人們認(rèn)識(shí).但是他最重要的研究工作是圓雉曲線,并且因此而被譽(yù)為大幾何學(xué)家.在阿波羅尼以前,已經(jīng)有人對(duì)圓雉曲線做過一些研究.但是阿波羅尼把這方面的研究變得系統(tǒng)化,而且越發(fā)深人,得到了豐盛的結(jié)果.阿波羅尼用同一個(gè)圓雉,被不同位置的平面去截,分離得到橢圓、拋物線和雙曲線,由此進(jìn)而發(fā)現(xiàn)這些曲線的許多幾何性質(zhì).我們現(xiàn)在從高中《平面解析幾何》課本里學(xué)到的圓雉曲線幾何性質(zhì),包括橢圓和雙曲線的光學(xué)性質(zhì),大部分具有悠久的歷史,因?yàn)榘⒉_尼早已把它們寫進(jìn)了《圓雉曲線》書中.不過,阿波羅尼研究和論述圓雉曲線,是用幾何的語(yǔ)言,而不是坐標(biāo)的語(yǔ)言.用坐標(biāo)研究圓雉曲線,是從笛卡兒《幾何》開始的.笛卡兒引進(jìn)坐標(biāo)系以后,發(fā)現(xiàn)橢圓、拋物線和雙曲線的方程都是二次的.我們現(xiàn)在偶爾說“圓雉曲線”,偶爾說“二次曲線”,兩個(gè)名詞隨便用,因?yàn)樗鼈兇碇瑯拥囊恍┣€.但若從睹物思人的角度來看,這兩個(gè)等價(jià)的數(shù)學(xué)名詞使我們分離想起兩位不同的數(shù)學(xué)家:從“圓雉曲線”聯(lián)想到阿波羅尼,從“二次曲線”聯(lián)想到笛卡兒.(5)讓代數(shù)與幾何比翼齊飛倘若你是笛卡兒,你揮舞手中的代數(shù)法寶,幫過了歐幾里得,幫過了阿波羅尼,下一步想做什么事呢?三次曲線!圓雉曲線是二次的,把二次曲線研究清晰了,接下來天然很想知道,什么曲線是三次的呢?這一次你又和笛卡兒本人想到一處去了.笛卡兒為了用代數(shù)主意研究古典的幾何問題,引進(jìn)了坐標(biāo)系,把曲線和方程聯(lián)系起來.對(duì)于平面幾何中的直線和圓,方程是一次的或異常形式下的二次的.對(duì)于圓雉曲線,方程是二次的.笛卡兒在《幾何》中的下面一步是考慮曲線按照方程次數(shù)的分類.然后再考慮一些進(jìn)一步的幾何作圖問題,它們導(dǎo)致三次或更高次的方程.這樣一來,解析幾何學(xué)的輪廓,就已清晰地展示在世人面前.固然笛卡兒研究解析幾何是從研究歐幾里得和阿波羅尼開始,但是解析幾何并不只是容易地用代數(shù)語(yǔ)言復(fù)述前人的幾何工作.笛卡兒把所有能用方程表示的曲線都收進(jìn)了幾何.點(diǎn)沿著曲線運(yùn)動(dòng),對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)在滿意方程的條件下變化.笛卡兒在幾何與代數(shù)之間架起一座寬闊的長(zhǎng)橋,使本來并列的兩大數(shù)學(xué)分支緊密連結(jié),獲得無(wú)限生機(jī).幾何學(xué)接納了所有能用方程表示的曲線,不但使幾何學(xué)理論能有更多更廣更重要的應(yīng)用,而且為了研究這些新的曲線和各種有關(guān)曲線的普通問題,激起后人發(fā)明多種具有更大威力的數(shù)學(xué)方法,包括代數(shù)主意、幾何主意、分析主意、拓?fù)渲饕?等等.峰回路轉(zhuǎn),柳暗花明,無(wú)限體面在前頭!3.倘若你是牛頓(1)站在巨人肩上喜歡臨摹名人名言字帖練字的朋友,常有機(jī)會(huì)抄錄到下面一段格言:倘若說我看得遠(yuǎn),那是因?yàn)槲艺驹诰奕藗兊募缟?字帖上在這句話的后面,印著一個(gè)如雷貫耳的名字:牛頓.牛頓的力學(xué)三大定律,圖3牛頓牛頓的萬(wàn)有引力定律,是準(zhǔn)確計(jì)算天體軌道的依據(jù).牛頓和萊布尼茲發(fā)現(xiàn)的微積分,構(gòu)成了高等數(shù)學(xué)課程的核心部分.牛頓發(fā)現(xiàn)白色光是由七種色彩的光混合而成,奠定了科學(xué)的光學(xué)理論.僅僅以上四項(xiàng)成就中的是力學(xué)和機(jī)械運(yùn)動(dòng)理論的基石.任何一項(xiàng),都足以使一個(gè)人的名字在科學(xué)史上永放光芒.而牛頓卻能將它們集于一身,并且還有許多其它重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn).人人欽佩牛頓站得很高很高,看得很遠(yuǎn)很遠(yuǎn).而牛頓卻謙虛地表示,他是站在巨人的肩上,因?yàn)榫奕耸悄菢游《?他才干從更高的視點(diǎn),看到更遠(yuǎn)的奧秘,作出更多的貢獻(xiàn).牛頓1642年生于英國(guó)的一個(gè)小村莊,父親在他出生之前就已去世.他讀的小學(xué)和中學(xué)很普通,當(dāng)初也看不出他有什么出眾才華,只不過是對(duì)機(jī)械設(shè)計(jì)感興趣.1661年考取劍橋大學(xué),有機(jī)會(huì)閱讀許多重要的數(shù)學(xué)、物理學(xué)和天文學(xué)書籍,并且自己動(dòng)手做實(shí)驗(yàn).牛頓剛結(jié)束大學(xué)課程,就碰上倫敦地區(qū)鼠疫流行,劍橋大學(xué)被迫停辦兩年.牛頓回到故鄉(xiāng),在安寧的農(nóng)村度過了1665年和1666年.這段時(shí)光里,他用心致志從事研究,發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律,獲得了解決微積分問題的普通主意,通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了白色光的分解.只圖暫避瘟神劍,豈料碩果積滿倉(cāng),真是因禍得福了.1667年,牛頓返校,取得碩士學(xué)位,并被選為劍橋大學(xué)三一學(xué)院研究員,1669年開始擔(dān)任教授.1692年以后,因?yàn)樯窠?jīng)健美,停止了數(shù)學(xué)的發(fā)明性工作.1695年離開大學(xué),擔(dān)任造幣廠監(jiān)察.1703年開始,向來?yè)?dān)任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng).1705年被授予爵士稱號(hào).1727年逝世,英國(guó)政府為他舉行了隆重的國(guó)葬.(2)快的怎會(huì)追不上慢的速度慢的走在前面,快的走在后面,那快的總算要追上慢的.可是卻有人說,快的永遠(yuǎn)追不上慢的.古代希臘流傳一個(gè)聞名的奇談怪論,叫做“阿其里”,就是這樣說的.阿其里是古代希臘傳說中跑得很快的神.怪論斷言,有一只爬得很慢的烏龜在阿其里前面一段距離,那么阿其里永遠(yuǎn)也追不上烏龜.因?yàn)樘热羝鸪醢⑵淅镌贏處,烏龜在他前面的B處,那么阿其里為了追逐烏龜,必須先到達(dá)B.可是當(dāng)阿其里追到B處時(shí),烏龜已經(jīng)爬到B前面的一點(diǎn)C.當(dāng)阿其里追到C處時(shí),烏龜又到達(dá)C前面的一點(diǎn)D.如此無(wú)限繼續(xù),永無(wú)止境.所以阿其里永遠(yuǎn)也追不上烏龜.這個(gè)怪論是公元前5世紀(jì)住在意大利的茲諾提出的,因?yàn)楣糯ＥD哲學(xué)家亞里斯多德在他的書《物理》中記載并且駁斥它而被流傳下來.倘若你是牛頓,你發(fā)現(xiàn)了微積分,你是處理無(wú)限過程的專家,又是運(yùn)動(dòng)學(xué)的權(quán)威,你怎樣解釋阿其里追逐烏龜?shù)膯栴}呢?關(guān)于運(yùn)動(dòng)的問題,總要涉及時(shí)光、速度、路程三要素.在阿其里怪論中,著重考慮一連串的位置變化,這是從路程著眼.阿其里跑得很快,烏龜爬得很慢,這里也有了速度的條件.但是徹低沒有談到時(shí)光,三要素里缺少了一個(gè).實(shí)際上是存心不談時(shí)光,才顯得振振有詞的形狀.其實(shí)這是一個(gè)容易的行程問題.設(shè)阿其里的速度是V,烏龜?shù)乃俣仁莢,開始追逐時(shí)兩者的距離是a,那么追上烏龜所需的時(shí)光是t在追逐過程中,阿其里跑過的總路程是b茲諾把有限的長(zhǎng)度b拆成無(wú)窮多個(gè)小長(zhǎng)度的和,相應(yīng)地也就把有限的時(shí)光t拆成無(wú)窮多個(gè)小時(shí)光段的和.但是他只說拆了長(zhǎng)度,不說拆了時(shí)光,進(jìn)而拿“拆成的時(shí)光段數(shù)無(wú)窮”冒充“時(shí)光t無(wú)窮”,偷換概念,從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論.有限長(zhǎng)度b怎么能分割成無(wú)限多個(gè)小長(zhǎng)度的和呢?那是因?yàn)榉殖傻男【€段長(zhǎng)度越來越短,無(wú)限趨近于0.中國(guó)古代也有無(wú)限分割的例子,說的是:一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭.這段話是春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的書《莊子?天下篇》里記載的.其中的“捶”字,讀音和“錘”相同,意思是短木棍.一根一尺長(zhǎng)的木棍,第一天拿走它的一半,以后天天拿走前一天剩下的一半,千秋萬(wàn)代,永遠(yuǎn)拿不完.初聽起來似乎不可思議,仔細(xì)想想,說得一點(diǎn)兒也不錯(cuò).從理論上說,日復(fù)一日,所剩長(zhǎng)度越來越短,卻永不為0.固然,還要補(bǔ)充一句:日復(fù)一日,所剩長(zhǎng)度無(wú)限趨近于0.把這種“無(wú)限趨近于”的主意發(fā)展成鄭重的數(shù)學(xué)理論,就產(chǎn)生了極限論.極限論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)部分.在中學(xué)不開設(shè)微積分課程時(shí),高中代數(shù)課里也講一點(diǎn)點(diǎn)極限初步知識(shí),殘破的極限理論還是要在高等數(shù)學(xué)課程里講授.(3)小的哪能等于大的0比1小.但是有人說,0=1無(wú)中生有?這是可以找到數(shù)學(xué)按照的,證實(shí)如下.設(shè)A則A==等式兩邊同減去A,趕緊得到0倘若你是牛頓,你能通過微積分深刻了解無(wú)窮過程,請(qǐng)你說說看,這樣從0到1的變形錯(cuò)在哪里?錯(cuò)在把無(wú)限多項(xiàng)相加當(dāng)成有限項(xiàng)相加一樣對(duì)待.算術(shù)和代數(shù)里的加法,是從兩個(gè)數(shù)相加開始,可以推廣到有限多個(gè)數(shù)相加.去括號(hào)、消去律等運(yùn)算定律,都只適用于有限多項(xiàng)的運(yùn)算.可是這里的運(yùn)算卻是無(wú)窮多項(xiàng)的和,不能隨意套用通常的運(yùn)算律.倘若認(rèn)為無(wú)限和可以像普通有限和一樣對(duì)待,成了習(xí)慣,就有可能得出“0=1”這類“無(wú)中生有隨意一串無(wú)窮多個(gè)數(shù),總可以形式上寫出它們的和式,例如x這種形式的和式叫做一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù).無(wú)窮多個(gè)運(yùn)算是不可能實(shí)際舉行的,只能通過有窮認(rèn)識(shí)無(wú)窮.所以,取級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和,記為XnX倘若當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí),Xn有一個(gè)有限的極限值X,就說這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)收玫,并且它的和是XX倘若當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),Xn沒有極限,或者趨于無(wú)窮,就說這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散的級(jí)數(shù)沒有和,因而不能參加無(wú)窮多個(gè)1,形式地相加,得到的無(wú)窮級(jí)數(shù)是發(fā)散的,不能把它當(dāng)成一個(gè)數(shù)A,不能讓A參加運(yùn)算,更不能對(duì)A誤用通常的運(yùn)算律.即使是收玫的無(wú)窮級(jí)數(shù),也不都能添括號(hào)、去括號(hào),也不總是能隨意調(diào)動(dòng)級(jí)數(shù)中各項(xiàng)的位置.關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論,是微積分學(xué)中一個(gè)重要部分.把有限加法向無(wú)限推廣,例如從有限小數(shù)到無(wú)限小數(shù),就在不知不覺中向微積分學(xué)走來.(4)定的可以逼近變的自從小學(xué)數(shù)學(xué)開始,就做過各種行程問題、流水問題、工程問題,題目里面的走路速度和干活速度總是一定的.倘若有變化,也是順?biāo)倥c逆水速不同,上山速與下山速不同,走的速度與奔走速度不同,等等.總而言之,那些問題,在一定時(shí)光間隔里,速度是常數(shù),簡(jiǎn)稱為勻速.在勻速運(yùn)動(dòng)問題中,速度v、運(yùn)動(dòng)時(shí)光t和走過的路程s三者之間有一個(gè)容易關(guān)系:v對(duì)于變速運(yùn)動(dòng),上面的關(guān)系不再成立.倘若你是牛頓,大數(shù)學(xué)家兼大物理學(xué)家,有人邀請(qǐng)你分析百米賽跑健將在跑道各點(diǎn)的速度變化,你會(huì)怎樣做呢?首先要取得數(shù)據(jù).為此,可以先沿著跑道,每隔一定距離插一面標(biāo)有距離數(shù)字的小旗,再讓攝像師坐在摩托車后面,和奔走的運(yùn)動(dòng)員并肩而行,不停地跟蹤拍攝.按照裁判員提供的成績(jī),知道了這位運(yùn)動(dòng)員跑徹低程所用的時(shí)光.將這盤延續(xù)拍攝的錄像帶裝進(jìn)錄像機(jī),通過反復(fù)播放,可以從屏幕圖像中的小旗知道運(yùn)動(dòng)員跑過的距離,從錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的數(shù)字變化知道所用的時(shí)光,因而可以求出運(yùn)動(dòng)員起跑后t秒所跑距離s與t之間的函數(shù)關(guān)系,記為s為了決定在途中某點(diǎn)A處的速度v,可以在A點(diǎn)附近另取一點(diǎn)B,把從A到B的路程記為Δs,所用的時(shí)光記為Δt.這一小段時(shí)光里可以近似認(rèn)為是勻速的.所以,拿這一小段路程,除以相應(yīng)的一小段時(shí)光,所得的商,可以作為速度vv把時(shí)光間隔取得越小,近似值的誤差越小.令時(shí)光間隔無(wú)限趨近于0,跑過的路程也相應(yīng)地?zé)o限趨近于0,兩者之比的極限是一個(gè)決定的值,天然就是“在一點(diǎn)”的速度概念確實(shí)切含義:v簡(jiǎn)記為v這樣得到的v值也依賴于t值,所以v也是t的一個(gè)函數(shù),把它記成v函數(shù)ft叫做Ftf反過來,函數(shù)Ft叫做ft倘若考慮曲線y=fx導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)是微積分學(xué)中關(guān)鍵性的基本概念.從生活中常見現(xiàn)象出發(fā),很天然地把我們帶到微積分的研究.以上從短跑和錄像引出導(dǎo)數(shù)概念時(shí)的思量主意,叫做局部近似.在一小塊局部范圍內(nèi),近似地用常速的代替變速的,直的代替彎的,容易的代替復(fù)雜的.范圍越小,誤差越小.讓范圍無(wú)限縮小而趨近于一點(diǎn),配合極限論,得到確切的結(jié)果.局部近似是微積分學(xué)的基本思想之一,它使我們能夠有效地研究復(fù)雜曲線曲面和復(fù)雜函數(shù),成為人類認(rèn)識(shí)天然的強(qiáng)大數(shù)學(xué)工具.(5)普通的歸結(jié)成異常的在牛頓以前,已經(jīng)有不少人對(duì)于一些異常曲線考慮過切線問題.牛頓把微積分學(xué)變成理論,是因?yàn)樗云胀ㄐ问教岢鰡栴}和解決了問題.在笛卡兒創(chuàng)立解析幾何以后,下一個(gè)天然的步驟是研究隨意曲線的切線斜率.無(wú)論從幾何的考慮,還是從函數(shù)變化或運(yùn)動(dòng)學(xué)的考慮,都能導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)的普通概念.但是要從普遍形式下來研究導(dǎo)數(shù),首先必須找出一整套計(jì)算導(dǎo)數(shù)的普通法則,而不是像以前那樣依賴于個(gè)別函數(shù)或個(gè)別曲線的異常性質(zhì).倘若你是牛頓,你決定怎樣擬定計(jì)劃,來發(fā)明全套計(jì)算隨意函數(shù)導(dǎo)數(shù)的普通法則呢?可以拿出許多常見的復(fù)雜函數(shù)式來對(duì)照和分析,尋找個(gè)性.在眼睛面前重復(fù)次數(shù)最多的,是加、減、乘、除運(yùn)算符號(hào),以及表示開方的根號(hào).所以,在全套計(jì)算導(dǎo)數(shù)的法則里,首先應(yīng)該考慮和、差、積、商的求導(dǎo)法則.至于開方,它是乘方的逆運(yùn)算.最好有專門講乘方的導(dǎo)數(shù)和方根的導(dǎo)數(shù)求法的公式,這些是常常要查的.第二,還有各種函數(shù)的符號(hào)也常在眼睛面前晃來晃去.常常遇到的函數(shù)符號(hào),不外乎是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù),也就是通?？偡Q為基本初等函數(shù)的那些.看來,應(yīng)該分離求出各個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),把結(jié)果擴(kuò)散抄在一張紙上,成為導(dǎo)數(shù)表,放在手邊,隨時(shí)可以查閱.這么多基本初等函數(shù),每一個(gè)的導(dǎo)數(shù)都直接按定義求極限,工作量太大.能不能想主意少做些計(jì)算?通過看見,發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),三角函數(shù)與反三角函數(shù)互為反函數(shù),雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)互為反函數(shù).能不能找到一個(gè)關(guān)系式,把一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和它的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來?倘若能找到反函數(shù)求導(dǎo)公式,就可以事半功倍,省勁多了.有了導(dǎo)數(shù)表,要計(jì)算函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù),只要直接查公式就行.可是,函數(shù)可以試一試換元.令y那么可以利用導(dǎo)數(shù)表得到y(tǒng)對(duì)u的導(dǎo)數(shù)和u對(duì)x的導(dǎo)數(shù).還差一步:怎樣利用這些輔助導(dǎo)數(shù)最后得到y(tǒng)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)?由此可見,還有一個(gè)重要環(huán)節(jié),需要研究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.現(xiàn)在的法則已經(jīng)基本上配套了.不過,從應(yīng)用的角度看,幾何上,曲線的方程并不總是把y顯然寫成x的函數(shù).在圓、橢圓和雙曲線的方程里,y和x都寫在方程的同一邊,要想顯然解出y,有時(shí)還比較棘手.所以需要有一種求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的法則.還有無(wú)數(shù)時(shí)候,用參數(shù)方程表示曲線異常方便.所以,當(dāng)函數(shù)用參數(shù)式表示時(shí),也要有相應(yīng)的求導(dǎo)法則.到此刻為止,已經(jīng)擬出計(jì)劃,配好一大套公式和法則.按照計(jì)劃,逐個(gè)求出所需的公式和法則,就可以用來計(jì)算大多數(shù)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).固然,免不了還有些怪函數(shù),異常是函數(shù)定義中可能存在少數(shù)異常別扭的點(diǎn),普通主意不能適用,那就只好抱歉,請(qǐng)直接按定義計(jì)算,或者自己另想異常主意解決了.品味過少許開創(chuàng)微積分的滋味,此地不必久留.讓我們揮手告別牛頓,去拜訪另一位數(shù)學(xué)大師.4.倘若你是高斯(1)天才出于勤奮無(wú)數(shù)人在小學(xué)時(shí)代就已知道了高斯的名字.這是因?yàn)?從科普書刊里,常能看到大數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候巧妙速算的故事:在18世紀(jì)德國(guó)一所鄉(xiāng)村小學(xué)的三年級(jí)教室里,教師讓學(xué)生們計(jì)算1題目剛剛說完,學(xué)生高斯趕緊把準(zhǔn)確答案寫到小石板上,交上來了.這個(gè)故事常被現(xiàn)代的教師和家長(zhǎng)推薦給學(xué)會(huì)了四則運(yùn)算的小朋友,鼓勵(lì)他們從小愛科學(xué).高斯1777年生于德國(guó)一個(gè)普通農(nóng)民的家庭.家境清貧,學(xué)習(xí)刻苦,成績(jī)優(yōu)異.因?yàn)椴湃A出眾,得到一位公爵的欣賞和資助,1795年進(jìn)人哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí).1798年畢業(yè)后,進(jìn)人另一所大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí),并在那里取得博士學(xué)位.大學(xué)生活第一年,他就解決了按照尺規(guī)作圖法作正十七邊形的問題.這是兩千年未能解決的尺規(guī)作圖難題,被高斯利用復(fù)數(shù),通過解出一個(gè)十七次的方程,曲徑通幽,得到了出人意料的解答.高斯在多年的研究中,涉及數(shù)學(xué)的無(wú)數(shù)方面,被譽(yù)為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一.初中代數(shù)課程里,當(dāng)圖4高斯相等實(shí)根,而不說惟獨(dú)一個(gè)根?這與高斯證實(shí)的代數(shù)基本定理有關(guān).代數(shù)基本定理斷言,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),倘若把k重根算成k個(gè)相等的根,那么每個(gè)n次方程恰好有n個(gè)根.這也意味著在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),n次多項(xiàng)式總能分解成n個(gè)一次式的乘積.代數(shù)基本定理是這樣的重要,甚至一元二次方程的判別式為0時(shí),為什么說方程有兩個(gè)連在數(shù)學(xué)里到處露一手的集合觀點(diǎn)見了它也要退避三舍,沒有人議論整式方程的解集.在中學(xué)數(shù)學(xué)比賽問題里,常碰到一些數(shù)論初步知識(shí).數(shù)論能夠從零散的結(jié)果發(fā)展成為系統(tǒng)的理論,是從1801年高斯的《算術(shù)研究》開始的.高斯不但收拾了前人的成績(jī),還添進(jìn)自己的許多常用概念、記號(hào)和重要定理.在按如實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)概括經(jīng)驗(yàn)公式時(shí),常用的最小二乘法,也是高斯發(fā)現(xiàn)的.高斯因?yàn)榕e行大地測(cè)量的實(shí)際需要,研究曲面的普通性質(zhì).他在1827年發(fā)表的論文《曲面性質(zhì)的普通研究》,是微分幾何學(xué)的獨(dú)立宣言.從此,曲線和曲面的研究不再停歇于微積分的容易幾何應(yīng)用,曲面幾何成為平面幾何通過彎曲化得到的天然推廣.平面幾何的許多定理都能通過考慮曲率因素而推廣到曲面.每一種曲面都有它自己的幾何,存在無(wú)窮多種不同的曲面幾何.忽如一夜春風(fēng)來,千樹萬(wàn)樹梨花開.多少年來惟獨(dú)一種幾何,現(xiàn)在驟然間遍地春筍,冒出無(wú)窮多種幾何,空前的興旺,空前的繁榮.這樣就把歐幾里得時(shí)代的小幾何、小空間概念拓廣成大幾何、大空間概念.這是一項(xiàng)意義深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)觀念革命.發(fā)展到今天,數(shù)學(xué)成為一個(gè)整體,不學(xué)生科之間千門萬(wàn)戶,路路相通.一篇代數(shù)論文或函數(shù)論的研究論文,可能從標(biāo)題到內(nèi)容都是講的幾何.反過來,一篇幾何論文,常常是算式滿紙,圖形全無(wú).高斯又是一位物理學(xué)家.物理中的磁學(xué)部分,有一種常用度量單位,叫做高斯,就是為了紀(jì)念他對(duì)磁學(xué)的貢獻(xiàn).高斯還是一位出色的天文學(xué)家.他在星體軌道計(jì)算和天文學(xué)其它領(lǐng)域中的成就,使他名揚(yáng)世界.俄國(guó)發(fā)來邀請(qǐng),選他做俄國(guó)的通訊院士,聘他為俄國(guó)的大學(xué)教授,希翼他到俄國(guó)的天文臺(tái)工作.結(jié)果還是德國(guó)留住了高斯,從1807年開始,高斯擔(dān)任哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)和天文學(xué)教授,兼任哥廷根大學(xué)天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng).俄國(guó)的彼得堡科學(xué)院推薦高斯為名譽(yù)院士,其它國(guó)家的科學(xué)機(jī)構(gòu)和科學(xué)院紛紛給他寄來學(xué)位證書.高斯寬裕發(fā)明性,工作勤奮,著作極多,但是他要錘煉到無(wú)懈可擊才藏匿辟表,所以生前發(fā)表的只是他實(shí)際所得成績(jī)的一小部分.例如,高斯曾經(jīng)自立地發(fā)現(xiàn)了雙曲幾何,其中的三角形內(nèi)角之和是小于180度的.不過,高斯沒有藏匿辟表這方面的工作,因?yàn)榭峙聲?huì)有無(wú)數(shù)習(xí)慣于歐幾里得幾何的人一時(shí)不能理解,因而群起襲擊.1855年高斯逝世以后,人們懷著極大的興趣研究這位偉大學(xué)者的遺稿.直到第二次世界大戰(zhàn)前夕,才由母校哥廷根大學(xué)的學(xué)者們把高斯的作品徹低收拾出來,出版了11卷《高斯全集》.(2)皮尺的功勞倘若你是高斯,請(qǐng)你來主持大范圍的地形測(cè)量,并且按照測(cè)量數(shù)據(jù)繪制地圖,你會(huì)覺得要在理論上做些什么決定呢?要研究曲面!大范圍的地面,通常會(huì)有高低起伏.即使是在一望無(wú)際的大草原上擺弄測(cè)量標(biāo)桿,方圓百米以內(nèi),固然是風(fēng)吹草低見牛羊,平平坦坦好愉快,可是極目眺望,卻只見天蒼蒼,野茫茫,遠(yuǎn)方的崇山峻嶺全然不見蹤影,都消隱在地平線的下方.倘若果然是地平如鏡,為何不見群峰高聳人云?事實(shí)上,發(fā)達(dá)的航海事業(yè)已經(jīng)告訴人們,大地更近于球形,而不是平的.歐幾里得的平面幾何已經(jīng)不能滿意時(shí)代需要,應(yīng)該拿曲面代替平面,研究相應(yīng)的曲面幾何.平面幾何中,直線是一種最基本最常見的圖形.在普通的曲面上,固然不能指望存在本來意義下的直線.不過,能否找到一種類似于直線的基本而又常見的曲面圖形呢?測(cè)量用的皮尺可以協(xié)助解決這個(gè)問題.在平地上,要量地面兩點(diǎn)間的直線距離,可以在兩點(diǎn)之間拉緊一根皮尺,看看皮尺上的讀數(shù)就行了.類似地,在一個(gè)曲面S上,可以利用皮尺量出兩點(diǎn)A、B之間沿曲面的最短距離.取得最短距離的這條曲線,叫做曲面S上連結(jié)點(diǎn)A和B的一條測(cè)地線,又叫最短線.“測(cè)地線”在平面幾何中說,“兩點(diǎn)之間,直線最短”.而在曲面幾何中,則是“兩點(diǎn)之間,測(cè)地線最短”.從這個(gè)意義上,測(cè)地線概念可看成直線概念在曲面上的推廣.在花瓶或茶壺的凸起部分,兩點(diǎn)之間拉緊一根橡皮筋,這橡皮筋就會(huì)穩(wěn)定在曲面上的一個(gè)決定的位置,橡皮筋曲線就是曲面在這兩點(diǎn)間的一條最短線.這個(gè)生活常識(shí)暗示,在一定條件下,曲面上兩點(diǎn)之間有且惟獨(dú)一條測(cè)地線相連.在平面幾何中,相應(yīng)的定理是:平面內(nèi)過不同兩點(diǎn)有且惟獨(dú)一條直線.由此可見,曲面幾何中的測(cè)地線,地位相當(dāng)于平面幾何中的直線.(3)車燈的貢獻(xiàn)倘若你是高斯,你的曲面幾何中已經(jīng)有了測(cè)地線概念,那么你覺得下一步最需要的是什么概念?角!測(cè)地線是平面幾何中直線概念的推廣.直線概念推廣過來了,射線、線段和線段長(zhǎng)的概念也都跟著過來了.因?yàn)殚L(zhǎng)度和角度常常在平面幾何問題中結(jié)伴而行,可見下一步需要把角的概念推廣到曲面幾何.平面幾何中的角,是從一點(diǎn)引出的兩條射線所成的圖形.曲面上的角,是否也把它定義成從一點(diǎn)引出的兩條測(cè)地線所成的圖形呢?這樣定義,是依葫蘆畫瓢,機(jī)械模仿,把角的概念原封不動(dòng),照搬過來.但是曲面和平面情況不同.平面上看兩個(gè)角是否相等,可以將其中一個(gè)角的一邊沿平面移動(dòng)到與另一個(gè)角的一邊重合,并且頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合,然后看另外一邊是否重合.可是在曲面上卻不能舉行這樣的比較,因?yàn)槠胀ㄕf來,一條測(cè)地線不可能無(wú)變形地沿著曲面移動(dòng)而保持時(shí)時(shí)到處與曲面接觸.所以曲面上的角的概念不能從平面幾何照搬.其實(shí),在微積分中已經(jīng)建立了現(xiàn)成的工具.隨意兩條曲線的交角,可定義成它們?cè)诮稽c(diǎn)處的切線之間的夾角.從直觀上看,當(dāng)汽車夜晚沿著彎曲山道行駛時(shí),在每一點(diǎn)處,汽車前燈射出的光柱,指明了彎路在這一點(diǎn)的方向.倘若有兩條彎路在一點(diǎn)交錯(cuò),每條路上各有一輛汽車,恰好同時(shí)開到交點(diǎn),那么兩車各自射出的前燈光柱在夜空畫出一個(gè)明亮的角,這就是兩條彎曲山路的交角.曲線在一點(diǎn)處的切線方向,可以用微分法計(jì)算.因而,兩條曲線交角的大小,是一個(gè)可用微分法算出的數(shù).要看曲面上的兩個(gè)角是否相等,只要看它們的大小是否相等.(4)身在山中倘若你是高斯,在你的曲面幾何中有了相當(dāng)于直線、長(zhǎng)度和角的概念,你是否還希翼有進(jìn)一步的概念?固然!至少還要有三角形概念.其實(shí)這概念并不復(fù)雜,曲面上三個(gè)點(diǎn)和連結(jié)每?jī)牲c(diǎn)的測(cè)地線弧組成的圖形,叫做測(cè)地三角形.它是平面幾何三角形概念的直接推廣.有了測(cè)地三角形概念,最想研究它的什么性質(zhì)?內(nèi)角和!在平面幾何中,三角形的內(nèi)角和總是等于180度.推廣到曲面,測(cè)地三角形的內(nèi)角之和,天然要隨曲面的彎曲情況而變化.從直覺上容易理解,在凸曲面上,測(cè)地三角形的內(nèi)角和可能大于180度;而在凹曲面上,測(cè)地三角形的內(nèi)角和可能小于180度.測(cè)地三角形的內(nèi)角和與曲面的彎曲情況有什么確切的數(shù)量關(guān)系,研究起來,就不是一件容易的事情了.其結(jié)果,得到了微分幾何中聞名的高斯-邦尼定理.高斯關(guān)于曲面的普通理論,最了不起的地方,就是能從曲面內(nèi)部認(rèn)識(shí)曲面的一大套幾何性質(zhì).人們常引用宋代文學(xué)家蘇軾的詩(shī)句:“不識(shí)廬山真面目,只緣身在此山中.”但是高斯的曲面幾何卻告訴我們,身在此山中,能識(shí)崎嶇路.曲面有一些性質(zhì)確實(shí)需要從它與外部空間的聯(lián)系中考察,這些叫做曲面的外在性質(zhì).但是也有另外一系列重要性質(zhì),不需要離開曲面,就能定義和計(jì)算,叫做曲面的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì).研究曲面內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)的幾何理論,叫做曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何,也就是以上所說的曲面幾何.曲面幾何的出生,說明幾何學(xué)的觀念可以大大推廣.幾何學(xué)只要研究一些對(duì)象之間的幾何邏輯,例如與中學(xué)平面幾何、立體幾何定理有某種類似之處的性質(zhì),不必限制在平面幾何和立體幾何原有的小圈子里面.有人說,什么餅他都愛吃.于是朋友拿來體育室的鐵餅,說,“你吃呀”,他只好雙手捂嘴直笑.“餅”字的偏旁是“食”字旁,原意應(yīng)該是扁扁圓圓的食品,是能吃的.后來人們把“餅”的觀念擴(kuò)充,凡是餅狀的東西都可以叫做餅,不一定是能吃的.于是有了鐵餅、泥餅、煤餅等等,說話方便,又很形象.同樣地,從高斯的曲面論開始,“空間”觀念擴(kuò)充了,只要能研究幾何邏輯的,不一定要像本來意義那樣看得見摸得著的.當(dāng)人們像習(xí)慣鐵餅一樣習(xí)慣廣義的空間觀念,幾何學(xué)就進(jìn)人了全新的時(shí)代.曲面和平面一樣,有長(zhǎng)、寬兩度,是二維的,用坐標(biāo)系表示時(shí),需要兩個(gè)自立坐標(biāo).平面幾何推廣后,得到曲面幾何.有無(wú)窮多種不同的曲面,因而有無(wú)窮多種不同的二維幾何學(xué).平面幾何學(xué)只是二維幾何中最容易最基本的一種,是元老,是先鋒,是初階,但不是全部.1854年,德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼把高斯的主意從兩個(gè)坐標(biāo)推廣到n個(gè)坐標(biāo),更把二維彎曲空間的幾何學(xué)推廣到n維,叫做黎曼幾何學(xué).1915年愛因斯坦發(fā)表廣義相對(duì)論,提出適應(yīng)于高速時(shí)代的科學(xué)的空間、時(shí)光和引力理論,所用的數(shù)學(xué)工具就是黎曼幾何.幾何學(xué)還發(fā)展起無(wú)數(shù)各種各樣的分支,獲得許多意想不到的應(yīng)用,這里就不一一細(xì)說了.“兩岸猿聲啼不住,輕舟已過萬(wàn)重山.”帶著參加意識(shí),我們拜訪了歐幾里得、笛卡兒、牛頓和高斯,沿著大師們的足跡,初步體驗(yàn)了開創(chuàng)幾何學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)和微分幾何學(xué)的滋味.通過重訪歷史偉大時(shí)刻,可以看出,許多重大數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的完成,雖有各種偶爾因素,卻也有相當(dāng)大的必然性成分.尤其從基本思路看去,更是大勢(shì)所趨,一旦條件成熟,天然水到渠成.二、各種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)在本章中,我們將要推薦四種類型的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),其中的每一種都能在中學(xué)數(shù)學(xué)里找到,并且大部分可作為中學(xué)數(shù)學(xué)研究文章的題材.1.小發(fā)現(xiàn)小改進(jìn)大發(fā)現(xiàn)難逢,小發(fā)現(xiàn)常有.平時(shí)結(jié)合工作和學(xué)習(xí),常常有些小發(fā)現(xiàn)、小改進(jìn),有了充足的知識(shí)堆積、經(jīng)驗(yàn)堆積和能力堆積,一旦面臨重大發(fā)現(xiàn)機(jī)遇,才干眼明手快,當(dāng)機(jī)立斷,胸有成竹,馬到勝利.(1)發(fā)現(xiàn)難題解法一道數(shù)學(xué)題,自己動(dòng)手把它解出來,這解法徹低是自己自立發(fā)現(xiàn)的.這就是一種最基本、最實(shí)用、最常見的發(fā)現(xiàn).做數(shù)學(xué)研究總要解決問題.不管是別人提出的問題,還是自己提出的問題,都必須設(shè)法解答.所以,善于發(fā)現(xiàn)解法,是走向數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的第一步.下面是一個(gè)發(fā)現(xiàn)難題解法的例子.例1求證:tg這道題的結(jié)論緊湊,數(shù)據(jù)容易,見了它就想試一試,試兩下就會(huì)皺眉頭.因?yàn)樗墚惓?沒有現(xiàn)成的解法實(shí)例可以參考.通過看見,發(fā)現(xiàn)等式右邊的根號(hào)最難處理.由此想到,可試用平主意,證實(shí)等式左邊的平方等于11.證實(shí)記左邊那么A>0A===+=+=?=?=+=++===∴即左邊例1原是一本老書《霍伯蘇三角》中的一道習(xí)題,后來在一些雜志上有文章專門研究它的解法,思路巧妙蜿蜒,證實(shí)過程很長(zhǎng).這里的解法,在平方的思路下,運(yùn)用“線性化”的技巧,盡量往正弦和余弦的一次式轉(zhuǎn)化,造成相消的機(jī)會(huì),證實(shí)過程相對(duì)說來容易得多.目前還不知道是否有更容易的證法.(2)發(fā)現(xiàn)好的解法一道數(shù)學(xué)題往往可以找到多種解法.倘若善于發(fā)現(xiàn)其中好的解法,意義就更大.這里所謂“好”的解法,并不等于通常所說的“巧解”.什么解法是“好”的呢?先來看一道例題.例2對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x,證實(shí)不等式5分析1上式的左邊、中間和右邊分離是3個(gè)實(shí)數(shù),可以看成數(shù)軸上的3個(gè)點(diǎn)A、P和B.問題歸結(jié)為證實(shí)點(diǎn)P位于A和B之間(可與端點(diǎn)重合).把P看成線段AB的一個(gè)分點(diǎn),只要證實(shí)它不是外分點(diǎn).為此,可試證分比證法1設(shè)上式左邊、中間和右邊的數(shù)分離對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的點(diǎn)A、P和B,點(diǎn)P把有向線段AB分成的分比是λ====≥這就證實(shí)了P不是線段AB5分析2要比較兩數(shù)的大小,可以比較它們的差.證法2通過比較不等號(hào)兩邊的數(shù)的差,得到2=≤2=≥以上兩式中,等式成立的條件分離是x=0和x=2.這樣就證實(shí)了,對(duì)于隨意實(shí)數(shù)5當(dāng)x=0時(shí)上式右邊的等式成立,x單獨(dú)看證法1,印象很好,覺得思路異常巧妙.再看證法2,又覺得更勝一籌.最突出的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)論殘破,式中兩個(gè)“≤”里的等式能否成立,何時(shí)成立,全考慮到了.相比之下,證法1的結(jié)論卻不夠殘破,因?yàn)樽C實(shí)過程中用到了定比的定義式λ它的分母PB不能為0,因而實(shí)際上從開始就把點(diǎn)P與B第二,兩種證法的篇幅差不多,證法2只用常規(guī)的配主意,思路容易,少費(fèi)神,節(jié)約能量消耗.如今是奔騰的時(shí)代,需要做的事情太多,能夠花的時(shí)光太少;消耗腦力的地方太多,閉目養(yǎng)神的機(jī)會(huì)太少;忙中有錯(cuò)的遺憾太多,萬(wàn)無(wú)一失的幸運(yùn)太少.所以,當(dāng)今時(shí)代對(duì)解題好主意的要求,首先要節(jié)約時(shí)光,第二要少花腦筋,第三要不易出錯(cuò).從實(shí)惠著眼,解答例2,寧愿采用大眾化的解法2,既容易,又保險(xiǎn),何樂不為?好鋼用在刀口上,省下精力對(duì)付難題,那樣更合算.(3)發(fā)現(xiàn)漏誤數(shù)學(xué)考究嚴(yán)密.但是,教學(xué)中倘若過分拘泥嚴(yán)密,就會(huì)在細(xì)節(jié)渲染上用筆太多,不但乏味、累贅,而且喧賓奪主,沖淡主題.所以在數(shù)學(xué)書刊中常常采取變通主意,適當(dāng)降低鄭重性的要求,例如幾何題中借助直觀,代數(shù)和三角題中不考慮定義域的變化,等等.這樣一來,就有可能帶來疏漏和錯(cuò)誤.越是寬裕發(fā)明性的工作,產(chǎn)生疏漏或錯(cuò)誤的可能性越大.漏誤并不害怕,只要能發(fā)現(xiàn)它,改正它.彌補(bǔ)了缺陷之后,剩下的就都是優(yōu)點(diǎn)了.按照一種思路解題產(chǎn)生的漏誤,沿原思路反復(fù)檢查,不一定能夠察覺.換一個(gè)角度思量,往往有助于發(fā)現(xiàn)毛病.下面的例子具有一定的代表性.例3求證cos=原解法設(shè)arcsinx=sin設(shè)arccostgarcsincossin設(shè)arctgsinarccostgcos設(shè)arctgcosarctgtgsin設(shè)arcsecsinarctgsec所以原等式成立.新解法設(shè)arcsinarccosarctgarctgarcsec所要證實(shí)的等式可以簡(jiǎn)寫成k由arctgf=?再利用sinG=h,得到h另一方面,由arcsech=h不存在同時(shí)滿意以上兩式的實(shí)數(shù)h,所以本題等式左邊函數(shù)的定義域是空集,等式無(wú)意義.原題有誤.將原解法與新解法比較,可以看出,原解法不考慮三角式變形前后定義域的變化,每一步變形實(shí)際上都只限于在參加變形各函數(shù)的公共定義域里舉行.因?yàn)橹豢紤]變形,不問定義域如何,按照本來思路無(wú)論查多少遍,也查不出定義域是空集的毛病.新解法的基本出發(fā)點(diǎn),是看到題目涉及的函數(shù)太多,它們的值域和定義域互相牽制,難以保證徹低相容.所以首先考慮相容性,不料果然發(fā)現(xiàn)了疏漏.因?yàn)榇蠖鄶?shù)三角變形都會(huì)引起定義域的改變,倘若每一步變形都細(xì)致說明定義域有無(wú)變化,勢(shì)必使解題過程累贅臃腫,亂紛紛不知所云.所以,通常在三角變形過程中,概不考慮定義域的變化.這種習(xí)慣做法,在多數(shù)情況下利大于弊,不過要沿途留心溝溝坎坎,防止出差錯(cuò).其實(shí),例3原題的構(gòu)思很好,只不過在編題過程中,構(gòu)作復(fù)合函數(shù)時(shí),沒有檢查定義域.這種技術(shù)上的小問題,稍加修改就能解決.正因?yàn)轭}目的構(gòu)思巧妙,才干持久廣泛流傳,而且今后這種題型還有可能得到新的發(fā)展和變化.(4)發(fā)現(xiàn)聯(lián)系數(shù)學(xué)研究的基本精神是尋找普遍邏輯.要能發(fā)現(xiàn)邏輯,首先要善于發(fā)現(xiàn)不同事物之間的聯(lián)系.1°葉落歸根每年升學(xué)考試和每次數(shù)學(xué)比賽以后,都有一些數(shù)學(xué)教師寫文章講聯(lián)系,指出哪些試題或比賽題來源于課本哪一冊(cè)哪一頁(yè)的哪一道例題或習(xí)題.這些研究,意義不只是發(fā)現(xiàn)一道或幾道值得注重的題目,更重要的是有力地證實(shí)了,試題雖有千變?nèi)f化,歸根結(jié)底要以課本為根據(jù).學(xué)得好,不怕考.只要平時(shí)基礎(chǔ)打得牢,思路辨得清,技巧用得活,提高了數(shù)學(xué)素質(zhì),就不怕試題和比賽題出花樣,總能考出水平,取得好成績(jī).猜考題總是被動(dòng)挨打,提高素質(zhì)才干培養(yǎng)主動(dòng)精神.一個(gè)寬裕主動(dòng)精神的人,才干適應(yīng)發(fā)明性的工作,有所發(fā)現(xiàn),有所發(fā)現(xiàn),開辟前人沒有走過的路.2°編題成串發(fā)現(xiàn)某些常見問題之間的聯(lián)系,并且把它們按適當(dāng)順序編織成串,也是一件有益的工作.在多數(shù)情形下,所發(fā)現(xiàn)的是解題主意上的聯(lián)系.于是在同一種主意的標(biāo)題下面,收集到若干例題.然后按照運(yùn)用解法時(shí)的技巧變化,細(xì)分成一些小組.再將組間和組內(nèi)按適當(dāng)方式排序,例如常見的在前,容易的在前,基本的在前,等等.這時(shí)還只是原料的容易堆積,需要舉行加工.通過將各題進(jìn)一步互相比較,可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于怎樣的條件和結(jié)論,可以應(yīng)用這種解題主意,在應(yīng)用方式上需要有些怎樣的變化.把這些發(fā)現(xiàn)記載下來,就對(duì)一種解題主意獲得比較透徹的了解.第二,一題引用另一題的結(jié)論,是另一種比較常見的聯(lián)系.解答乙題用到甲題的結(jié)論,解答丙題也用到甲題的結(jié)論,解答丁題又用到甲題的結(jié)論.這說明甲題是一道基本題.基本題固然不像課本中的定理那樣可以直接引用,但是可以作為一種定式,就像下棋的定式一樣,記牢它的條件、結(jié)論和解法要點(diǎn),一旦在解題過程中遇到某種認(rèn)識(shí)的定式,便可輕車熟路,接應(yīng)回家.還有一種比較常見的,