等比數(shù)列的前n項(xiàng)相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.2.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

第二課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)相關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用1．掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用．(重點(diǎn))2．能用分組求和法求數(shù)列的和．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)情境導(dǎo)入問題1

類比等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的問題，等比數(shù)列是否也有相似的性質(zhì)？提示若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n項(xiàng)，則其偶數(shù)項(xiàng)和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇數(shù)項(xiàng)和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易發(fā)現(xiàn)兩列式子中對應(yīng)項(xiàng)之間存在聯(lián)系，一、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)其奇數(shù)項(xiàng)和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，從項(xiàng)數(shù)上來看，奇數(shù)項(xiàng)比偶數(shù)項(xiàng)多了一項(xiàng)，容易發(fā)現(xiàn)兩列式子中對應(yīng)項(xiàng)之間存在聯(lián)系，若等比數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)有2n＋1項(xiàng)，則其偶數(shù)項(xiàng)和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，一、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例1

(1)已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，則公比q＝____.2解析由題意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，(2)若等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其公比為2，其奇數(shù)項(xiàng)和比偶數(shù)項(xiàng)和少100，則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和為______.300跟蹤訓(xùn)練1

(1)若等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)項(xiàng)，其首項(xiàng)為1，其偶數(shù)項(xiàng)和為170，奇數(shù)項(xiàng)和為341，則這個(gè)數(shù)列的公比為____，項(xiàng)數(shù)為____.29

即這個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為9.(2)一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部各項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍，前3項(xiàng)之積為64，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝_________________.解析由題意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.因?yàn)閿?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，又因?yàn)閍1·a1q·a1q2＝64，即a1＝12，問題2你能否用等比數(shù)列{an}中的Sm，Sn來表示Sm＋n?思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.問題3類似于等差數(shù)列中的片段和的性質(zhì)，在等比數(shù)列中，你能發(fā)現(xiàn)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…(n為偶數(shù)且q＝－1除外)的關(guān)系嗎？Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比數(shù)列例2在等比數(shù)列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.跟蹤訓(xùn)練2

等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S2＝7，S6＝91，則S4為(

)A．28

B．32

C．21

D．28或－21√2.若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm.3.數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，……仍構(gòu)成等比數(shù)列.注意點(diǎn)：等比數(shù)列片段和性質(zhì)的成立是有條件